Elementy wspo łczesnej teorii inwersji

Transkrypt

1 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji W. Debski,

2 Liniowy problem odwrotny m est (λ) = m apr + (G T G + λi) 1 G T ( dobs G m apr) +δ debski@igf.edu.pl: W3-1 IGF PAN,

3 Metoda algebraiczna - back-projection data d=gm Dobs d=g(m) Dapr Mapr Mtrue model parameter debski@igf.edu.pl: W3-2 IGF PAN,

4 Metoda algebraiczna - back-projection W podejściu algebraicznym, ze wzgl edu na liniowość problemu: d = G m możemy w jednym kroku przejść od modelu a priori do modelu prawdziwego m apr = m true : d obs G m true debski@igf.edu.pl: W3-3 IGF PAN,

5 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Metoda algebraiczna - minimalizacja residuo w S(m) = dobs dth(m) mapr = mtrue : debski@igf.edu.pl: W3-4 S(m) = min IGF PAN,

6 Problem nieliniowyl - back-projection Główna wada podejścia algebraicznego jest możliwość zastosowanie tylko do problemów liniowych. Gdy liniowość jest nietrywialana zastosowanie techniki globalnej linearyzacji bedzie prowadziło zwykle do nieprawdziwych rozwiazań. Musimy postepować inaczej. Jednym ze sposobów jest iteracja metody algebraicznej. Polega ona na wykorzystaniu lokalnej linearyzacji i iteracyjne powtarzanie metody algebraicznej. debski@igf.edu.pl: W3-5 IGF PAN,

7 Problem nieliniowy - iteracja algebraiczna Dobs d=g(m) Dapr Mapr Mtrue model parameter debski@igf.edu.pl: W3-6 IGF PAN,

8 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Iteracyjna metoda algebraiczna - przeszukiwanie przestrzeni Zagadnienie odwrotne minimalizacja residuo w debski@igf.edu.pl: W3-7 IGF PAN,

9 Inwersja - metoda optymalizacyjna Zagadnienie odwrotne szukamy m est takiego, że d obs d th (m est ) = min lub d obs d th (m est ) D + λ m est m apr M = min debski@igf.edu.pl: W3-8 IGF PAN,

10 Inwersja - metoda optymalizacyjna metoda nieliniowa fizyczny sens regularyzacji poszukujemy jednego (optymalnego) rozwiazania zaniedbane wszystkie bł edy i niedokładności jak mierzyć dokładność dopasowania d th d obs? jak rozwiazać problem optymalizacji? czy rozwiazanie jest jednoznaczne? debski@igf.edu.pl: W3-9 IGF PAN,

11 Normy l 1 d = i di C i Absolute value norm l 2 d = ij di C ij d j Gaussian norm l c d = i log (1 + l m d = log ( ) ) d i 2 C i ( 1 + ( ) ) d i 2 i C i l s d = i log [cosh ( xi C i )] Cauchy norm Modified Cauchy norm Hyperbolic secant norm l p d = p i ( d i C i ) p generalized Gaussian norm debski@igf.edu.pl: W3-10 IGF PAN,

12 Dygresja: okrag w metryce nieeuklidesowej Okrag o promieniu r i środku w punkcie O to zbiór punktów równo odległych od punktu O r = 1 debski@igf.edu.pl: W3-11 IGF PAN,

13 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Dygresja: okrag, w metryce nieeuklidesowej Norm c1 = 2c2 c1 = c2 c1 = 21 c2 l1 l2 lc debski@igf.edu.pl: W3-12 IGF PAN,

14 Różne normy - różne wyniki {(x i, y i )}; y = m 1 x + m 2 = y i (m 1 x i + m 2 ) = min debski@igf.edu.pl: W3-13 IGF PAN,

15 Dwie klasy algorytmów optymalizacyjnych heurystyczne stochastyczne W3-14 IGF PAN,

16 Algorytm optymalizacji - grid search Rmin = Rmax for m_1 = a_{min} : a_{max} for m_2 = b_{min} : b_{max} R = dˆ{obs}\; - \;\dˆ{th}(\m) R = R + \lambda \m - \ma if(r<rmin) Rmin = R m_1ˆ{est}\; = \;m_1 m_2ˆ{est}\; = \;m_2 endif end end debski@igf.edu.pl: W3-15 IGF PAN,

17 Algorytm optymalizacji - preconditioned stepest descent 1. m 0 - dowolny, 2. G n : G(m) G n (m m n ) 3. Ŝ 0 (I + C M G T o C 1 D G o) 1 4. γ n = C M G T o C 1 D (G om n d obs ) + (m n m apr ) 5. φ n = Ŝ0γ n 6. b n = Gφ n 7. µ n = γ t n C 1 M φ n φ t n C 1 M φ n+b t n C Db n 8. m n+1 = m n µ n φ n debski@igf.edu.pl: W3-16 IGF PAN,

18 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Algorytmy gradientowe W3-17 IGF PAN,

19 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Problem: funkcje wielomodalne W3-18 IGF PAN,

20 Zagadnienia odwrotne: podejście klasyczne łatwe do zrozumienia stosunkowo łatwe w zastosowaniu do zagadnień estymacji parametrów brak oszacowania dokładności rozwiazań Rozwiazania problemów odwrotnych sa czesto niejednoznaczne debski@igf.edu.pl: W3-19 IGF PAN,

21 Elementy wspo łczesnej teorii inwersji Koniec Create: JO IGF PAN,