Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II

Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II (semestr letni 2009/10) Wyk ady s ¾a udost ¾epniane na stronie: http://math.uni.lodz.pl/marstud/ Pytania prosz ¾e kierować na adres: marstud@math.uni.lodz.pl

1 Poj ¾ecie krótkiej sprzeda zy Przyk ad 1. Inwestor I przewiduje, ze cena akcji spó ki A obecnie 100$ za sztuk ¾e pod koniec roku spadnie do poziomu 95$ (wartość oczekiwana). Ponadto I spodziewa si ¾e wtedy wyp aty dywidendy w wysokości 3$ za jedn ¾a akcj ¾e. Zatem zakup przez I jednej akcji spó ki A poci ¾agnie za sob ¾a nast ¾epuj ¾ace przep ywy gotówki: Czas: obecnie koniec roku Zakup akcji: 100 Dywidenda: +3 Sprzeda z akcji: +95 Suma przep ywów: 100 +98

W tej sytuacji inwestor I nie zechce trzymać akcji spó ki A w swoim portfelu. Co wi ¾ecej, najch ¾etniej posiada by on ujemn ¾a liczb ¾e takich akcji. Jak mo ze tego dokonać? Przypuśćmy, ze inny inwestor J równie z posiada akcje spó ki A, ale nie chce ich sprzedawać. Inwestor I mo ze po zyczyć akcj ¾e A od J, zapewniaj ¾ac mu jednocześnie, ze nie straci on zadnych korzyści wynikaj ¾acych z posiadania akcji. I sprzedaje teraz akcj ¾e A i otrzymuje 100$, z których 3$ przekazuje J na zrekompensowanie niezrealizowanej wyp aty dywidendy. Ani I ani J nie posiadaj ¾a teraz akcji A faktyczn ¾a dywidend ¾e otrzymuje jej aktualny w aściciel. Pod koniec roku I kupuje akcj ¾e A za 95$ i zwraca pierwotnemu w aścicielowi J. Przep ywy gotówki dla I wygl ¾adaj ¾a teraz tak:

Czas: obecnie koniec roku Sprzeda z akcji: +100 Dywidenda: 3 Zakup akcji: 95 Suma przep ywów: +100 98

2 Ekstrema warunkowe regu a mno zników Lagrange a Niech G b ¾edzie podzbiorem otwartym przestrzeni R n i niech 1 k n. Niech f : G! R i ' : G! R k b ¾ed ¾a danymi funkcjami. Określamy zbiór Zak adamy, ze S 6= ;. S := fx 2 G : '(x) = 0g: (1)

Mówimy, ze funkcja f ma w punkcie x 2 S lokalne minimum [maksimum] warunkowe (na zbiorze S), je zeli istnieje takie otoczenie U punktu x (U G), ze f(x) f(x) [ f(x) f(x) ] dla ka zdego x 2 S \ U. Mówimy, ze funkcja f ma w punkcie x 2 S ścis e lokalne minimum [maksimum] warunkowe (na zbiorze S), je zeli istnieje takie otoczenie U punktu x (U G), ze f(x) < f(x) [ f(x) > f(x) ] dla ka zdego x 2 S \ Unfxg.

Twierdzenie 1. Za ó zmy, ze w pewnym otoczeniu U punktu x 2 S funkcje f i ' maja¾ ciag e ¾ pierwsze pochodne czastkowe ¾ oraz rf(x) 6= 0 i Rank ' 0 (x) = k. (a) (warunki konieczne) Je zeli f ma w punkcie x lokalne ekstremum warunkowe, to istnieja¾ liczby rzeczywiste 1 ; :::; k takie, ze funkcja Lagrange a L : U R k! R okre slona wzorem spe nia warunek L(x; ) := f(x) + kx i=1 i ' i (x) (2) @L @x j (x; ) = 0, j = 1; :::; n. (3)

(b) (warunki dostateczne) Niech x 2 S bedzie ¾ punktem spe niajacym ¾ warunki konieczne (3). Za ó zmy dodatkowo, ze f i ' maja¾ ciag e ¾ drugie pochodne czastkowe. ¾ Je zeli hr 2 L(x; )h T = nx i;j=1 h i h j @ 2 L @x i @x j (x; ) > 0 (4) dla ka zdego wektora h = (h 1 ; :::; h n ) ró znego od zera i spe niajacego ¾ warunek hr' i (x); hi = nx j=1 @' i @x j (x)h j = 0, i = 1; :::; k; (5) to f ma w punkcie x scis e lokalne minimum warunkowe. Je zeli hr 2 L(x; )h T < 0 (6) dla ka zdego wektora h ró znego od zera i spe niaj ¾ acego warunek (5), to f ma w punkcie x scis e lokalne maksimum warunkowe.

Je zeli hr 2 L(x; )h T przyjmuje zarówno warto sci dodatnie jak i ujemne dla h spe niajacych ¾ (5), to f nie ma lokalnego ekstremum warunkowego w punkcie x. Uwaga. Ze wzoru (2) wynika, ze dla dowolnego i 2 f1; :::; kg pochodna cz ¾astkowa @ @L (x; ) nie zale zy od wektora i jest równa ' i i (x). St ¾ad i z (1) otrzymujemy S := ( x 2 G : @L @ i (x) = 0, i = 1; :::; k ) : (7)

3 Wyznaczanie portfela minimalnego ryzyka przy dopuszczalnej krótkiej sprzeda zy 3.1 Przypadek zadanej oczekiwanej stopy zysku Niech u = (u 1 ; :::; u m ) b ¾edzie wektorem, którego wspó rz ¾ednymi s ¾a udzia y akcji 1; :::; m w portfelu. Poniewa z dopuszczamy mo zliwość krótkiej sprzeda zy, udzia y te nie musz ¾a być nieujemne. Zatem u nale zy do zbioru P m := 8 < : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : mx j=1 9 = u j = 1 ; : (8)

Niech 0 b ¾edzie zadan ¾a oczekiwan ¾a stop ¾a zysku portfela u. Rozwa zamy nast ¾epuj ¾ace zadanie optymalizacji: 8 >< >: Var R(u) = ucu T! min; P mi=1 u i = 1; P mi=1 u i i = 0 ; gdzie C jest macierz ¾a kowariancji wektora stóp zysku akcji 1; :::; m, a = ( 1 ; :::; m ) wektorem oczekiwanych stóp zysku tych akcji. Celem zadania (9) jest znalezienie portfela minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku 0. (9) Do rozwi ¾azania zadania (9) zastosujemy metod ¾e mno zników Lagrange a. Najpierw tworzymy funkcj ¾e Lagrange a: 0 1 0 1 mx mx mx L(u; ) = c ij u i u j + 1 @ u i 1A + 2 @ u i i A 0 ; (10) i;j=1 i=1 i=1

a nast ¾epnie ró zniczkujemy j ¾a kolejno wzgl ¾edem zmiennych u 1 ; :::; u m, korzystaj ¾ac z symetrii macierzy C: 8 >< >: @L @u 1 (u; ) = 2(c 11 u 1 + ::: + c 1m u m ) + 1 + 2 1 ;. @L @u m (u; ) = 2(c m1 u 1 + ::: + c mm u m ) + 1 + 2 m : Teraz ró zniczkujemy L wzgl ¾edem 1 i 2 : @L @ 1 (u; ) = @L @ 2 (u; ) = mx i=1 mx i=1 (11) u i 1; (12) u i i 0 : (13) Tak obliczone pochodne przyrównujemy do zera, uzyskuj ¾ac w ten sposób uk ad równań

8 >< >: 2Cu T + 1 1 T k + 2 T = 0; 1 k u T = 1; u T = 0 ; który w postaci macierzowo-blokowej mo zna zapisać jako 2 6 4 2C 1 T k T 1 k 0 0 0 0 3 2 7 6 5 4 u T 1 2 3 7 5 = 2 6 4 0 k 1 0 3 (14) 7 5 ; (15) gdzie 1 k = (1; :::; 1) 2 R k oraz 0 k = (0; :::; 0) 2 R k. Uwzgl ¾edniaj ¾ac wzór (128), cz. I, mo zna uk ad (15) zapisać nast ¾epuj ¾aco:

2 6 4 2 2 1 2 1 2 12 2 1 m 1m 1 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 m 2m 1 2........ 2 1 m 1m 2 2 m 2m 2 2 m 1 m 1 1 1 0 0 1 2 m 0 0 3 2 7 6 5 4 u 1 u 2. u m 1 2 3 7 5 = 2 6 4 0 0. 0 1 0 3 7 5 : (16) Oznaczaj ¾ac przez A macierz kwadratow ¾a wyst ¾epuj ¾ac ¾a w (16), a przez z i b odpowiednie wektory kolumnowe, zapisujemy (16) w postaci Az = b: (17) Mo zna wykazać, ze je zeli macierz kowariancji C jest nieosobliwa, to tak ze macierz A jest nieosobliwa. Wtedy rozwi ¾azanie uk adu (17) jest dane wzorem z = A 1 b: (18)

