Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel
Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawctwo Naukowe PWN Warszawa 1999
Pomar Dośwadczee, którego celem jest wyzaczee teresującej as welkośc fzyczej
Bezpośred Pomar - pomar długośc, masy, czasu, Pośred - pomar objętośc, prędkośc, przyspeszea,
Nepewośc pomarowe Wyk pomaru MUSI uwzględać dokładość, z jaką został uzyskay!!! h = (1.0 0.1) m
Systematycze Nepewośc pomarowe - zwązae z procesem pomarowym (metodą badawczą) - zwązae z dokładoścą przyrządu - zazwyczaj powodują odchylea merzoej welkośc w jedym keruku - ezwykle trude do wykryca Statystycze (przypadkowe) - spowodowae przez wele ezależych przyczy o porówywalym zaczeu: eprecyzyjość aszych zmysłów, szumy, zakłócea - symetryczy przypadkowy rozrzut wyków pomaru wokół wartośc rzeczywstej - błędy statystycze moża zmejszać wykoując odpowedą lczbę pomarów
Błędy systematycze = ajmejsza dzałka (w tym przypadku 1 mm, 1 o C) Tak zaps ozacza, że prawdzwa wartość prawe a pewo [z prawdopodobeństwem blskm 100 %] zajdze sę w tym przedzale [epewość maksymala]
Błędy statystycze Nr T [s] pomaru 1 2.01 2 2.00 3 1.98 4 1.69 5 2.34 6 1.91 7 2.02 8 2.06 9 2.18 10 2.10 11 2.05 12 1.72 13 2.19 14 2.32 15 1.71 16 1.69 17 1.99 18 2.02 19 1.83 20 1.89
Błędy statystycze rozkład Gaussa Prawdzwa wartość merzoej welkośc - wartość oczekwaa Rozkład prawdopodobeństwa φ(x) wartośc merzoej jest rozkładem Gaussa Przy skończoej lośc pomarów, parametry rozkładu Gaussa moża jedye estymować. Szukae prawdzwej wartośc merzoej welkośc jej epewośc - to estymacja wartośc oczekwaej jej odchylea stadardowego. - wartość merzoa - wartość oczekwaa [prawdzwa] - odchylee stadartowe [mara epewośc]
Błędy statystycze rozkład Gaussa
Błędy statystycze rozkład Gaussa Welkoścą ajbardzej zblżoą do wartośc rzeczywstej [estymatorem wartośc oczekwaej] jest średa arytmetycza pomarów
Błędy statystycze rozkład Gaussa Welkoścą ajlepej opsującą epewość pojedyczego pomaru jest rozrzut pomarów wokół wartośc średej [estymator odchylea stadardowego] 68 % astępych pomarów będze meścło sę w przedzale
Błędy statystycze rozkład Gaussa Welkoścą ajlepej opsującą epewość wyku jest odchylee stadardowe średej arytmetyczej W 68 % detyczych dośwadczeń otrzymamy średą arytmetyczą meszczącą sę w przedzale moża zmejszać zwększając lczbę pomarów
Błędy statystycze rozkład Studeta Fshera Gdy mamy małą lczbę pomarów ( < 10), odchylee stadardowe S x przyjmuje zażoą wartość!!! Chcąc uzyskać odpowedą wartość wyzaczoe S x ależy przemożyć przez odpowed współczyk tzw. współczyk rozkładu Studeta- Fshera (t) Współczyk te zależy od lczby pomarów od pozomu ufośc α α = 0,683 α = 0,9 α = 0,95 α = 0,99 α = 0,999 2 1,837 6,314 12,706 63,657 636,619 3 1,321 2,920 4,303 9,915 31,599 4 1,197 2,353 3,182 5,841 12,924 5 1,141 2,312 2,776 4,604 8,610 6 1,110 2,015 2,580 4,032 6,869 7 1,090 1,943 2,447 3,707 5,959 8 1,077 1,895 2,365 3,500 5,408 9 1,066 1,860 2,306 3,355 5,101 10 1,059 1,833 2,252 3,250 4,781
Błędy statystycze przykład 1 Nr T [s] pomaru 1 2.01 2 2.00 3 1.98 4 1.69 5 2.34 6 1.91 7 2.02 8 2.06 9 2.18 10 2.10 11 2.05 12 1.72 13 2.19 14 2.32 15 1.71 16 1.69 17 1.99 18 2.02 19 1.83 20 1.89 = 20 T = 1.93500 S T = 0.29230 S T = 0.065359 - Tylko dwe lczby zaczące w błędze. - Błąd zawsze zaokrąglamy do góry. - Wartość średą podajemy z tą samą dokładoścą co epewość. - Odpowede mejsce zaokrąglamy. S T = 0.07 T = 1.94 T = 1.94(7) s
Błędy statystycze przykład 2 Nr T [s] pomaru 1 2.01 2 2.00 3 1.98 4 1.69 5 2.34 6 1.91 7 2.02 8 2.06 9 2.18 10 2.10 11 2.05 12 1.72 13 2.19 14 2.32 15 1.71 16 1.69 17 1.99 18 2.02 19 1.83 20 1.89 = 5 T = 1.80400 S T = 0.52581 S T = 0.235152 - Tylko dwe lczby zaczące w błędze. - Błąd zawsze zaokrąglamy do góry. - Wartość średą podajemy z tą samą dokładoścą co epewość. - Odpowede mejsce zaokrąglamy. t 95% = 1.14 S T = 1.14 0.24 = 0.27 T = 1.94 T = 1.94(27) s
Zaps wyku T = 1.94 s, T = 0.27 s T = 1.94(27) s T = (1.94 0.54) s Symbol zarezerwoway jest dla epewośc rozszerzoej [maksymalej]. Z grubsza: dla pozomu ufośc co ajmej 95 %. Dlatego ależy użyć dwa razy szerszego przedzału lub ego współczyka Studeta. Symbol ajczęścej występuje w medycye, przemyśle, strukcjach.
Całkowta epewość pomarowa Zamaa epewośc systematyczej a odchylee stadardowe Całkowta epewość stadardowa
Propagacja błędów a) Fukcja jedej zmeej
Propagacja błędów b) Fukcja welu zmeych
Propagacja błędów b) Fukcja welu zmeych przykłady Średa geometrycza Nepewośc przypadkowe Średa arytmetycza Nepewośc systematycze Pojedycze pomary
Propagacja błędów b) Fukcja welu zmeych przykłady lub lub
- Opsae ose (jedostk) - Wartośc aesoe wraz z błędam - Odpowedo dobray zakres os - Odpowedo poprowadzoa lub dopasowaa krzywa - Dostępy jest szereg programów (Excel, Org, Grapher, ) Poprawy wykres
Regresja lowa Wele zależośc ma charakter lowy: s v t ( s, t ) s[m] t[s] Ie awet jeśl take e są s[m] to mogą zostać zlearyzowae s[m] s at 2 2 t[s] t 2 2 [s2 ]
Regresja lowa Do zależośc lowej moża dopasować prostą w postac b ax y a astępe współczyk kerukowy a oraz wyraz woly b zwązać z poszukwaą welkoścą Wzory a wartośc oczekwae a b oraz a ch odchylea stadardowe S a S b x x y x y x a 1 2 1 2 1 1 1 x a y b 1 1 a x x y b y x a y S 1 2 1 2 1 1 1 2 2 x S S a b 1 2
Lteratura 1) I Pracowa fzycza, red. A. Magera, OWI, Kraków 2006 2) H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa 1999 3) Sz. Pustely, P. Koreck, M. Starawska, Wykłady dla studetów I Pracow Fzyczej, Kraków 2007.