Teoria Gier Schemat arbitrażowy Nasha Zdzisław Dzedzej 1
Bargaining Zdzisław Dzedzej 2
Zdzisław Dzedzej 3
Rozwiązania kooperacyjne Załóżmy, że gracze przed grą negocjują, jaki wynik byłby racjonalny i sprawiedliwy. Są gotowi zaakceptować uzgodniony wynik wskazany przez bezstronnego arbitra. Jakie reguły powinny obowiązywać przy wyborze takiego wyniku? Zdzisław Dzedzej 4
Przykład 1 A B A 2, 6 10, 5 B 4, 8 0, 0 Równowaga Nasha BA Suma jest większa dla AB. I pomysł: podzielić największą wypłatę równo na pół: Rozwiązanie egalitarne. Kolumna nie zaakceptuje tego, bo ma przewagę strategiczną (A>B) Użyteczności na ogół nie można dodawać i dzielić, bo są w jednostkach umownych. Zdzisław Dzedzej 5
Postulaty von Neumanna i Morgensterna Dopuszczalne rozwiązania muszą spełniać warunki: I. Być optymalne w sensie Pareto. II. Wypłaty obu graczy powinny być nie niższe, niż ich poziomy bezpieczeństwa (wartość ich gry). DEF: Zbiór wyników dopuszczalnych nazywamy zbiorem (obszarem) negocjacyjnym. Zdzisław Dzedzej 6
K Poziomy bezp. 10/3 i 6 8 BA Zbiór negocjacyjny w przykładzie 1 6 6 56 5 AA AB BB 2 5 10 W Zdzisław Dzedzej 7
Schemat arbitrażowy Nasha W zbiorze negocjacyjnym szukamy jedynego rozwiązania, które gracze uznają za sprawiedliwe. Rozważmy ogólniejszy problem: dopuszczalne wyniki tworzą zwarty i wypukły podzbiór płaszczyzny Z. Gracze chcą wynegocjować jeden wynik w Z Jeżeli negocjacje skończą się fiaskiem, to wynikiem będzie z góry ustalony punkt ( Status quo) SQ є Z. J. Nash sformułował postulaty dotyczące metody wyznaczania takiego wyniku (schemat arbitrażowy) Zdzisław Dzedzej 8
Aksjomaty Nasha I. Racjonalność. Rozwiązanie powinno należeć do zbioru negocjacyjnego. II. Niezależność od przekształceń liniowych. Jeśli użyteczności Wiersza lub Kolumny przekształcimy przez rosnącą funkcję liniową, to odpowiednia współrzędna rozwiązania powinna być przekształcona przez tę funkcję. III. Symetria. Jeżeli wielobok dopuszczalnych wyników jest symetryczny względem linii o równaniu y=x+a, przechodzącej przez punkt SQ, to rozwiązanie powinno leżeć na tej linii. Zdzisław Dzedzej 9
Aksjomaty Nasha c.d. IV. Niezależność od alternatyw niezwiązanych. Załóżmy, że dla obszaru P przy punkcie status quo SQ rozwiązaniem jest punkt N. Załóżmy, że do obszaru Q zawartego w P, należą punkty SQ i N. Wtedy rozwiązanie N powinno też być rozwiązaniem dla obszaru Q, jeśli status quo jest SQ. Aksjomat 3 odwołuje się do idei sprawiedliwości jako niedyskryminacji. Aksjomat 4 jest bardziej dyskusyjny: Jeżeli N został uznany za najsprawiedliwszy w P, to np. nieosiągalność pewnych wyników nie powinna tego zmienić. Zdzisław Dzedzej 10
M N SQ Zdzisław Dzedzej 11
Twierdzenie Nasha (1950) Tw.: Istnieje dokładnie jeden schemat arbitrażowy spełniający aksjomaty I-IV. Jeżeli SQ=(a,b), to rozwiązaniem arbitrażowym jest należący do obszaru wyników Q punkt o takich współrzędnych (x,y), że x a, y b, oraz funkcja f(x,y)=(x-a)(y-b) osiąga maksimum w Q. Zdzisław Dzedzej 12