3.2 Przypadek dowolnej oczekiwanej stopy zysku Teraz poszukujemy portfela minimalnego ryzyka przy wszystkich mo zliwych oczekiwanych stopach zysku. Wówczas zamiast zadania optymalizacji (9) mamy jego uproszczon ¾a wersj ¾e ( Var R(u) = ucu T! min; P mi=1 (19) u i = 1; w której nie wyst ¾epuje ograniczenie na oczekiwan ¾a stop ¾e zysku portfela. W tym przypadku mamy tylko jeden mno znik Lagrange a 1 zwi ¾azany z jednym ograniczeniem typu równości. Post ¾epuj ¾ac analogicznie jak w poprzednim przypadku, dochodzimy do nast ¾epuj ¾acego uk adu równań, b ¾ed ¾acego uproszczon ¾a wersj ¾a (16):

2 6 6 6 6 6 6 4 2 2 1 2 1 2 12 2 1 m 1m 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 m 2m 1....... 2 1 m 1m 2 2 m 2m 2 2 m 1 1 1 1 1 0 3 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 4 u 1 u 2. u m 1 3 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 4 0 0. 0 1 3 7 7 7 7 7 7 5 : (20) Uwagi dotycz ¾ace rozwi ¾azania tego uk adu s ¾a takie same jak poprzednio.

4 Portfele zawieraj ¾ace papier wartościowy pozbawiony ryzyka 4.1 Rozszerzenie modelu podstawowego Markowitza Rozwa zamy sytuacj ¾e, gdy w portfelu papierów wartościowych oprócz akcji ponumerowanych od 1 do m znajduje si ¾e dodatkowy papier wartościowy pozbawiony ryzyka (np. obligacja skarbowa o sta ym oprocentowaniu lub bon skarbowy), oznaczony numerem 0. Tworzymy nowy zbiór portfeli papierów wartościowych ^P m+1 := 8 < :^u = (u 0; u 1 ; :::; u m ) 2 R m+1 : u i 0; i = 0; 1; :::; m; mx j=0 u j = 1 (21) 9 = ; ;

na którym określone jest rozszerzenie odwzorowania Markowitza nast ¾epuj ¾aco: ^M(^u) := ((^u); ER(^u)), ^u 2 ^P m+1 : (22) Dla m akcji mamy wektor = ( 1 ; :::; m ) oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), natomiast przez 0 oznaczamy ustalon ¾a (niezale zn ¾a od sytuacji losowej) stop ¾e zysku papieru pozbawionego ryzyka. Oczywiście sensowne jest rozwa zanie sytuacji, gdy 0 > 0. Macierz kowariancji stóp zysku dla nowego modelu ma postać ^C = 2 6 4 3 0 0 0 0 c 11 c 1m 7...... 5 : (23) 0 c m1 c mm

Stwierdzenie 1. Zbiór mo zliwo sci ^M dla modelu Markowitza rozszerzonego o papier warto sciowy pozbawiony ryzyka ma postać ^M = ^M ^P m+1 = [ (x;y)2m [(0; 0 ); (x; y)]; (24) gdzie M jest zbiorem mo zliwo sci dla modelu podstawowego Markowitza, zawierajacego ¾ akcje od 1 do m. Dowód. : Niech ^u = (u 0 ; u 1 ; :::; u m ) 2 ^P m+1, ^u 6= (1; 0; :::; 0). Oznaczmy u := (u 1 ; :::; u m ), C := [c ij ] m i;j=1, := P m i=1 u i, wówczas u 0 = 1, 2 (0; 1]. Uwzgl ¾edniaj ¾ac (23) oraz fakt, ze u= 2 P m, mo zemy wyrazić ryzyko rozszerzonego portfela ^u za pomoc ¾a ryzyka portfela akcji u: (^u) = q ^u ^C ^u T = p ucu T = s u C u T = u : (25)

Obliczmy teraz oczekiwan ¾a stop ¾e zysku portfela ^u: ER(^u) = mx i=0 u i i = (1 ) 0 + Ze wzorów (25) i (26) otrzymujemy mx i=1 u i i = (1 ^M (^u) = ((^u); ER(^u)) = (1 )(0; 0 ) + = (1 )(0; 0 ) + M u ) 0 +ER u ; ER u u : (26) : (27) Zatem punkt ^M (^u) le zy na odcinku ((0; 0 ); M(u=)], gdzie M(u=) 2 M, a wi ¾ec ^M (^u) nale zy do prawej strony (24). Pozostaje jeszcze zauwa zyć, ze obraz portfela (1; 0; :::; 0) 2 ^P m+1, z o zonego tylko z papieru o zerowym ryzyku, tak ze nale zy do prawej strony (24), poniewa z ^M((1; 0; :::; 0)) = (0; 0 ): (28)

: Ka zdy punkt zbioru po prawej stronie (24) jest postaci (1 )(0; 0 ) + M (w) (29) dla pewnych 2 [0; 1], w 2 P m. Jeśli > 0, to przyjmuj ¾ac u := w, otrzymujemy postać z końca wzoru (27). Przechodz ¾ac przez wszystkie równości pierwszej cz ¾eści dowodu w odwrotnej kolejności, wnioskujemy, ze punkt (29) jest równy ^M (^u) dla pewnego ^u 2 ^P m+1. Jeśli = 0, to punkt (29) jest postaci (28).

4.2 Wykorzystanie portfela rynkowego Obecnie przedstawimy prostszy od poprzedniego model portfela zawieraj ¾acego akcje oraz papier wartościowy pozbawiony ryzyka. Rozwa zamy portfel dwusk adnikowy, w którym pierwszy sk adnik stanowi ¾a papiery wartościowe o zerowym ryzyku (zak adamy, ze maj ¾a one t ¾e sam ¾a sta ¾a stop ¾e zysku, zwan ¾a stop ¾a zysku woln ¾a od ryzyka), a drugi sk adnik to portfel efektywny zawieraj ¾acy akcje. Wprowadzamy oznaczenia: ER e oczekiwana stopa zysku portfela efektywnego, R f stopa zysku wolna od ryzyka (poprzednio oznaczana 0 ), e ryzyko portfela efektywnego,

w f udzia papierów wolnych od ryzyka w portfelu dwusk adnikowym (w f 2 [0; 1]). Wówczas 1 w f jest udzia em portfela efektywnego akcji w portfelu dwusk adnikowym. Rozwa zany portfel dwusk adnikowy mo zna uto zsamiać z wektorem udzia ów w = (w f ; 1 w f ). Jego oczekiwana stopa zysku dana jest wzorem ER(w) = w f R f + (1 w f )ER e : (30) Ze wzorów (128) i (129), cz. I, wynika, ze ryzyko portfela u wynosi (w) = (1 w f ) e : (31) Poszukiwanie optymalnych portfeli dwusk adnikowych wy zej opisanego typu sprowadza si ¾e do poszukiwania takiej pó prostej wychodz ¾acej z punktu (0; R f ) i przecinaj ¾acej granic ¾e efektywn ¾a F zbioru mo zliwości M, która posiada najwi ¾ekszy wspó czynnik k ¾atowy. Najlepsz ¾a pó prost ¾a jest zatem styczna do zbioru F

ma ona z tym zbiorem jeden punkt wspólny, odpowiadaj ¾acy tzw. portfelowi rynkowemu (market portfolio), który oznaczamy u M. Optymalne portfele zawieraj ¾ace akcje i papiery wolne od ryzyka le z ¾a na odcinku [(0; R f ); M(u M )], który jest cz ¾eści ¾a prostej o równaniu R f y = ER M x + R f ; (32) M gdzie M(u M ) = ( M ; ER M ) (pierwsza wspó rz ¾edna jest ryzykiem, a druga oczekiwan ¾a stop ¾a zysku portfela rynkowego). Prosta (32) nazywa si ¾e lini ¾a rynku kapita owego (CML capital market line).

5 Formy kwadratowe i ich określoność Funkcj ¾e F : R n! R określon ¾a wzorem F (x) := nx nx i=1 j=1 a ij x i x j ; (33) gdzie a ij 2 R, a ij = a ji oraz x = (x 1 ; :::; x n ), nazywamy form ¾a kwadratow ¾a na R n. Form ¾e kwadratow ¾a (33) mo zna te z zapisać w postaci F (x) = xax T ; (34) gdzie A = [a ij ] n i;j=1. Macierz A nazywamy macierz ¾a formy kwadratowej. Ka zda symetryczna macierz kwadratowa jest macierz ¾a pewnej formy kwadratowej.

