Algorytmy stochastyczne, wykład 05 Systemy Liendenmayera, modelowanie roślin

Transkrypt

1 Algorytmy stochastyczne, wykład 5, modelowanie roślin Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika

2 1 2 3 ze stosem

3 Przypomnienie gramatyka to system (Σ, A, s, P), Σ symbole terminalne (końcowe / alfabet) A symbole nieterminalne (pomocnicze), A Σ = s A symbol początkowy P (Σ A) + (Σ A) produkcje / reguły zastępowania zastępujemy jeden symbol w każdym kroku

4 System Liendenmayera System Liendenmayera to trójka (Σ, s, P), Σ alfabet / symbole s Σ symbol początkowy P Σ + Σ produkcje / reguły zastępowania symbole terminalne i pomocnicze są utożsamione jeżeli nie ma jawnej reguły dla symbolu x, to przepisujemy x zastępujemy wszystkie symbole jednocześnie

5 Σ = {a, b} s = a { a ab P = b a }

6 w kolejnych iteracjach uzyskujemy a ab aba abaab abaababa abaababaabaab abaababaabaababaababa...

7 Obserwacje powyższy ciąg słów nazywamy słowami Fibonacciego długość n-tego słowa Fibonacciego wynosi F n dla n zachodzi: długość słowa liczba liter a = liczba liter a liczba liter b φ

8 Ciekawostki słowo Fibonacciego jest nieokresowe (dla okresów krótszych niż F n /2) słowa Fibonacciego mają kwadraty (podciąg powtórzony dwa razy po sobie) każde słowo nad alfabetem binarnym długości 4 lub więcej musi mieć przynajmniej jeden kwadrat! słowa Fibonacciego nie mają sześcianów (podciąg powtórzony trzy razy po sobie)

9 Ciekawostki słowa Fibonacciego nadają się jako kodowanie wiadomości z odpornością na szumy / autokorektą w słowie Fibonacciego nigdy nie wystąpią obok siebie: aaa ani bb odczytanie takiego podciągu oznacza błąd przesyłu wiadomości

10 Dany: Żółw na płaszczyźnie z przymocowanym do skorupy pisakiem (x, y) położenie żółwia α [, 2π) orientacja żółwia

11 Żółw może F iść naprzód o s kroków rysując linię pisakiem lub dowolny symbol pisany wielką literą x := x + s cos(α) y := y + s sin(α) α bez zmian

12 Żółw może f iść naprzód o s kroków bez rysowania kreski x := x + s cos(α) y := y + s sin(α) α bez zmian

13 Żółw może + obrót w lewo o kat θ (x, y) bez zmian α := (α + θ)( mod 2π) wzorek dla układu kartezjańskiego z osią OY zorientowaną do góry

14 Żółw może obrót w prawo o kat θ (x, y) bez zmian α := (α θ)( mod 2π)

15 ze stosem Deterministyczne bezkontekstowe Σ = {F, f, +, } s = F P = {F F+F F+F} α = π/3

16 ze stosem n = n = n = n = n =

17 L-Systemy z nawiasami ze stosem L-Systemy nawiasowe / ze stosem / z rozgałęzieniami Do alfabetu dołączamy dodatkowo: [ oraz ] Σ = {F, f, +,, [, ]} [ zapisz bieżącą pozycję i orientację żółwia (połóż kopię na stosie) ] odtwórz zapisaną pozycję (zdejmij ze stosu)

18 ze stosem L-Systemy nawiasowe / ze stosem / z rozgałęzieniami Σ = {F, L, +,, [, ]} L to samo co F, ale inne reguły produkcyjne Produkcje s = F P = { F L[+F ][ F ] L LL }

19 ze stosem n = n = n = n = n = n =

20 ze stosem Stochastyczne / niedeterministyczne W zbiorze produkcji dopuszczamy dwa lub więcej produkcji o tym samym poprzedniku Np. P = { F L[+F ][ F ] F L[F ][ F ] F L[+F ] } wybieramy losową z nich jeżeli jest tylko jedna, to wybieramy zawsze ją jeżeli nie ma żadnych, to stosujemy X X

21 ze stosem

22 Szum ze stosem do obrotu i przesunięcia dodajemy małą zmienną losową zamiast przesunięcie o s, przesuwamy o s + N(, σ 2 ) zamiast obrót o θ, obracamy o θ + N(, τ 2 )

23 ze stosem

24 Liście i kwiaty ze stosem dodajemy dodatkowo symbole i produkcje F [+GL]F F [ GP]F L liść / leaf, P kwiat /petel, G nienadpisywane przesunięcie (G G)

25 ze stosem

26 Źródła ze stosem P. Prosiunkiewicz, A. Liendenmayer, The algorithmic beaty of plants