PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI"

Janina Niemiec
7 lat temu
Przeglądów:

1 Stefan Sokołowski PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Inst Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2015/2016 Podstawy logiki i teorii mnogoci Wykład1,str1 Na stefan/dydaktyka/logteomno będą się stopniowo pojawiać: slajdy do wykładów szkicowy plan wykładu zadania z ćwiczeń spis literatury itd Uwaga: przeczytanie tych materiałów nie wystarczy do zaliczenia!

2 Podstawy logiki i teorii mnogoci Wykład1,str2 Wymagania wstępne: Dobra znajomość matematyki szkolnej Wymagania na zaliczenie: sprawdziany(łatwa droga), lub sprawdziany+rozbójnik pod koniec semestru(trudniejsza droga), lub zaliczenie poprawkowe(bardzo trudna droga) na co najmniej 56% Logika sztuka poprawnego rozumowania Wykład1,str3 Λóγoς (gr) słowo, mowa, rozum Czymjestprawda? topytaniedofilozofów Jak ze zdań prawdziwych powstają inne zdania prawdziwe? tym zajmuje się logika matematyczna Dzisiaj jest sobota prawda czy fałsz? Zbiór liczb naturalnych jest skończony prawda czy fałsz? Dzisiaj nie jest wtorek prawda czy fałsz? Dzisiaj jest sobota i zbiór liczb naturalnych jest skończony prawda czy fałsz? Dzisiaj jest sobota lub zbiór liczb naturalnych jest nieskończony prawda czy fałsz?

3 Wykład1,str4 Negacja nie ozn:, lub:, lub(wc):! p p M Polska nie graniczy z Niemcami prawda czy fałsz? M Dzisiaj nie jest wtorek prawda czy fałsz? Zdanie p: Dzisiaj jest wtorek jest fałszywe(wartość 0), więc zdanie p: Dzisiaj nie jest wtorek jest prawdziwe(wartość 1) Wykład1,str5 Koniunkcja i ozn:, lub:&, lub(wc):&& p q p q p q: Zdanie p: Polska graniczy z Niemcami jest prawdziwe(wartość 1), więc zdanie p: Polska nie graniczy z Niemcami jest fałszywe(wartość0) Koniunkcjap qjestprawdziwa,jeśliobazdaniaskładowepiqsąjednocześnieprawdziwe Jeśli któreś z nich jest fałszywe, to koniunkcja jest fałszywa M Polska graniczy z Niemcami i zbiór liczb naturalnych jest skończony prawda czy fałsz? p: Polska graniczy z Niemcami prawda(wartość 1), q: Zbiór liczb naturalnych jest skończony fałsz(wartość 0), więcp q: PolskagraniczyzNiemcamiizbiórliczbnaturalnychjestskończony fałsz(wartość 0)

4 Wykład1,str6 Alternatywa lub ozn:, lub:, lub(wc): p q p q p q: Alternatywap qjestfałszywa,jeśliobazdaniaskładowepiqsąjednocześniefałszywe Jeśli któreś z nich jest prawdziwe, to alternatywa jest prawdziwa M Polska graniczy z Niemcami lub zbiór liczb naturalnych jest skończony prawda czy fałsz? p: Polska graniczy z Niemcami prawda(wartość 1), q: Zbiór liczb naturalnych jest skończony fałsz(wartość 0), więc p q: Polska graniczy z Niemcami lub zbiór liczb naturalnych jest skończony prawda(wartość 1) Wykład1,str7 Alternatywa lub ozn:, lub:, lub(wc): p q p q p q: (Czy zgodne z intuicją?) M Dzisiaj jest sobota lub dzisiaj jest październik prawda czy fałsz? p: Dzisiaj jest sobota prawda(wartość 1), q: Dzisiaj jest październik prawda(wartość 1), więcp q: Dzisiajjestsobotalubdzisiajjestpaździernik prawda (wartość 1)

