Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów"

Transkrypt

1 17 maja 2012

2 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące 3 Ślady Monoidy Sieci Petriego 4

3 Grafy planarne Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Definicja Przez zanurzenie grafu planarnego w płaszczyźnie rozumiemy jego przedstawienie na płaszczyźnie bez krawędzi przecinających siebie lub wierzchołki.

4 Grafy planarne Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Definicja Przez zanurzenie grafu planarnego w płaszczyźnie rozumiemy jego przedstawienie na płaszczyźnie bez krawędzi przecinających siebie lub wierzchołki. Definicja Przez graf planarny rozumiemy posiadający zanurzenie w płaszczyźnie.

5 Grafy nie planarne Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Grafy K 3,3 i K 5 :

6 Wzór Eulera Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Zachodzi: v e + f = 2 dla spójnych grafów planarnych gdzie v - liczba wierzchołków, e - liczba krawędzi, f - liczba ścian.

7 Wzór Eulera - wniosek 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Wykorzystując wzór Eulera otrzymujemy ograniczenie e 3v 6 dla grafów o co najmniej trzech wierzchołkach.

8 Wzór Eulera - wniosek 2 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Stąd w prosty sposób otrzymujemy następujące 2 fakty: K 5 nie jest planarny, K 3,3 nie jest planarny.

9 Homeomorfizm z grafu Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Powiemy, że graf G jest homeomorfizmem z grafu G (G = HG), jeśli istnieje sekwencja, być może pusta, podziałów krawędzi grafu G, taka, że powstały graf jest izomorficzny z G.

10 Homeomorfizm z grafu Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Powiemy, że graf G jest homeomorfizmem z grafu G (G = HG), jeśli istnieje sekwencja, być może pusta, podziałów krawędzi grafu G, taka, że powstały graf jest izomorficzny z G. Powiemy, że grafy G, G są homeomorficzne, jeśli są homeomorficzne z pewnego grafu F.

11 Homeomorfizm z grafu - rysunek Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Homeomorfizm z grafu K 5 :

12 Twierdzenie Kuratowskiego Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Twierdzenie Kuratowskiego mówi, że graf jest planarny nie zawiera jako podgrafu HK 5 ani HK 3,3.

13 Kilka algorytmów Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm kwadratowy (Demoucron-Malgrange-Pertuiset)

14 Kilka algorytmów Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm kwadratowy (Demoucron-Malgrange-Pertuiset) Algorytm Lempel-Even-Cederbaum Algorytm Shih-Hsu

15 Kilka algorytmów Spis rzeczy Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm kwadratowy (Demoucron-Malgrange-Pertuiset) Algorytm Lempel-Even-Cederbaum Algorytm Shih-Hsu Algorytm Fraysseix-Mendez-Rosenstiehl

16 Algorytm DMP - definicje Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Załóżmy, że mamy pewien planarny podgraf G grafu G (o obu zakładamy, że są dwuspójne).

17 Algorytm DMP - definicje Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Załóżmy, że mamy pewien planarny podgraf G grafu G (o obu zakładamy, że są dwuspójne). Spójne podgrafy G E nazywamy fragmentami.

18 Algorytm DMP - definicje Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Załóżmy, że mamy pewien planarny podgraf G grafu G (o obu zakładamy, że są dwuspójne). Spójne podgrafy G E nazywamy fragmentami. Dla każdego fragmentu f znajdujemy zbiór pasujących obszarów jako tych obszarów G, które zawierają wszystkie wierzchołki f G (tylko w takich obszarach możemy umieścić f ).

19 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm DMP - podział na fragmenty

20 Algorytm DMP - idea Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm polega na dodawaniu do G pewnej ścieżki z pewnego fragmentu, o początku i końcu w G (istnieje ponieważ G jest dwuspójny, zapewnia też jego dwuspójność w następnej iteracji).

21 Algorytm DMP - idea Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm polega na dodawaniu do G pewnej ścieżki z pewnego fragmentu, o początku i końcu w G (istnieje ponieważ G jest dwuspójny, zapewnia też jego dwuspójność w następnej iteracji). Jeśli dla jakiegoś fragmentu jest dokładnie jeden pasujący obszar wybieramy ścieżkę właśnie z niego. Jeśli dla jakiegoś fragmentu nie ma żadnego graf jest nieplanarny.

22 Algorytm DMP - idea Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm polega na dodawaniu do G pewnej ścieżki z pewnego fragmentu, o początku i końcu w G (istnieje ponieważ G jest dwuspójny, zapewnia też jego dwuspójność w następnej iteracji). Jeśli dla jakiegoś fragmentu jest dokładnie jeden pasujący obszar wybieramy ścieżkę właśnie z niego. Jeśli dla jakiegoś fragmentu nie ma żadnego graf jest nieplanarny. Okazuje się, że w przeciwnym wypadku możemy wybrać dowolną ścieżkę z dowolnego fragmentu.

