arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n n mn n n n n n ma ma b b m () () (3) Jest to adanie PL w którym występuje funkji elu. Zakładamy Ŝe adanie (-3) jest niesprene i posiada skońone rowiąanie optymalne dla kaŝdej funkji elu. Dla kaŝdej funkji elu posukujemy wartośi najwięksej (ma). Wsystkie funkje elu moŝemy potraktować jako jedną funkję wektorową F() i apisać je jako: F ( ) ( ) ( ) ma Stąd biere się ęsto spotykane określenie adania WPL jako adania liniowej optymaliaji wektorowej. Jak kaŝde adanie PL tak i adanie WPL moŝe być ropatrywane w dwóh prestreniah: w prestreni deyji R n tj e wględu na mienne n ora w prestreni kryteriów R tj. e wględu na kryteria. Stosownie do tego podiału onaymy biory rowiąań dopusalnyh: X - biór rowiąań dopusalnyh adania WPL w prestreni deyji ora Y - biór rowiąań dopusalnyh adania WPL w prestreni kryteriów. JeŜeli jakaś funkja elu k ma oryginalnie kierunek posukiwań min (Ŝądanie naleienia wartośi najmniejsej) to wystary pomnoŝyć ją pre -
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [] PRZYŁAD (opis sytuaji deyyjnej) Rafineria naftowa otrymała amówienie na dwa rodaje spejalnyh paliw węglowodorowyh X ora Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 400 galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarane niealeŝnie w dwóh proesah: P i P. W iągu godiny trwania proesu P uŝywa się baryłkę ropy A ora 3 baryłki ropy B i otrymuje 00 galonów paliwa X ora 30 galonów paliwa Y. W iągu godiny trwania proesu P uŝywa się 4 baryłki ropy A ora baryłki ropy B i otrymuje 50 galonów paliwa X ora 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 30 baryłek a ropy B 40 baryłek. Zysk godiny produkji według proesu P wynosi 00$ a kosty 800$. Zysk godiny produkji według proesu P wynosi 500$ a kosty 00$. PRZYŁAD (-kryterialne WPL wariant trywialny) Dla sytuaji deyyjnej opisanej w prykładie sef produkji posukuje takiej kombinaji proesów P i P (tn. he ustalić na ile godin uruhomić proes P a na ile P) aby osiągnąć: maksymalny ysk ora maksymalną ilość paliw X i Y. Onamy: - as trwania proesu P ora - as trwania proesu P. odel deyyjny w prykładie będie następująy: 00 30 00 30 3 500 90 50 40 4 ma ma 4000 400 30 40 ( ysk) ( paliwa) ( paliwo X ) ( paliwo Y ) ( ropa A) ( ropa B) Na rysunku predstawiono biór rowiąań dopusalnyh w prestreni deyji.
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [3] Prestreń deyji 00 80 B ropa A C proes P 60 40 paliwo X A ropa B 0 paliwo Y 0 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 proes P Rys.. Ilustraja bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni deyji adania WPL w prykładie W tabeli podane są współrędne punktów wierhołkowyh bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyji. abela. Współrędne punktów wierhołkowyh bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyji w prykładie. współrędne wierhołki A B C D (proes P) 6 0 3 80 (proes P) 48 80 7 0 Problem WPL moŝe być ropatrywany w dwóh prestreniah tj. : w prestreni deyji ora w prestreni kryteriów. wierdenie Zbiór rowiąań dopusalnyh adania w prestreni kryterialnej jest wielośianem wypukłym. aŝdy wierhołek tego wielośianu jest obraem pewnego wierhołka bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyyjnej natomiast poostałe punkty to biór wsystkih kombinaji wypukłyh punktów wierhołkowyh. D Obie prestrenie są w ogólnośi róŝnyh wymiarów. Prestreń deyyjna to R n natomiast prestreń kryterialna to R. W rowaŝanym prykładie tylko dla elów ilustrayjnyh pryjęto n yli oba biory są ilustrowane prestreni R.