Form ¾e kwadratow ¾a F nazywamy (macierz A nazywamy) (a) dodatnio [ujemnie] określon ¾a, je zeli F (x) > 0 [ F (x) < 0 ] dla ka zdego x 2 R n nf0g, (b) dodatnio [ujemnie] pó określon ¾a lub nieujemnie [niedodatnio] określon ¾a, je zeli F (x) 0 [ F (x) 0 ] dla ka zdego x 2 R n, (c) nieokreślon ¾a, je zeli istniej ¾a takie x 1, x 2 2 R n, ze F (x 1 ) > 0 i F (x 2 ) < 0. Oznaczmy przez M i ; i = 1; :::; n nast ¾epuj ¾ace wyznaczniki: M 1 := ja 11 j ; M 2 := a 11 a 12 a 21 a 22 ; :::; M n = ja n j : (35)

Wyznaczniki (35) nazywamy (wiod ¾acymi) minorami g ównymi macierzy A. Nast ¾epuj ¾ace twierdzenie jest przydatne do sprawdzania warunków dostatecznych minimum lub maksimum lokalnego funkcji wielu zmiennych. Twierdzenie 2 (Sylwestera). (a) Je zeli to forma F jest dodatnio określona. M k > 0; k = 1; :::; n; (36) (b) Je zeli to forma F jest ujemnie określona. ( 1) k M k > 0; k = 1; :::; n; (37)

(c) Je zeli M k 0; k = 1; :::; n 1; M n = 0; (38) to forma F jest dodatnio pó określona. (d) Je zeli ( 1) k M k 0; k = 1; :::; n 1; M n = 0; (39) to forma F jest ujemnie pó określona. (e) Je zeli nie jest spe niony zaden z warunków (36) (39), to forma F jest nieokreślona.

6 Metoda najmniejszych kwadratów Przypuśćmy, ze interesuje nas zale zność mi ¾edzy pewnymi obserwowanymi wielkościami x i y. Za ó zmy, ze dysponujemy danymi statystycznymi w postaci zbioru punktów na p aszczyźnie (x i ; y i ); i = 1; :::; n; (40) które wskazuj ¾a, ze zale zność t ¾e mo zna w przybli zeniu opisać funkcj ¾a liniow ¾a y = ax + b: (41) Zadanie polega na znalezieniu takich parametrów a i b prostej (41), aby ta prosta by a jak najlepiej dopasowana do wyników obserwacji (40).

Jako kryterium dopasowania przyjmujemy sum ¾e kwadratów odchyleń punktów (x i ; y i ) od prostej, mierzonych w kierunku równoleg ym do osi pionowej. Zatem poszukujemy takich liczb a i b, dla których suma S(a; b) := jest najmniejsza. Zak adamy, ze nx i=1 (y i ax i b) 2 (42) n > 1 i co najmniej dwie wartości x i s ¾a ró zne. (43) W dalszym ci ¾agu sum ¾e P n i=1 b ¾edziemy oznaczać krótko przez P. W celu wyznaczenia minimum funkcji S rozwi ¾a zemy uk ad równań @S @a (a; b) = 2 X (y i ax i b)( x i ) = 0; (44) @S @b (a; b) = 2 X (y i ax i b)( 1) = 0; (45)

który jest równowa zny uk adowi a X x 2 i + b X x i = X x i y i ; (46) a X x i + bn = X y i : (47) Wprowadźmy oznaczenia x := 1 n X xi ; y := 1 n X yi : (48) Dziel ¾ac równanie (47) przez n, otrzymujemy ax + b = y, sk ¾ad b = y St ¾ad i z (46) ax. a X x 2 i + (y ax) X x i = X x i y i ; czyli a X x i (x i x) = X x i (y i y): (49)

Zauwa zmy, ze X (xi x) 2 = X (x i x)(x i x) = X x i (x i x) = X x i (x i x) x X x i + nx 2 X x(xi = X x i (x i x) nx 2 + nx 2 = X x i (x i x): (50) Podobnie dowodzimy, ze X (xi x)(y i y) = X x i (y i y): (51) x) Z równości (49) (51) otrzymujemy wzory na parametry szukanej prostej: a = P (xi x)(y i y) P (xi x) 2 ; b = y ax; (52) przy czym z za o zenia (43) wynika, ze P (x i x) 2 6= 0.

Dla wykazania, ze punkt o wspó rz ¾ednych (52) jest na pewno punktem minimum funkcji S, sprawdzimy jeszcze warunki dostateczne. Obliczmy drugie pochodne cz ¾astkowe S: @ 2 S @a 2 (a; b) = 2 X x 2 i ; @ 2 S (a; b) = 2n; @b2 @ 2 S @a@b (a; b) = @2 S @b@a (a; b) = 2 X x i : Zatem macierz Hessego funkcji S w dowolnym ustalonym punkcie (a; b) jest postaci " P r 2 2 x 2 S(a; b) = i 2 P # x i 2 P : (53) x i 2n

Z Twierdzenia 1(b) (dla przypadku zadania minimalizacji bez ograniczeń) wynika, ze S osi ¾aga minimum lokalne w punkcie krytycznym (a; b) (tj. spe niaj ¾acym warunki konieczne (44) (45)), je zeli forma kwadratowa h 7! hr 2 S(a; b)h T jest dodatnio określona, gdzie h = (h 1 ; h 2 ) (lub, co jest równowa zne, macierz (53) jest dodatnio określona). Aby to wykazać, w nierówności Schwarza hx; yi 2 < hx; xi hy; yi ; dla x; y 2 R n ; x 6= y; 2 R; podstawmy y = (1; :::; 1) 2 R n. Otrzymujemy X xi 2 < n X x 2 i ; co oznacza, ze wyznacznik macierzy (53) jest dodatni. To wraz z nierówności ¾a 2 P x 2 i > 0 daje dodatni ¾a określoność tej macierzy. Poniewa z istnieje tylko jeden punkt krytyczny, wi ¾ec minimum jest globalne.

7 Model jednowskaźnikowy Sharpe a Jest to model upraszczaj ¾acy klasyczn ¾a teori ¾e portfela. Opiera si ¾e na za o zeniu, ze kszta towanie si ¾e stóp zysku akcji jest zdeterminowane dzia aniem czynnika odzwierciedlaj ¾acego zmiany na rynku kapita owym. Z obserwacji wynika, ze na wielu rynkach kapita owych stopy zysku wi ¾ekszości akcji s ¾a zwi ¾azane ze stop ¾a zwrotu indeksu rynku (lub gie dy). Indeks ten spe nia m.in. nast ¾epuj ¾ace funkcje: 1) w sposób syntetyczny informuje o sytuacji na rynku, 2) jest instrumentem pierwotnym dla instrumentów pochodnych (opcji, kontraktów futures i forward), 3) stanowi punkt odniesienia przy ocenie efektywności inwestowania,

4) mo ze być traktowany jako substytut portfela rynkowego. Zale zność stopy zysku pojedynczej akcji A od stopy zysku indeksu rynku dana jest równaniem regresji gdzie: R A = A + A R M + e A ; (54) R A stopa zysku akcji A, R M stopa zysku indeksu rynku, A ; A wspó czynnik alfa i wspó czynnik beta akcji A, e A sk adnik losowy równania (zwi ¾azany z akcj ¾a A). Zak ada si ¾e, ze e A jest zmienn ¾a losow ¾a o wartości oczekiwanej 0.

W praktyce do prognozowania stopy zysku akcji A u zywa si ¾e modelu przybli zonego, w którym pomija si ¾e sk adnik losowy: R A = A + A R M : (55) Jest to równanie prostej, któr ¾a nazywa si ¾e lini ¾a charakterystyczn ¾a akcji (lub ogólniej papieru wartościowego). Wspó czynnik beta akcji wskazuje, w jakim stopniu stopa zysku akcji reaguje na zmiany stopy zysku indeksu rynku. W szczególności: 0 < A < 1 oznacza, ze stopa zysku akcji A w ma ym stopniu reaguje na zmiany zachodz ¾ace na rynku; taka akcja nazywana jest akcj ¾a defensywn ¾a; A > 1 oznacza, ze stopa zysku akcji A w du zym stopniu reaguje na zmiany zachodz ¾ace na rynku; taka akcja nazywana jest akcj ¾a agresywn ¾a;

A = 1 oznacza, ze stopa zysku akcji A zmienia si ¾e w takim samym stopniu jak stopa zysku rynku; A < 0 oznacza, ze stopa zysku akcji A reaguje na zmiany odwrotnie ni z rynek. Przypuśćmy, ze chcemy oszacować lini ¾e charakterystyczn ¾a akcji na podstawie danych z przesz ości. Za ó zmy, ze dysponujemy danymi z n okresów. Oznaczmy: R A;i stopa zysku akcji A w i-tym okresie, R M;i stopa zysku indeksu rynku w i-tym okresie, R A średnia arytmetyczna stóp zysku akcji A,

