Zadania z arytmetyki i teorii liczb

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania z arytmetyki i teorii liczb"

Transkrypt

1 Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym iloczynie. Każdą cyfrę użyto jeden raz. Jakie to liczby? 3. Z każdego nieskończonego postępu arytmetycznego o wyrazach naturalnych można wybrać nieskończony postęp geometryczny. 4. Niech a, b, c, d N. Jeśli postępy arytmetyczne (a + nb) i (c + dn) mają co najmniej jeden wyraz wspólny, to wszystkie ich wyrazy wspólne tworzą nieskończony postęp arytmetyczny. 5. W nieskończonym ciągu arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje wyraz podzielny przez 64 oraz istnieje wyraz niepodzielny przez 64. Wykazać, że: (1) w tym ciągu istnieje wyraz podzielny przez 512; (2) w tym ciągu istnieje wyraz podzielny przez 2 n dla n Spośród liczb 1, 2,..., 99 wybrano 50 takich liczb, że suma każdych dwóch jest różna od 99 i różna od 100. Wykazać, że wybrano liczby 50, 51,..., Znaleźć n-ty wyraz ciągu 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, Niech R będzie pierścieniem z jedynką i niech f : N R będzie funkcją addytywną przeprowadzającą jedynkę w jedynkę. Wykazać, że: (1) f(ab) = f(a)f(b), dla wszystkich a, b N; (2) funkcja f zawsze istnieje i to tylko jedna. 9. Niech A będzie podzbiorem zbioru Z takim, że: (1) 1 A, (2) a A a + 1, a 1 A. Wykazać, że A = Z. 10. Zbiór liczb całkowitych postaci x 2 5y 2, x, y Z, jest zamknięty ze względu na mnożenie. 11. Zbiór liczb całkowitych postaci x 2 xy + y 2, x, y Z, jest zamknięty ze względu na mnożenie. 12. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci n = a 1 1! + a 2 2! + + a k k!, gdzie 0 a i i dla i = 1,..., k i gdzie a k 0.

2 2 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 13. Jeśli f : Z Z jest rosnącą surjekcją, to istnieje a Z takie, że f(x) = x + a dla wszystkich x Z. 14. Znaleźć wszystkie funkcje f : Z Z Z takie, że: f(a, a) = 0, f(a, f(b, c)) = f(a, b) + c dla a, b, c Z. 15. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x + 1)(2y + 1), gdzie x, y Z. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x 1)(2y 1), gdzie x, y Z. 16. Niech a, b, c Q. Jeśli a + b + c Z, ab + bc + ca Z i abc Z, to a, b, c Z. 17. Wyznaczyć wszystkie trójki (x, y, z) liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby x + 1 y + z, x + 1 y + 1 z, xyz są naturalne. 18. Niech x = a2 1 b+1, y = b2 1 a+1, gdzie a, b N. Jeśli x + y jest liczbą całkowitą, to liczby x i y też są całkowite. 19. Każda liczba 1 5 n n n jest całkowita. 20. Jedyną funkcją f : Q Q taką, że f(1) = 2 oraz jest funkcja f(x) = x + 1. f(xy) = f(x)f(y) f(x + y) + 1 dla x, y Q, 21. Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n 1 + n + 1 jest liczbą wymierną? 22. Niech a, b N. Jeśli liczba 3 a + 3 b jest wymierna, to liczby a i b są sześcianami liczb naturalnych. 23. Niech a, b R, a + b = 1. Jeśli liczby a 3 i b 3 są wymierne, to a i b też są liczbami wymiernymi. 24. Nie istnieją wymierne liczby a, b, c, d takie, że gdzie n N. (a + b 2) 2n + (c + d 2) 2n = , 25. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x, y, z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = Nie istnieją liczby naturalne a i b takie, że 1 a ab + 1 b 2 = Niech s N. Równanie 1 x x x s = 1 ma skończoną > 0 liczbę rozwiązań naturalnych.

3 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Jeśli liczby naturalne x, y, z, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie 1 x + 1 y = 1 z, to x + y jest liczbą kwadratową. 29. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x y z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = Jeśli n > 1, to gdzie h(k) = k. h(1) + h(2) + + h(n 1) = (n 1)h(n), 31. Jeśli a b = , gdzie a, b N, to 1979 a Niech a = 220, b = 69, c = 119. Wtedy 102 a bc + b ca + c ab n n n n (n+1) 5 2n 3 3n+2 2 2n n 100 n. 40. Jeśli n jest nieparzyste, to n 12 n 8 n jest podzielne przez n 2 + 2n n 2 + n Niech x 1,..., x n będą nieparzystymi liczbami całkowitymi. Wtedy [ ] n n 2( 1) n n + n n n x + 5y 23 8x + y x + y 29 x + 3y. x 1 x 2 + x 2 x x n 1 x 1 + x n x 1 n ( mod 4). 48. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x i y takie, że 7 3x 6y + 1 i 7 5x + 3y Wszystkie wyrazy ciągu 10017, , ,... są podzielne przez 53.

