TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

Transkrypt

1 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień

2 Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy wspólny podzielnik Algorytmy zachłanne Materiał w oparciu o wykład: D. Kane, Univ. San Diego, USA Data Structures and Algorithms, Algorithmic Toolbox

3 Klasy problemów typy algorytmów 3 Mogą być prosto zaimplementowane w dowolnym języku programowania Proste (naturalne) rozwiązanie jest efektywne.

4 Prosty problem: liniowy scan 4 Znajdź słowo w tekście. Przeszukujemy tekst liniowo Prosty algorytm działa dobrze Nie można/ nie ma powodu aby go poprawiać.

5 Algorytmiczny problem: 5 Znajdź najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami.

6 Algorytmiczny problem: 6 Znajdź najlepsze przyporządkowanie studentów do pokoi w akademiku.

7 Algorytmiczny problem: 7 Zdefiniuj miarę podobieństwa dwóch dokumentów.

8 Algorytmiczny problem: 8 Nie jest oczywiste jak rozwiązać. Proste pomysły są zbyt wolne. Można optymalizować rozwiązanie.

9 Problemy ze sztucznej inteligencji 9 Rozumienie wypowiadanych słów Rozpoznawanie obrazów Gra w gry planszowe lub inne Itd

10 Liczby Fibonacciego 10 Definicja

11 Liczby Fibonacciego 11 Przykład: studiowanie populacji królików

12 Liczby Fibonacciego 12 Bardzo szybko rosną Dowód indukcyjny

13 Liczby Fibonacciego 13 Przykład

14 Naiwny algorytm: rekurencyjny 14 Funkcja rekurencyjna (pseudokod) Czas wykonania: T(n) oznacza liczbę linii kodu które są wykonywane dla danej wartości n.

15 Naiwny algorytm: rekurencyjny 15

16 Naiwny algorytm: rekurencyjny 16

17 Naiwny algorytm: rekurencyjny 17 Czas wykonania algorytmu: złożoność obliczeniowa

18 Naiwny algorytm: rekurencyjny 18 Dlaczego tak czasochłonny?

19 Naiwny algorytm: rekurencyjny 19 Dlaczego tak czasochłonny?

20 Efektywny algorytm: iteracja 20 Spróbujmy ręcznie policzyć Definicja

21 Efektywny algorytm: iteracja 21 Funkcja: iteracyjne wypełnianie tablicy (pseudokod)

22 Liczby Fibonaciego 22 Naiwny algorytm ( z definicji ): prosty, elegancki, nieakceptowalnie wolny Iteracyjny algorytm: bardzo szybki Zastosowanie ulepszonego (iteracyjnego) algorytmu umożliwia wykonanie obliczeń.

23 Przeszukiwanie: obrazu, tablicy 23

24 Metoda: dziel i zwyciężaj 24 Podziel na problemy tego same typu, obszary nie mogą się pokrywać.

25 Metoda: dziel i zwyciężaj 25 Podziel na problemy tego same typu, obszary nie mogą się pokrywać. Nie są tego samego typu Nie są rozłączne