R M średnia arytmetyczna stóp zysku indeksu rynku. Wówczas ró znica mi ¾edzy faktycznie osi ¾agni ¾et ¾a stop ¾a zysku akcji A w i-tym okresie a stop ¾a zysku wynikaj ¾ac ¾a z równania (55) b ¾edzie wynosi a i := e A;i = R A;i A A R M;i ; (56) gdzie e A;i oznacza wartość sk adnika losowego wyst ¾epuj ¾ac ¾a w i-tym okresie. Liczba i reprezentuje b ¾ad wynikaj ¾acy z zastosowania modelu jednowskaźnikowego do przewidzenia stopy zysku akcji A w i-tym okresie. Sensowny jest taki wybór wspó czynników A i A, przy którym b ¾edy i (i = 1; :::; n) s ¾a mo zliwie najmniejsze (co do wartości bezwzgl ¾ednej). Aby to uzyskać, wybieramy takie wartości A i A, dla których osi ¾agni ¾ete jest minimum funkcji nx RA;i A A R M;i 2 : (57) i=1 2 i = nx i=1

Jest to szczególny przypadek zadania minimalizacji funkcji (42) (metoda najmniejszych kwadratów). Stosuj ¾ac wzory (52) dla x i = R M;i, y i = R A;i, otrzymujemy A = P ni=1 (R M;i R M )(R A;i R A ) P ni=1 (R M;i R M ) 2 ; A = R A A R M : (58) Powróćmy teraz do modelu (54). Z równania tego wynika nast ¾epuj ¾aca zale zność pomi ¾edzy oczekiwanymi stopami zysku indeksu rynku oraz akcji A: ER A = A + A ER M (59) (w dowodzie wykorzystujemy za o zenie, ze Ee A = 0). Za ó zmy teraz dodatkowo, ze zmienne losowe e A i R M s ¾a nieskorelowane, to znaczy Cov(e A ; R M ) = E [(e A 0) (R M ER M )] = 0: (60)

Brak korelacji pomi ¾edzy e A i R M oznacza, ze dok adność, z jak ¾a równanie (54) opisuje stop ¾e zysku dowolnej akcji A, jest niezale zna od zmian stopy zysku indeksu rynku. Przy tym za o zeniu z (54) wynika nast ¾epuj ¾acy wzór na wariancj ¾e stopy zysku akcji A: Var R A = 2 A Var R M + Var e A (61) (w dowodzie wykorzystujemy (60) oraz Twierdzenie 4 o wariancji sumy zmiennych losowych z cz. I wyk adu). Zale zność (61) pokazuje, ze ryzyko akcji A (mierzone za pomoc ¾a wariancji), tzw. ryzyko ca kowite, jest sum ¾a nast ¾epuj ¾acych dwóch sk adników: 2 A Var R M ryzyko systematyczne (lub rynkowe) zale zy od ryzyka indeksu rynku oraz od wspó czynnika beta, określaj ¾acego, w jakim stopniu stopa zysku akcji A reaguje na zmiany stopy zysku indeksu rynku; Var e A ryzyko specy czne (lub niesystematyczne) jest to cz ¾eść ryzyka zwi ¾azana tylko z dan ¾a akcj ¾a i nie zale z ¾aca od rynku.

8 Zadanie optymalizacji wielokryterialnej Niech S b ¾edzie niepustym podzbiorem R n i niech f : S! R p b ¾edzie dan ¾a funkcj ¾a wektorow ¾a. Zak adamy, ze przestrzeń R p jest cz ¾eściowo uporz ¾adkowana w naturalny sposób, tzn. określona jest relacja (dla w; v 2 R p ) (w v), (w i v i ; i = 1; :::; p) ; (62) która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Rozwa zamy zadanie optymalizacji wielokryterialnej w ogólnej postaci: ( f(x)! min; (63) x 2 S: W praktyce zbiór S jest zwykle zde niowany za pomoc ¾a pewnego uk adu równań i/lub nierówności.

Mówimy, ze punkt x 2 S jest punktem optymalnym w sensie Pareto (lub punktem efektywnym, lub punktem niezdominowanym) dla zadania (63), je zeli nie istnieje x 2 S taki, ze oraz f i (x) f i (x); i = 1; :::; p (64) f(x) 6= f(x): (65) Uwaga. Je zeli spe nione s ¾a nierówności (64), to warunek (65) oznacza, ze przynajmniej jedna z tych nierówności jest ostra. Sformu ujemy teraz warunek równowa zny optymalności w sensie Pareto. Niech T R p b ¾edzie dowolnym niepustym zbiorem. Punkt y 2 T nazywamy punktem minimalnym zbioru T, je zeli 8y 2 T : y y ) y y: (66)

Stwierdzenie 2. Punkt x 2 S jest optymalny w sensie Pareto dla zadania (63) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) jest punktem minimalnym zbioru f(s). Omówimy teraz wybrane metody numeryczne rozwi ¾azywania zadania (63), z uwzgl ¾ednieniem ich mo zliwych zastosowań w analizie portfelowej. 9 Metoda Polaka dla zadania dwukryterialnego Celem tej metody jest skonstruowanie dyskretnej aproksymacji zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania (63) w przypadku, gdy p = 2. Zak adamy, ze zbiór S jest zwarty, a funkcja f jest ci ¾ag a.

Krok 1. Wyznaczyć liczby a := minff 1 (x) : x 2 Sg; b := f 1 (x); (67) gdzie x jest punktem w S spe niaj ¾acym warunek f 2 (x) = minff 2 (x) : x 2 Sg (68) (jeśli takich punktów jest wi ¾ecej ni z jeden, to jako x przyjmujemy dowolny z nich). Krok 2. Dla dowolnie wybranego r 2 N wyznaczyć punkty dyskretyzacji 1 := a + k b a ; k = 0; 1; :::; r: (69) r y (k)

Krok 3. Dla ka zdego punktu dyskretyzacji y (k) 1 (k = 0; 1; :::; r) obliczyć rozwi ¾azanie x (k) zadania optymalizacji z ograniczeniami po czym przyj ¾ać 8 >< >: f 2 (x)! min; x 2 S; f 1 (x) = y (k) 1 ; (70) y (k) 2 := f 2 (x (k) ); k = 0; 1; :::; r: (71) Krok 4. Z ci ¾agu liczb y (0) 2 ; y(1) 2 ; :::; y(r) 2 usun ¾ać te liczby y (j) 2 (j = 1; :::; r), dla których y (j) (j 1) 2 y 2. Wówczas pozosta e liczby utworz ¾a ci ¾ag ściśle malej ¾acy y (k 0) 2 > y (k 1) 2 > y (k 2) 2 > ::: (72)

Krok 5. Utworzyć zbiór skończony n x (k 0 ) ; x (k 1) ; x (k 2) ; ::: o (73) z o zony z punktów x (k) zwi ¾azanych wzorem (71) z wybranymi liczbami (72). Zbiór ten jest szukan ¾a aproksymacj ¾a zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania (63). Natomiast zbiór punktów na p aszczyźnie y (k 0) 1 ; y (k 0) 2 ; y (k 1) 1 ; y (k 1) 2 ; y (k 2) 1 ; y (k 2) 2 ::: (74) jest aproksymacj ¾a zbioru wszystkich punktów minimalnych obrazu f(s).

Uwagi. (a) Im wi ¾eksza jest liczba r wybrana w kroku 2, tzn. im wi ¾ecej jest punktów dyskretyzacji, tym dok adniejsza jest aproksymacja uzyskana w kroku 5. W przypadku, gdy rozwi ¾azania zadań (70) nie s ¾a jednoznaczne, zbiór (73) mo ze nie pokrywać (z dok adności ¾a odpowiedni ¾a do dyskretyzacji) ca ego zbioru punktów optymalnych w sensie Pareto, ale mimo to zbiór (74) pokrywa z t ¾a dok adności ¾a zbiór punktów minimalnych f(s). Tak wi ¾ec, chocia z pewne punkty optymalne w sensie Pareto mog ¾a zostać pomini ¾ete, to jednak zbiór (73) pozwala na dokonanie wyboru spośród wszystkich interesuj ¾acych dla u zytkownika kombinacji wartości obu kryteriów optymalności.

(b) W krokach 1 i 3 nale zy rozwi ¾azać pewne zadania optymalizacji globalnej z pojedynczymi (skalarnymi) kryteriami optymalności. Istnienie rozwi ¾azań tych zadań wynika z przyj ¾etych za o zeń zwartości S i ci ¾ag ości f. Pewn ¾a przeszkod ¾a mo ze być fakt, ze powszechnie stosowane metody optymalizacji wykorzystuj ¾ace pochodne s ¾a zbie zne do punktów krytycznych, które niekoniecznie s ¾a rozwi ¾azaniami globalnymi (mog ¾a być lub nawet nie być rozwi ¾azaniami lokalnymi). W aściwym sposobem post ¾epowania w tej sytuacji jest albo stosowanie specjalnych metod optymalizacji globalnej (metody takie istniej ¾a, ale s ¾a na ogó mniej znane), albo wykorzystanie szczególnych w asności zbioru S i funkcji f w konkretnym zadaniu, co wyjaśnimy za chwil ¾e na przyk adzie modelu Markowitza.

