Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki mgr Agnieszka Zbrzezny IPI PAN mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 1 / 23
Literatura 1 Jewels of stringology World Scientific, 2002, W. Rytter, M.Crochemorer 2 Text algorithms Oxford University Press 1994, W. Rytter, M. Crochemore mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 2 / 23
Słowa Fibbonacciego Słowa Fibonacciego sa słowami nad alfabetem Σ = {a, b} zdefiniowanymi rekurencyjnie jako: Fib n = Fib 0 = a Fib 1 = ab Fib n+2 = Fib n+1 Fib n mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 3 / 23
Słowa Fibbonacciego Poczatkowe słowa Fibonacciego: Fib 0 = a Fib 1 = ab Fib 2 = aba Fib 3 = abaab Fib 4 = abaababa Fib 5 = abaababaabaab Fib 6 = abaababaabaababaababa Fib 7 = abaababaabaababaababaabaababaabaab mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 4 / 23
Słowa Fibbonacciego Jeśli h : Σ Σ jest morfizmem takim, że h(a) zaczyna się od litery a, to h (a) jest nieskończonym słowem, którego prefiksami sa wszystkie słowa postaci h n (a). Piszemy wtedy również h (a) = lim n h n (a). mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 5 / 23
Słowa Fibbonacciego h : a ab, b a: mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 6 / 23
Własności słów Fibbonacciego: Po obcięciu dwóch ostatnich liter każde skończone słowo Fibonacciego jest palindromem (jest symetryczne). mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 7 / 23
Własności słów Fibbonacciego: Dwa kolejne skończone słowa Fibonacciego sa przemienne Fib n Fib n 1 = Fib n 1 Fib n z dokładnościa do zamiany dwóch ostatnich liter. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 8 / 23
Algorytm generowania słów Fibonacciego: Algorytm ten polega na wstawieniu w pierwsze wolne miejsce a, po czym wstawieniu b w odległości 1 dla pierwszego a, 2 dla drugiego a,..., n dla n-tego a. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 9 / 23
Algorytm generowania słów Fibonacciego: mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 10 / 23
Gra Wythoffa Nim jest to stara chińska gra (nazywana tam Jianshizi, czyli gra w zabieranie kamieni ) dla dwóch osób z użyciem 15 do 60 pionków. Zasady Pionki dzieli się na kupki dowolnej, parami różnej wielkości. Kupek powinno być co najmniej trzy, i powinny zawierać co najmniej 4 pionki; w każdej kupce powinna być inna liczba pionków. Następnie gracze zabieraja na zmianę dowolna, niezerowa ilość pionów. W jednym ruchu wolno zbierać tylko z jednej kupki. W zależności od wersji, przegrywa lub wygrywa gracz, który zabiera ostatni pionek. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 11 / 23
Gra Wythoffa Odmiana gry Nim: Wythoff (wyhoff): Zasady piony dzielimy na dwie różnoliczne kupki, bierzemy co najmniej 1 pion z 1 kupki; można brać piony z obu kupek w jednym ruchu, ale bierzemy wówczas tę sama ilość pionów z jednej i drugiej kupki mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 12 / 23
Gra Wythoffa poz a poz b 1 2 1 3 5 2 4 7 3 6 10 4 8 13 5 9 15 6 x 1, x 2, x 1 x 2, Strategia przegrywajaca: (x 1, x 2 ) i(x 1 = a i, x 2 = b i ) mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 13 / 23
System liczbowy Fibbonacciego System Fibonacciego to binarny, pozycyjny system liczbowy, w którym poszczególnym pozycjom odpowiadaja kolejne liczby Fibonacciego. Pierwsza kolumna tabeli jest ciagiem Fibonacciego. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 14 / 23
System liczbowy Fibbonacciego 1 2 3 5 8 0 0 1 1 2 0 1 3 0 0 1 4 1 0 1 5 0 0 0 1 6 1 0 0 1 7 0 1 0 1 8 0 0 0 0 1 9 1 0 0 0 1 10 0 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 12 1 0 1 0 1 mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 15 / 23
Słowo Thue-Morse a 2 10 = 10 2 liczba jedynek = 1, 1%2 =1 3 10 = 11 2 liczba jedynek = 2, 2%2 =0 4 10 = 100 2 liczba jedynek = 1, 1%2 =1... 14 10 = 1110 2 liczba jedynek = 3, 3%2 =1 15 10 = 1111 2 liczba jedynek = 4, 4%2 =0 mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 16 / 23
Nieskończone słowo Thue-Morse a Nieskończone słowo Thue-Morse a, które pojawiło się w pracy matematycznej około 100 lat temu i służyło do dowodu tego, że jest nieskończenie wiele tekstów nie zawierajacych powtórzeń. τ inf = 01101001100101101001011... mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 17 / 23
Skończone słowa Thue-Morse a Słowo Thue-Morse amożemy też zdefiniować za pomoca morfizmu: τ : 0 01, 1 10 τ 0 = 0 τ 1 = 01 τ 2 = 0110 τ 3 = 01101001 τ n = τ n 1 τ n 1, gdzie τ generuje słowo powstałe z negacji symboli słowa τ. Załóżmy, że a 1, a 2, a 3... b 1, b 2, b 3 = a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3... τ = lim τ n τ = τ τ mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 18 / 23
Skończone słowa Thue-Morse a mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 19 / 23
Kwadrat magiczny mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 20 / 23
Słowo Kolakoskiego K = 221121221221121122... słowo Kolakoskiego, samogenerujace się słowo. Słowo K spełnia równanie r(k ) = K, gdzie r(x) oznacza ciag długości kolejnych bloków (maksymalnych spójnych fragmentów zawierajacych takie same litery), np. r(1133322) = 232. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 21 / 23
Słowo Kolakoskiego Dla morfizmu: h : 1 1, 2 11 i g : 1 2, 2 22: mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 22 / 23
Słowo Kolakoskiego mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 23 / 23