WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jrołw Dąrowkiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEO Przemiot: PODSTAWY AUTOMATYKI (tui tjore I topi) ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Wrzw
ĆWICZENIEE RACHUNKOWE NR N 7 Temt: Stilość ukłów ymizyh Poz ćwizei poruze ęą tępująe zgiei: ztoowie wyryh kryteriów o lizy tilośi ukłów utomtyki; ie tilośi w opriu o hrkterytyki logrytmize ukłu otwrtego - określeie zpu tilośi... Wprowzeiee Stilość ukłu terowi jet jwżiejzą jegoo ehą hrkteryzująą zolość ukłu o wykoi zń, l któryh zotł o zuowy. Stilość jet pojęiem określjąym w potozym zzeiu zolość zhowi pewegoo tu. Rozptrują zgieie tilośi, rozwżi moż m rozpoząć o przykłu zhowi ię kulki wooej przetwioej ry.. ) ukł ietilyy ) ukł tily ymptotyzie i glolie ) ukł tily ieymptotyzie i glolie ) ukł tily ieymptotyzie i loklie - ieglolie Ry.. Ilutrj rozjów tu rówowgi Jeśli kulkę pomy przeuięiu, moż uzć, u że pozyj rówowgi, w jkiej zjuje ię kulk opowieio w ztereh th: ) ietilym, ) tilym ymptotyzie i glolie, ) tilym ieymptotyzie i glolie, ) tilym ieymptotyzie i loklie, le ie glolie. Z przetwioej lizy wyik, żee tilośćć jet ehąą ukłu, polegjąą powriu oo tu rówowgi tłej po zmkięiu zkłóei, które wytrąiło ukł z tego tu. W zgieih otyząyh tilośi ukłów terowi przyjmiemy ogóliejze poejśie. Bęziemy ć tilość
rozwiązń rówńń różizkowyh opiująyh ukł i ślezić jego zhowie potwie przeiegu trjektorii w przetrzei tu (tz. tkiej, w której położeie puktu określoe jet przez wzytkie wpółrzęe tej przetrzeii i jeozzie hrkteryzu uje t ymizy ukłu), w zzególośi w przetrzei fzowej. Wyróżimy w rozje tilośi: tilość ukłu w tie wooym, którą k rozwżmy w przypku, gy ukł ie ziłją ygły zewętrze (zrówo terująe,, jk i zkłójąe); tilość ukłu poego ziłiom zewętrzyz ym. Jeżeli ukł wooy zjuje ię zjuje ię w tie rówowgi, to opowijąyy temu pukt rówowgi w przetrzei fzowej umiezzmy w pozątku jej ukłu wpółrzęyh. Jet to ogoe przy iu proeuu przejśiowego przy t > t potwie trjektorii, jką pukt opiująy wyhoząy z położei pozątkowego y (t ),, y (t ) kreśli w wymirowej przetrzei fzowej, miowiie: jeżeli t trjektori ąży o pozątku ukłu wpółrzęyh (pukt rówowgi), to ukł jet tily ymptotyzie pukt B ry.; jeżeli t t trjektori ol ię o pozątkuu ukłu wpółrzęyh (pukt rówowgi), to ukł jet ietily pukt C ry.; jeżeli t trjektori ie wyhozi poz pewie ogrizoy ozr otzjąy pozątek ukłu wpółrzęyh, to ukł jet tily w eie Lpuow pukt A ry.; Ry.. Shemt zmkiętego ukłu regulji Pukt rówowgi x = zywć ęziemy tilym w eie efiijii Lpuow, jeżeli l kżej lizy otiej moż orć tką lizę (zleżą ogół o ), że trjektori rozpozyją ię w