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [4] Współrędne wierhołków w prestreni kryterialnej będąe odpowiednikami wierhołków prestreni deyji są wektorami któryh składowe wynaane są pre wartośi kolejnyh funkji elu k (k ) dla danego wierhołka prestreni deyji. Nieh wierhołkiem w prestreni deyji będie wierhołek r. Wówas współrędne jego odpowiednika w prestreni kryteriów wyliymy jako: F ( ) r y y y r r r W tabeli podane są wartośi funkji elu dla kolejnyh punktów wierhołkowyh e bioru deyji dopusalnyh w prestreni kryteriów tj. dla odpowiedników prestreni deyji. abela. Wartośi funkji elu dla punktów wierhołkowyh e bioru deyji dopusalnyh w prestreni kryteriów w prykładie. funkje elu wartośi w wierhołkah A B C D y (ysk) 700 40000 4400 6000 y (paliwa) 6400 700 0640 0400 Prestreń kryteriów 000 0500 0000 9500 D' C' paliwa 9000 8500 8000 7500 7000 B' 6500 6000 0000 0000 30000 40000 50000 ysk Rys.. Ilustraja bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [5] Nieroerwalnym pojęiem wiąanym WPL jest pojęie rowiąania idealnego. Rowiąanie idealne w prestreni kryterialnej jest to punkt (I) którego współrędne odpowiadają maksymalnym wartośiom funkji elu. F I y y y ma ma ma r r r Rowiąanie takie najęśiej nie naleŝy do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. W prykładie rowiąanie idealne ilustruje rysunek 3. Prestreń kryteriów 000 0500 0000 9500 D' Idealne C' paliwa 9000 8500 8000 7500 7000 B' 6500 6000 0000 0000 30000 40000 50000 ysk Rys. 3. Ilustraja rowiąania idealnego w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie Rowiąanie idealne naleŝy tutaj do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. Jest to punkt C którego obraem w prestreni deyji jest punkt C. Punkt C wskauje na deyję optymalną: proes P 3 godiny proes P 7 god. Optymalne wartośi fukji elu wynosą: ysk 4000 $ paliwa 0640 galonów.
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [6] PRZYŁAD 3 (-kryterialne WPL wariant nietrywialny) Dla sytuaji deyyjnej opisanej w prykładie sef produkji posukuje takiej kombinaji proesów P i P (tn. he ustalić na ile godin uruhomić proes P a na ile P) aby osiągnąć: maksymalny ysk ora minimalny kost. Zadanie WPL ma tutaj postać: 00 800 00 30 3 500 00 50 40 4 ma min 4000 400 30 40 ( ysk) ( kosty) ( paliwo X ) ( paliwo Y ) ( ropa A) ( ropa B) Po unifikaji kierunku posukiwań w WPL (maksymaliaja) adanie ma ostateną postać: ' 00 800 00 30 3 500 00 50 40 4 ma ma 4000 400 30 40 ( ysk) ( kosty) ( paliwo X ) ( paliwo Y ) ( ropa A) ( ropa B) Zbiór rowiąań dopusalnyh w prestreni deyji poostaje w tym prykładie be mian (por. prykład ). Zmiany w biore funkji kryterialnyh prowadą jednak do miany bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. W tabeli 3 pokaano współrędne punktów wierhohłkowyh tego bioru. abela 3. Wartośi funkji elu dla punktów wierhołkowyh bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyji w prykładie 3. funkje elu wartośi w wierhołkah A B C D (ysk) 700 40000 4400 6000 (-kosty) -70400-96000 -000-64000
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [7] Na rysunku 4 pokaano biór rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów dla prykładu 3 ora anaono połoŝenie rowiąania idealnego. Jak widać rowiąanie idealne nie naleŝy do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. W takim prypadku nie jesteśmy w stanie wskaać jednonanie rowiąania najlepsego (optymalnego w sensie WPL) dla problemu prykładu 3. Prestreń kryteriów -55000 0000 0000 30000 40000 50000-65000 D' Idealne -75000 - kosty -85000-95000 B' -05000-5000 C' ysk Rys. 4. Ilustraja bioru rowiąań dopusalnyh ora rowiąania idealnego w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie 3 StoŜki rowiąań dominująyh i dominowanyh Zanamy w prestreni kryteriów dowolny punkt Y. Punkt taki podieli prestreń na tery obsary (stoŝki). Będą to w sensie WPL następująe stoŝki: stoŝek punktów (rowiąań) dominująyh punkt Y stoŝek punktów (rowiąań) dominowanyh pre punkt Y ora dwa stoŝki punktów (rowiąań) nieporównywalnyh punktem Y. Ilustraję takih stoŝków pokaano na rysunku 5.