26 Metoda: dziel i zwyciężaj 26 Dziel na mniejsze problemy:

27 Metoda: dziel i zwyciężaj 27 Zwyciężaj: rozwiąż mniejsze problemy:

28 Metoda: dziel i zwyciężaj 28 Połącz z powrotem:

29 Przykład: liniowe przeszukiwanie tablicy 29 Tłumaczenie słów: w danym wierszu słowa mają to samo znaczenie.

30 Przykład: liniowe przeszukiwanie tablicy 30 Rozwiązanie rekurencyjne

31 Przykład: liniowe przeszukiwanie tablicy 31 Rozwiązanie rekurencyjne Ilość operacji

32 Przykład: liniowe przeszukiwanie tablicy 32 Rozwiązanie iteracyjne

33 Przykład: posortowana tablica 33 Przeszukiwanie posortowanej tablicy: ilość operacji

34 Przykład: przeszukiwanie binarne 34 Przeszukiwanie binarne posortowanej tablicy:

35 Przykład: przeszukiwanie binarne 35 Przeszukiwanie binarne: szukamy liczby 50

36 Przykład: przeszukiwanie binarne 36 Przeszukiwanie binarne: szukamy liczby 50

37 Przykład: przeszukiwanie binarne 37 Przeszukiwanie binarne: szukamy liczby 50

38 Metoda: dziel i zwyciężaj 38 Dzielimy rekurencyjnie na rozłączne (dla danego etapu podziału) mniejsze problemy tego samego typu. Rozwiązujemy mniejsze problemy Scalamy rozwiązania

39 Metoda: dziel i zwyciężaj 39 Wersja rekurencyjna: przeszukiwanie binarne

40 Metoda: dziel i zwyciężaj 40 Wersja rekurencyjna: złożoność obliczeniowa Ilość operacji

41 Metoda: dziel i zwyciężaj 41 Wersja iteracyjna: przeszukiwanie binarne

42 Metoda: dziel i zwyciężaj 42 Tłumaczenie słów: w każdej kolumnie posortowane wg. kolejności liter słowa w danym języku. W danym wierszu słowa nie maja tego samego znaczenia.

43 Metoda: dziel i zwyciężaj 43 Tłumaczenie słów: w każdej kolumnie posortowane wg. kolejności liter słowa w danym języku. W danym wierszu słowa nie maja tego samego znaczenia. Zorganizuj jako przeszukiwanie binarne: pomocnicze tabele.

44 Największy wspólny podzielnik (NWP) 44 Definicja Dla pary liczb całkowitych a,b, ich największy wspólny podzielnik d = NWP(a,b) to największa liczba całkowita d taka ze dzieli bez reszty a, b. Teoria liczb Funkcje specjalne Kryptografia

45 Największy wspólny podzielnik (NWP) 45 Definicja Dla pary liczb całkowitych a,b, ich największy wspólny podzielnik d = NWP(a,b) to największa liczba całkowita d taka ze dzieli bez reszty a, b. gcd greatest common divisor

46 Naiwny algorytm znajdowania NWP 46 Ilość operacji w przybliżeniu równa a+b Bardzo wolny już dla liczb 20-to cyfrowych

47 Algorytm Euklidesa 47 Lemat: Jeżeli a = reszta z dzielenia a/b to gcd(a,b)=gcd(a,b) = gcd(b,a ) Dowod (szkic) a = a + b*q d dzieli a i b wtedy i tylko wtedy jeżeli d dzieli a i b.

48 Algorytm Euklidesa 48 Funkcja rekurencyjna, wprost zastosowanie lematu.

49 Algorytm Euklidesa 49 Przykład Ilość operacji: każdy krok redukuje liczby o czynnik 2. Ilość kroków to log(a*b). Jeżeli liczba 100-cyfrowa, potrzebne około 600 kroków. Każdy krok to pojedyncze dzielenie.

50 Efektywny algorytm 50 Naiwny algorytm jest zbyt wolny. Algorytm Euklidesa dużo efektywniejszy. Wymyślenie efektywnego algorytmu wymagało wiedzy na temat problemu, w tym przypadku z dziedziny teorii liczb..

51 Algorytm zachłanny 51 Jaka jest największa liczba która możesz zbudować maja do dyspozycji podane cyfry.????

52 Algorytm zachłanny 52 Jaka jest największa liczba która możesz zbudować używając wszystkie podane cyfry. Poprawna odpowiedz

53 Strategia zachłanna: największa liczba 53 Znajdź największą cyfrę Dołącz do liczby Usuń cyfrę z listy cyfr Powtarzaj dopóki lista cyfr nie jest pusta

54 Strategia zachłanna: tankowanie benzyny 54 Pełny bak benzyny wystarcz na przejechanie 400km. Na których stancjach tankować paliwo aby ilość tankowan potrzebna do przejechania 950 km była minimalna. Tylko dwa tankowania