pukie A, leżąym wewątrzz kuli o promieiu, pozotie wewątrz kuli o promieiu l owolej hwili t >. Ntomit w przypku i tilośi ukłu poego ziłiom zewętrzym, rozptrzoy zotie ukł terowi przetwioy ry.. SYNAŁ ZAKŁÓCENIA z(t) UCHYB REULACJI e(t) OBIEKT STEROWANIA SYNAŁ WYJŚCIOWYY y(t) SYNAŁ WEJŚCIOWYY u(t) REULATOR e(t) UCHYBB REULACJI Ry.. Shemt zmkiętego ukłu regulji Zmkięty ukł liowy, przetwioy ry., ęziemy wię uwżć z tily, jeżeli przy kżej końzoej wrtośi w zkłóei z(t) i wrtośi zej y (t) orz owolyh wruków pozątkowyh ygł wyjśiowy y(t) ążyć ęzie o końzoejj wrtośi utloej l zu t, ążąego o iekońzoośi. Niekiey preyzuje ię otkowo, że gy po zikięiu zkłóei ukł powr o tego mego tu rówowgi o zjmowy poprzeio, to ukł tki jet tily ymptotyzie. Przykły przeiegów y(t) wytępująyh w ukłh tilyh i ietilyh pokzo ry.. ) ) Ry.. Chrkterytyki zowe: ) ukłów tilyh, ) ukłów u ietilyh Jeżeli ukł zmkięty opiy jet z pomoą liiowego l rówi różizkowego: y t y... y t m x m t lu opowijąejj mu trmitji opertorowej: m m m tt m x... x ()
Y Z m m m m...... () to zowy przeieg ygłu wyjśiowego y(t) po owolym zkłóeiu o wrtośi końzoej opiy jet wzorem o tępująej poti: y kt t A Ak e z k () gzie: k pierwitki rówi hrkterytyzego ukłu zmkiętego; z wrtość zkłóei. Zkłóeie z(t) może yć wprowzoe w owolym mieju ukłu, w przypku zzególym zkłóeiem może yć rówież zmi wrtośi ygłu zego y (t). Koiezym i ottezym wrukiem tilośi ymptotyzej ukłu jet, y pierwitki rówi hrkterytyzego ukłu zmkiętego miły ujeme zęśi rzezywite, tz. y pierwitki rówi hrkterytyzego leżły w lewej półpłzzyźie płzzyzy zmieej zepoloej, tz.: Wówz: Re () k lim y t t A z () gzie: A wpółzyik o wrtośi końzoej. Tk wię, ukł jet tily w poy eie, kłowe wielkośi wejśiowej zikją o zer przy t, pozotje jeyie kłow utlo, określo ttyzymi włośimi ukłu. W przypku pierwitków zepoloyh: k j (6) Opowieie wyrzy umy () mją potć: A e k j t t A e ot j it k (7)
Wyrzy te ążą o zer przy zie t, jeżeli pełioy jet wruek (). Jeżeli hoiż jee z pierwitków rówi hrkterytyzego m zęść rzezywitą otią: to: Re (8) k t lim y (9) t i ukł jet tily. Jeżeli rówie hrkterytyze ukłu m pierwitki wielokrote, to w umie () pojwiją ię wyrzy typu: Aki t m i! k e mk i kt () W tym przypku wruek tilośi () pozotje rówież wży, i gyż fukj t m k rośie woliej iż fukj wykłiz ztem l Re( k ) <, mmy: Aki lim t t mk i! m i k kt e () Jeżeli rówie hrkterytyze ukłu m pierwitki w półpłzzyźie orz jeokrote oi liz urojoyh, p. jee pierwitek zerowy lu prę pierwitków urojoyh przężoyh, to w ukłzie ęą wytępowć rgi o tłej mplituzie, określoej wrukmi pozątkowymi. Ukł jet wówz griy tilośi, śiśle mówią ie jet tily ymptotyzie. Jeżeli pierwitki zerowe ą wielokrote, to przeieg y(t) ol ię o pozątkowego tu rówowgi, ukł jet ozywiśie ietily. Wruek tilośi () ęziemy wię uwżć z ogóly wruek tilośi liiowyh ukłów utomtyki. Potrze śiślejzego rozróżii rozjów tilośi wytąpi w ukłh ieliiowyh, tomit tutj tilość ęziemy rozumieć jko tilość ymptotyzą. Przy iu tilośi ukłów, któryh włośi ymize opie ą z pomoą rówń różizkowyh wyżzyh rzęów (lu opowieih trmitji), trfi ię uże truośi przy oliziu pierwitków rówi hrkterytyzego, gyż jet to rówie lgerize tego mego topi, o rzą rówi 6