4 4 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 50 (Cecha podzielności przez 29). Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę trzykrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez Jeśli cyfry a, b, c spełniają równość 2c = 3a + b, to liczba abc dzieli się przez Znaleźć resztę z dzielenia liczby ( ) 28 przez Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 1981 jest 35. Resztą z dzielenia tej liczby przez 1982 jest również 35. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 14? 54. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n, której reszty z dzielenia przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 są równe odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Liczba całkowita jest postaci 4t + 3 i jednocześnie postaci 6u + 5, gdzie t, u Z, wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci 12k + 11, k Z. 56. Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie, niektóre z otrzymanych znowu dzielimy na 5 części, itd... Czy można w ten sposób otrzymać 1982 kartki? 57. [(a, b), c] = ([a, b], [b, c]), ([a, b], c) = [(a, b), (b, c)]. 58. Jeżeli a, b, c są liczbami nieparzystymi, to (a, b, c) = ( a+b 2, b+c 2, c+a 2 ). 59. [a, b] [b, c] [c, a] [a, b, c] Niech d, w N. Istnieją liczby naturalne a, b takie, że (a, b) = d i [a, b] = w wtedy i tylko wtedy, gdy d w. 61. Zanaleźć wszystkie liczby naturalne x, y spełniające równość nww(x 2, y) + nww(x, y 2 ) = Niech A, B będą ideałami w Z. Wykazać, że (A + B)(A B) = AB. 63. Każda liczba naturalna > 6 jest sumą dwóch liczb naturalnych większych od 1 i względnie pierwszych. 64. Niech a, b, c N i (a, b) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna x taka, że a xb + c. 65. Niech a, b, d Z. Jeśli (a, b) = 1 i d a + b, to (d, a) = 1 i (d, b) = Niech a, b, n N. Jeżeli żadna z liczb a, a + b, a + 2b,..., a + (n 1)b nie jest podzielna przez n, to liczby n i b nie są względnie pierwsze. 67. Nie istnieje liczba naturalna n taka, że wszystkie liczby 1 + n, 2 + n, 3 + n, 4 + n są parami względnie pierwsze.

5 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorami: a 1 = 2, a n+1 = a 2 n a n + 1, dla n N. Każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze. 69. Niech s N. Każdą liczbę naturalną n > s można przedstawić w postaci n = a + b, gdzie a, b N, a s, (b, s) = Ułamek (12n + 1)/(30n + 2) jest nieskracalny. 71. Jeśli 1 i < j n, to liczby i n! + 1, j n! + 1 są względnie pierwsze. 72. Pierścień (przemienny z jedynką) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każda jego kongruencja jest trywialna. 73. Jeżeli a b (mod m), to (a, m) = (b, m). 74. Niech f(x) Z[x], a, b Z, b > 1. Wtedy f(a + b) f(a) + bf (a) (mod b 2 ), gdzie f (x) oznacza pochodną wielomianu f(x) (mod 9). 76. Kongruencja 111x 75 (mod 321) ma doładnie trzy rozwiązania. 77. Rozwiązać układ dwóch kongruencji: { x a1 (mod 13), x a 2 (mod 17). 78. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x spełniające jednocześnie następujące trzy kongruencje: x 2 (mod 5), x 9 (mod 11), x 4 (mod 14). 79. Każda liczba całkowita x spełnia co najmniej jedną z następujących pięciu kongruencji: x 0 (mod 2), x 0 (mod 3), x 1 (mod 4), x 1 (mod 6), x 11 (mod 12). 80. Niech a Z. Jeśli kongruencja x 2 a (mod 512) posiada rozwiązanie, to istnieją dokładnie cztery jej rozwiązania.

6 6 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 81. Niech p N, p 2. Następujące warunki są równoważne. (1) p P. (2) p ab = p a p b dla a, b Z. (3) p ab = p a p b dla a, b N. (4) n N, n < p = (n, p) = 1. (5) a Z, p a = (a, p) = Jeżeli n > 2, to pomiędzy n i n! istnieje zawsze liczba pierwsza. 83. Jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to 240 p Jeśli p, q są liczbami pierwszymi takimi, że p q 3 1 i q p 1, to p = 1 + q + q Dla każdej liczby pierwszej p istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych q takich, że p q Jeżeli liczby n + 1, n + 3, n + 7, n + 9 są pierwsze, to n = 4 lub 30 n Każda liczba parzysta > 8 jest sumą dwóch różnych liczb zlożonych. 88. Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych nie będących sumą dwóch liczb pierwszych. 89. Liczby p i q są pierwsze. Wiadomo, że równanie x 4 px 3 + q = 0 posiada całkowity pierwiastek. Znaleźć p i q. 90. Wszystkie liczby naturalne począwszy od 32 do 75 wypisano w dowolnej kolejności otrzymując liczbę 88-cyfrową. Czy tak otrzymana liczba może być pierwsza? 91. Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba p n jest 20-cyfrowa. Wykazać, że co najmniej trzy cyfry są jednakowe. 92. Istnieje liczba pierwsza, której ostatnimi cyframi są cyfry 1, 9, 9, 8, 1, 9, 9, Jeśli liczby p > 2 i p + 2 są pierwsze, to 240 (p 1)(p + 1)(p + 3). 94. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p > n taka, że liczba p + 2 jest złożona. 95. Niech p 1 < p 2 < < p n będą liczbami pierwszymi. Rozpatrzmy wyrażenie p 1 : p 2 : p 3 : : p n. Ile różnych liczb można otrzymać z tego wyrażenia wstawiając na wszelkie sposoby nawiasy?

