Teoria liczb. Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019

Transkrypt

1 Teoria liczb Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019

2 Trzy sposoby definiowania liczb rzeczywistych Dedekind Parę (A, B) podzbiorów zbioru Q nazywamy przekrojem Dedekinda, jeśli spełnione są warunki: 1. A, B niepuste, A B = Q 2. A B = 3. x A, y B x < y 4. A nie posiada elementu największego Możliwe są 2 przypadki: I. W B istnieje element najmniejszy. II. W B nie istnieje element najmniejszy.

3 Liczby wymierne i liczby niewymierne jako przekroje I. A = a Q: a < 1, B = a Q: a 1 II. A = {a Q: a < 0 a 2 < 2}, B = Q A liczby wymierne = przekroje typu I liczby niewymierne = przekroje typu II

4 Trzy sposoby definiowania liczb rzeczywistych warunek Cauchy W zbiorze nieskończonych ciągów o wyrazach wymiernych spełniających warunek Cauchy wprowadza się relację równoważności: { a } ~ { b } lim( a b ) 0 n n n n n [{( 1 1/ n) n }] e liczba rzeczywista = klasa abstrakcji opisanej relacji

5 Trzy sposoby definiowania liczb rzeczywistych Weierstrass liczba rzeczywista = szereg i=0 10 i gdzie a 0 Z, a 1, a 2, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, przy czym wykluczamy sytuację, gdy a i0 = a i0 +1 = = 9. a i

6 Twierdzenie 23 Liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub nieskończone okresowe. Liczba wymierna l/m (ułamek nieskracalny) ma rozwinięcie dziesiętne skończone wtedy i tylko wtedy, gdy m = 2 α 5 β, gdzie α, β N {0}. Niech l/m będzie ułamkiem nieskracalnym o rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym. Wówczas długość okresu tego rozwinięcia jest dzielnikiem liczby φ(m).

7 Przybliżenia liczb PROBLEM Dla danej liczby rzeczywistej x i danej liczby naturalnej naturalnej n szukamy liczby wymiernej l/m takiej, że m n oraz l/m jest najlepszym przybliżeniem x.

8 Przybliżenia Obejrzymy teraz mini-procedurę do szukania najlepszych przybliżeń. bliskiulamek[x_,m_]:=min[table[abs[x-k/m],{k,floor[x]*m,(floor[x]+1)*m}]]; f[x_,m_]:=manipulate[bliskiulamek[x,n],{n,1,m,1}];

9 Przybliżenia liczb; przykład: Pi Zaznaczone przybliżenia zawdzięczamy Archimedesowi.

10 Ułamki łańcuchowe skończone Definicja. Zapis: [a 0 ; a 1,, a n ] Obserwacja: Każdy skończony ułamek łańcuchowy arytmetyczny jest liczbą wymierną, każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci skończonego ułamka łańcuchowego arytmetycznego. Przykład: 51/22 = [2;3,7] = [2;3,6,1] problem jednoznaczności.

11 Wizualizacja: autor Štefan Porubský

12 Ułamki łańcuchowe (MATHEMATICA) ContinuedFraction[51/22]={2,3,7} ContinuedFraction[Sqrt[2],10]={1,2,2,2,2,2,2,2,2,2} ContinuedFraction[E,20]={2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1} ContinuedFraction[Pi,100]={3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2, 2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7,1,2,3,7,1,2,1,1,12,1,1,1,3,1,1,8,1,1,2,1,6,1,1,5,2,2,3,1,2,4,4,16,1,161,45,1,22,1,2,2,1, 4,1,2,24,1,2,1,3,1,2,1,1,10}

13 Gra EUKLIDES Wybieramy dwie startowe różne liczby naturalne. (np. 13 i 5) Gracz rozpoczynający grę (A) od większej liczby startowej odejmuje niezerową wielokrotność liczby mniejszej, tak aby otrzymana różnica była nieujemna = 8 Gracz B (grający jako drugi) rozpatruje nową parę (w przykładzie 8 i 5) i od większej liczby odejmuje niezerową wielokrotność liczby mniejszej, tak aby otrzymana różnica była nieujemna. (8 5 1 = 3) Gracze A i B na zmianę wykonują swoje ruchy. Wygrywa ten, kto otrzyma różnicę równą 0. Pierwsze publiczne pojawienie się tej gry praca A. Cole a i A. Davie z 1969 roku. Gracz rozpoczynający wygrywa wtedy i tylko wtedy, gdy a/b (1 + 5)/2 1,62. (A. Schwenk)

14 Wizualizacja gry EUKLIDES Start: (13,5) 13 5 = [2; 1,1,2]

15 Twierdzenie 24 Niech a, b N, a > b, a = [a b 0; a 1,, a n ]. W grze EUKLIDES z liczbami startowymi a, b, gracz A (rozpoczynający) ma strategię zwycięską wtedy i tylko wtedy, gdy liczba j = min {i: a i > 1} jest parzysta.

16 Ułamki łańcuchowe (MATHEMATICA) Definicja reduktu k-tego rzędu. redukty

17 ContinuedFraction[ ] FromContinuedFraction[ ]

18 Twierdzenie 25 Każdą liczbę niewymierną α można przedstawić jednoznacznie w postaci nieskończonego ułamka arytmetycznego 1 a 0 + a 1 + 1, a to znaczy α = lim n δ n, gdzie δ n = [a 0 ; a 1,, a n ]. Dowód następny wykład.

19 Przykład 2 = 1; 2,2, = [1; 2 ]

20 MZ: 34/str.29 Egzamin

21 Zaproszenie Liczby całkowite mają wiele tajemniczych właściwości. Pewną z nich zainteresował się najbliższy nasz prelegent, Pan Wojciech Pachocki. Zamierza nam o tym opowiedzieć we czwartek 25 kwietnia, o godzinie 17, w odczycie pod tytułem: Informatyk w świecie geombinatoryki Oto, jak autor zapowiada treść swojego wystąpienia: Wielokąt kratowy to taki, którego wszystkie wierzchołki mają obie współrzędne całkowite. Niech a(n) oznacza najmniejsze spośród pól n-kątów wypukłych kratowych. Od 2001 r. wiadomo, że lim a(n)/n^3 istnieje. Zaciekawiło mnie, ile ta granica wynosi. Zacząłem konstruować pewne n-kąty wypukłe kratowe i wśród nich doszukiwałem się prawidłowości. O wynikach tych poszukiwań i sposobie dotarcia do nich chcę opowiedzieć. Spotkanie: aula 1, Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki UG.