różizkowego. Stouje ię wtey jeo z kryteriów tilośi, tz. twierzeń pozwljąyh oeić tilość ukłu potwie wrtośi wpółzyików rówi hrkterytyzego lu przeiegu hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego, ez olizi pierwitków rówi (). Nleży jek pmiętć, że wzytkie kryteri wywozą ię wruku potwowego (). O tilośi ukłu eyuje rówie hrkterytyze, tj. miowik trmitji ego ukłu. Wyik tą, że w ukłzie mją zikć rgi wooe opie rówiem jeoroym (prw tro rówi różizkowego jet rów zeru), które to rówie opowi miowikowi trmitji ego ukłu. Dltego też przy iu tilośi ukłów zjmujemy ię tylko rówiem hrkterytyzym tego ukłu. Z wielu oprowyh kryteriów tilośi pozmy trzy potwowe, które toowe ą jzęśiej w prktye iżyierkiej, miowiie: kryterium Hurwitz; kryterium Routh; kryterium Nyquit; i ie.. Kryteri tilośi.. Wprowzeie Kryteri tilośi ą wprowze w elu uprozzei projekttowi opowiezi pytie o tilość tworzoego moelu mtemtyzego ukłu. Dzięki ztoowiu opowieih kryteriów tilośi moż potwie truktury i prmetrów moelu twierzić, zy ukł jet tily, ez koiezośi rozwiązywi rówń moelu lu wykoywi ń ymulyjyh... Kryterium Hurwitz Algerize kryterium tilośi, oprte iu wpółzyików rówi hrkterytyzego, uowoioe zotło przez Hurwitz w 89r. Pozwl oo prwzeie, zy rówie lgerize owolego topi m wyłązie pierwitki ujeme lu o ujemyh zęśih rzezywityh. Kryterium Hurwitz moż toowć tylko wtey, kiey zy jet opi mtemtyzy ego ukłu, miowiie jego rówie hrkterytyze. Jet oo rzo prote i wygoe w ztoowiu o ukłów opiyh rówimi iżzyh topi. Z pomoą tego kryterium moż prwzić tilość ukłu o wzytkih 7
wpółzyikh rówi hrkterytyzego, jk i wyzzyć zkrey (ozry) zmieośi iektóryh wpółzyików zpewijąe tilość. Wą jet rk możliwośi wyzzi zpu tilośi orz utruio oe wpływu pozzególyh prmetrów ukłu tilość. Wrukiem koiezym i wytrzjąym, żey ukł liiowy tjory iągły ył tily ymptotyzie, jet y: wzytkie wpółzyiki rówi hrkterytyzego... () Itiły i yły więkze o zer: i, i,,,..., () Wruek te jet wrukiem koiezym, le iewytrzjąym. wzytkie powyzziki główe (miory) wyzzik (wyzzik Hurwitz) yły więkze o zer.,,...,, () Jk wyik z zleżośi (), wyzzik Hurwitz tworzymy umiezzją główej przekątej koleje wpółzyiki wielomiu - o. Ntępie w pozzególyh kolumh wpiujemy powyżej wyrzu przekątej główej wyzzik wpółzyiki o iekh kolejo zmiejzjąyh ię o jee, poiżej wyrzu przekątej główej wpółzyiki o iekh kolejo zwiękzjąyh ię o jee. 8