9.1 Zastosowanie w analizie portfelowej Obecnie poka zemy, jak mo zna zastosować metod ¾e Polaka do aproksymacji zbioru portfeli efektywnych w modelu podstawowym Markowitza (bez krótkiej sprzeda zy). Poniewa z w modelu tym minimalizujemy jedno kryterium (ryzyko) i maksymalizujemy drugie (oczekiwan ¾a stop ¾e zysku), wi ¾ec algorytm Polaka trzeba dostosować do tej sytuacji. Z drugiej strony, przyj ¾ete za o zenia dotycz ¾ace modelu pozwalaj ¾a na uproszczenie algorytmu.

B ¾edziemy pos ugiwać si ¾e oznaczeniami wprowadzonymi w cz. I wyk adu ( 29, 31, 38 i 39). W szczególności, odwzorowanie Markowitza określone wzorem M(u) := ((u); ER(u)) przekszta ca zbiór P m R m w przestrzeń R 2, której elementy b ¾edziemy oznaczać (x; y). W tym przypadku zamiast relacji (62) rozwa zamy w R 2 relacj ¾e [(x; y) (^x; ^y)], [(x ^x) ^ (y ^y)]; (75) b ¾ed ¾ac ¾a odpowiednikiem relacji Markowitza w zbiorze P m. Jednak w odró znieniu od relacji Markowitza, relacja (75) jest antysymetryczna, a wi ¾ec wprowadza w R 2 cz ¾eściowy porz ¾adek. Zatem zbiór M 1 (F) portfeli efektywnych jest równy zbiorowi punktów optymalnych w sensie Pareto dla zadania dwukryterialnego postaci (63), gdzie S = P m, a funkcja f : S! R 2 jest określona wzorem f(u) := ((u); ER(u)). Przedstawimy teraz mody kacj ¾e algorytmu Polaka, która konstruuje dyskretn ¾a aproksymacj ¾e zbioru F.

Krok 1. Wyznaczyć liczby a := ER(u); b := maxfer(u) : u 2 P m g; (76) gdzie u jest portfelem minimalnego ryzyka, tj. spe nia warunek (u) = minf(u) : u 2 P m g: (77) (jeśli takich portfeli jest wi ¾ecej ni z jeden, to jako u przyjmujemy ten, dla którego liczba a jest najwi ¾eksza). Krok 2. Dla dowolnie wybranego r 2 N wyznaczyć punkty dyskretyzacji y (k) := a + k b a ; k = 0; 1; :::; r: (78) r

Krok 3. Dla ka zdego punktu dyskretyzacji y (k) (k = 0; 1; :::; r) obliczyć rozwi ¾azanie u (k) zadania optymalizacji z ograniczeniami 8 >< >: (u)! min; u 2 P m ; ER(u) = y (k) ; (79) czyli znaleźć portfel minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku y (k), po czym przyj ¾ać x (k) := (u (k) ); k = 0; 1; :::; r: (80)

Zbiór skończony n u (0) ; u (1) ; :::; u (r)o (81) jest aproksymacj ¾a zbioru portfeli efektywnych M 1 (F) R m, a zbiór skończony n (x (0) ; y (0) ); (x (1) ; y (1) ); :::; (x (r) ; y (r) ) o (82) jest aproksymacj ¾a jego obrazu F R 2. Uwagi. (a) Ze Stwierdzenia 14, cz. I, wynika, ze przy za o zeniu dodatniej określoności macierzy kowariancji wektora stóp zysku, zadania optymalizacyjne (77) i (79) maj ¾a jednoznaczne rozwi ¾azania, a zatem do ich pe nego rozwi ¾azania wystarczy wyznaczenie minimów lokalnych. Podobnie, jeśli spe nione jest za- o zenie Stwierdzenia 16(c), cz. I (istnieje dok adnie jedno i 2 f1; :::; mg takie, ze i = y u ), to zadanie maksymalizacji wyst ¾epuj ¾ace w (76) ma jednoznaczne rozwi ¾azanie.

(b) Ze Stwierdzenia 18(b), cz. I, oraz z zawartej w jego dowodzie uwagi, ze f min jest ściśle rosn ¾aca na [y 0 ; y u ], wynika, ze x (0) < x (1) < ::: < x (r) ; (83) a zatem mo zna pomin ¾ać krok 4 ogólnej wersji algorytmu.

10 Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych w analizie portfelowej 10.1 Relacje cz ¾eściowo porz ¾adkuj ¾ace Niech F b ¾edzie dowolnym zbiorem. Relacj ¾e określon ¾a dla par elementów zbioru F nazywamy relacj ¾a cz ¾eściowo porz ¾adkuj ¾ac ¾a (zbiór F ), jeśli jest ona (a) zwrotna: 8x 2 F : x x, (b) antysymetryczna: 8x; y 2 F : (x y ^ y x) ) (x = y),

(c) przechodnia: 8x; y; z 2 F : (x y ^ y z) ) (x z). Wówczas par ¾e (F; ) nazywamy zbiorem cz ¾eściowo uporz ¾adkowanym.

Relacj ¾e określon ¾a dla par elementów zbioru F nazywamy relacj ¾a ściśle cz ¾eściowo porz ¾adkuj ¾ac ¾a (zbiór F ), jeśli jest ona (a) przeciwzwrotna: 8x 2 F : x x, (b) przeciwsymetryczna: 8x; y 2 F : (x y) ) (y x), (c) przechodnia: 8x; y; z 2 F : (x y ^ y z) ) (x z). Uwaga. atwo sprawdzić, ze jeśli relacja jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna.

Stwierdzenie 3. okre slona wzorem Je zeli jest relacja¾ cze sciowo ¾ porzadkuj ¾ ac ¾ a, ¾ to relacja jest relacja ¾ scísle cze sciowo ¾ porzadkuj ¾ ac ¾ a. ¾ (x y) :, (x y ^ x 6= y) (84) Je zeli x; y 2 F i x y, to mówimy, ze x dominuje nad y. Dwa ró zne punkty x; y 2 F nazywamy porównywalnymi, je zeli x y albo y x. W przeciwnym przypadku punkty te nazywamy nieporównywalnymi, co oznaczamy x k y. Je zeli ka zda para ró znych punktów zbioru cz ¾eściowo uporz ¾adkowanego (F; ) jest porównywalna, to (F; ) nazywamy zbiorem liniowo uporz ¾adkowanym lub ańcuchem. Je zeli ka zda para ró znych punktów zbioru cz ¾eściowo uporz ¾adkowanego (F; ) jest nieporównywalna, to (F; ) nazywamy anty ańcuchem.

Element x 2 F nazywamy elementem minimalnym zbioru cz ¾eściowo uporz ¾adkowanego (F; ), je zeli nie istnieje takie x 2 F, ze x x. Zbiór wszystkich elementów minimalnych oznaczamy Min(F; ). Zbiór Min(F; ) nazywamy zupe nym, je zeli dla ka zdego x 2 F istnieje takie x 2 Min(F; ), ze x x. Stwierdzenie 4. (a) Min(F; ) jest anty ańcuchem. (b) Je zeli F jest skończony, to Min(F; ) jest zupe ny. Dowód. (a) Niech x; y 2 Min(F; ), x 6= y. Przypuśćmy, ze x i y s ¾a porównywalne, np. x y. Jest to sprzeczne z za o zeniem, ze y jest elementem minimalnym zbioru cz ¾eściowo uporz ¾adkowanego (F; ). Zatem x k y, co dowodzi, ze Min(F; ) jest anty ańcuchem.

Niech (F; ) b ¾edzie zbiorem cz ¾eściowo uporz ¾adkowanym, G dowolnym zbiorem i niech f : G! F. Dla ka zdego zbioru A G zbiór Min f (A; ) := fa 2 A : f(a) 2 Min(f(A); )g (85) zawiera te elementy ze zbioru A, których obrazy s ¾a elementami minimalnymi w przestrzeni obrazów f(a) = ff(a) : a 2 Ag.