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [8] y StoŜek rowiąań nieporównywalnyh Y StoŜek rowiąań dominująyh Y Y StoŜek rowiąań dominowanyh pre Y StoŜek rowiąań nieporównywalnyh Y y Rys. 5. Ilustraja stoŝków rowiąań WPL w prestreni kryteriów (R ). Rowiąanie niedominowane w prestreni kryteriów i rowiąania sprawne w prestreni deyji Def. Rowiąania w prestreni deyyjnej odpowiadająe rowiąaniom niedominowanym naywamy rowiąaniami sprawnymi. Są to rowiąania optymalne WPL w sensie Pareto (rowiąania Pareto-optymalne). Na rysunku 5 rowiąaniem niedominowanym w prestreni kryteriów będie punkt Y. W prykładie 3 biór rowiąań niedominowanyh w prestreni kryteriów pokaano na rysunku 6 (pogrubione krawędie). Zbiorem tym są wsystkie punkty leŝąe na łamanej D ' B' B' C'. Niedominowanymi punktami wierhołkowymi bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów są wierhołki D ' ora C '. Wierhołkowymi rowiąaniami sprawnymi są ih odpowiedniki w prestreni deyji tj. wierhołki D A ora C (rowiąania wierhołkowe Pareto-optymalne). Na rysunku 7 pokaano w prestreni deyji biór rowiąań sprawnyh dla prykładu 3 (pogrubione krawędie). Zbiorem tym są wsystkie punkty leŝąe na łamanej DA AB BC.
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [9] Prestreń kryteriów -55000 0000 0000 30000 40000 50000-65000 D' -75000 - kosty -85000-95000 B' -05000-5000 C' ysk Rys. 6. Ilustraja bioru rowiąań niedominowanyh w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie 3 Prestreń deyji 00 80 B C 60 P 40 A 0 0 0 0 40 60 80 00 Rys. 7. Ilustraja bioru rowiąań sprawnyh w prestreni deyji adania WPL w prykładie 3 (rowiąania Pareto-optymalne). P D
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [0] Rowiąanie optymalne adania WPL JeŜeli rowiąanie idealne w prestreni kryteriów jest rowiąaniem dopusalnym to adanie WPL posiada rowiąanie optymalne i jest nim obra (wierhołek) tego rowiąania w prestreni deyji. JeŜeli rowiąanie idealne w prestreni kryteriów nie jest rowiąaniem dopusalnym to adanie WPL nie posiada jednonanego rowiąania optymalnego. Rowiąaniem optymalnym WPL będie wówas dowolne rowiąanie sprawne które będie rowiąaniem kompromisowo-optymalnym. Wybrane metody generowania rowiąań sprawnyh (skalaryaja WPL) - następny wykład Rowiąanie sprawne adania WPL moŝemy otrymać międy innymi popre: śiągnięie punktu idealnego do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów uŝyie dowolnej funkji elu (rowiąanie adania jednokryterialnego) waŝenie wsystkih funkji elu ustalenie dla - kryteriów satysfakjonująyh poiomów hierarhiaję kryteriów wykorystanie podejśia optymaliaji elowej wykorystanie metody interaktywnej itp.