7 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Następujące trzy zdania są równoważne: (a) Dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że m < p < 2m. (b) Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność p n+1 < 2p n. (3) Rozwinięcie na czynniki pierwsze liczby n!, gdzie n > 1, zawiera co najmniej jeden czynnik pierwszy z wykładnikiem Dla każdej liczby naturalnej n istnieją co najmniej trzy liczby pierwsze n-cyfrowe. 98. Jeśli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest (S. Chowla 1944). Istnieje nieskończenie wiele trójwyrazowych postępów arytmetycznych, utworzonych z różnych liczb pierwszych Jeśli ciąg arytmetyczny a 1,..., a 15 składa się z samych liczb pierwszych, to różnica tego ciągu jest większa od W każdym rosnącym ciągu arytmetycznym (nieskończonym) o wyrazach naturalnych istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb złożonych Jeśli 2n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą złożoną Liczba jest złożona Liczba jest złożona Liczby i są złożone Wśród jedenastu liczb (n + 10k) 2 + 1, gdzie k = 0, 1,..., 10, co najmniej jedna jest złożona, podzielna przez Każda liczba ciągu 121, 11211, ,... jest liczbą złożoną Korzystając z małego twierdzenia Fermata wykazać, że p n a pn 1 (p 1) Udowodnić twierdzenie Eulera przy pomocy małego twierdzenia Fermata a 37 a dla a Z Jeśli 17 n, to 17 n lub 17 n Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to p 11 }{{... 1} 22 }{{... 2}... } 99 {{... 9} p p p 113. (a, 35) = (a 4 1)(a a 2 + 1) Czy liczba dzieli się przez 1980?

8 8 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 115. Wykazać, że istnieje liczba naturalna podzielna przez 1998, której zapis dziesiętny ma tylko zera i siódemki Jeśli liczba naturalna dzieli się przez , to ma co najmniej 8 cyfr różnych od zera Jeśli liczba naturalna dzieli się przez , to ma co najmniej 6 cyfr różnych od zera Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza mająca w zapisie dziesiętnym co najmniej n zer Jeśli w zapisie w miejsce gwiazdek wstawimy w dowolnej kolejności cyfry 0, 1, 2,..., 9 (każdą jeden raz), to otrzymana liczba będzie podzielna przez Istnieje liczba postaci podzielna przez Spośród 39 kolejnych liczb naturalnych zawsze można wybrać taką liczbę, której suma cyfr jest podzielna przez Spośród 79 kolejnych liczb naturalnych zawsze można wybrać taką liczbę, której suma cyfr jest podzielna przez W każdym nieskończonym ciągu arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieją dwa wyrazy posiadające jednakowe sumy cyfr Jeśli 20 n, to 2 n 76 ( mod 100) Jeśli 100 n, to 2 n 376 ( mod 1000) Znaleźć trzy ostatnie cyfry liczby Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby Jeżeli n > 2, to przedostatnia cyfra liczby 3 n jest parzysta Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczby 3 n, 3 n+1, 3 n+2 mają w zapisie dziesiętnym jednakowe liczby cyfr Ile cyfr ma liczba 5 100? 131. Jeśli a + b + c = 0, a, b, c Z, to 2(a 4 + b 4 + c 4 ) jest liczbą kwadratową.

9 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Liczba postaci 4ab a b, gdzie a, b N, nie jest kwadratowa Jeśli a, b, c N, nwd(a, b, c) = 1 oraz ab = (a b)c, to liczba a b jest kwadratowa Jeśli n jest liczbą całkowitą, to jest liczbą kwadratową Liczby n + 1 i 4n + 1 nie mogą być jednocześnie kwadratowe Suma szóstych potęg dwóch liczb naturalnych nie jest liczbą kwadratową Nie ma liczb naturalnych x, y takich, że liczby x 2 + y, y 2 + x są kwadratowe Równanie x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z = 1 nie ma rozwiązań wymiernych Żadna liczba postaci nie jest kwadratowa Czy istnieje liczba kwadratowa, ktȯrej suma cyfr jest równa 1998? Czy istnieje liczba kwadratowa, ktȯrej suma cyfr jest równa 1999? 141. Czy istnieje taka liczba naturalna, że jeśli dopiszemy do niej z prawej strony jeszcze raz tę liczbę, to otrzymamy liczbę kwadratową? 142. Istnieje liczba kwadratowa posiadająca 199 cyfr, której pierwsze 99 cyfry są dziewiątkami Nie istnieje liczba kwadratowa 20-cyfrowa posiadająca na początku 11 jedynek Jeżeli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczby 17n i 101n też są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych Liczba n 3 jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych Niech a, b Z. Jeżeli 7 a 2 + b 2, to 7 a i 7 b Niech a, b N. Jeżeli 21 a 2 + b 2, to 441 a 2 + b Niech a i b będą takimi liczbami naturalnymi, że ab + 1 a 2 + b 2. Wykazać, że liczba (a 2 + b 2 )/(ab + 1) jest kwadratowa Jeśli liczby naturalne x, y, z, t spełniają równanie x 2 + y 2 + z 2 = t 2, to co najmniej jedna z nich jest podzielna przez Jeśli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to (2a + b + 2c, a + 2b + 2c, 2a + 2b + 3c) też jest trójką Pitagorasa Znaleźć wszystkie trójki Pitagorasa (a, b, c) takie, że ciąg a, b, c jest arytmetyczny.