5 Wykład1,str8 jeślito ozn:, lub:, lub:< p q p q p q: p qjestfałszywa,jeślijejpoprzednikpjestprawdziwyajejnastępnikq jest fałszywy We wszystkich pozostałych przypadkach jest prawdziwa M Jeśli zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, to zbiór liczb rzeczywistych jest nieskończony prawda czy fałsz? p: Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony prawda(wartość 1), q: Zbiór liczb rzeczywistych jest nieskończony prawda(wartość 1), więc p q: Jeśli zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, to zbiór liczb rzeczywistych jest nieskończony prawda(wartość 1) Wykład1,str9 jeślito ozn:, lub:, lub:< p q p q p q: (Czy zgodne z intuicją?) M Jeśli zbiór liczb naturalnych jest skończony, to Polska graniczy z Mongolią prawda czy fałsz? p: Zbiór liczb naturalnych jest skończony fałsz(wartość 0), q: Polska graniczy z Mongolią fałsz(wartość 0), więc p q: Jeśli zbiór liczb naturalnych jest skończony, to Polska graniczy zmongolią prawda(wartość1)

6 Wykład1,str10 (Czy zgodne z intuicją?) MObiecałem: Jeśli wiosną 2015 prezydentem Polski wybrany zostanie B Komorowski, to na dłoni wyrośnie mi kaktus Prezydentem nie został wybrany B Komorowski, niewyrósłmikaktusnadłoni Czy wywiązałem się z obietnicy? Nie obiecywałem, że kaktus wyrośnie; a tylko, że wyrośnie, o ile B Komorowski zostanie wybrany Nie został jestem zwolniony z wyhodowania kaktusa na dłoni Wykład1,str11 Z fałszu wynika cokolwiek Jeśli poprzednik implikacji nie jest spełniony, to następnik ma prawo być jakikolwiek, bez naruszania jej prawdziwości Ze sprzeczności wynika cokolwiek Jeśliwjakiejśteoriidasięudowodnićjakąśsprzeczność,todasięwniej udowodnić dowolne zdanie

7 Wykład1,str12 W przeciwieństwie do koniunkcji i alternatywy implikacja nie jest symetryczna(przemienna): z p q niewynika q p M Ztego,że Jeśli koty są zielone, to teraz prowadzę wykład nie wynika, że Jeśli teraz prowadzę wykład, to koty są zielone Wykład1,str13 (Czy zgodne z intuicją?) MObiecałem: Jeśli zbijesz wazę, to dostaniesz lanie Nie zbił wazy, dostał lanie Czy zachowałem się niesłownie? Powiedziałem, co zrobię, jeśli zbije wazę; nie mówiłem, co zrobię, jeśli jej nie zbije Zachowałem się może nieelegancko, ale bez związku z daną obietnicą

8 Wykład1,str14 Równoważnosć wtedyitylkowtedygdy ozn:, lub: p q p q p q: Równoważność p q jest prawdziwa, jeśli wartość logiczna jej obu składowychpiqjesttakasama;afałszywa,jeślisąróżne M Lubiępicęwtedyitylkowtedygdy 64=8 prawdaczyfałsz? p: Lubię picę prawda(wartość 1), q: 64=8 prawda(wartość1), więcp q: Lubiępicęwtedyitylkowtedygdy 64=8 prawda(wartość1) Wykład1,str15 Czy spójników jest za dużo? TWIERDZENIE: MDladowolnychzdańpiqimplikacjap qmatakąsamąwartośćlogicznąjakalternatywa p q Dowód: p q p q p q p p q Wniosek: MDla dowolnych zdań p i q równoważność (p q) ( p q) jest prawdziwa(ma wartość 1)

9 Wykład1,str16 Czy spójników jest za dużo? TWIERDZENIE: MDla dowolnych zdań p i q min następujące równoważności są prawdziwe: (p q) (p q) (q p) (p q) ( p q) (p q) ( p q) Wniosek: MAlternatywa, implikacja i równoważność dają się wyrazić przy pomocy koniunkcji i negacji (że to bywa niewygodne) M (p q) r ((p q) (q p)) r (((p q) (q p)) r) (r ((p q) (q p))) ( (( p q) ( q p)) r) ( r (( p q) ( q p))) Tautologiczność i spełnialność Wykład1,str17 DEFINICJA: MZdaniezłożonezezmiennych(p,q,r,)orazspójnikówzdaniowych(,,,, ) jest tautologią, jeśli ma wartość 1 dla każdego podstawienia wartości 0 i 1 za zmienne; spełnialne, jeśli ma wartość 1 dla jakiegoś podstawienia wartości 0 i 1 za zmienne ταυτoς (gr)tensam MSprawdzić, czy równoważność L R, gdzie Ljestzdaniem (p r) (q r) Rjestzdaniem (p q) r jest tautologią p q r p r q r L p q R L R

10 Tautologie Wykład1,str18 Logika jest sztuką poprawnego rozumowania Tautologie są wzorcami dla poprawnych rozumowań: rozumowanie wg wzorca zadanego tautologią jest na pewno poprawne aleniewnosiniczegonowegodowiedzy tautologia = banał = masło maślane Jeśli jakaś argumentacja polega na przestawieniu części zdania i wymianie spójników zdaniowych, to jej poprawność zależy wyłącznie od tego, czy te operacje wykonane zostały według jakiejś tautologii (programistyczny) M 4 Podaćkolorpunktu x,y (zał:0 x 4i0 y 4) if((x<1&&y>2) (x>3&&y>2)) kolor = czerwony; else kolor = zielony; Wtymcelukomputermusipoliczyć2koniunkcjei 1 alternatywę Czy da się zaoszczędzić choćby jedną operację? Tautologie Wykład1,str19 Logika jest sztuką poprawnego rozumowania Tautologie są wzorcami dla poprawnych rozumowań: rozumowanie wg wzorca zadanego tautologią jest na pewno poprawne aleniewnosiniczegonowegodowiedzy tautologia = banał = masło maślane Jeśli jakaś argumentacja polega na przestawieniu części zdania i wymianie spójników zdaniowych, to jej poprawność zależy wyłącznie od tego, czy te operacje wykonane zostały według jakiejś tautologii (programistyczny) M 4 Podaćkolorpunktu x,y (zał:0 x 4i0 y 4) if((x<1 x>3)&&y>2) kolor=czerwony; else kolor = zielony; 1alternatywai1koniunkcja;wychodzinatosamo,bozdanie (x<1 y>2) (x>3 y>2) (x<1 x>3) y>2 jestzgodneztautologią(p r) (q r) (p q) r

11 Tautologie Wykład1,str20 Sprawdzenie, czy dane zdanie jest tautologią, jest pracochłonne: jeśliwzdaniujest1zmienna,totabelkama 2wiersze jeśliwzdaniu są2zmienne,totabelkama 4wiersze jeśliwzdaniu są3zmienne,totabelkama 8wierszy jeśliwzdaniu są4zmienne,totabelkama16wierszy jeśliwzdaniu sąnzmienne,totabelkama2 n wierszy Wielkość tablicy do sprawdzenia bardzo szybko rośnie ze wzrostem zdania dosprawdzenia porproblemp NP Tautologie specjalne Wykład1,str21 W dowodzeniu twierdzeń matematycznych ważne są następujące tautologie: prawo podwójnej negacji: p p prawo wykluczonego środka: p p prawo kontrapozycji: (p q) ( q p) redukcjadoabsurduwwersji pełnej i uproszczonej: ( p q) ( p q) p ( p p) p prawa de Morgana: (p q) ( p q) (p q) ( p q) prawo modus ponens: p (p q) q prawo sylogizmu: (p q) (q r) (p r) prawo dowodu przez przypadki: (p r) (q r) (p q r)

Podobne dokumenty

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,