Dowód: Z aksjomatu 2 możemy najpierw przesunąć obszar Q tak by SQ=(0,0), Potem mnożymy użyteczności przez stałe, by N=(1,1). Sytuacja jest jak na rysunku. N jest punktem styczności. Ponieważ Q jest wypukły, musi leżeć w całości po jednej stronie stycznej. Wyznaczamy dowolny wielobok P spełniający warunki: zawiera Q, jest symetryczny względem prostej x=y, jeden z boków zawiera się w prostej x+y=2. Z aksjomatów 1 i 3, rozwiązaniem w P musi być N. Na mocy aksjomatu 4 N jest też rozwiązaniem w Q. C.B.D.O. Zdzisław Dzedzej 13
N(1,1) xy=1 SQ SQ(0,0) Q Q Styczna X+y=2 Zdzisław Dzedzej 14
Przykład 2 Wiersz i Kolumna mają wybrać z następujących wyników : A=(0,0), B=(2,0), C=(4,2), D=(1,5), bądź loterię złożoną z wyników A, B, C, D z dowolnymi prawdopodobieństwami. SQ=(2,1). Co powinien zaproponować arbiter? D SQ C A B Zdzisław Dzedzej 15
Równanie zbioru negocjacyjnego y=6-x, 2 x 4 Maksymalizujemy (x-2)(6-x-1) w przedziale [2,4]. x=7/2, y=5/2. Te wartości otrzymamy dla loterii 5/6C+1/6D. Ponieważ zbiór wyników pareto-optymalnych leży na prostej o nachyleniu -1, to rozwiązanie Nasha leży na przecięciu z prostą o nachyleniu 1 przechodzącą przez punkt SQ. Podobnie można szybko graficznie znaleźć punkt Nasha na podzbiorach prostej o nachyleniu m. Zdzisław Dzedzej 16
Przykład 3 Załóżmy, że możliwe wyniki to A=(1,8), B=(6,7), C=(8,6), D=(9,5), E=(10,3), F=(11,-1), G=(-1,-1) i ich kombinacje. SQ=(2,1). Jakie będzie rozwiązanie Nasha? Wartości (x-2)(y-1) w wierzchołkach zbioru negocjacyjnego: B 24, C 30 D 28, E 16 Ponieważ w C jest największa, to rozwiązanie jest w BC lub CD Na odcinkach obliczamy podobnie jak w poprzednim przykładzie. Tym razem wierzchołki parabol są poza przedziałami i maksimum jest przyjmowane w C. Zdzisław Dzedzej 17
A B C D 5 E SQ G 5 10 F Zdzisław Dzedzej 18
Zastosowanie arbitrażu do gry dwumacierzowej Powyższy schemat może być zastosowany do gry dwumacierzowej. Należy tylko wybrać punkt status quo. Jedna z możliwości to punkt o współrzędnych równych poziomom bezpieczeństwa. W przykładzie 1 byłby to SQ=(10/3,6). Wtedy (x-10/3)(14-x) ma maksimum dla x=16/3. Stąd y=43/6. Czyli rekomendujemy 13/18BA+5/18AB. Nash proponował, by uwzględnić możliwość stosowania strategii groźb. Gracze będą stosowali groźby, by uzyskać możliwie najkorzystniejszy dla siebie SQ. Na ogół wyznaczenie takiego optymalnego punktu jest trudne rachunkowo. Zdzisław Dzedzej 19
K Poziomy bezp. 10/3 i 6 8 BA Zbiór negocjacyjny w przykładzie 1 6 6 56 5 AA AB BB 2 5 10 W Zdzisław Dzedzej 20
Gra różnic Załóżmy, że zbiór negocjacyjny jest odcinkiem prostej o nachyleniu -1. Wtedy rozwiązanie Nasha leży na prostej o nachyleniu +1 przechodzącej przez punkt Status quo. To oznacza, że różnica w SQ między wypłatą Wiersza i wypłatą Kolumny będzie taka sama jak w punkcie arbitrażowym. Wiersz chce ją maksymalizować, a Kolumna na odwrót. Otrzymujemy do rozwiązania grę macierzową o sumie zerowej Zdzisław Dzedzej 21
