Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol
Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace, któremu można przypisać jedna z dwóch wartości - prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu.
Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace, któremu można przypisać jedna z dwóch wartości - prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu. DEFINICJA Zmienna logiczna nazywamy zmienna, w miejsce której wstawiamy zdania (prawdziwe lub fałszywe, otrzymujac zdania w sensie logicznym. Najczęściej zmienne zdaniowe oznaczamy małymi literami: p, q, r,...
Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace, któremu można przypisać jedna z dwóch wartości - prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu. DEFINICJA Zmienna logiczna nazywamy zmienna, w miejsce której wstawiamy zdania (prawdziwe lub fałszywe, otrzymujac zdania w sensie logicznym. Najczęściej zmienne zdaniowe oznaczamy małymi literami: p, q, r,... Wartość logiczn a zdania p oznaczamy symbolem w(p: w(p = 0 p jest zdaniem fałszywym w(p = 1 p jest zdaniem prawdziwym
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów.
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów. negacja nie p p p
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów. negacja nie p p p koniunkcja p i q p q
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów. negacja nie p p p koniunkcja p i q p q alternatywa p lub q p q
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów. negacja nie p p p koniunkcja p i q p q alternatywa p lub q p q implikacja p q p implikuje q lub jeżeli p, to q p q
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów. negacja nie p p p koniunkcja p i q p q alternatywa p lub q p q implikacja p q p implikuje q lub jeżeli p, to q p q równoważność p jest równoważne q lub p wtedy i tylko wtedy, gdy q p q p q
Funktory zdaniotwórcze Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów. negacja nie p p p koniunkcja p i q p q alternatywa p lub q p q implikacja p q p implikuje q lub jeżeli p, to q p q równoważność p jest równoważne q lub p wtedy i tylko wtedy, gdy q p q p q funktor jednoargumentowy,,, funktory dwuargumentowe
definicje wartościowań spójników logicznych w(p w( p 0 1 1 0 w(p w(q w(p q w(p q w(p q w(p q 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
Formuły logiczne Matematyka ETId DEFINICJA Formuła logiczna nazywamy wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów w następujacy rekurencyjny sposób:
Formuły logiczne Matematyka ETId DEFINICJA Formuła logiczna nazywamy wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów w następujacy rekurencyjny sposób: zdania proste i zmienne zdaniowe sa formułami logicznymi
Formuły logiczne Matematyka ETId DEFINICJA Formuła logiczna nazywamy wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów w następujacy rekurencyjny sposób: zdania proste i zmienne zdaniowe sa formułami logicznymi jeżeli P i Q sa formułami logicznymi, to P, (P Q, (P Q, (P Q oraz (P Q sa również formułami logicznymi.
Tautologie Matematyka ETId DEFINICJA Tautologia lub prawem rachunku zdań nazywamy formułę logiczna, która jest prawdziwa bez względu na wartość logiczna występujacych w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. t.
Tautologie Matematyka ETId DEFINICJA Tautologia lub prawem rachunku zdań nazywamy formułę logiczna, która jest prawdziwa bez względu na wartość logiczna występujacych w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. t. DEFINICJA Zdaniem sprzecznym nazywamy formułę logiczna, która jest fałszywa bez względu na wartość logiczna występujacych w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. f.