23 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność Algorytm FMR - podział na krawędzie lewe i prawe

24 Algrytm FMR - interakcja Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność

25 Genom - definicja Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Genomem nazywamy całą sekwencję DNA danego żywego organizmu. Genom składa się z chromosomów, które są liniowe lub cykliczne. Chromosomy składają się z genów.

26 Genom - definicja Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Genomem nazywamy całą sekwencję DNA danego żywego organizmu. Genom składa się z chromosomów, które są liniowe lub cykliczne. Chromosomy składają się z genów. Genem nazywamy fragment DNA odpowiedzialny za określoną cechę organizmu (np. kolor oczu czy wytwarzanie pewnego białka).

27 Genom - definicja Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Genomem nazywamy całą sekwencję DNA danego żywego organizmu. Genom składa się z chromosomów, które są liniowe lub cykliczne. Chromosomy składają się z genów. Genem nazywamy fragment DNA odpowiedzialny za określoną cechę organizmu (np. kolor oczu czy wytwarzanie pewnego białka). Geny są podstawowymi, niepodzielnymi jednostkami w genetyce. Będziemy je oznaczać kolejnymi liczbami naturalnymi 1, 2,..., n.

28 Geny ze znakami Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Ponieważ gen może występować w sekwencji DNA w postaci oryginalnej lub odwróconej (ze względu na występowanie dwóch nici DNA), często do jego reprezentacji używa się permutacji ze znakami.

29 Ważna jest kolejność genów Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Zdarza się, że dwa różne organizmy zawierają identyczny zbiór genów i różnią się tylko ich kolejnością.

30 Ważna jest kolejność genów Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Zdarza się, że dwa różne organizmy zawierają identyczny zbiór genów i różnią się tylko ich kolejnością. Chromosom X jest postaci (4, 6, 1, 7, 2, 3, 5, 8) u człowieka, podczas gdy u myszy ma on postać (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Genotyp kapusty jest postaci (+1, 5, +4, 3, +2), podczas gdy w rzepie ma on postać (+1, +2, +3, +4, +5).

31 Przekształcenia genomowe Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Przekształceniami genomowymi nazywamy przekształcenia permutacji odpowiadające zmianom jakie zachodzą na rzeczywistym genomie (np. odwrócenie bloku genów lub translokacja chromosomów).

32 Przekształcenia genomowe Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Przekształceniami genomowymi nazywamy przekształcenia permutacji odpowiadające zmianom jakie zachodzą na rzeczywistym genomie (np. odwrócenie bloku genów lub translokacja chromosomów). Naturalnym wydaje się zdefiniowanie pokrewieństwa między organizmami jako minimalnej liczby pewnych przekształceń genomowych koniecznych do zamiany genomu jednego organizmu w drugi.

33 Graf złamań - rysunek Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Graf złamań B(π) permutacji π = (4, 1, 3, 2).

34 Permutacja podwojona Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja Permutacją podwojoną dla permutacji ze znakami π nazywamy permutację bez znaków π taką, że π 0 = 0, π 2n+1 = 2n + 1 oraz π 2i = 2 π i, π 2i 1 = 2 π i 1 (jeśli π i > 0) lub π 2i = 2 π i 1, π 2i 1 = 2 π i (jeśli π i < 0), 1 i n.

35 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Graf złamań permutacji podwojonej - rysunek Graf złamań B(π ) permutacji podwojonej π dla permutacji π = (+4, 1, +3, 2).

36 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Maksymalny rozkład grafu złamań na cykle alternujące Definicja Maksymalnym rozkładem na cykle alternujące (ang. breakpoint graph decomposition, w skrócie BGD) grafu złamań B(π) nazywamy rozkład na cykle alternujące OPT C (π) zawierający maksymalną liczbę cykli.

37 Problem BGD jest NP-trudny Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Problem BGD jest NP-trudny. Najlepszy uzyskany do tej pory współczynnik aproksymacji jest równy

38 Definicja odwrócenia Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja Odwróceniem nazywamy przekształcenie ρ π (i, j) na permutacji π takie, że ρ π (i, j) = (π 1,..., π i 1, π j 1,..., π i, π j,..., π n ) gdzie 1 i < j n + 1. Innymi słowami - przekształcenie polegające na odwróceniu kolejności wszystkich elementów o indeksach od i począwszy na j 1 skończywszy.

39 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja sortowania przez odwrócenia Definicja Sortowaniem permutacji przez odwrócenia (ang. sorting by reversals, w skrócie SBR) nazywamy dowolny minimalny ciąg odwróceń OPT ρ (π) przekształcający permutację π w id.