Przykład 4 A B A B A 2,12 10,10 B 4,16 0,0 A -10 0 B -12 0 Zbiorem negocjacyjnym jest odcinek łączący (4,16) i (10,10). Gra różnic ma punkt siodłowy AA, zatem strategie A są optymalnymi strategiami gróźb dla obu graczy SQ=(2,12). Oczywiście w innych przykładach to mogą być strategie mieszane. Zdzisław Dzedzej 22
Powrót do przykładu 1 Jeżeli zbiór negocjacyjny zawiera się w prostej o nachyleniu m, to mnożąc wypłaty jednego z graczy przez stałą, dostajemy sytuację z -1. W przykładzie 1 m=-1/2. Zatem mnożąc wypłaty Kolumny przez 2, dostajemy nachylenie -1. To jest gra z przykładu 4! Otrzymamy SQ w strategiach gróźb AA : (2,6). To daje rozwiązanie arbitrażowe (5, 15/2) interpretowane jako 5/6BA+1/6AB. Jest ono bardziej korzystne dla Kolumny, niż poprzednie, co bardziej sprawiedliwie odzwierciedla jej przewagę strategiczną Zdzisław Dzedzej 23
K Poziomy bezp. 10/3 i 6 8 BA Zbiór negocjacyjny w przykładzie 1 6 6 56 5 AA AB BB 2 5 10 W Zdzisław Dzedzej 24
Negocjacje Pracodawcy -Pracownicy Dyrekcja fabryki negocjuje nowy układ zbiorowy ze związkami zawodowymi reprezentującymi załogę. Związki domagają się: podwyżki o 1 za godzinę oraz zwiększenia nakładów na zakładowy system emerytalny. Dyrekcja chciałaby: zgody na likwidację przerwy na kawę o godz. 10 rano, bo wybija robotników z rytmu i zmniejsza wydajność, oraz zgody na automatyzację jednego z wydziałów (zwolnienia). Negocjacje bezpośrednie kończą się fiaskiem. Obie strony godzą się na powołanie arbitra. Zdzisław Dzedzej 25
Negocjacje -wstęp Arbiter musi przypisać użyteczności projektom obu stron: A: automatyzacji linii produkcyjnej K: likwidacji przerwy na kawę P: podwyżce o za godzinę E: zmianie systemu emerytalnego SQ: status quo Możemy przyjąć dla wygody SQ =(0,0). Umowa: dla dyrekcji A, K mają użyteczności dodatnie, zaś P i E ujemne, dla związków na odwrót. Zdzisław Dzedzej 26
Negocjacje użyteczności dyrekcji Arbiter prosi dyrekcję o stworzenie rankingu: Szefowie jednakowo oceniają A i K, woleliby zmienić system emerytalny, niż dać podwyżkę. Mamy użyteczności porządkowe: A=K, SQ,E,P. Musimy ustalić użyteczności kardynalne np. pytając o stosunek do loterii, albo łączenie częściowych połączeń, jak obojętność wobec podwyżki o 0,67 i i zmiany systemu emerytalnego, oraz zaakceptowałaby podwyżkę o 1 i dołożenie połowy żądanej kwoty do systemu emerytalnego, gdyby w zamian związki zgodziły się na likwidację przerwy na kawę. Zdzisław Dzedzej 27
Negocjacje - użyteczności Dostaliśmy pewne informacje, które możemy umownie zilustrować liczbami P -3, E -2, SQ 0, A,K po 4. Analogicznie dyskutujemy ze związkowcami : dostaliśmy użyteczności : A -2, K -1, SQ 0, E 2, P 3. Uwaga: te użyteczności moglibyśmy przekształcić przez dowolne funkcje liniowe rosnące. W kolejnym etapie badamy użyteczności obu stron przy różnych możliwych kompromisach. Dla uproszczenia zakładamy addytywność użyteczności (to na ogół nie jest dopuszczalne!) Zdzisław Dzedzej 28