Jeżeli któryś ze wpółzyików rówi hrkterytyzego jet ujemy lu rówy zeru, lo któryś z powyzzików jet ujemy lu rówy zeru, to ukł jet ietily. W przypku, gy rówie () m, mi. pierwitki zyto urojoe i w przeiegu zowym y(t) wytępują rgi o tłej mplituzie. Mówimy wówz, że ukł zjuje ię griy tilośi(gri tilośi leży o ozru ietilego). Kryterium Hurwitz umożliwi twierzeie tilośi ymptotyzej, jk i ieymptotyzej. Możliwość wytąpiei tilośi ieymptotyzej zhozi wtey, kiey w rówiu hrkterytyzym wpółzyik =. Po pozieleiu tro rówi przez, otrzymujemy rówie topi -, w oieieiu o którego toujemy kryterium Hurwitz... Kryterium Routh Drugim kryterium lityzym, ook kryterium Hurwitz, jet kryterium Routh, które opróz opowiezi pytie o tilość ymptotyzą ego moelu otrz iformji o lizie pierwitków rówi hrkterytyzego, zjująyh ię w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. Kryterium to określ lizę pierwitków wielomiu hrkterytyzego w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. Wzytkie pierwitki rówi hrkterytyzego ego ukłu ęą zjowć ię w lewej półpłzzyźie zmieej zepoloej, jeżeli zotą pełioe tępująe wruki: wzytkie wpółzyiki rówi hrkterytyzego i, i=,,, ą otie. Jet to wruek koiezy; wzytkie wpółzyiki lewej krjej kolumy Routh ą otie. Jeżeli ukł jet ietily ymptotyzie, to wpółzyiki tej kolumy zmieiją zk. Wówz liz zmi zku jet rów lizie pierwitków rówi hrkterytyzego zjująyh ię w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. Tlię Routh uuje ię weług tępująego hemtu: e 6 7 () 9
gzie:,...,...,,...,,,...,, 7 6 7 e (6) Z kżym wierzem tliy Routh moż kojrzyć wielomi pomoizy, który ęzie wykorzytywy w przypku zzególym, zyli wtey, kiey wierz wpółzyików okże ię kłć z myh zer: 7 6 e (7) Wtey wierz kłjąy ię z zer ztępuje ię wpółzyikmi pohoej wielomiu pomoizego z poprzeiego wierz. Wielomi te uuje ię, umują opowieie ilozyy wpółzyików z tliy Routh ze zmieą w potęze wyikjąej z kotrukji towrzyzoej z ią teli wielomiowej. Drugą ytują wyjątkową jet ytuj, kiey elemet w lewej krjej kolumie tliy Routh rów ię zeru. Wtey e rówie hrkterytyze leży pomożyć przez zyik (+) i rozpoząć ie tilośi tk otrzymego rówi z pomoą kryterium Routh o pozątku. Liz > jet lizą rzezywitą i ie jet pierwitkiem rówi hrkterytyzego.. Kryterium Nyquit Kryterium Nyquit m uże zzeie prktyze, poiewż pozwl ć tilość ukłu zmkiętego potwie przeiegu
hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego, którą moż wyzzyć zrówo lityzie, jk i oświzlie. Rozptrzmy ukł liiowy o hemie lokowym przetwioym ry.. Trmitj ukłu otwrtego o () jet rów: (8) Przetwiją tę trmitję w poti ilorzu wielomiów otrzymmy: M o (9) N przy zym N o () = jet rówiem hrkterytyzym ukłu otwrtego. Trmitj ukłu zmkiętego z () jet rów: o z M N z z () przy zym N() = + o () = jet rówiem hrkterytyzym ukłu zmkiętego. Przetwiją rówie hrkterytyze ukłu zmkiętego w poti wimowej N(j) = N() l = j otrzymmy: N j j () gzie: o (j) jet hrkterytyką zętotliwośiową ukłu otwrtego Stilość ukłu zmkiętego zleży o jego rówi hrkterytyzego N() =. Z rówi () wyik, że moż ją oeić potwie hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego o (j). j o Ry.. Shemt lokowy ukłu