10.2 Skończone ańcuchy Markowa Ci ¾ag zmiennych losowych fx t g t2n0 (gdzie N 0 := N [ f0g) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej (; F; P ), o wartościach w skończonym zbiorze S (przestrzeni stanów) nazywamy (skończonym) ańcuchem Markowa, je zeli dla ka zdego t 2 N i ka zdego ci ¾agu s 0 ; s 1 ; :::; s t 2 S spe niony jest warunek P (X t = s t j X t 1 = s t 1 ; :::; X 1 = s 1 ; X 0 = s 0 ) = P (X t = s t j X t 1 = s t 1 ) ; (86) o ile P (X t 1 = s t 1 ; :::; X 1 = s 1 ; X 0 = s 0 ) > 0. Macierz P = [p ij ] i;j2s nazywamy macierz ¾a (wierszowo) stochastyczn ¾a, je zeli wszystkie jej wyrazy s ¾a nieujemne oraz suma ka zdego wiersza wynosi 1: p ij 0 (8i; j 2 S), X j2s p ij = 1 (8i 2 S): (87)

Macierz stochastyczn ¾a (t) = [ ij (t)] i;j2s nazywamy macierz ¾a przejścia ańcucha Markowa fx t g t2n0 w t-tym kroku, t 1, je zeli ij (t) = P (X t = jj X t 1 = i) (88) dla wszystkich j takich, ze P (X t 1 = j) > 0. Je zeli fx t g t2n0 jest ańcuchem Markowa, to rozk ad zmiennej losowej X 0 nazywamy rozk adem pocz ¾atkowym. ańcuch Markowa nazywamy jednorodnym (w czasie), gdy istnieje macierz = [ ij ] i;j2s b ¾ed ¾aca dla ka zdego t jego macierz ¾a przejścia w t-tym kroku. Wektor wierszowy w(t) = (w j (t)) j2s ; gdzie w j (t) := P (X t = j); (89) określa rozk ad prawdopodobieństwa ańcucha Markowa w kroku t 0.

Stwierdzenie 5. Dla jednorodnego ańcucha Markowa, przy t 1 zachodza¾ równo sci w(t) = w(t 1) = w(0) t : (90) Dowód. Oznaczaj ¾ac j-t ¾a wspó rz ¾edn ¾a wektora w(t 1) przez (w(t 1)) j oraz uwzgl ¾edniaj ¾ac (88) i (89), otrzymujemy (w(t 1)) j = X i2s w i (t 1) ij = X i2s P (X t 1 = i)p (X t = jj X t 1 = i) = X i2s P (X t = j ^ X t 1 = i) = P (X t = j) = w j (t); co dowodzi pierwszej równości w (90). Drug ¾a równość otrzymujemy z pierwszej przez indukcj ¾e.

Z (90) wynika, ze jednorodny ańcuch Markowa jest ca kowicie wyznaczony przez swój rozk ad pocz ¾atkowy i macierz przejścia. Macierz stochastyczn ¾a nazywamy nieredukowaln ¾a, je zeli 8i; j 2 S; 9t 2 N : (t) ij > 0; gdzie t = [ (t) ij ] i;j2s: (91) Twierdzenie 3. Jednorodny skończony ańcuch Markowa z nieredukowalna¾ macierza¾ przej scia odwiedza ka zdy stan nieskończenie wiele razy z prawdopodobieństwem 1, niezale znie od rozk adu poczatkowego. ¾

10.3 Odleg ość mi ¾edzy podzbiorami zbioru skończonego Stwierdzenie 6. Je zeli G jest zbiorem skończonym, to funkcja d(a; B) := ja [ Bj ja \ Bj dla A; B G; (92) gdzie jj oznacza liczbe¾ elementów zbioru, jest metryka¾ w 2 G. Dowód. Niech G = fg 1 ; g 2 ; :::; g N g i niech a = (a 1 ; a 2 ; :::; a N ) b ¾edzie wektorem wskaźnikowym zbioru A, tzn. ( 1; je zeli g a i := i 2 A; 0; je zeli g i =2 A (podobnie dla zbioru B). Poniewa z ja \ Bj = NX i=1 a i b i oraz ja [ Bj = NX i=1 (a i + b i a i b i );

wi ¾ec d(a; B) = = = NX i=1 NX i=1 NX i=1 (a i 2a i b i + b i ) [(1 b i )a i + (1 a i )b i ] ja i b i j = ka bk 1 : Wykazaliśmy w ten sposób, ze d(a; B) jest równe tzw. odleg ości Hamminga pomi ¾edzy wektorami a i b, która, co atwo sprawdzić, jest metryk ¾a.

10.4 Algorytm van Veldhuizena Niech G b ¾edzie skończon ¾a przestrzeni ¾a poszukiwań i niech f : G! F b ¾edzie minimalizowan ¾a funkcj ¾a, przy czym F = ff(x) : x 2 Gg oraz (F; ) jest zbiorem cz ¾eściowo uporz ¾adkowanym. Celem poszukiwania ewolucyjnego jest wykrycie mo zliwie najwi ¾ekszej ilości elementów zbioru Min(F; ). Zak ada si ¾e, ze przedstawiony poni zej algorytm zawiera procedur ¾e o nazwie nowa_populacja, która przekszta ca skończony podzbiór zbioru G w inny jego skończony podzbiór. Procedura ta mo ze być niedeterministyczna i mo ze wykorzystywać operatory genetyczne (jak krzy zowanie i mutacja), a tak ze selekcj ¾e pewnych elementów na podstawie wartości funkcji f osi ¾aganych na tych elementach.

Algorytm VV Wybrać losowo populacj ¾e pocz ¾atkow ¾a B 0 2 G n A 0 := Min f (B 0 ; ) t := 0 repeat B t+1 := nowa_populacja (B t ) A t+1 := Min f (A t [ B t+1 ; ) t t + 1 until (warunek zatrzymania)

Niech Z; Z 0 ; Z 1 ; ::: b ¾ed ¾a zmiennymi losowymi o wartościach rzeczywistych określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej (; F; P ). Mówimy, ze ci ¾ag fz t g t2n0 jest zbie zny z prawdopodobieństwem 1 do zmiennej losowej Z, je zeli P lim t!1 jz t Zj = 0 = 1: (93) Sformu ujemy teraz twierdzenie o zbie zności algorytmu VV. Twierdzenie 4. Niech F := Min(F; ). Je zeli ciag ¾ fb t g t2n0 jest jednorodnym skończonym ańcuchem Markowa z nieredukowalna¾ macierza¾ przej scia, to d(f(a t ); F )! 0 z prawdopodobieństwem jeden przy t! 1.

10.5 Problem wielokryterialny zwi ¾azany z ryzykiem banku Informacje zawarte w tym podrozdziale pochodz ¾a z pracy: F. Schlottmann, A. Mitschele, D. Seese, A multi-objective approach to integrated risk management, EMO 2005, LNCS 3410 (2005), 692 706. Rodzaje ryzyka, z którym ma do czynienia bank: 1. Ryzyko rynkowe, wynikaj ¾ace z ruchu cen instrumentów nansowych, np. zmian stopy procentowej, cen akcji lub kursów walut. Charakteryzuje si ¾e krótkim horyzontem czasowym (np. 1 dzień). 2. Ryzyko kredytowe ryzyko utraty dochodów przez bank z powodu niewyp acalności d u zników ( rm lub osób prywatnych zaci ¾agaj ¾acych kredyty). Charakteryzuje si ¾e d ugim horyzontem czasowym (np. 1 rok).

3. Ryzyko operacyjne ryzyko strat wywo anych niew aściwymi procedurami stosowanymi przez bank, b ¾edami ludzi i systemow informatycznych oraz zewn ¾etrznymi przypadkami losowymi. Powszechnie stosowan ¾a miar ¾a dwóch pierwszych rodzajów ryzyka jest Valueat-Risk (wartość zagro zona ryzykiem), zde niowana nast ¾epuj ¾aco. Niech L b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a wyra zaj ¾ac ¾a mo zliw ¾a strat ¾e dla portfela inwestycji nansowych. Dla danego poziomu ufności 2 (0; 1), wartości ¾a VaR portfela jest najmniejsza liczba l taka, ze prawdopodobieństwo, i z strata L przekroczy l jest nie wi ¾eksze ni z 1 : VaR := inffl 2 R : P (L > l) 1 g: (94)

Sformu owanie problemu. Rozwa zamy przestrzeń poszukiwań (tzw. uniwersum) z o zon ¾a z n 2 N mo zliwości inwestowania (s ¾a to instrumenty nansowe lub ich klasy). Ka zdy portfel sk adaj ¾acy si ¾e z podzbioru tych mo zliwości jest reprezentowany przez wektor n-wymiarowy spe niaj ¾acy warunki x = (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (95) x i 2 [0; 1] (8i 2 f1; :::; ng); nx i=1 x i = 1: (96) Ka zda zmienna decyzyjna x i reprezentuje udzia procentowy aktualnego kapita u banku, który jest inwestowany w instrument nansowy i.

W rozwa zanym problemie wielokryterialnym wystepuj ¾a 4 kryteria optymalności (funkcje celu): 1. Oczekiwana stopa zysku portfela, dana wzorem ret(x) := nx i=1 x i r i ; (97) gdzie r i jest oczekiwan ¾a stop ¾a zysku z inwestycji w instrument i. 2. Ryzyko rynkowe portfela (Market Value at Risk): mr(x) := MVaR(x): (98) 3. Ryzyko kredytowe portfela (Credit Value at Risk): cr(x) := CVaR(x): (99)

4. Ryzyko operacyjne or(x) := nx i=1 x i i ; (100) gdzie i jest wartości ¾a specy czn ¾a dla danego rodzaju inwestycji. Kryterium 1 jest maksymalizowane, podczas gdy kryteria 2 4 s ¾a minimalizowane. Do rozwi ¾azania tego problemu zastosowano algorytm opisany w nast ¾epnym podrozdziale.

