Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Podobne dokumenty
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

. Wtedy E V U jest równa

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

16, zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy H

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

65120/ / / /200

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Liniowe relacje między zmiennymi

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Nieparametryczne Testy Istotności

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

x, y środek ciężkości zbioru

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

Funkcja wiarogodności

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k

WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Co w Sylabusie?

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

Metoda najmniejszych kwadratów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Wyrażanie niepewności pomiaru

O testowaniu jednorodności współczynników zmienności

Linie regresji II-go rodzaju

Przegląd wybranych testów

Statystyka Inżynierska

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Regresja REGRESJA

Transkrypt:

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta co ajmej raz. Oblcz wartość oczekwaą lczby powtórzeń. (A) 7 0 7

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Nech,, K, będą ezależym zmeym losowym z rozkładu jedostajego a przedzale ( 0, θ ), gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Rozważamy estymator parametru θ postac Jeżel = (A) 0 T θ, to dla każdego ( 0,) T = + ) m{,, K, }. ( ε graca lm ( T > ε ) + P jest rówa e ε + e ε e ε e ε e ε

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Nech,,, K będą ezależym zmeym losowym z rozkładu ormalego o wartośc oczekwaej 0 ezaej waracj σ. Rozważamy estymatory odchylea stadardowego σ postac ˆσ = c c. Nech σˆ c ozacza estymator o ajmejszym błędze średokwadratowym w klase rozważaych estymatorów. Wtedy c jest rówe A) π π + π π + π π +

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Nech,, K,,K, I, I, K, I, K,N będą ezależym zmeym losowym. Zmee,, K,,K mają rozkład wykładczy o wartośc oczekwaej. Zmee I, I, K, I,K mają rozkład dwupuktowy P ( I = ) = P( I = 0) =. + P N = = dla Zmea N ma rozkład ujemy dwumaowy ( ) = 0,,,K. 0 gdy N = 0 Nech = N SN. > I gdy N 0 Var S Wtedy współczyk zmeośc ES ( ) N N jest rówy (A) 9 7 7 6 7

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Nech Y będą ezależym zmeym losowym z rozkładów o gęstoścach x x e gdy x > 0 f ( x) = 0 w przecwym przypadku, x 6xe gdy x > 0 fy ( x) = 0 w przecwym przypadku. Wtedy E ( Y + Y = s) jest rówa (A) 0 s s s s

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae 6. Nech,,..., dystrybuace 8 będze próbką z rozkładu prawdopodobeństwa Pareto o dla x ; θ x Fθ ( x) = 0 dla x <, gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Rozpatrzmy zadae testowaa hpotezy H : θ przecwko alteratywe 0 = H : θ =. Zbudowao tak test, dla którego suma prawdopodobeństw błędów I II rodzaju, ozaczaych odpowedo przez α β, jest ajmejsza. Oblcz tę ajmejszą wartość α + β. (A) 0,668 0,6 0,807 0,000 0,667 6

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae 7. Nech,, K, 0 będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze o ezaej medae m. Budujemy przedzał ufośc dla parametru m postac, ], gdze ozacza k-tą statystykę pozycyją z próby [ :0 7: 0 k: 0, 0,, K. Prawdopodobeństwo P m [, ]) jest rówe ( :0 7: 0 (A) 8 8 99 8 8 0 8 7

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae 8. Nech będze zmeą losową o rozkładze Webulla o gęstośc θ x exp( θx ) gdy x > 0 fθ ( x) =, 0 gdy x 0 gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Nestety e obserwujemy zmeej, ale zmeą Y rówą, gdy >. W wyku tych obserwacj otrzymujemy prostą próbę losową Y, Y, K, Y0 (e wemy le razy pojawły sę wartośc zmeej z przedzału (0,] ) a jej podstawe wyzaczamy estymator ajwększej warogodośc θˆ parametru θ. Doberz stałą c tak, aby zachodzła rówość P ( θ < c ˆ) θ = 0,9 (A) 6,8,8,,7,06 θ 8

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae 9. Zmee losowe,, K,,K są ezależe o jedakowym rozkładze P ( = ) = P( = ) = P( = ) = P( = ) =. Nech Y0 = oraz ech dla =,,, Kzachodz Oblcz lm P( Y ) + Y = m( Y gdy =, ) gdy < (A) 9

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae 0. Zakładamy, że zależość czyka Y od czyka x (elosowego) opsuje model regresj lowej Y = β 0 + βx + ε, gdze błędy ε są ezależe mają rozkłady ormale o wartośc oczekwaej 0 waracj. Obserwujemy zmee losowe Y, Y, K, Y przy daych wartoścach x, x, K, x. Test ajmocejszy dla weryfkacj hpotezy H 0 : β0 = 0 β = przy alteratywe H β = β : 0 = a pozome stotośc 0,0 odrzuca hpotezę ( Y x )( x ) (A) >, 6 ( x ) ( Y )( x ) >, 6 ( x ) Y ( x ) >, 6 ( x ) ( Y x )( x ) >, 6 ( x ) ( Y )( x ) >, 6 ( x ) H 0, gdy spełoa jest erówość 0

Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Egzam dla Aktuaruszy z 0 czerwca 0 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja E B D C C 6 B 7 C 8 D 9 B 0 A * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.