Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya prawdzwość T + to teza T jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0. Twerdzee. a wersja zasady ducj Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T dla wszystch wya prawdzwość T + to teza T jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0. Zobaczmy ja stosować zasadę ducj matematyczej w dowodzeu różych tez o lczbach aturalych. Przyład. Udowodj że dla dowolej lczby aturalej zachodz rówość + 3 +... + + +. Rozwązae.. Dla suma po lewej stroe rówośc słada sę tylo z jedego słada zatem teza T jest prawdzwa.. Poażemy że jeśl prawdzwa jest rówość T to jest założee ducyje + 3 +... + + to zachodz taże T + to jest teza ducyja + + 3 +... + + + + +. Rozpszmy lewą stroę tezy ducyjej ta by było wdać ja sorzystać z założea. Mamy + 3 +... + + + zał. + + + + + + + + + + + + + + + + +. Stąd a mocy zasady ducj daa rówość jest prawdzwa dla ażdego N. Ozaczea W dalszym cągu stosować będzemy astępujące ozaczea a a m + a m+ +... + a m a a m a m+... a m
gdze m są lczbam całowtym m < atomast a m a m+... a ozaczają dowole lczby rzeczywste. Mamy zatem p. 3 + 0 + + + 3 5 + + 3 + 4 + 5 3 + 3 + + 3 + +... + 3 + + + +... + + 0 0 + 3... +. Dowolą sumę w taej srócoej forme możemy zapsać a wele sposobów p. 8 5 3 + 4 +... + 8 + 3. 3 0 Wyorzystamy teraz zasadę ducj do uzasadea prawdzwośc wzoru a a + b dla dowolej lczby aturalej. Czytel za z pewoścą wzory srócoego możea a + b a + ab + b a + b 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 tóre są szczególym przypadam wzoru dwumaowego Newtoa dla 3. Przyład. dwuma Newtoa Udowodj że dla dowolego N zachodz rówość a + b a b gdze dla 0... ozacza symbol Newtoa!!!. Rozwązae. Przeprowadzmy ducję względem. Tezą T jest rówość a + b a b. Sprawdzmy prawdzwość T. Mamy 0 a b węc teza dla zachodz. Załóżmy teraz słuszość tezy T. Wtedy 0 0 a b 0 + 0 a + b + aa + b + ba + b zał. a 0 a 0 b a + b a b + b 0 a b
0 a + + a b +... + a + b +... + a b + + 0 a b +... + a + b +... + a b + b +. Dla... oblczymy współczy stojące przy a + b w powyższej sume. Mamy! +!! +!!!! +! +! +!! + +! +!! +! oraz 0 + 0 +. Stąd możemy apsać + a + b + + a + b 0 węc teza T + jest prawdzwa. Z zasady ducj wya słuszość tezy dla dowolej lczby aturalej. Uwaga. Korzystając z udowodoej powyżej rówośc + + możemy zbudować tzw. trójąt Pascala złożoy ze współczyów olejych rozwęć dwumau Newtoa 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 Każda lczba wewątrz tego trójąta jest sumą dwóch sąsedch lczb z poprzedego wersza. Wersz -ty zawera współczy występujące we wzorze a a + b. Przyład 3. Udowodj ducyje że dla prawdzwa jest erówość >. Rozwązae. Sprawdzmy ajperw słuszość erówośc T. Jej lewa stroa jest rówa czyl jest węsza od Założmy teraz że Poażemy że 0 353. + 3 4 3 0 375 8 > >. +.
Rozpszmy lewą stroę tezy. Mamy + Poeważ z założea mamy a ułame + + + + > jest dla aturalych dodat możemy apsać Pozostało am do sprawdzea czy + + > + + +. + +. Mamy dla aturalych + + + 4 4 + + 4 + 4 + + + 4 4 + > + + + +. + + + zatem daa erówośc jest prawdzwa dla dowolej lczby aturalej. Zadae. Udowodj że astępujące rówośc są prawdzwe dla dowolej lczby aturalej : a + +... + + b + +... + 6 + + c 3 + 3 +... + 3 + 4 d 4 + 4 7 +... + 3 3+ 3+ e + 5 + 9 +... + 4 3 f! +! +... +! +! g suma perwszych eparzystych lczb aturalych jest rówa h + + + + + j 0 a a+ a dla dowolego N gdze a jest lczbą rzeczywstą. Zadae. Udowodj ducyje erówośc N: a! > dla > 3 b + a + a dla a > erówość Beroullego c + +... +
d + +... + e + > 3 4 dla > f + > 5 dla 3 g 3 +. Zadae 3. Udowodj że dla dowolej lczby aturalej : a lczba 3 + jest podzela przez 3 b lczba 3 jest podzela przez 6 c lczba 4+ + 3 jest podzela przez 5 d lczba 3 4+ + jest podzela przez 0 e lczba 7 jest podzela przez 4 f lczba 4 + 5 jest podzela przez 3 g lczba 3 4+3 + 5 4+ jest podzela przez 8. Zadae 4. Nech a a oraz a + a + a dla 3 4.... Zdefoway w te sposób cąg 3 5 8 3... to cąg Fboaccego. Udowodj ducyje wzór a -ty wyraz tego cągu a [ ] + 5 5. 5 Zadae 5. Udowodj że dla ażdego N lczba + 3 + 3 jest lczbą aturalą. Zadae 6. Udowodj ducyje że dla ażdej lczby aturalej 0... lczba wszystch -elemetowych podzborów zboru -elemetowego wyos. Zadae 7. Udowodj że różych prostych a płaszczyźe przecających sę w ustaloym puce P dzel płaszczyzę a częśc. Zadae 8. Udowodj że suma mar ątów wewętrzych dowolego -ata wypułego wyos π.