Niektóre prawa rachunku zdań prawa przemienności (p q (q p (p q (q p
Niektóre prawa rachunku zdań prawa przemienności (p q (q p (p q (q p prawa łaczności ((p q r (p (q r ((p q r (p (q r
Niektóre prawa rachunku zdań prawa przemienności (p q (q p (p q (q p prawa łaczności ((p q r (p (q r ((p q r (p (q r prawa rozdzielności ((p q r ((p r (q r ((p q r ((p r (q r
Niektóre prawa rachunku zdań prawa przemienności (p q (q p (p q (q p prawa łaczności ((p q r (p (q r ((p q r (p (q r prawa rozdzielności ((p q r ((p r (q r ((p q r ((p r (q r prawa idempotentności (p p p (p p p
Niektóre prawa rachunku zdań prawa przemienności (p q (q p (p q (q p prawa łaczności ((p q r (p (q r ((p q r (p (q r prawa rozdzielności ((p q r ((p r (q r ((p q r ((p r (q r prawa idempotentności (p p p (p p p prawa identyczności (p t p (p f f (p t t (p f p
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności prawa de Morgana (p q ( p q (p q ( p q
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności prawa de Morgana (p q ( p q (p q ( p q (p q ((p q (q p określenie równoważności
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności prawa de Morgana (p q ( p q (p q ( p q (p q ((p q (q p określenie równoważności (p q ( p q określenie implikacji
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności prawa de Morgana (p q ( p q (p q ( p q (p q ((p q (q p określenie równoważności (p q ( p q określenie implikacji (p q (p q zaprzeczenie implikacji
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności prawa de Morgana (p q ( p q (p q ( p q (p q ((p q (q p określenie równoważności (p q ( p q określenie implikacji (p q (p q zaprzeczenie implikacji (p q ( q p prawo kontrapozycji
Niektóre prawa rachunku zdań cd. ( p p prawo podwójnego przeczenia (p p prawo wyłaczonego środka (p p prawo sprzeczności prawa de Morgana (p q ( p q (p q ( p q (p q ((p q (q p określenie równoważności (p q ( p q określenie implikacji (p q (p q zaprzeczenie implikacji (p q ( q p prawo kontrapozycji [(p q (q r] (p r prawo sylogizmu
Implikacje Matematyka ETId p q implikacja prosta q p implikacja odwrotna p q implikacja przeciwna q p implikacja przeciwstawna. Jeżeli p będziemy uważać za założenie, a q za tezę twierdzenia, to mamy twierdzenie proste, odwrotne, przeciwne i przeciwstawne. Na podstawie prawa kontrapozycji twierdzenia proste i przeciwstawne (jak również odwrotne i przeciwne sa sobie równoważne i na tym fakcie opiera się metoda dowodzenia nie wprost.
Warunki konieczne i wystarczajace Każde twierdzenie matematyczne ma postać implikacji lub równoważności. W formule p q, p nazywamy poprzednikiem, a q następnikiem implikacji. W przypadku, gdy twierdzenie ma postać implikacji (Jeżeli Z, to T., mówimy, że Z jest warunkiem dostatecznym (wystarczajacym dla T, zaś T jest warunkiem koniecznym dla Z. W przypadku, gdy twierdzenie ma postać równoważności (Z wtedy i tylko wtedy, gdy T., mówimy, że Z jest warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczajacym dla T (i odwrotnie.
Metody dowodzenia twierdzeń wprost Z T
Metody dowodzenia twierdzeń wprost Z T nie wprost (Z T ( T Z
Metody dowodzenia twierdzeń wprost Z T nie wprost (Z T ( T Z sprowadzanie do sprzeczności (Z T ((Z T f, f - zdanie fałszywe
Formy zdaniowe Matematyka ETId DEFINICJA Forma zdaniowa (funkcja zdaniowa nazywamy wyrażenie zawierajace zmienna (zmienne, które staje się zdaniem w sensie logicznym, jeżeli w miejsce zmiennej (zmiennych podstawimy nazwę przedmiotu(ów.
Formy zdaniowe Matematyka ETId DEFINICJA Forma zdaniowa (funkcja zdaniowa nazywamy wyrażenie zawierajace zmienna (zmienne, które staje się zdaniem w sensie logicznym, jeżeli w miejsce zmiennej (zmiennych podstawimy nazwę przedmiotu(ów. Z każda funkcja zdaniowa zwiazana jest rodzina zbiorów, które sa zakresami zmiennych występujacych w funkcjach zdaniowych. Jest to dziedzina funkcji zdaniowej.