Kryterium Nyquit moż formułowć tępująo: ukł zmkięty jet tily, jeżeli przyrot rgumetu wyrżei (wektor) + o (j) przy zmiie pulji o o jet rówy k, gzie k jet ilośią pierwitków rówi hrkterytyzego ukłu otwrtego, o zęśi rzezywitej otiej, zyli: o j k () Przyrot rgumetu wektor leży rozumieć jko orotu tego wektor, przy zmiie puljii w określoym zkreie. Zwróćmy uwgę, jeżeli k, to ukł otwrty jet ietily, poiewż poi pierwitkii rówi hrkterytyzego o zęśi rzezywitej otiej. Stą wyik, że itieją ukły zmkięte tile, pomimo że ukł otwrty jet ietily. Spoó olizi przyrotu rgumetu wektor + o (j) pokzo ry.6. Ry.6. Spoó olizi przyrotu rgumetu wektor + o (j) o j j o o j o j Wzór () wyik ze twierzei, że przyrot rgumetu wektor + o (j) rozumiyy jet jko kąt orotu tego wektor przy zmiie o o, którą too zmię możemy rozić koleje etpy ( = o = ; = o = =, it.) Rozptrzmy oeie przypek jzęśiej wytępująy k =, tz. że ukł otwrty jet tily. Z poego powyżejj kryterium wyik, o j ()
że ukł otwrty jet tily. Z poego powyżejj kryterium że ukł zmkięte też jet tily, jeżeli: o j wyik, () Przykł przeiegu hrkterytyk mplituowo fzowyhh o (j) ukłu otwrtyh tilyh, które po zmkięiu ęą: ) tile, ) ietile (ry.7). Ry.7. Przykł przeiegu hrkterytyk mplituowo o fzowyh o (j) ukłu otwrtyh tilyh, które po zmkięiu ęą: ) tile, ) ietile y w ukłzie otwrtymm wytępuje jee lu więej elemetów łkująyh, hrkterytyk o (j) zzy ię w iekońzo ośi (l = ). Nleży wtey hrkterytykę te uzupełić zęśią okręgu o
promieiu rówym iekońzoośi R = przez tyle ćwirtek, ile wytępuje elemetów łkująyh. N ry.7 trzei przypek opowi ukłowi otwrtemu, w którym wytępuje jee elemet łkująy, ltego zotł uzupełioy zęśią okręgu ryową liią przerywą. Rozptrzmy ukł otwrty tily, w którym wytępują w elemety łkująe, wtey przeieg hrkterytyki o (j) jett zgoy z ry.8. Chrkterytykę tę leży uzupełić półokręgiem o promieiu R =. Ry.8. Chrkterytyk o (j) ukłu otwrtego z wom elemetmi łkująymi Z ryuku tego wyik, żee tki ukł po zmkięiu ęziee zwze ietily (ukł ietily trukturlie), poiewż pukt (-,j) leży po prwej troie hrkterytyki o (j). Kryterium to jet prote w prktyzym ztoowiu, gyy zmy hrkterytykę mplituowo fzową o (j) orzz wiemy, że ukł otwrty jet tily, otrzymmy lizują tilość elemetów (pozepołów) whoząyhh w kł ukłu otwrtego. Jeżeli twierzimy, że wzytkie elemety kłowe ą tile, to ukł otwrty też jet tily. W elu uowoiei powyżzego twierzei przyjmiemy, żee ukł otwrty kł ię z wóh elemetów o trmitji () i () ry.. o M N M N M N o o () gzie: M N M ; N Stą N o ()=N ()N () ozz wielomi hrkterytyzyy ukłu otwrtego rówy ilozyowi wielomiów hrkteryt tyzyh elemetów kłowyh. Ztem pierwitkmi rówi
