Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Marcin Anholcer Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 19 marca 2013, Ustroń Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 1/ 15
1 Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu 2 Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność 3 Uwagi końcowe Podziękowania Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 2/ 15
Zagadnienie rozdziału Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu Jednorodne dobro transportowane jest od m dostawców do n odbiorców. Warunki podażowe i popytowe. Celem jest minimalizacja całkowitego (liniowego) kosztu. Ilość transportowanego dobra zmienia się w czasie transportu. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 3/ 15
Model Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu m n min f (x) = c ij x ij i=1 j=1 m r ij x ij = b j, j = 1,..., n i=1 n x ij a i, i = 1,..., m j=1 x ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 4/ 15
Losowy popyt Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu Wielkości popytu: zmienne losowe B j o dyskretnych rozkładach Pr(B j = b s j ) = ps j, s = 1,..., S j Koszt nadmiaru s (1) j, koszt niedoboru s (2) j. Wartość oczekiwana dodatkowego kosztu j: f j (x j ) = s (2) j (E(X j ) x j ) + (s (1) j + s (2) j ) xj 0 Φ j (t)dt Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 5/ 15
Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu Stochastyczne zagadnienie rozdziału min f (x) = m i=1 j=1 n c ij x ij + n f j (x j ) (1) j=1 m r ij x ij = x j, j = 1,..., n (2) i=1 n x ij = a i, i = 1,..., m (3) j=1 x ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n (4) Cel: wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące koszt całkowity, uwzględniający wartość oczekiwaną dodatkowego kosztu. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 6/ 15
Warunki optymalności Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność c ij + r ij f +(x j ) u i, i = 1,..., m, j = 1,..., n, x ij = 0 c ij + r ij f (x j ) u i c ij + r ij f +(x j ), i = 1,..., m, j = 1,..., n, x ij > 0 Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 7/ 15
Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność 1 Wyznacz rozwiązanie początkowe: x ij = a i, x ij = 0, j = n j n 2 Wyznacz jednostronne pochodne cząstkowe i kryteria optymalności. Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to STOP. 3 Zmień aktualne rozwiązanie i wróć do kroku 2. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 8/ 15
Warunki optymalności Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność Wyznacz: v i = min{k + ij j = 1,..., n + 1} j w i = max{k ij, x ij > 0, j = 1,..., n + 1} v i j α = max{w i i = 1,..., m} i Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 9/ 15
Zmiana rozwiązania Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność Wyznacz λ = x j b j λ + = b + j x j { λ λ + } λ = min,, x i r i j r j i j x i j := x i j λ x i j := x i j + λ Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 10/ 15
Zbieżność Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność zawsze kończy działanie po skończonej liczbie kroków. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 11/ 15
Wydajność Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność c ij < 5, 10), sij 1 < 1, 2), s2 ij < 5, 10), r ij < 0.8, 0.9), a i < 10, 20), t ij {1,..., 10}, rozkłady: od 10 do 20 wartości, kolejne obliczane według wzoru b s+1 j = bj s + r, r < 0.5, 1.5), 1000 problemów każdego rozmiaru, Java SE, Intel(R) Core(TM) i7-2670 QM CPU 2.20 GHz Rozmiar (m, n) 10, 10 10, 20 50, 50 50, 100 100, 100 100, 200 250, 250 250, 500 AVG 0,032 0,082 2,032 5,758 12,657 39,541 173,783 616,969 ST DEV 0,008 0,015 0,218 0,426 1,082 2,152 9,960 21,022 MIN 0,009 0,042 1,090 4,540 9,300 34,300 156,000 547,000 MAX 0,058 0,133 2,810 7,500 18,700 48,400 250,000 702,000 Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 12/ 15
Uwagi końcowe Uwagi końcowe Podziękowania Efektywny algorytm. Wykorzystanie jednostronnych pochodnych pozwoliło na wykorzystanie metody gradientowej mimo, że funkcja celu nie jest rózniczkowalna w sposób ciągły. Zastosowanie metody wyrównań sprawia, że nie jest konieczne używanie w sposób jawny struktury A-lasu. Metodę można stosować dla zadań z dowolnymi rozkładami dyskretnymi, również nieskończonymi (w szczególności do zadań z rozkładem Poissona). Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 13/ 15
Podziękowania Uwagi końcowe Podziękowania DZIĘKUJĘ! Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 14/ 15
Uwagi końcowe Podziękowania Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Marcin Anholcer Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 19 marca 2013, Ustroń Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 15/ 15