10 10 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 152. Jeżeli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to 60 abc Jeżeli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to 7 ab(a 2 b 2 ) Promień okręgu wpisanego w trójkąt pitagorejski jest liczbą naturalną Nie ma dwóch liczb naturalnych x i y takich, że x 2 2y 2 = Opisać wszystkie całkowite rozwiązania równania x 2 + 2y 2 = z Opisać wszystkie całkowite rozwiązania równania x 2 + y 2 = 2z Równanie x 2 + y 2 = 3(z 2 + u 2 ) nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych Równanie x 2 2y 2 + 8z = 3. nie posiada rozwiąń w zbiorze liczb naturalnych Każdy wyraz ciągu 1331, , , ,... jest sześcianem liczby naturalnej Czy istnieje taka liczba naturalna n, że suma cyfr liczby n 3 jest równa 1998? Czy istnieje taka liczba naturalna n, że suma cyfr liczby n 3 jest równa 1999? 162. Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych Jeśli liczby x, y i x2 +y 2 +6 xy są całkowite, to x2 +y 2 +6 xy jest sześcianem liczby całkowitej Liczby postaci 7k + 3 lub 7k + 4 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych Równanie x 3 + y 3 = 10 3n+1 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych a + b + c 6 a 3 + b 3 + c a 3 + b 3 + c 3 3 abc Liczby postaci 9k + 4 lub 9k + 5 nie są sumami trzech sześcianów liczb całkowitych Równanie x 3 + y 3 + z 3 = 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych Wszystkimi rozwiązaniami całkowitymi układu równań x 3 +y 3 +z 3 = 3 i x+y +z = 3 są trójki: (1, 1, 1), ( 5, 4, 4), (4, 5, 4), (4, 4, 5) Liczba 3 nie jest sumą sześcianów dwóch liczb wymiernych Nie ma liczb całkowitych a 0, a 1, a 2 różnych od zera takich, że a 0 = a 1 +a 2, a 2 0 = a2 1 +a2 2.

11 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Jeśli x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3 są liczbami rzeczywistymi takimi, że: x 1 + x 2 + x 3 = y 1 + y 2 + y 3, x x2 2 + x2 3 = y1 2 + y2 2 + y2 3, x x3 2 + x3 3 = y1 3 + y3 2 + y3 3, to x 1 = y 1, x 2 = y 2, x 3 = y Dla każdej liczby naturalnej n równanie x x n = x 1 x n ma rozwiązanie w liczbach naturalnych Dla każdej liczby naturalnej n > 1 równanie x x n = x 1 x n ma skończoną liczbę rozwiązań naturalnych Znaleźć wszystkie rozwiązania naturalne równania x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = x 1 x 2 x 3 x 4 x Liczba naturalna n jest trójkątna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 8n + 1 jest kwadratowa Każdy wyraz ciągu 21, 2211, , ,... jest liczbą trójkątną Jeśli a 2 b 2, gdzie a, b N, jest liczbą trójkątną, to (a + b) 2 (2a + b) 2 również jest liczbą trójkątną Istnieje nieskończenie wiele kwadratowych liczb trójkątnych Między dwiema kolejnymi liczbami kwadratowymi leży co najmniej jedna liczba trójkątna Istnieje nieskończenie wiele trójkątów pitagorejskich, których obie przyprostokątne są liczbami trójkątnymi Liczba trójkątna > 1 nie jest sześcianem liczby naturalnej Każda liczba naturalna, która nie jest postaci 2 n, jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych Czy rozkład danej liczby naturalnej na sumę dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych jest jednoznaczny? 186. Iloczyn n kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez n! Niech a 1,..., a n będzie całkowitym ciągiem arytmetycznym o różnicy względnie pierwszej z n!. Wtedy iloczyn a 1 a n jest podzielny przez n! Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których środkowa jest sześcianem liczby całkowitej, jest podzielny przez 504. Niech e n oznacza n-cyfrową liczbę naturalną, której cyframi są same jedynki. Wykazać, że:

12 12 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 189. Jeśli n e n, to liczba n jest złożona Jeżeli (n, 10) = 1, to istnieje m N takie, że n e m (e n, e m ) = 1 (n, m) = 1 Każdą liczbę postaci M n = 2 n 1, gdzie n 0, nazywamy liczbą Mersenne a Ciąg (M n ) można zdefiniować rekurencyjnie: M 1 = 1, M n+1 = 2M n + 1 dla n N Żadna liczba Mersenne a > 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku > Jeśli s N, to ciąg utworzony z s ostatnich cyfr kolejnych liczb Mersenne a jest okresowy, o okresie czystym długości 4 5 s Jeśli M n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą (M n, M m ) = M (n,m), m, n N Każda liczba naturalna nieparzysta jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne a n a b n 2 a n b n 199. Jeżeli 2 n + 1 jest liczbą pierwszą, to n = 2 k n m + 1 n m Niech n = 2 m + 1. Jeśli ϕ(n) n 1, to n jest liczbą pierwszą Nie istnieją różne liczby pierwsze p i q takie, że q mod 2 p + 1, p 2 q Jeżeli n N jest liczbą nieparzystą i n a + b, to n 2 a n + b n. Czy to również zachodzi dla parzystego n? 204. Niech n będzie naturalną liczbą nieparzystą i niech a, b będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. Wówczas (a + b) 2 a n + b n (a + b) n Istnieje nieskończenie wiele parzystych liczb naturalnych n takich, że n 3 n + 1. Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci F n = 2 2n + 1, n Jeżeli n 3, to ostatnią cyfrą liczby Fermata F n jest F m+1 2 = F 0 F 1 F m Każde dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze.

13 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb F n 2 Fn 2 dla n = 0, 1, Każdy dzielnik naturalny > 1 liczby Fermata F n, większej od F 1, jest postaci 2 n+2 k + 1, gdzie k N. 211 (Euler 1732). 641 F Żadna liczba Fermata > 3 nie jest liczbą trójkątną i nie jest sumą dwóch liczb trójkątnych Żadna liczba Fermata > 5 nie jest sumą dwóch liczb pierwszych Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci F 2 n Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci 3 2n Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że 3 n2 n Jeśli k {2, 5, 6, 8}, to każda liczba postaci k2 2n + 1 jest złożona n 6 4 n W ciągu (2 n 3) istnieje nieskończenie wiele liczb, z których każde dwie są względnie pierwsze W ciągu (2 n 3) istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez 5 i istnieje nieskończenie wiele podzielnych przez 13, ale żaden wyraz tego ciągu nie jest podzielny przez Jeśli a i b są kolejnymi liczbami nieparzystymi, to a + b a a + b b oraz a + b a b + b a Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to 2(p 3)! 1 ( mod p) Jeśli p > 3 jest liczbą pierwszą, to 6(p 4)! 1 ( mod p) Liczba nieparzysta p > 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy, p (p 1)! + 2 p Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to p (p 3)! + 2 p ! Jeśli p = 4n + 1 jest liczbą pierwszą, to p ((2n)!) Liczba 712! + 1 jest złożona Jeśli n > 4 jest liczbą złożoną, to n (n 1)!.

14 14 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 230. Liczba 10! ma 270 dzielników naturalnych Znaleźć maksymalną potęgę liczby 105, dzielącą liczbę 200! Liczba 288! dzieli się przez (16!) 18 i (18!) Liczba 21! + 42!/21! jest podzielna przez Liczba (2001)! + (4002)!/(2001)! jest podzielna przez n n! n 1 n! n = 2 k dla pewnego k N ! = a Znaleźć a (3n)! > n 3n n! 2 n, dla n > ! > 10! ( n) ( n) ( n) 2 n = ( 2n) n n k=1 k ( n k) = n2 n ( k k ) + ( k+1 k ) + + ( k+n 1 k 244. ( 2n n ) < 4 n dla n N. ) = ( k+n k+1) Znaleźć resztę z dzielenia liczby ( ) przez Liczba n k=0 ( 2n+1 2k+1) 2 3k jest podzielna przez Jeżeli (n, k) = 1, to n ( n k) Jeżeli (n, k) = 1, to k ( n 1 k 1) nwd( ( n 1) ( k 1, n k+1 ), ( n+1 k ) ) = nwd( ( n 1 k 250. Znaleźć NWD dla liczb ( n ( 1), n ) ( 2,..., n 251. Liczba ( 2n n ), gdzie n N, jest parzysta. ), ( n+1 k+1 n 1) Czy liczba ( ) jest podzielna przez 7? 253. Jeżeli p 5 jest liczbą pierwszą, to p 3 ( 2p p ) 2. ) (, n k 1) ), dla n > k N.