10.6 Algorytm genetyczny NSGA-II Pe na nazwa tego algorytmu to Nondominated Sorting Genetic Algorithm II. Autorami s ¾a K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal i T. Meyarivan (2000 r.) Celem algorytmu jest rozwi ¾azanie zadania optymalizacji wielokryterialnej (63). Algorytm mo zna podzielić na kilka procedur, które opiszemy oddzielnie.

Procedura szybkiego niezdominowanego sortowania populacji Procedura FNDS(P ) (skrót pochodzi od Fast NonDominated Sorting) sortuje skończony (cz ¾eściowo uporz ¾adkowany przez relacj ¾e ) zbiór elementów, przydzielaj ¾ac elementy do kolejnych niezdominowanych frontów F i, i = 1; 2; ::: Do pierwszego frontu F 1 zalicza si ¾e niezdominowane elementy zbioru P otrzymuj ¾a one rang ¾e (ang. rank) równ ¾a 1. Do drugiego frontu F 2 zalicza si ¾e niezdominowane elementy zbioru P nf 1 otrzymuj ¾a one rang ¾e 2, itd. Dla ka zdego elementu p 2 P procedura oblicza: 1) licznik niezdominowania n p ilość elementów zbioru P, które dominuj ¾a nad p; 2) zbiór S p z o zony z elementów zbioru P zdominowanych przez p.

Opis procedury FNDS(P ): F 1 := ; dla ka zdego p 2 P S p := ;, n p := 0 dla ka zdego q 2 P je zeli p q to S p := S p [ fqg w przeciwnym przypadku je zeli q p to n p := n p + 1

je zeli n p = 0 to p rank := 1, F 1 := F 1 [ fpg i := 1 je zeli F i 6= ; to Q := ; dla ka zdego p 2 F i dla ka zdedgo q 2 S p n q := n q 1 je zeli n q = 0 to q rank := i + 1, Q := Q [ fqg i := i + 1, F i := Q

Procedura przypisywania odleg ości st oczenia Aby otrzymać oszacowanie g ¾estości rozwi ¾azań nale z ¾acych do danego niezdominowanego frontu (w pobli zu ustalonego rozwi ¾azania), oblicza si ¾e tzw. odleg ość st oczenia (crowding distance) dla danego rozwi ¾azania. Jest to odleg ość punktów s ¾asiednich, po o zonych najbli zej danego rozwi ¾azania. Odleg ość ta jest wyra zona jako suma odleg ości liczonych wzd u z poszczególnych osi wspó rz ¾ednych w przestrzeni obrazów. Odleg ość wzd u z m-tej osi jest proporcjonalna do ró znicy wartości m-tego kryterium optymalności. Procedura CDA(F ) (Crowding Distance Assignment) oblicza wspomniane odleg ości dla wszystkich elementów danego frontu F. Celem jest eliminacja niektorych rozwi ¾azań nale z ¾acych do F, po o zonych tam, gdzie s ¾a one bardziej zag ¾eszczone. W zwi ¾azku z tym rozwi ¾azania o wy zszej wartości odleg ości st oczenia maj ¾a wi ¾eksze prawdopodobieństwo przejścia do nastepnej populacji. Rozwi ¾azania krańcowe (tj. pierwsze i ostatnie w sensie ustalonego kryterium) otrzymuj ¾a odleg ość +1 po to, aby by y zawsze wybierane.

Opis procedury CDA(F ): l := jf j (ilość elementów zbioru F ) dla ka zdego i 2 f1; :::; lg F [i] dist := 0 (inicjalizacja odleg ości) dla ka zdego kryterium m 2 f1; :::; pg F := Sort(F; m) (sortowanie w kolejności rosn ¾acych wartości f m ) F [1] dist = F [l] dist := +1 dla ka zdego i 2 f2; :::; l 1g

F [i] dist := F [i] dist + f m(f [i + 1]) f m (F [i 1]) f m (F [l]) f m (F [1]) Procedura tworzenia nowej populacji Procedura MNP(P ) (Make New Population) tworzy now ¾a populacj ¾e Q (o tym samym rozmiarze N) z populacji P, u zywaj ¾ac operacji selekcji turniejowej, krzy zowania i mutacji. Krzy zowanie i mutacja dzia aj ¾a tak samo jak w klasycznym algorytmie genetycznym (pe ny opis znajduje si ¾e w cz ¾eści 1 mojego wyk adu z algorytmów genetycznych).

Selekcja turniejowa dzia a nast ¾epuj ¾aco. Za ó zmy, ze ka zdy element i populacji P posiada dwa atrybuty: 1) rang ¾e niezdominowania i rank 2) odleg ość st oczenia i dist Wówczas de niujemy relacj ¾e nast ¾epuj ¾aco: i j, (i rank < j rank ) _ [(i rank = j rank ) ^ (i dist > j dist )] Selekcja turniejowa polega na wylosowaniu dwóch elementów i; j 2 P i porównaniu ich za pomoc ¾a relacji. Jeśli i j, to element i wygrywa turniej i przechodzi do populacji pośredniej, która nast ¾epnie poddawana jest krzy zowaniu i mutacji. Jeśli relacja zachodzi w drug ¾a stron ¾e, to turniej wygrywa element j. Jeśli relacja nie zachodzi w zadn ¾a stron ¾e (tzn. elementy s ¾a nieporównywalne), to zwyci ¾ezca turnieju jest losowany. proces selekcji powtarzamy tak d ugo, a z wype ni si ¾e populacja pośrednia.

Opis algorytmu NSGA-II 1. t := 1 2. R t := P t [ Q t 3. F := FNDS(R t ) (F = (F 1 ; F 2 ; :::)) 4. P t+1 := ;, i := 1 5. je zeli jp t+1 j + jf i j < N to CDA(F i ) P t+1 := P t+1 [ F i, i := i + 1

6. F i := Sort(F i ; ) (sortowanie w kolejności malej ¾acej wed ug ) 7. P t+1 := P t+1 [ F i [1 : (N jp t+1 j)] (do ¾aczenie pierwszych (N jp t+1 j) elementów F i ) 8. Q t+1 :=MNP(P t+1 ), t := t + 1 9. Jeśli nie jest spe nione kryteruim zatrzymania, to przejść do kroku 2.

11 Wprowadzenie do algorytmów genetycznych Algorytmy genetyczne naśladuj ¾a procesy ewolucyjne obserwowane w przyrodzie. Konstrukcja tych algorytmów opiera si ¾e na s ¾a dwóch za o zeniach przyj ¾etych w teorii ewolucji: 1. W procesie rozmna zania si ¾e zywych organizmów nast ¾epuje wymiana informacji genetycznych. 2. Od czasu do czasu, w wyniku zachodz ¾acych mutacji, pojawiaj ¾a si ¾e w przyrodzie zywe organizmy o cechach genetycznych istotnie ró znych od cech pozosta ych ( zyj ¾acych wcześniej) organizmów.

W algorytmach genetycznych osobniki s ¾a reprezentowane przez chromosomy, które s ¾a ańcuchami binarnymi. Wymiana informacji mi ¾edzy osobnikami odbywa si ¾e w procesie krzy zowania, który przebiega nast ¾epuj ¾aco. Za ó zmy, ze mamy dwa ańcuchy: 101110001101 011100010010 Najpierw losujemy, czy te ańcuchy maj ¾a podlegać krzy zowaniu; jeśli tak, to losujemy jedn ¾a z pozycji do rozci ¾ecia. Przypuśćmy, ze wylosowaliśmy pozycj ¾e po pi ¾atym bicie: 10111j0001101 01110j0010010

Wówczas z pary rodziców powstaje para potomków poprzez zamian ¾e końcowych segmentów rolami: 10111j0010010 01110j0001101 Mo zna de niować bardziej z o zone krzy zowania, np. dwóch miejscach i wymieniamy środkowe segmenty. rozcinamy ańcuchy w Mutacja dzia a natomiast tylko na jeden ańcuch, i polega na tym, ze dla ka zdego bitu losujemy, czy ma zajść mutacja czy nie (zwykle prawdopodobieństwo mutacji jest ma e, np. 1/100). Jeśli dla któregoś bitu wylosujemy, ze ma być zmutowany, to wówczas negujemy taki bit (tj. zamieniamy 0 na 1 lub odwrotnie). Trzecim procesem jest selekcja. Algorytm opiera si ¾e tutaj na tym, ze najpierw wybieramy losowo populacj ¾e r osobników, i to odpowiada w przyrodzie sytuacji, gdy mamy n zwierzaków, tworz ¾acych pewn ¾a populacj ¾e. Te zwierzaki

si ¾e rozmna zaj ¾a, ale oprócz tego s absze osobniki szybciej gin ¾a. Modeluje si ¾e to tak, ze wybieramy najlepiej przystosowane osobniki (tzn. takie, które w przyrodzie szybciej potra ¾a uciekać, albo maj ¾a ostrzejsze z ¾eby, itp.), a w uj ¾eciu programistycznym ka zdemu osobnikowi przyporz ¾adkowuje si ¾e liczb ¾e, któr ¾a nazywamy przystosowaniem osobnika (na ogó s ¾a to liczby dodatnie). W ten sposób na zbiorze osobników jest określona pewna funkcja zwana funkcja¾ przystosowania. Jeśli losuje si ¾e osobnika, to uruchamia si ¾e ko o ruletki : jeśli mamy osobniki v 1, v 2,.., to na okr ¾egu przeznacza si ¾e kawa ek proporcjonalny do przystosowania ka zdego osobnika. Losuje si ¾e nast ¾epnie z tego ko a osobniki, które przechodz ¾a do nast ¾epnego pokolenia. Mo ze w selekcji zajść sytuacja, w której wylosowanych zostanie kilka takich samych osobników. Selekcja nie pomog aby otrzymać potomstwa z takich par, zatem z pomoc ¾a przychodzi mutacja, dzi ¾eki której uzyskujemy nowe cechy genetyczne.