Tabela użyteczności Ustępstwa związków żadne K A KA Ustępstwa dyrekcji żadne 0, 0 4, -1 4, -2 8, -3 E -2, -2 2, 1 2, 0 6, -1 P -3, 3 1, 2 1, 1 5, 0 EP -5, 5-1, 4-1, 3 3, 2 Zdzisław Dzedzej 29
Wielobok wypłat dla arbitrażu EPA EPK 5 PK EPKA EK PA EA PKA -5 5 SQ K EKA A KA Zdzisław Dzedzej 30
Negocjacje - rozwiązanie Rozwiązaniem arbitrażowym Nasha okazuje się punkt (3,2), co odpowiada kompromisowi EPKA, czyli obie strony zgadzają się na żądania strony przeciwnej. Dla obu stron jest to sytuacja lepsza od status quo, co uprawnia nas do uznania go za sprawiedliwe. Zdzisław Dzedzej 31
Negocjacje -problemy Strony mogą kłamać przy podawaniu użyteczności (preferencje niezgodne z prawdą), aby zapewnić sobie przewagę strategiczną, co przesuwa otrzymany wynik i może być odebrane jako krzywdzące przez drugą stronę. Mogą być trudności w interpretacji mieszanego wyniku, np. automatyzacja nie jest podzielna, skrócenie przerwy na kawę też może być bezsensowne. Można zaczynać negocjacje od burzy mózgów, której celem byłoby wymyślenie dodatkowych propozycji. To poszerza negocjacje i daje więcej możliwości handlu. Często negocjacje są prowadzone w atmosferze gróżb (np. strajk), czyli próba przesuwania SQ. Zdzisław Dzedzej 32
Dyrekcja kłamie Niech dyrekcja poda fałszywe użyteczności P -6 E -4. Powtarzając analogiczne rachunki dostaniemy punkt Nasha o współrzędnych (1,1/2), bo wielobok wypłat zmienił kształt (część punktów przesunęła się w lewo). Ten punkt można na zmodyfikowanym wieloboku zrealizować jako 1/2EK+1/2PKA Zaznaczając go na rzeczywistym rysunku (po przeliczeniu na rzeczywiste użyteczności dostaniemy punkt (7/2,1/2), czyli dyrekcja zyskała. Z drugiej strony inna realizacja to 3/4EK+1/4K. Po przeliczeniu otrzymamy (5/2,1/2), czyli dyrekcja traci! Zdzisław Dzedzej 33
Po kłamstwach żadne K A KA żadne 0,0 4,-1 4,-2 8,-3 E -4,2 0,1 0,0 4,-1 P 6,3-2,2-2,1 2,0 EP -10,5-6,4-6,3-2,2 Zdzisław Dzedzej 34
Wielobok wypłat dla arbitrażu EPA EPK 5 PK EPKA EK PA EA PKA -5 5 SQ K EKA A KA Zdzisław Dzedzej 35
Ćwiczenie Zał., że dyrekcja jest rzetelna, ale związkowcy podwajają swoje ujemne użyteczności. Wykaż,że wówczas jednym z możliwych wyników arbitrażu byłoby PK, czyli (1,2) w prawdziwej tabeli. Pracownicy nie zyskali, ale zaszkodzili dyrekcji. Jeżeli obie strony skłamią, j.w. to rozwiązaniem będzie SQ (nieoptymalny w sensie Pareto). Zdzisław Dzedzej 36
Zdzisław Dzedzej 37
Literatura J. Nash, The bargaining problem, Econometrica 18(1950), 155-162. J. Nash, Two-person cooperative games, Econometrica 21(1953), 128-140. E. Kalai, M. Smorodinsky, Other solutions to Nash s bargaining problem, Econometrica 43((1975), 513-518. L. Allen, Games bargaining: a proposed application of the theory of games to collective bargaining, Yale Law Journal 65(1956), 660-693. H. Raiffa, The art and science of negotiations, Harvard University Press, 1982. S. Brams, Negotiation Games, Chapman and Hall 1990. Zdzisław Dzedzej 38