hrkterytyzego ukłu otwrtego ą pierwitki rówń hrkterytyzyh elemetów kłowyh. Powyżze rozumowie moż rozzerzyć owolą ilość elemetów kłowyh.. Przykły Przykł. Zć tilość ukłu otwrtego i zmkiętego o hemie lokowym (ry.9), gzie () ozz trmitję regultor PD. W tym elu leży korzytć z kryterium Hurwitz ; (6) Ry.9. Chrkterytyk o (j) ukłu otwrtego z wom elemetmi łkująymi I. Trmitj ukłu otwrtego o () jet rów: o (7) tą rówie hrkterytyze ukłu otwrtego o () m potć: N o (8) ) wruek koiezy jet pełioy, poiewż >, >, >, >, >. Wyzzik Hurwitz ukłu otwrtego m potć: (9) ) wruek wytrzjąy wymg prwzei zku powyzzik i :
6 6 () 8 () Ukł otwrty jet ietily, poiewż <. II. Trmitj ukłu zmkiętego z () jet rów: X Y () tą rówie hrkterytyze ukłu zmkiętego N() m potć: N () ) Wruek koiezy pełioy. Wyzzik Hurwitz m potć: () ) Wruek wytrzjąy wymg prwzei zku powyzzik i : ()
(6) 6 9 Ukł zmkięty jet tily. Mmy tu o zyiei z przypkiem, kiey ietily ukł otwrty po zmkięiu tje ię ukłem tilym. Przykł Określić tilość ukłu zmkiętego o hemie lokowym przetwioym ry., gzie w torze główym wytępuje elemet łkująy rzezywity o trmitji: kv (7) T Stilość leży określić z wykorzytiem kryterium Nyquit. T k v Ry.. Shemt lokowy ukłu W lizowym przykłzie trmitj ukłu otwrtego jet rów trmitji (). Chrkterytyk mplituowo fzow ukłu otwrtego o (j) przetwio jet ry.. Ukł otwrty jet tily l T >, gyż elemet łkująy rzezywity jet tily (ieymptotyzie). Poi owiem pierwitki rówi hrkterytyzego =, = -/T. Poiewż w ukłzie otwrtym wytępuje elemet łkująy, hrkterytykę uzupełimy zęśią okręgu R = (lii przeryw ry.). Z ryuku tego wyik rówież, że ukł zmkięty ęzie zwze tily, iezleżie o wrtośi k v i l T >, poiewż pukt (-,j) leży zwze po lewej troie hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego o (j). 7
k T R Ry.. Chrkterytyk mplituowo fzow ukłu otwrtego o trmitji kv T Przykł Zć tilość ytemu opiego przez wielomi hrkterytyzy M() = + + ++. W tym elu leży wykorzytć kryterium Routh. W tym elu uujemy tlie Routh zgoie z zleżośią (). Wówz otrzymmy: (8) Poiewż w pierwzej kolumie wytępuje powój zmi zku, wielomi M() m w pierwitki w prwej półpłzzyźie zepoloej. Przykł Zć tilość ytemu opiego przez wielomi hrkterytyzy M() = + + ++. W tym elu leży wykorzytć kryterium Routh. W tym elu uujemy tlie Routh zgoie z zleżośią (). Wówz otrzymmy: 8
(9) Poiewż trzei elemet pierwzej kolumy jet zerem, tli ie może yć uzupełio. Po pomożeiu wielomiu M() przez (+) otrzymuje ię wielomi M ()=(+)M()= + + + ++, l którego tli Routh m potć: () Poiewż w pierwzej kolumie wytępuje powój zmi zku, wielomi M () (zyli rówież wielomi M()) m w pierwitki w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. 6. Litertur. Zigiew WAŁACH Cyeretyk tehiz. Część I Ekplotj oprzętu, Wyził Wywizy WAT, Wrzw 98. Juz KOWAL Potwy utomtyki. T, Uzelie Wywitw Nukowo-Dyktyze AH, Krków, Sygtur: 678. Teuz Kzorek Teori terowi. Tom I Ukły liiowe iągłe i ykrete. Pńtwowe Wywitwo Nukowe, Wrzw 977.. Driuz Horl Potwy utomtyki. Ćwizei rhukowe. Część I, Wywitwo Politehiki Pozńkiej, Pozń.. Włyłw Pełzewki Teori terowi. Ciągłe tjore ukły liiowe Wywitw Nukowo Tehize, Wrzw 98, Sygtur: II 6. 9