Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu Układ izolowany Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu, ale brak jest oddziaływań ze światem zewnętrznym. Z III zasady dynamiki siły z którymi działają na siebie ciała i związane są relacją: Suma sił działających ciało : Suma sił działających na cały układ: Wynika z tąd, że całkowita siła działająca na układ izolowany
Korzystając z II zasady dynamiki możemy powiązać zmiany pędu każdego ciała układu z sumą działających na nie sił: Prawo ruchu dla całego układu: Skoro dla układu izolowanego całkowita siła znika to wektor całkowitego pędu musi pozostawać stały Dla dowolnego układu izolowanego, suma pędów wszystkich elementów układu pozostaje stała (zakładamy, że jest to izolowany układ inercjalny). Oddziaływanie dwóch ciał
Przed "rozpadem" Po "rozpadzie", Układ dwóch ciał o masach i (w pokazie były to wózki na torze powietrznym: rysunek obok) "rozpada się" pod wpływem sił wewnętrznych. Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają to i po "rozpadzie" suma pędów musi być równa 0. Dla dwóch ciał (przyjmując, że prędkości ) Co prowadzi do związku: Zderzenie całkowicie niesprężyste
Przed zdrzeniem Po zderzeniu Zderzeniem całkowicie niesprężystym nazywamy zderzenie, w wyniku którego po zderzeniu ciała pozostają trwale złączone (poruszają się jak jedno ciało). W naszym doświadczeniu zczepiają się dwa wózki na torze powietrznym. Przyjmijmy, że jedno ciało na początku spoczywa, a drugie uderza w nie z zadaną prędkością początkową (patrz rysunek obok). Pęd początkowy: Pęd końcowy: Zasada zachowania pędu stanowi, że pęd nie może ulec zmianie (działają tylko siły wewnętrzne, między ciałami): Możemy z tego wyznaczyć prędkość ciał po zderzeniu:
Ruch ciał o zmiennej masie Rozważmy ruch ciała o zmiennej masie. Może to być rakieta, której masa w wyniku spalania paliwa (i wyrzucania gazów przez dysze silników rakietowych maleje). W ogólnym przypadku masa może zależeć od położenia, prędkości i czasu: Rozważmy ruch rakiety. Przyjmijmy, że w jakiejś chwili czasu od ciała o masie poruszającego się z prędkością odłącza się element poruszający się z prędkością. Przyjmujemy, że ponieważ masa rakiety maleje. Z zasady zachowania pędu: Z czego możemy wyznaczyć zmianę pędu rakiety: Działającą na rakietę siłę odrzutu (siła ciągu rakiety) możemy wyznaczyć z II zasady dynamiki: Przy czym siła ta jest przeciwnie skierowana do kierunku wylotu gazów ( ), gdyż masa rakiety maleje ( ) Wzór Ciołkowskiego Równanie ruch ciała pod wpływem siły odrzutu możemy więc zapisać w postaci: Zaniedbując wpływ sił zewnętrznych (np. pola grawitacyjnego) mamy:
Wprowadzając funkcję określającą zależność prędkości od masy rakiety i korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: Otrzymujemy: Całkując stronami: Otrzymaliśmy wzór Ciołkowskiego uzależniający prędkość końcową rakiety od zmiany masy. Rakieta jednostopniowa Przyjmijmy, że rakieta o masie ma wynieść satelitę o masie, zużywając paliwo o masie. Możliwa do uzyskania prędkość końcowa:
gdzie to stosunek masy paliwa do masy rakiety. Zaniedbaliśmy przy tym masę satelity (nowoczesna elektronika jest lekka):. Aby uzyskać II prędkość kosmiczną potrzebujemy: (np. lot na Księżyc) przy silniku rakietowym o Jest to teoretycznie możliwe do uzyskania, praktycznie jednak niewykonalne (?) i nieopłacalne!... W praktyce budujemy rakiety wielostopniowe. Rakieta dwustopniowa Rakietę dzielimy na dwa człony o masach i, w których znajduje się paliwo o masie i. Całkowite masy rakiety i paliwa: Prędkość końcową liczymy stosując dwukrotnie wzór Ciołkowskiego (najpierw dla pierwszego, potem dla drugiego członu rakiety): W przybliżeniu (pierwszy człon dużo większy od drugiego) i prowadzi to do zależności: Aby uzyskać II prędkość kosmiczną przy potrzebujemy silnika rakietowego o współczynniku:
Dla (dla obu członów) można wystrzelić w kosmos (przy optymalnym wyborze ). Rakieta wielostopniowa Rakieta składa się z wielu członów. W każdym z nich stosunek masy paliwa do "obudowy" wynosi W granicy wielu bardzo małych członów: Co po odcałkowaniu sprowadza się do wzoru na prędkość końcową: Aby uzyskać II prędkość kosmiczną dla satelity o masie przy silniku o musimy zbudować rakietę o masie
Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych i potrzebaby 228'000 kg paliwa!!! Dla rakiety dwuczłonowej potrzebaby 1600 kg, 16'000 kg Zasada zachowania momentu pędu Siły centralne Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna zmieniać: to pęd układu musi się const. Siły które działają na układ często są siłami centralnymi - działają w kierunku ustalonego źródła siły. Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu współrzędnych to możemy wtedy zapisać: Przykład: siła grawitacyjna siła kulombowska siła spężysta Czy można coś "uratować" z zasady zachowania pędu?... Moment pędu Zdefiniujmy dla punktu materialnego możemy zdefiniować moment pędu względem O Moment pędu zależy od wyboru początku układu! Uwzględniając klasyczne wyrażenie na pęd ( ) otrzymujemy:
Wartość momentu pędu: wektorem położenia. gdzie jest kątem między wektorem prędkości i W przypadku ruchu po płaszczyźnie przechodzącej przez początek układu Wektor prędkości radialnej jest równoległy do wektora położenia więc ich iloczyn wektorowy znika. Wektor momentu pędu będzie prostopadły do płaszczyzny ruchu a jego wartość gdzie kąt opisuje położenie ciała w płaszczyźnie ruchu. Przypadkiem szczególnym jest ruch po okręgu, czyli =const Wtedy możemy zdefiniować Moment bezwładności a moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci Moment siły Jeśli na ciało działa siła to możemy zdefiniować jej moment względem początku układu O Rozważmy zmiany momentu pędu w czasie:
Otrzymaliśmy równanie ruchu, które mówi nam, że zmiana momentu pędu musi być wynikiem działania momentu siły: W przypadku, gdy na układ nie działają zewnętrzne momenty siły całkowity moment pędu jest zachowany: Cząstka swobodna Dla cząstki swobodnej moment pędu względem dowolnego punktu 0 pozostaje stały: gdzie jest (jak poprzednio) kątem między wektorem prędkości i wektorem położenia, zaś nazywamy parametrem zderzenia. Jest to odległość najmniejszego zbliżenia ciała do O. Siła centralna Dla dowolnej siły centralnej, moment siły (względem źródła): Moment siły znika, tak więc moment pędu, liczony względem źródła siły centralnej pozostaje stały. = const Prędkość polowa Prędkość polowa mówi nam jakie pole wektor wodzący punktu zakreśla w jednostce czasu ( )
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta i przybliżenia małych kątów: Tym samym prędkość polową możemy wyrazić prez moment pędu: II prawo Keplera W przypadku sił centralnych moment siły znika i moment pędu jest zachowany. Tym samym prędkość polowa musi być stała.
W ruchu pod działaniem sił centralnych prędkość polowa jest stała.