15 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Niech a = (2n)!/n!. Wykazać, że 2 n a i 2 n+1 a Niech a = (kn)!/n!, gdzie k, n N. Wykazać, że k n a i k n+1 a (3n)!/(6 n n!) Z Dla każdej liczby naturalnej n liczba (2n)!/n!(n + 1)! jest naturalna Jeżeli (n, m) = 1, to (n + m 1)!/n!m! jest liczbą całkowitą Liczba (2n)!(2m)! m!n!(m+n)! jest całkowita Zbiór wszystkich funkcji multyplikatywnych jest grupą abelową ze względu na splot Dirichleta Jeśli f, g są funkcjami multyplikatywnymi, to funkcja h zdefiniowana wzorem jest też jest multyplikatywna. h(n) = k n f(k)g(k) 262. Niech f : N N będzie funkcją multyplikatywną ściśle rosnącą. Wiadomo, że f(2) = 2. Wykazać, że f(n) = n dla n N Niech f(n) będzie liczbą wszystkich liczb naturalnych a n takich, że n a 3 a. Wykazać, że f jest funkcją multyplikatywną Funkcja Möbiusa jest multyplikatywna Nie istnieje ściśle rosnąca funkcja f : N Z + taka, że f(ab) = f(a)+f(b) dla a, b N Niech f : N N będzie funkcją taką, że f(n + 1) > f(f(n)) dla n N. Wykazać, że f jest funkcją tożsamościową ϕ(ϕ(10!)) = Jeżeli m > 2, to ϕ(m) jest liczbą parzystą ϕ(ab) = (a, b)ϕ([a, b]) ϕ(a)ϕ(b)(a, b) = ϕ(ab)ϕ((a, b)) ϕ(2m) = ϕ(m) lub ϕ(2m) = 2ϕ(m) ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1) Jeśli liczby p > 2 i 2p 1 są pierwsze, to ϕ(4p 2) = ϕ(4p) Jeśli m n, to ϕ(m) ϕ(n).

16 16 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 275. a, n N, a > 1, n > 1. Wtedy n ϕ(a n 1) k n ϕ(k) = n dla n N Jeśli n jest parzyste, to k n ( 1)k ϕ(n/k) = Jeśli (a, b) > 1, to ϕ(ab) > ϕ(a)ϕ(b). Przez d(n) oznaczamy liczbę wszystkich naturalnych dzielników liczby naturalnej n Funkcja d jest multyplikatywna Liczba d(n) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą kwadratową Jedynymi liczbami naturalnymi n takimi, że n = d(n) 2 są liczby 1 i Liczba d(n 2 ) pokrywa się z liczbą wszystkich par (a, b) takich, że a, b N, nww(a, b) = n Wiadomo, że d(n 2 ) = 3d(n). Znaleźć d(n) d(n k ) kd(n) dla n, k N k > Jeśli n N, to ( ) 2. k n d(k)3 = k n d(k) 286. d(1) + d(2) + + d(n) = [ n 1 ] + [ n 2 ] + + [ n n] Jeśli d(n) = 2 i d(n + 1) = 3, to n = Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że najmniejsza liczba naturalna mająca n naturalnych podzielników jest mniejsza od najmniejszej liczby naturalnej mającej n + 1 naturalnych podzielników d(n) 2 n d(ab) d(a) + d(b) 1, dla a, b N ϕ(n) > d(n) dla n > Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że d(p 1) > n Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że d(p 1) > n i d(p+1) > n. Przez σ(n) oznaczamy sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby n Jeśli n = p a 1 1 pas s jest kanonicznym rozkładem liczby naturalnej n, to σ(n) = pa p p. s 1 pas+1 s

17 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Funkcja σ jest multyplikatywna Jeśli (a, b) > 1, to σ(ab) σ(a)σ(b) Liczba naturalna n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy σ(n) = n σ(n) n = k n 1 k Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są wartościami funkcji σ σ(1) + σ(2) + + σ(n) = 1 [ n 1 ] + 2 [ n 2 ] + + n [ n n] Liczba σ(n)σ(n + 1)σ(n + 2) jest parzysta Jeśli 24 n + 1, to 24 σ(n) σ(3n 1) dla n N σ(n) < n n dla n > σ(n) + ϕ(n) 2n dla n > Zbiór wszystkich liczb postaci σ(n)/n jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych > 1. Liczbą Fibonacciego nazywamy każdy wyraz ciągu (u n ) określonego wzorami: u 1 = 1 u 2 = 1 u n+2 = u n + u n+1, dla n N. Przyjmujemy ponadto, że u 0 = 0. [( 307 (Wzór Bineta). u n = 1 ) n ( ) n ] n k=0 u k u n k = 2nu n+1 (n + 1)u n u n+1 = [n/2] k=0 ( n k ) k n 1 ( n ) k=0 k un k = u 2n u 4n, 5 u 5n Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego są względnie pierwsze Istnieje n N takie, że 1998 u n. Istnieje n N takie, że 1999 u n Jeśli 7 u n, to 21 u n u n+m = u n+1 u m + u n u m 1.