55 Wybór strategii 55 Jakie są możliwości Zatankuj na każdej stacji po drodze Zatankuj na najdalszej stacji do której możesz dojechać Jedz aż do pustego baku. Strategia zachłanna 1) Wystartuj w punkcie A 2) Dojedz do najdalszej możliwie stacji benzynowej 3) Zatankuj i potraktuj ten punkt jako nowy punkt A Powtarzaj (1-3) dopóki nie zajdzie A=B

56 Podproblem 56 Podproblem jest taki sam jak oryginalny problem.

57 57 Algorytm zachłanny: liniowa zależność od ilości stacji benzynowych.

58 Jak podzielić na grupy 58 Chcemy podzielić na grupy gdzie wiek dziecka nie różni się więcej niż o 1 rok i tak aby było jak najmniej grup.

59 Jak efektywnie podzielić na grupy 59 Naiwny algorytm Ilość operacji: co najmniej 2 n dla n elementów które należy pogrupować.

60 Jak efektywnie podzielić na grupy 60 Naiwny algorytm Rozważmy podział na 2 grupy: C = G1 + G2 Każdy element i może być zaakceptowany do grupy G1 albo odrzucony i wtedy jest w grupie G2. W ten sposób można utworzyć 2 n różnych grup G1 Ilość operacji co najmniej 2 n

61 Jak efektywnie podzielić na grupy 61 Posortujmy najpierw elementy (punkty): n log(n) Zdefiniujmy problem jako poszukiwanie najmniejszej ilości odcinków które pokryją wszystkie punkty. Długość odcinka nie większa niż 1 jednostka. Jak to zrobić: zacznij od najbardziej lewego punktu i wyznacz odcinek o długości co najwyżej 1. Punkty leżące na odcinku tworzą jedna grupę.

62 Jak efektywnie podzielić na grupy 62 Posortujmy najpierw elementy (punkty): n log(n) Zdefiniujmy problem jako poszukiwanie najmniejszej ilości odcinków które pokryją wszystkie punkty. Długość odcinka nie większa niż 1 jednostka.

63 Jak efektywnie podzielić na grupy 63 Sortowanie: Ilość operacji proporcjonalna do n log(n) Ilość operacji proporcjonalna do n

64 Jak efektywnie podzielić na grupy 64 Naiwny algorytm: ilość operacji ~ 2 n Bardzo wolny już dla n=50 Sortowanie + algorytm zachłanny Sortowanie ~ n log() Algorytm zachłanny ~ n Całość efektywna nawet dla n=

65 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 65 Jak najlepiej zapakować plecak

66 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 66 Jak najlepiej zapakować plecak

67 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 67 Jak najlepiej zapakować plecak

68 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 68 Jak najlepiej zapakować plecak

69 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 69 Jak najlepiej zapakować plecak

70 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 70 Jak najlepiej zapakować plecak

71 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 71 Jak najlepiej zapakować plecak 1) Dopóki plecak nie jest pełny, wybierz grupę i o największym vi/wi. 2) Jeżeli przedmioty mieszczą się w plecaku umieść wszystkie. Jeżeli nie ta tyle aby zapełnić plecak. 3) Jeżeli jeszcze jest miejsce w plecaku, wybierz nowe i na kolejne o największym vi/wi. Powtarzaj (1)-(3) do momentu zapełnienia plecaka lub aż nie będzie więcej przedmiotów które się w nim mieszczą.

72 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 72

73 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 73 Czy można efektywniej? Ilość operacji które były wykonywane: n 2 Wybieranie kolejnego i maksymalnie n-razy Wkładanie przedmiotów maksymalnie n-razy Gdybyśmy najpierw posortowali wg. malejącego vi/wi to ilość operacji bylaby: n log(n) + n + n Sortowanie: n log(n) operacji Wybranie kolejnego i 1operacja Wkładanie do plecaka n operacji

74 Algorytm zachłanny: pakowanie plecaka 74 Posortowaliśmy: