czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma

zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006

Metoda -Raphsona f(x) 40 35 30 25 20 15 10 5 0-5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli Metoda dla f (z) = 0, f, z R lub C, (1) z n+1 = z n f (z n) f (z n ). (2)

Kiedy metoda zawodzi? 20 15 10 Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli Metoda dla f(x) 5 0-5 -10-3 -2-1 0 1 2 3 x (odpowiada zerowemu mianownikowi w (2))

Wielocykle 3 2 1 f(x) = x 3 /4-5x/4 Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli f(x) 0-1 -2 Metoda dla -3-3 -2-1 0 1 2 3 x Dwucykl pomiędzy punktami 1, 1 Istniej a także wielocykle wyższych rzędów Problem ten jest niedoceniany w podręcznikach analizy numerycznej

Stabilność wielocykli 3 f(x) = x 3 /4-5x/4 x 0 = -1.000002 x 0 = -1.000010 2 Metoda Kiedy metoda zawodzi? 1 Wielocykle Stabilność wielocykli f(x) 0-1 -2-3 -3-2 -1 0 1 2 3 x Metoda dla Załóżmy, że w metodzie z 1 z 2. Wówczas dla ε 1 z 1 + ε z 2 + f (z 1)f (z 1 ) [f (z 1 )] 2 ε = z 2 + g 1 ε. (3)

Jeżeli punkty z 1, z 2,..., z k tworza k-cykl (z 1 z 2 z k z 1 ), całkowity współczynnik wzmocnienia g = k g j = j=1 k j=1 f (z j )f (z j ) [ f (z j ) ] 2. (4) Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli Metoda dla g < 1 stabilny wielocykl g > 1 niestabilny wielocykl Większość wielocykli jest niestabilna, ale zdarzaj a się wielocykle stabilne.

Metoda dla P n (z), z C, wielomian stopnia n. Definiuję Twierdzenie: z (0) = z, (5a) z (k) = z (k 1) P ( n z (k 1) ) ( ) z (k 1). (5b) P n Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda z (k) = z P n(z) P n(z) Ak(z) B k (z), (6) gdzie A k, B k sa wielomianami stopnia n k n.

Punkty wielocyklu dostajemy rozwiazuj ac równanie z (k) = z, a więc Równanie (7) ma n k n rozwiazań. A k (z) = 0 (7) Jeśli k jest liczba pierwsza, istnieje (n k n)/k różnych k-cykli. Jeśli k nie jest liczba pierwsza, trzeba odjać wielocykle niższego rzędu, gdyż składaja się one na "pozorny" k-cykl. N k = 1 n k n j N j, (8) k j D k gdzie D k to zbiór dzielników właściwych liczby k. Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda

A konkretnie ile? n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 k = 2 1 3 6 10 k = 3 2 8 20 40 k = 4 3 18 60 150 k = 5 6 48 204 624 k = 6 9 116 670 2580 k = 7 18 312 2340 11160 k = 8 30 810 8160 48750 k = 9 56 2184 29120 217000 k = 10 99 5880 104754 976248 k = 11 186 16104 381300 4438920 k = 12 335 44220 1397740 20343700 k = 13 630 122640 5162220 93900240 k = 14 1161 341484 19172790 435959820 k = 15 2182 956576 71582716 2034504992 k = 16 4080 2690010 268431360 9536718750 k = 17 7710 7596480 1010580540 44878791360 ( 4.5 10 10 ) Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda

25 20 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 15 Metoda ln N k 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 k Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Entropia topologiczna: 1 S = lim k k ln N k = ln n. (9) Dodatnia entropia topologiczna s a zachowania chaotyczne.

Gdzie one sa?! Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji miejsc zerowych wielomianu z 4 + 1

Przykład stabilnego wielocyklu Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji dla wielomianu z 3 2z + 2

Tłumiona metoda Jeżeli wyniki wskazuja, że metoda mogła wpaść na stabilny wielocykl, zaleca się przerwać iterację kilkoma krokami tłumionej metody : z k+1 = z k h P(z k) P (z k ), 0 < h < 1. (10) Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Trzeba pamiętać, żeby użyć naprawdę kilku kroków metody tłumionej metoda (10) także prowadzi do wielocykli, które także moga być stabilne.

Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji dla wielomianu z 3 2z + 2 w metodzie

Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji dla wielomianu z 3 2z + 2 w tłumionej metodzie z h = 0.98. Obszar środkowy to fragment basenu atrakcji stabilnego czterocyklu.

Równanie (11) jest wyjatkowe: Cała górna półpłaszczyzna jest zbieżna do z = +i, cała dolna jest zbieżna do z = i. Metoda Metoda dla Wszystkie wielocykle i punkty do nich prowadzace leża na prostej Im z = 0. Wszystkie wielocykle sa niestabilne.

Szukamy zatem rzeczywistych miejsc zerowych równania (12) przy pomocy metody : x n+1 = 1 ) (x n 1xn. (13) 2 }{{} η(x n) 150 100 50 Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ 0 x n -50-100 -150-200 -250 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 n

Własności odwzorowania η Nie ma punktów stałych, ale ma mnóstwo wielocykli. Dla x 1 η(x) 1 2x, dla x 0 η(x). Każdy punkt ma dwa przeciwobrazy x ± = x ± x 2 + 1. (14) x = 0 odpowiada ucieczce do nieskończoności. Przeciwobrazami zera sa punkty ±1. Istnieje przeliczalnie wiele punktów, które po co najwyżej przeliczalnej ilości kroków uciekaja do nieskończoności. Zbiór ten jest gęsty w R. Symulacje sugeruja, że istnieje gęstość niezmiennicza, niezależna od wyboru punktu poczatkowego, poza skończonym zbiorem punktów { 1, 0, 1}. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ

Gęstość niezmiennicza Równanie Frobeniusa-Perrona ρ(x) = Korzystajac z (14) dostajemy ( ) x 2 + 1 ρ(x) = x + x 2 + 1 ( ) x x 2 + 1 ρ δ (η(x) y) ρ(y) dy. (15) ( ρ ) x + x 2 + 1 ( ) x x 2 + 1. (16) Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ

Wnioski z równania (16) ρ(x) = ρ( x). ρ(0) = 2ρ(1). ρ(3 1/2 ) = 3ρ(3 1/2 ). Dla x 1, x 2 + 1 x oraz x x 2 + 1 (2x) 1. Zakładajac ciagłość ρ(x), dla x 1 ρ((2x) 1 ) ρ(0). Wobec tego równanie Frobeniusa-Perrona dla x 1 przybiera postać ρ(x) 2ρ(2x) = 1 ρ(0). (17) 2x 2 Przyjmujac ansatz ρ(x) = Cx α dla x 1, dostajemy Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ ρ(x) ρ(0) x 2 dla x. (18)

Metoda Ścisłe rozwiazanie równania Frobeniusa-Perrona (16) ρ(x) = 1 π (x 2 + 1) (19) Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ

Rzut stereograficzny Podstawmy Wówczas η(x) = cot 2πφ = tan π x = tan πφ. (20) ( 2φ + 1 ). (21) 2 Biorac pod uwagę okresowość funkcji tangens, widzimy, że przy podstawieniu (20) odwzorowanie (13) przechodzi w Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ ζ(φ) = 2φ + 1 2 mod 1. (22) Odwzorowanie (22) ma dodatni wykładnik Lapunowa λ = ln 2.

Własności odwzorowania ζ ζ(φ) = 2φ + 1 2 mod 1. Metoda φ = 1 2 jest punktem stałym. Odpowiada "ucieczce do nieskończoności". Działanie odwzorowania ζ: Przesunięcie binarne + obcięcie + odwrócenie najstarszego bitu. 0.11100101... 2 0.0100101... 2 (23) Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ Wszystkie liczby o skończonych rozwinięciach binarnych daż a do φ = 0.1 2 = 1 2, czyli do nieskończoności. Zbiór tych liczb jest przeliczalny i gęsty na odcinku [0, 1].

Własności odwzorowania ζ (c.d.) Wszystkie liczby o okresowych rozwinięciach binarnych leża na wielocyklach. Ilość k-cykli znajdziemy liczac nietrywialnie różne ciagi binarne o długości k. Punkty o rozwinięciach binarnych okresowych od pewnego miejsca daż a do wielocykli. Liczby o skończonych lub (od pewnego miejsca) okresowych rozwinięciach binarnych sa wymierne, ale wobec tego liczby x = tan πφ sa niewymierne dla wymiernych φ (poza φ = { 3 4, 1 2, 1 4, 0} x = { 1,, 1, 0}). Liczby φ o nieokresowych, nieskończonych rozwinięciach binarnych oraz odpowiadajace im liczby x leża na trajektoriach chaotycznych. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ

Metoda dla równania, n 2, x R, (24) prowadzi do odwzorowania η(x) = ( ) 1 1 2n x 1. (25) 2nx 2n 1 Odwzorowanie to w dziedzinie rzeczywistej ma własności podobne do odwzorowania (13): Brak punktów stałych. Dla x R dziedzina dzieli się na dwie części, w każdej części wzrost monotoniczny w przedziale (, + ). Każdy punkt rzeczywisty ma dokładnie dwa przeciwobrazy rzeczywiste. Powinno być tyle samo wielocykli. Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Podstawienie x = tan πφ nie prowadzi do odwzorowania odcinkami liniowego.

10 5 x 4 + 1 = 0 10 5 Metoda x n+1 0-5 x n+1 0-5 Metoda dla -10-3 -2-1 0 1 2 3 x n -10-3 -2-1 0 1 2 3 x n 1.0 1.0 Zachowanie asymptotyczne 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 φ n+1 0.5 φ n+1 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 φ n φ n

Zachowanie asymptotyczne Nie znamy ścisłego rozwiazania równania Frobeniusa-Perrona dla odwzorowania (25). Wiemy, że każdy punkt rzeczywisty ma dwa przeciwobrazy rzeczywiste. Dla x 1 możemy podać przybliżone wyrażenia na przeciwobrazy: η 1 (x) x + = 2n 2n 1 x, η 1 (x) x 1 = (2nx) 1/(2n 1). (26a) (26b) Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Ponadto ρ(x ) ρ(0). (26c)

Równanie Frobeniusa-Perrona dla odwzorowania (25) w obszarze asymptotycznym ma przybliżona postać [ x 2n 2n 1 ρ(x) 2n ( )] 2nx 2n 1 ρ ρ(0) = 2n 1 (27) Prawa strona (27) jest stała. Lewa może być także stała tylko gdy (2n 1)(2n) 1/(2n 1). x const x 2n/(2n 1), x. (28) Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne

Numerycznie znaleziona gęstość niezmiennicza dla równania x 4 + 1 = 0 0.0025 Metoda ρ(x) 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000-16 -12-8 -4 0 4 8 12 16 x Ogony x 4/3. Rozkład dwumodalny (?!). Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Na płaszczyźnie zespolonej dla dowolnego n 2 Takie samo zachowanie na każdej prostej e iπl/n, l = 0, 1,..., n 1. Większość wielocykli poza takimi prostymi.

Nieoczekiwany zwiazek pomiędzy równaniem a odwzorowaniem φ n+1 = 2φ n + 1 2 mod 1. Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianów metoda może być bardzo chaotyczne. Metoda Metoda dla Zwłaszcza jeśli miejsca te nie istniej a.