Kwantyfikatory Matematyka ETId DEFINICJA Kwantyfikatory sa to funktory zdaniotwórcze, które przekształcaja funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
Kwantyfikatory Matematyka ETId DEFINICJA Kwantyfikatory sa to funktory zdaniotwórcze, które przekształcaja funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym. ^ V kwantyfikator ogólny : φ( dla każdego spełniona jest funkcja φ(
Kwantyfikatory Matematyka ETId DEFINICJA Kwantyfikatory sa to funktory zdaniotwórcze, które przekształcaja funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym. ^ V kwantyfikator ogólny : φ( dla każdego spełniona jest funkcja φ( _ W kwantyfikator szczegółowy : φ( istnieje taki, że spełniona jest funkcja φ(
Kwantyfikatory Matematyka ETId DEFINICJA Kwantyfikatory sa to funktory zdaniotwórcze, które przekształcaja funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym. ^ V kwantyfikator ogólny : φ( dla każdego spełniona jest funkcja φ( _ W kwantyfikator szczegółowy : φ( istnieje taki, że spełniona jest funkcja φ( Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś szcegółowy alternatywy.
Kwantyfikatory Matematyka ETId DEFINICJA Kwantyfikatory sa to funktory zdaniotwórcze, które przekształcaja funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym. ^ V kwantyfikator ogólny : φ( dla każdego spełniona jest funkcja φ( _ W kwantyfikator szczegółowy : φ( istnieje taki, że spełniona jest funkcja φ( Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś szcegółowy alternatywy. Niech X = { 1, 2,..., n } będzie zakresem zmiennej w funkcji zdaniowej φ(. Wówczas (^ φ( (φ( 1 φ( 2 φ( n
Kwantyfikatory Matematyka ETId DEFINICJA Kwantyfikatory sa to funktory zdaniotwórcze, które przekształcaja funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym. ^ V kwantyfikator ogólny : φ( dla każdego spełniona jest funkcja φ( _ W kwantyfikator szczegółowy : φ( istnieje taki, że spełniona jest funkcja φ( Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś szcegółowy alternatywy. Niech X = { 1, 2,..., n } będzie zakresem zmiennej w funkcji zdaniowej φ(. Wówczas (^ ( _ φ( φ( (φ( 1 φ( 2 φ( n (φ( 1 φ( 2 φ( n
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów (^ [φ( ψ(] (^ φ( ^ ψ(
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów (^ (^ [φ( ψ(] φ( ^ ψ( ( _ ( [φ( ψ(] φ( ψ(
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów (^ (^ [φ( ψ(] φ( ^ ψ( ( _ ( [φ( ψ(] φ( ψ( ( _ ( [φ( ψ(] = φ( ψ( i nie zachodzi implikacja odwrotna
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów (^ (^ [φ( ψ(] φ( ^ ψ( ( _ ( [φ( ψ(] φ( ψ( ( _ ( [φ( ψ(] = φ( ψ( i nie (^ zachodzi implikacja odwrotna φ( ^ (^ ψ( = [φ( ψ(] i nie zachodzi implikacja odwrotna
Zmiana zakresu kwantyfikatora (^ (φ( ψ( ^ φ( ψ(
Zmiana zakresu kwantyfikatora (^ (φ( ψ( ^ φ( ψ( ( (φ( ψ( φ(ψ(
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów (^ ( _ φ( φ(
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów (^ φ( ( _ φ( ( _ φ( (^ φ(
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów (^ ( _ φ( φ( ( _ φ( (^ φ( Prawa te słuszne s a również dla kwantyfikatorów o zasięgu ograniczonym.
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów (^^ φ(,y (^^ y y φ(,y
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów (^^ ( _ y _ (^^ φ(,y y ( _ φ(,y y y _ φ(,y φ(,y
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów (^^ ( _ ( _ y _ y ^ y φ(,y φ(,y φ(,y = implikacja odwrotna (^^ y ( (^ y _ y φ(,y φ(,y φ(,y i nie zachodzi