40 Problem SBR jest NP-trudny Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Problem SBR jest NP-trudny. Najlepszy uzyskany do tej pory współczynnik aproksymacji jest równy 11 8.

41 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja odwrócenia permutacji ze znakami Definicja Odwróceniem nazywamy przekształcenie ρ π (i, j) na permutacji π takie, że ρ π (i, j) = ( π 1,..., π i 1, π j 1,..., π i, π j,..., π n ) gdzie 1 i < j n + 1.

42 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja sortowania permutacji ze znakami przez odwrócenia Definicja Sortowaniem permutacji ze znakami przez odwrócenia (ang. signed sorting by reversals, w skrócie SSBR) nazywamy dowolny minimalny ciąg odwróceń OPT ρ ( π ) przekształcający permutację π w id.

43 Problem SSBR jest rozwiązywalny Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Problem SSBR jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym!

44 Transpozycja Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja Transpozycją nazywamy przekształcenie τ π (i, j, k) na permutacji π takie, że τ π (i, j, k) = (π 1,..., π i 1, π j,..., π k 1, π i,..., π j 1, π k,..., π n ) gdzie 1 i < j < k n + 1. Innymi słowami - przekształcenie polegające na przeniesieniu wszystkich elementów o indeksach od i począwszy na j 1 skończywszy za element o indeksie k 1.

45 Zamiana Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja Zamianą nazywamy przekształcenie γ π (i, j, k, l) na permutacji π takie, że γ π (i, j, k, l) = (π 1,..., π i 1, π k,..., π l 1, π j,..., π k 1, π i,..., π j 1, π l,.. gdzie 1 i < j k < l n + 1. Innymi słowami - przekształcenie polegające na zamianie miejscami wszystkich elementów o indeksach od i począwszy na j 1 skończywszy z elementami o indeksach od k począwszy na l 1 skończywszy.

46 Ruch blokowy Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące Definicja Ruchem blokowym nazywamy przekształcenie β π (i, j, k) na permutacji π takie, że β π (i, j, k) = (π 1,..., π i 1, π j,..., π k 1, π i,..., π j 1, π k,..., π n ) gdzie 1 i < j n, 1 k n + 1 oraz π i,..., π j 1 tworzą blok niemalejący. Ruch blokowy jest zatem szczególnym przypadkiem transpozycji.

47 Kilka implementacji Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące SBR2Approx.java - implementacja algorytmu aproksymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia

48 Kilka implementacji Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące SBR2Approx.java - implementacja algorytmu aproksymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia SBRGenetic.java - implementacja algorytmu genetycznego dla sortowania przez odwrócenia

49 Kilka implementacji Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące SBR2Approx.java - implementacja algorytmu aproksymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia SBRGenetic.java - implementacja algorytmu genetycznego dla sortowania przez odwrócenia SBRT4Approx.java - implementacja algorytmu aprosymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia i transpozycje

50 Kilka implementacji Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące SBR2Approx.java - implementacja algorytmu aproksymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia SBRGenetic.java - implementacja algorytmu genetycznego dla sortowania przez odwrócenia SBRT4Approx.java - implementacja algorytmu aprosymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia i transpozycje SBBIExact.java - implementacja algorytmu dokładnego dla sortowania przez zamianę

51 Kilka implementacji Spis rzeczy Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące SBR2Approx.java - implementacja algorytmu aproksymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia SBRGenetic.java - implementacja algorytmu genetycznego dla sortowania przez odwrócenia SBRT4Approx.java - implementacja algorytmu aprosymacyjnego dla sortowania przez odwrócenia i transpozycje SBBIExact.java - implementacja algorytmu dokładnego dla sortowania przez zamianę SBSM2Approx.java - implementacja algorytmu aproksymacyjnego dla sortowania przez ruchy blokowe

52 Definicja zależności Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Definicja Zależnością nazywamy skończoną, zwrotną i symetryczną relację czyli skończony zbiór uporządkowanych par D taki, że jeśli (a, b) D to (b, a) D, (a, a) D

53 Definicja śladu Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Definicja Śladem dla zależności D nazywamy klasę słów równoważnych względem zależności D.

54 Przykład śladu Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Dla zależności D = {(a, b), (a, c)} i słowa w = abbca śladem jest [abbca] D = {abbca, abcba, acbba}.

55 Ślady Monoidy Sieci Petriego Ślady a programowanie współbieżne Ślady w programowaniu współbieżnym odpowiadają słowom w programowaniu sekwencyjnym.