18 18 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 316. Jeśli n m, to u n u m (u n, u m ) = u (n,m) Ile jest liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z cyfr 1 i 2, w których dwie jedynki nie stoją obok siebie? 319. Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, w których nie występują żadne dwie kolejne liczby? 320. Prostokąt 1 n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 1 i 1 2. Ile jest różnych sposobów takiego zapełnienia? 321. Prostokąt 1 n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 1, 1 2 i 1 3. Jeśli t n oznacza ilość różnych sposobów takiego zapełnienia, to t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 4 oraz t n+3 = t n+2 + t n+1 + t n dla n Niech (a n ) będzie uogólnionym ciągiem Fibonacciego zdefiniowanym wzorami: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+2 = ka n+1 + ca n, gdzie k, c Z {0}. Załóżmy, że liczby x 1, x 2 są pierwiastkami wielomianu x 2 kx c. Wówczas: x n 1 xn 2 x a n = 1 x 2, gdy x 1 x 2, nx n 1, gdy x 1 = x 2 = x Jeśli ciąg (a n ) spełnia równanie rekurencyjne a n+2 = 2pa n+1 p 2 a n, gdzie p jest ustaloną niezerową liczbą, to a n = a(1 n)p n + bnp n 1, gdzie a = a 0, b = a Niech a 1 = 1, a 2 = 1, a n+2 = a n+1 2a n. Jeśli n 3, to 2 n+1 7a 2 n 1 kwadratową. jest liczbą 325. Niech a 1 = 1, a 2 = 2, a n+2 = a n+1 a n, dla n N. Wtedy a n+6 = a n, dla wszystkich n Jeżeli c jest liczbą całkowitą, to równanie x(x 2 1)(x 2 10) = c nie może posiadać 5 całkowitych pierwiastków Niech f Z[x]. Jeśli wielomian f(x) + 12 ma co najmniej sześć różnych pierwiastków całkowitych, to wielomian f(x) nie ma pierwiastków całkowitych Niech f Z[x]. Wiadomo, że równania f(x) = 1, f(x) = 3 posiadają całkowite pierwiastki. Wykazać, że równanie f(x) = 2 nie może posiadać dwóch całkowitych pierwiastków.

19 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Niech f Z[x]. Wiadomo, że równania f(x) = 1, f(x) = 2, f(x) = 3 posiadają całkowite pierwiastki. Wykazać, że równanie f(x) = 5 nie może posiadać dwóch całkowitych pierwiastków Niech f Z[x]. Wykazać, że jeżeli liczby f(0) i f(1) są nieparzyste, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków Niech f Z[x]. Wykazać, że jeżeli wielomian f posiada całkowity pierwiastek, to co najmniej jedna z liczb f(0), f(1), f(2) jest podzielna przez f Z[x]. Jeśli f(a) = f(b) = f(c) = 1, gdzie a, b, c są różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków Niech f Z[x] Z. Wykazać, że istnieje liczba naturalna n taka, że f(n) jest liczbą złożoną Niech f(x) = x 2 + ax + b, gdzie a, b Z. Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita s, że wszystkie liczby f(s + 1), f(s + 2),..., f(s ) są złożone Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(1) = 19 i f(19) = 98? 336. Niech a, b, c będą parami różnymi liczbami całkowitymi. Nie istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(a) = b, f(b) = c i f(c) = a Niech f Z[x]. Załóżmy, że istnieją cztery parami różne liczby całkowite a, b, c, d takie, że f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 1. Nie istnieje wówczas liczba całkowita u taka, że f(u) = f Z[x], 5 f(2), 2 f(5). Wtedy 10 f(7) Jeśli wielomian f Z[x] przyjmuje wartość 7 dla czterech argumentów całkowitych, to wartość wielomianu f nie równa się 14 dla żadnego argumentu całkowitego Jeśli wielomian f Z[x] przyjmuje wartość 2 dla czterech argumentów całkowitych, to liczby 1, 3, 5, 7, 9 nie należą do zbioru f(z) Dla dowolnych liczb całkowitych a, b istnieją liczby całkowite p, q takie, że zbiory są rozłączne. {x 2 + ax + b; x Z}, {2x 2 + px + q; x Z} 342. Niech f(x, y) = x 5 + 3x 4 y 5x 3 y 2 15x 2 y 3 + 4xy y 5. Nie istnieją liczby całkowite a, b takie, że f(a, b) = 33.

20 20 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 343 (Twierdzenie Picka). Jeśli A jest wielokątem na płaszczyźnie o wierzchołkach w punktach kratowych, to S = W B 1, gdzie S jest polem wielokąta A, W jest liczbą punktów kratowych leżących wewnątrz tego wielokąta, a B jest liczbą punków kratowych leżących na jego brzegu Podwojone pole każdego wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych jest liczbą naturalną Na płaszczyźnie dany jest wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych. Wiadomo, że wewnątrz tego wielokąta leży 7 punktów kratowych a na jego brzegu takich punktów jest 6. Znaleźć pole wielokąta Jedynym wielokątem foremnym o wierzchołkach w punktach kratowych jest kwadrat Jeśli trzy wierzchołki równoległoboku są punktami kratowymi, to czwarty wierzchołek również jest punktem kratowym. 348 (H. Steinhaus). Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie n punktów kratowych Na płaszczyźnie danych jest 5 punktów kratowych. Udowodnić, że środek co najmniej jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym Na odcinku w R n łączącym punkty kratowe (a 1,..., a n ) i (b 1,..., b n ) leży dokładnie punktów kratowych. NWD(b 1 a 1,..., b n a n ) Jeśli wierzchołki sześcianu są punktami kratowymi, to długość krawędzi tego sześcianu jest liczbą naturalną W klasie jest 37 osób. Wykazać, że istnieją co najmniej cztery osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu Danych jest 8 różnych liczb naturalnych mniejszych od 16. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe Spośród n dowolnych liczb całkowitych można zawsze wybrać dwie, których różnica jest podzielna przez n Wykazać, że w dowolnym n-wyrazowym ciągu liczb całkowitych istnieje pewna liczba kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez n 356. Z dowolnych 52 liczb naturalnych można wybrać dwie liczby, których albo suma, albo różnica jest podzielna przez 100.