Z tego powodu najpierw przeprowadza si ¾e selekcj ¾e ( zeby wybrać te lepsze osobniki), potem przeprowadza si ¾e krzy zowanie (wymiana informacji genetycznych mi ¾edzy osobnikami),a na końcu mutacj ¾e, która ma umo zliwić tworzenie zupe nie nowych osobników. Oczywiście operatory dostosowuje si ¾e do zadania. Np. jeśli szukamy maksimum funkcji dwóch zmiennych, to jeśli mamy par ¾e osobników x = (x 1 ; x 2 ) i y = (y 1 ; y 2 ), to mo zna krzy zowanie zde niować jako dobór dwóch punktów le z ¾acych na odcinku ¾acz ¾acym x i y w pobli zu środka tego odcinka Algorytmy genetyczne stosuje si ¾e cz ¾esto np. do optymalizacji funkcji, dla których metody ró zniczkowe np. zawodz ¾a. Tak ze do optymalizacji zapytań w bazach danych. W porównaniu z algorytmami deterministycznymi algorytmy genetyczne maja wady i zalety. Zalet ¾a na pewno jest to, ze o funkcjach przystosowania nie trzeba

niczego zak adać, mog ¾a być one zupe nie dowolne, mog ¾a mieć bardzo brzydki wykres. Algorytm genetyczny mo ze jednak dzia ać bardzo wolno, poza tym rozwi ¾azanie optymalne mo ze zostać utracone w kolejnych pokoleniach. Dobrym algorytmem jest model elitarny, w którym najlepsze osobniki s ¾a zachowywane albo s ¾a one zachowywane w ramach populacji i bior ¾a udzia w dalszej ewolucji, albo s ¾a jedynie odnotowywane w pami ¾eci i potem si ¾e je wyrzuca stamt ¾ad, jeśli pojawi si ¾e lepszy. Inne wady: brak sensownych kryteriów zatrzymania. Na dobr ¾a spraw ¾e algorytmy genetyczne mog ¾a dzia ać w nieskończoność, ale to przecie z nie ma wi ¾ekszego sensu. Ciekawymi kryteriami s ¾a kryteria probabilistyczne: podaj ¾a, ile iteracji trzeba wykonać, by z danym prawdopodobieństwem (np. 99%) najlepsze znalezione dotychczas rozwi ¾azanie by o optymalne.

Zawsze mo zna dobrać bardzo z ośliwy przyk ad do ka zdego algorytmu genetycznego, z ośliw ¾a funkcj ¾e przystosowania, zeby w aśnie w jednym punkcie by a wy zsza wartość, a wsz ¾edzie indziej zera - wtedy algorytm genetyczny nie dzia a lepiej ni z zwyk e losowe przeszukiwanie. Innym problemem jest optymalizacja wielokryterialna. Do tej pory rozmawialiśmy o optymalizacji jednokryterialnej, gdy jest jedna funkcja przystosowania. Jest trudniej, jeśli s ¾a dwa kryteria optymalności. Na przyk ad, gdy mamy zbiór portfeli papierów wartościowych skonstruowany z poszczególnych akcji, to mo zna ka zdemu portfelowi przypisać oczekiwan ¾a stop ¾e zysku oraz ryzyko s ¾a to dwa kon iktowe kryteria optymalności, bo ryzyko chcemy zminimalizować, a zysk zmaksymalizować. Algorytm powinien wygenerować pewien zbiór punktów (tzw. punktów niezdominowanych lub rozwiazań ¾ optymalnych w sensie Pareto), który pozwala by inwestorowi na podj ¾ecie w aściwej decyzji w zale zności od jego preferencji (tzn. wi ¾ekszej lub mniejszej sk onności do ryzyka). Algorytmy genetyczne do takich zadań nadaj ¾a si ¾e doskonale, bo generuj ¾a zbiory osobników, a

nie jak w przypadku gradientowych metod optymalizacji pojedyncze punkty. Z drugiej strony trudne jest opracowanie metody selekcji lepszych osobników w sytuacji, gdy funkcja przystosowania jest wektorowa. Opracowanie dobrych algorytmów genetycznych dla optymalizacji wielokryterialnej jest wci ¾a z problemem otwartym. 12 Klasyczny algorytm genetyczny Rozwa zamy funkcj ¾e określon ¾a na przestrzeni euklidesowej: f : R n! R. Za- ó zmy, ze szukamy maksimum funkcji f na zbiorze C := ny i=1 [ i ; i ] (101)

(iloczyn kartezjański n przedzia ów domkni ¾etych). Do powy zszego zadania optymalizacji chcemy zastosować algorytm genetyczny, w którym funkcj ¾a przystosowania jest sama funkcja f. W tym celu zak adamy, ze f(x) > 0 dla ka zdego x 2 C: (102) Jeśli warunek (102) nie jest spe niony, a funkcja f jest ograniczona z do u, to spe nienie tego za o zenia mo zna osi ¾agn ¾ać dodaj ¾ac do f pewn ¾a sta ¾a. W przypadku zadania minimalizacji mo zna jako funkcj ¾e przystosowania wzi ¾ać f (z dodan ¾a ewentualnie pewn ¾a sta ¾a). W klasycznym algorytmie genetycznym (zwanym tak ze prostym algorytmem genetycznym) osobniki (chromosomy) zakodowane s ¾a w postaci ańcuchów binarnych (tj. skończonych ci ¾agów o ustalonej d ugości z o zonych z zer i jedynek). Zatem punkty przestrzeni R n, b ¾ed ¾ace ci ¾agami n liczb rzeczywistych, musimy jakoś zakodować jako ańcuchy binarne.

Wiadomo, ze w komputerze mo zna reprezentować tylko skończony podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Zatem algorytm genetyczny zawsze dzia a na pewnym skończonym zbiorze osobników, zwanym przestrzenia¾ poszukiwań, który oznaczamy symbolem. W naszym przyk adzie nale zy skonstruować zbiór C, gdzie C jest dany wzorem (101). Liczebność zbioru zale zy od wymaganej dok adności obliczeń. Przypuśćmy, ze wynosi ona k cyfr po przecinku. Wówczas dzielimy ka zdy przedzia [ i ; i ] na ( i i ) 10 k podprzedzia ów o równej d ugości. Oznaczmy przez m i najmniejsz ¾a liczb ¾e ca kowit ¾a spe niaj ¾ac ¾a nierówność ( i i ) 10 k 2 m i 1: (103) Wówczas reprezentacja, posiadaj ¾aca ka zd ¾a zmienn ¾a x i zakodowan ¾a jako ańcuch binarny o d ugości m i, spe nia przyj ¾ete wymagania dok adności. Poniewa z d ugości przedzia ów [ i ; i ] odpowiadaj ¾acych poszczególnym zmiennym mog ¾a być ró zne, wi ¾ec ilość bitów niezb ¾ednych do zakodowania ka zdej zmiennej mo ze być

inna. Dla zamiany ańcucha binarnego na liczb ¾e rzeczywist ¾a u zywamy nast ¾epuj ¾acego wzoru: jeśli jest ańcuchem binarnym o d ugości m i, to x i = i + i 2 m i 1 (a 1 a 2 :::a mi 1a mi ) (104) i m i 1 X j=0 2 j a mi j (i = 1; :::; n): (105) Reprezentacja binarna ca ego wektora x = (x 1 ; :::; x n ) jest konkatenacj ¾a (sklejeniem) ańcuchów (104) odpowiadaj ¾acych kolejnym zmiennym. D ugość takiego ańcucha wynosi m = nx i=1 m i ; (106) przy czym w ańcuchu tym pierwszych m 1 bitów s u zy do zakodowania liczby x 1, nast ¾epnych m 2 bitów do zakodowania liczby x 2, itd.