56 Definicja monoidu Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Monoid (M, ) to zbiór M z binarną operacją złożenia, spełniającą następujące warunki: ( x, y M) x y M - Operacja złożenia nie wyprowadza poza zbiór M

57 Definicja monoidu Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Monoid (M, ) to zbiór M z binarną operacją złożenia, spełniającą następujące warunki: ( x, y M) x y M - Operacja złożenia nie wyprowadza poza zbiór M ( x, y, z M) (x y) z = x (y z) - Operacja złożenia jest łączna

58 Definicja monoidu Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Monoid (M, ) to zbiór M z binarną operacją złożenia, spełniającą następujące warunki: ( x, y M) x y M - Operacja złożenia nie wyprowadza poza zbiór M ( x, y, z M) (x y) z = x (y z) - Operacja złożenia jest łączna ( 1 M) - Istnieje element neutralny, zwany jedynką (oznaczany 1M)

59 Monoid wolny Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Definicja Monoidem wolnym nazywamy zbiór wszystkich słów nad alfabetem A wraz z 1M jako słowem pustym i jako operacją konkatenacji.

60 Monoid śladów Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Definicja Monoidem śladów M(D) nazywamy każdy monoid zadany przedstawieniem równaniowym (A, E), gdzie A jest alfabetem skończonym, a E jest zbiorem równań postaci ab = ba (gdzie a, b A).

61 Język śladów Spis rzeczy Ślady Monoidy Sieci Petriego Definicja Językiem śladów nazywamy dowolny podzbiór L M(D).

62 Ślady Monoidy Sieci Petriego Akcje w elementarnej sieci Petriego

63 Elementarna sieć Petriego Ślady Monoidy Sieci Petriego

64 Ślady Monoidy Sieci Petriego Graf osiągalności elementarnej sieci Petriego

65 Dodawanie współbieżne Ślady Monoidy Sieci Petriego

66 Ślady Monoidy Sieci Petriego Akcje w markowanej sieci Petriego

67 Kilka linków Spis rzeczy Testowanie planarności grafów -

68 Kilka linków Spis rzeczy Testowanie planarności grafów - Algorytmy aproksymacyjne dla sortowania permutacji -

69 Kilka linków Spis rzeczy Testowanie planarności grafów - Algorytmy aproksymacyjne dla sortowania permutacji edoch/

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE

PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE D: PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE I. Strategia zachłanna II. Problem przetasowań w genomie III. Sortowanie przez odwrócenia IV. Algorytmy przybliżone V. Algorytm zachłanny

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Jednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów:

Jednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów: Jednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów: Listy rozkładane są do różnych przegródek. O tym, do której z nich trafi koperta, decydują różne fragmenty

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Jarosław Piersa 10 marca 2014 1 Projekty 1.1 Problem plecakowy (1p) Oznaczenia: dany zbiór przedmiotów x 1,.., x N, każdy przedmiot ma określoną wagę w(x i ) i wartość

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie

1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Projekt matematyczny

Projekt matematyczny Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1 Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy 1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu Data Mining Wykład 9 Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster Plan wykładu Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne Sformułowanie problemu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5.

Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Schemat Hornera. Wyjaśnienie: Zadanie 1. Pozycyjne reprezentacje

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo

Wyrażenia regularne.

Wyrażenia regularne. Teoretyczne podstawy informatyki Wykład : Wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202 Wyrażenia regularne Wyrażenia regularne (ang. regular expressions) stanowią algebraiczny sposób definiowania

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 10: Opis wzorców - wyrażenia regularne. http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wyrażenia regularne Wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.

5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. 5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. Przeprowadzimy obecnie skróconą klasyfikację skończonych grup prostych. 5.1.

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka

Bardziej szczegółowo

procesów Współbieżność i synchronizacja procesów Wykład prowadzą: Jerzy Brzeziński Dariusz Wawrzyniak

procesów Współbieżność i synchronizacja procesów Wykład prowadzą: Jerzy Brzeziński Dariusz Wawrzyniak Wykład prowadzą: Jerzy Brzeziński Dariusz Wawrzyniak Plan wykładu Abstrakcja programowania współbieżnego Instrukcje atomowe i ich przeplot Istota synchronizacji Kryteria poprawności programów współbieżnych

Bardziej szczegółowo

AiSD zadanie trzecie

AiSD zadanie trzecie AiSD zadanie trzecie Gliwiński Jarosław Marek Kruczyński Konrad Marek Grupa dziekańska I5 5 czerwca 2008 1 Wstęp Celem postawionym przez zadanie trzecie było tzw. sortowanie topologiczne. Jest to typ sortowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26 Rozdział 4 Macierze szyfrujące Opiszemy system kryptograficzny oparty o rachunek macierzowy. W dalszym ciągu przypuszczamy, że dany jest 26 literowy alfabet, w którym utożsamiamy litery i liczby tak, jak

Bardziej szczegółowo