21 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Udowodnić, że spośród siedmiu dowolnych liczb całkowitych zawsze można wybrać cztery takie liczby, których suma jest podzielna przez Danych jest 200 liczb całkowitych. Wykazać, że wśród nich istnieje 100 liczb, których suma jest podzielna przez Wykazać, że z pięciu dowolnych liczb całkowitych można wybrać 3 takie liczby, których suma jest podzielna przez Wykazać, że z dowolnych 4n liczb całkowitych można wybrać 2n + 1 takich liczb, których suma jest podzielna przez 2n Niech {a 1,..., a 10 } = {1, 2,..., 10}. Wykazać, że w ciągu a 1 + 1, a 2 + 2,..., a istnieją dwie takie liczby, których ostatnie cyfry są jednakowe Danych jest 12 parami różnych liczb dwucyfrowych. Wykazać, że wśród nich istnieją dwie liczby a i b takie, że a b jest liczbą dwucyfrową o jednakowych cyfrach Istnieje potęga liczby 29 kończąca się cyframi Jeśli a i n są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to istnieją liczby całkowite x, y takie, że x n, y n, oraz n ax y Na płaszczyźnie danych jest 7 prostych. Wykazać, że co najmniej dwie z nich tworzą kąt < 26 o W prostokącie 3 4 zaznaczono 6 punktów. Wykazać, że istnieją dwa punkty o odległości W kwadracie 1 1 danych jest 101 punktów. Wykazać, że istnieją trzy punkty tworzące trójkąt o polu 0, W kwadracie 1 1 znajduje się 51 punktów. Wykazać, że istnieją trzy punkty, które znajdują się wewnątrz okręgu o promieniu Wewnątrz sześcianu o boku 1 znajduje się 2001 punktów. Wykazać, że istnieje sfera o promieniu 1/11 zawierająca wenątrz co najmniej trzy punkty Z danego n elementowego zbioru wybrano 2 n 1 takich podzbiorów, z których każde trzy mają element wspólny. Wykazać, że wszystkie wybrane podzbiory mają co najmniej jeden element wspólny.

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Wersja testu A 25 września 2011

Wersja testu A 25 września 2011 1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11 Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie

Bardziej szczegółowo

I) Reszta z dzielenia

I) Reszta z dzielenia Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY

KONKURS MATEMATYCZNY PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W CHEŁMIE INSTYTUT MATEMATYKI i INFORMATYKI 22-100 Chełm, ul. Pocztowa 54 tel./fax. (082) 562 11 24 KONKURS MATEMATYCZNY im. Samuela Chróścikowskiego 10 kwiecień 2015r.

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

Funkcje arytmetyczne. Funkcje arytmetyczne

Funkcje arytmetyczne. Funkcje arytmetyczne Definicja 1 Każda arytmetyczna, to funkcja f(n, n N, przyporządkowująca N C, (R. Na przykład: f(n = n. Definicja 2: Funkcję arytmetyczną f : N f(n R nazywamy multyplikatywną, jeżeli m,n N, m n mamy f(mn

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (12 IX) Zadanie 1. Znajdź cyfry A, B, C, spełniające równość: a) AB A = BCB, b) AB A = CCB. Zadanie

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII. Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie VII. Ocena roczna Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

(x 1), 3 log 8. b) Oblicz, ile boków ma wielokat wypukły, w którym liczba przekatnych jest pięć razy większa od liczby boków.

(x 1), 3 log 8. b) Oblicz, ile boków ma wielokat wypukły, w którym liczba przekatnych jest pięć razy większa od liczby boków. ZADANIE 1 Długości boków trójkata tworza trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego o różnicy 1. Oblicz długości boków tego trójkata, jeśli jego pole wynosi 0, 75 15. ZADANIE 2 Pierwszy, trzeci i jedenasty

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału Lp. Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 1 lutego 2017 r. Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII Uczeń na ocenę dopuszczającą: - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim, - umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, jeśli nie opanował wiadomości i umiejętności na ocenę dopuszczającą, nie wykazuje chęci poprawy

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Temat lekcji Punkty z podstawy programowej Lp. Wymagania podstawowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Temat lekcji Punkty z podstawy programowej Lp. Wymagania podstawowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII Temat 1. System rzymski. 2. Własności liczb naturalnych. 3. Porównywanie

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo