Systemy resztowe. Kongruencje. Liczby kongruentne (przystaj ce) modulo w (w moduł przystawania) (N,M ): N M(modw) k : N M=kw M N=kw

Transkrypt

1 Kogruecje Lczby ogruete (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawaa) (N,M ): N M(modw) : NMw MNw Kogruecja relacja rówowa o c: zwrota (reflexve): N N(modw), ymetrycza (ymmetrc): N M(modw) M N(modw), przechoda (tratve): N M(modw)&M P(modw) N P(modw). LEMAT: Kogruecja jet zachowawcza (oboj ta, dfferet) wobec a dego z dzała : dodawaa, odejmowaa, mo ea ( ) N M(modw) Q P(modw) N Q M P(modw). DOWÓD: Je l NM+aw oraz QP+bw, to N±Q(M±P)+(a±b)w oraz NQMP+(Μb+Pa+abw)w Iloraz całowty Xdvw (w X : XXmodww Xdvw Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS

2 Klay ogruecj Klay ogruecj (rówowa o c wzgl dem relacj przytawaa) w:r{z :Z r(modw); w/ r< w/ }, w: w: w:r r rezta z dzelea (redue) lczby całowtej (aturalej) przez moduł w ajmej odległa od zera (ajmejza bezwzgl de) W zborze lczb aturalych jet r mamy: w:r w:r w:r w:r w 7:5{5,,9,6, } 7: {, 9,,5,,9,6, } 7:{,8,5,, } 7:{,, 6,,8,5,, } DEFINICJE Podzel p lczby Q p Q Qmodp, p Odwroto (multyplatywa) x modw lczby x modulo w ax modw ax modw! (je l x w maj wpóly podzel p, to z xmodw e ma rozw zaa) Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS

3 Algorytm Euldea Najw zy wpóly (po)dzel NWD (greatet commo dvor, GCD) NWD(X,Y)a (a X a Y) b : (b>a) (b X b Y) TWIERDZENIE: Dla dowolych lczb aturalych m, je l m< oraz pnwd(m,), to:. lczba p jet te ajw zym wpólym dzelem m oraz modm.. tej tae lczby całowte u oraz v, e pu+vm (ajw zy wpóly dzel mo a przedtaw jao ombacj low lczb m oraz ). DOWÓD:. Je l pnwd(m,), to m m p oraz p, to m( m )p, w c m< pnwd(m,)nwd(m,modm). Je l pnwd(,m), to m m p, p oraz NWD(, m ). Mamy zatem vmv m p, uu p v m +u. Poewa NWD(, m ), w c a da lczba u dla u,,, m ale y do ej lay ogruecj modulo m. Iteje w c tae u, e u m +. Rówo jet pełoa gdy v. Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS

4 Wła cwo c rezt Lczby wzgl de perwze (relatvely prme): NWD(X,Y). LEMAT: Je el rezty z dzelea lczby przez moduły wzgl de perwze obe rówe, to oe rówe rezce z dzelea przez loczy tych modułów ( w, w ) & X mod w X mod w q X mod( ww ) q. DOWÓD: Je l Xmodw q Xmodw q, to (X q)modw (X q)modw. Zatem X q w X q w, w c X q w w oraz Xmodw w q LEMAT: Kogruecje mo a dzel obutroe przez wpóly czy: (ax)mod(aw)a(xmodw) DOWÓD: (ax)mod(aw)axaw ax/aw a(xw X/w )a(xmodw) Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 4

5 Sto Eratoteea Je l z c gu olejych lczb aturalych uuemy podzele przez (parzyte), at pe podzele przez (co trzec ), at pe podzele przez 5 (co p t po ród wzytch) etc., to w c gu pozota tylo lczby perwze. Je l a N oraz a>n/a, to w c gu N olejych lczb aturalych e ma ju lczb podzelych przez a (zotały wcze ej wyre loe) Wzyte lczby perwze (oprócz ) eparzyte Algorytm:. Utwórz c g olejych lczb eparzytych <N. Zajd w c gu perwz lczb A ró od (jet a pozycj A (A+)/). W mejce a dej lczby c gu umezczoej a pozycj A +A wpz 4. Je el A <N, powró do, w przecwym raze zao cz Najmejza wpóla weloroto NWW(leat commo multply, LCM) NWW(X, X,, X m )W : X W Z : (Z<W) : X Z Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 5

6 Podzelo lczb () ale x mod w ( x mod w)( mod w) mod w, w c, poewa x, mamy mod( ± ) m mod( ± ) ( m), x mod ( ) x mod ( ) x mod ( + ) ( ) x mod ( + ) reguły podzelo c przez 9 w yteme dze tym 785 mod 9 (7+8+5) mod 9, 785 mod (7 8+5) mod 4 Je l a ±, to mod a ± oraz mod a ( ± ) reguły podzelo c przez a w yteme o baze a ± 785 mod (7+8+5) mod mod Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 6

7 Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 7 Podzelo lczb () X x x + / / ) )( (, gdze l x X + warto cam cyfr po owerj ( ). Ale jet j j ) ( ) mod( ) mod( m m ± ±, zatem: ) mod ( ) mod ( / X x ) mod ( ) ( ) mod ( / + + X x 45 mod 45 mod ( +) (45) mod ( +) 5 6 mod FF mod ( ) 6 (+5) 6 mod ( ) mod mod ( ) 8 (+56) 8 mod ( ) 8 8

8 Oreowo rezt a w a mod w ( ) mod ± ± ore ogruecj P(,w) mod w & < : mod w półore ogruecj HP(,w) mod w & < : mod w rezty pot g baz wzgl dem modułów ± powtarzaj oreowo mod( ± ) j m mod( ± ) ( m) j j + j mod( ± ) ( m ) mod( ± ) rezty pot g baz wzgl dem modułów ( ± + mod( ± + ) ) powtarzaj oreowo: mod( ± + ) m mod( ± + ) [ ( m )]mod( ± + ) ± Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 8

9 Małe twerdzee Fermata TWIERDZENIE Nech p b dze lczb perwz. Je l p e jet podzelem lczby a, to wtedy a p (modp) za dla dowolego a zachodz a p a(modp). DOWÓD. Soro p e dzel a, to j p : a j amodp, w c a da lczba c gu a, a, a,,(p ) a ale y do ej lay reztowej p:r, r,,...,p. A zatem [( a)( a)( a) ((p ) a)]modp(p )! modp, czyl a p (p )! (p )!(modp) Poewa NWD(p,a), w c NWD(p,(a p ) (p )!)p, (bowem (p )! e dzel przez p). St d wya, e a p (modp) poewa p e dzel a, w c a a p a(modp), a zatem a p a(modp) Je l NWD(p,a)p, to otata zale o jet trywala (amodp) Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 9

10 Fucja Eulera ϕ(n) co druga aturala jet podzela przez, co trzeca z pozotałych dzel przez, co p ta z epodzelych przez lub dzel przez 5, etc. TWIERDZENIE e e m Je l podzelam lczby N p, p,, p m, czyl N p p... p e m, p, to lczb aturalych mejzych od N wzgl de perwzych z lczb N jet DOWÓD: m ϕ ( N) ( p ) p, p Je l p jet podzelem N, to w zborze {,,,N} jet N N(p ) lczb epodzelych przez p. [N N(p ) ] [N N(p ) ] (p j ) N ( (p ) )( (p j ) ) po ród ch e jet podzelych przez p j. (co p j -ta po ród N po ród p ) Je l w c p,,...,m lczbam perwzym, to w zborze {,,,N} jet e e em e e em p p... p ( )( )...( )... ( )( )...( m p p pm p p pm p p pm ) lczb epodzelych przez ad z ch. Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS e WNIOSEK: Je l NWD(N,M), to ϕ(mn)ϕ(m)ϕ(n).

11 Twerdzee Eulera TWIERDZENIE Je l ϕ(n) jet lczb lczb mejzych od N wzgl de perwzych z N, to DOWÓD. ( ) a ϕ N mod N Je l Np twerdzee jet prawdzwe (ϕ(p)p ) (małe tw. Fermata). Załó my, e twerdzee jet prawdzwe dla Np m p p, czyl a m ( ) mod p St d wya, e p ( p) a m mod p p p m a m ( ) + p m+ oraz p p m p a m ( ) ( + p ) + Kpp. Twerdzee jet w c prawdzwe dla Np α, czyl m m., zatem a ϕ ( p m ) mod p m Je l w c a a ϕ ( p ϕ ( p a a b h q... t b h ) q... w ) N... mod q a b h a b h ϕ ( p q... t ) a ϕ ( p ) ϕ ( q... t ) a p q t, to a mod p ( a ) mod p b mod ( p ( a a q b ϕ ( q... w b h ) ) ϕ ( p a... t h ) mod q ( ) ), czyl a ϕ N mod N ϕ ( ) WNIOSEK: a N a (mod N) b Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS a b h oraz td.. St d wya teza twerdzea:

12 Ch e twerdzee o reztach ytem RNS Nech W{w,w,...,w m : j: NWD(w,w j )} za W m w Reprezetacja X x,x,,x m : x Xmodw, w W a dej lczby X<W jet uatowa. DOWÓD. Załó my, e X,Y<W, Y X: m:y Xmodw. Zatem m:w (YX), a poewa WNWW(w,w,,w m ), to W (YX). Soro jeda Y X, to Y X W, co przeczy zało eu, w c YX Sytem reztowy RNS(w,w,,w m ) (Redue Number Sytem) Reprezetacja X x modw,x modw,,x m modw m : w W w baze W x {,,...,w } dla ogruecj w zborze, x { w /,,,,,..., w / } dla ogruecj w zborze WNIOSEK: W yteme RNS(w,w,,w m ),, m: x,x,,x m x ± w,x ± w,,x m ± m w m modw Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS

13 Ch e twerdzee o reztach owerja odwrota CHI SKIE TWIERDZENIE O RESZTACH (CRT) (SUN-TZU, III W., QIN JIUSHAO, 47) Nech W{w,w,...,w : j: NWD(w,w j )}, W ww... w. Reprezetacja x,x,,x : x Xmodw, w W a dej lczby X<W jet uatowa oraz gdze X X w ˆ Ww, za mod w ( mod w ) x modw odwroto ŵ wzgl dem modułu DOWÓD (eformaly zc dowodu owerj odwrotej). Ze wzgl du a zachowawczo ogruecj wobec dodawaa mamy Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS w. x,x,,x x,,,, +x,,,, + +x,,,,. W yteme RNS(w,w,,w m ) lczba p o reprezetacj,,,,,, jet podzela przez a de w oprócz w, jet w c p (lczby p tej, bo ró ych reprezetacj jet dołade W). Poewa jej rezta wzgl dem w jet rówa, w c mod w jet odwroto c ŵ oraz p ( mod w ). x,x,,x jet w c reprezetacj lczby (x p +x p + +x p ) modw.

14 Wybór ytemu reztowego Dobór modułów argumety zare reprezetowaych lczb loczy wzytch modułów łatwo zybo wyoaa dzała modulo łatwo owerj owerj odwrotej moduły,, + dobrze pełaj wymagaa (, ), (, +) oraz (, +) (gdy parzyte) w yteme dwójowym je l (,m), to (, m ) (lczby Meree a) przy pezee dodawaa ~ proporcjoale do log z lczby modułów m w cej modułów tym trudejza owerja odwrota opcje W{ +,, } W{ +,,, } W{,,,,, <...<<, (,,,)} Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 4

15 Kowerja z ytemu tałobazowego a ytem RNS( +,, ) A X x { RNS j : ( a j j mod w )( mod w )} mod w reguły podzelo c reguły owerj z ytemu aturalego a RNS, dla modułów o potac, +. a + l l A a ( a ) A, l l gdze A warto cam cyfr lczby A w yteme o baze. Poewa A, zatem A mod A mod oraz + l l A mod( ) { A }mod( ) { A }mod( ) A mod( + ) { A }mod( + ) { ( ) A }mod( + ) Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 5

16 Kowerja z ytemu reztowego a ytem tałobazowy (CRT) p,,,, jedy reztowe (wag), p mod p mod w w j Warto c lczby X<WΠw o reprezetacj x, x,..., x jet zatem (CRT) X x p + x p +... x p ) modw, ( + W celu wyzaczea -tej jedy p wytarczy wyoa w oblcze. Mamy,...,,..., w w W, mod w w, Oblczae jedye reztowych p ( mod w ) : ( w ˆ( mod w ))mod w mod w ))mod w [( mod w )( rozw zae rówaa, czyl ( ( mod w )] mod w (... je l axmodw, to a xmodwx modw) odwrócoy algorytm Euldea zapujemy jao um weloroto c x ( x mod ) x ( x mod ) [ x dv x + mod x]... ϕ ( ) twerdzee Eulera: a N a (mod N) Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 6

17 Kowerja z ytemu reztowego a ytem tałobazowy Sytem reztowy RNS(a+,a,a ) (ap mu by parzyte) Mamy W(a+) a (a ). Oblczymy lczby ˆ w ww ( a + ) a, w mod w w ˆ ww ( a + )( a ), w ˆ mod w ( ) w w w a( a ), w mod w ( ) ( ) ˆ ŵ j ˆ ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe ( mod w ) w ˆ mod w mod( a ) mod( a ) a /, w ˆ mod w mod a mod a w ˆ mod w mod( a + ) mod( a + ) a / + St d z ( a + ) a ( / ), z ( a + ) ( a ), z a ( a ) ( a / ), a zatem warto c lczby X o reprezetacj r,r,r jet X (r z + r z + r z ) mod (a+) a (a ). + Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 7

18 Kowerja z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () Sytem reztowy ( +,, ). Mamy W( +) ( ). Oblczymy lczby ˆ ww ( + ), w ˆ mod w ˆ ww ( + )( ) w ˆ mod w ( ) ˆ ww ( ) w ˆ mod w ( ) ( ) w w, w, oraz ch odwroto c multyplatywe mod w mod( ) mod( w ˆ mod w mod mod w ˆ mod w mod( + ) mod( St d z ) + ) + ŵ j, a ( + ) a, z ( + ) ( ), z ( ) ( ), zatem warto c lczby X o reprezetacj r,r,r jet X (r z + r z + r z ) mod ( ). + Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 8

19 Kowerja z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () W yteme reztowym (7,,) mamy X (7,,),,. Wyzaczmy X. Mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w ˆ ŵ j ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe w ˆ mod w mod w mod w, w ˆ mod w mod w mod w w mod w ± mod w mod w ˆ ± St d z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, zatem X (( ) 6 +( ) 4 + ) mod 4 5 mod 4 7. Rzeczyw ce X (7,,) 7 mod 7, 7 mod, 7 mod,,. Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 9

20 Oblczae odwroto c multyplatywych () Odwrócoy algorytm Euldea x ( x... mod ) p ( A x x ( x mod B ) + ( C x mod D ) mod ) [ x dv x + mod x]... p + Jedy w yteme RNS(7,,) mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w oraz ch odwroto c multyplatywe ( ˆ ˆ mod w ) t w 6 7t 6 ( 6 + ) t 6 ( t) t, w ˆ t oraz t, czyl t w 4 t ( 5 ) t (5 t) ˆ, w ˆ oraz t t w t ( + ) t ( t) + ˆ w ˆ oraz t zatem w zatem 5 w zatem Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS ŵ j,

21 Oblczae odwroto c multyplatywych () Jedy w yteme RNS(7,,) twerdzee Eulera ( ) w mod w ( Mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ mod w ) ( ) w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w ˆ Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS ŵ j ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe ( 7 w mod w ) ( w ˆ ) mod7 (6 mod7)(6 mod7) 6 mod7, zatem w ˆ 6 mod7 7 mod w ( w ˆ ) mod (4 mod)(4 mod) 4 mod, zatem w ˆ 4 mod ( w ˆ ) mod ( mod )( mod ) mod, zatem w ˆ mod St d z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4,

22 Wyzaczae reprezetacj reztowych. Z twerdzea Fermata lub Eulera rezty pot g reducja pot g modϕ(p) Poadto a X a x modn(a ϕ (p) ) [ x dv ϕ (p) ] a x mod ϕ (p) modna x mod ϕ (p) modn x x x x mod p a mod p [( a mod p) ( a mod p) ( a mod p)...]mod p. Poewa dla lczby aturalej a> a moda±(±) a moda±[(±)] w c dla a dej lczby aturalej daej w reprezetacj pozycyjej o podtawe rezty mod ± mo a oblczy jao umy lub ró ce lczb -cyfrowych, utworzoych przez cyfry a pozycjach j,j+,,j+ (j,,, ) x mod( ± ) / ( x j j+ / ( x j )( ± ) ) mod( mod( ± ) ± ) Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS j j+ j

23 Sytem wadratowo-reztowy QRNS* * arytmetya lczb zepoloych (oblczae traformaty Fourera). reprezetacja reztowa jedot urojoej. q mod w, q mod w. problem: zalezee zboru modułów, dla tórych jet rozw zae rówaa q mod w. DEFINICJA Lczb r, perwz wzgl dem w N ta e rówae x mod w r ma rozw zae, azywa rezt wadratow (quadratc redue) wzgl dem w. Je el atomat rówae x mod w r e ma rozw zaa, to r azywa e-rezt wadratow (quadratc oredue) wzgl dem w. Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS *

24 Rezty wadratowe* * Poewa jet dołade (w) rezt ezerowych modulo w, a a de rówae x mod w r ma albo dwa rozw zaa eprzytaj ce x oraz x (lub wx, bo x mod w ( w x) mod w), albo e ma rozw zaa, w c przy eparzytym w teje dołade (w)/ rezt oraz (w)/ e-rezt wadratowych. Rezty wadratowe wzgl dem w wyzaczymy rozw zuj c rówae x mod r metod olejych prób dla x,,..., 6 (.x (w x) mod w) Zajdujemy odpowedo: mod, 4 mod, 4 mod, 4 mod, 5 mod, 6 mod. Zatem reztam wadratowym wzgl dem (w arytmetyce uzupełeowej): 4,,,,, 4. Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS *

25 Ch e twerdzee o reztach owerja odwrota* * Nech W{w,w,...,w : j: (w,w j )}, W ww... w oraz w ˆ Ww. Je l X <W, to reprezetacja X x,x,,x : x X modw,w W jet uatowa, przy tym ˆ X X ( mod w ) x modw gdze w mod w odwroto multyplatywa ŵ wzgl dem modułu w. D O W Ó D (formaly). Nech p mod w. Poewa x X mod w oraz W w, zatem ( ( mod w ) x ) modw ( p ( X mod w )) modw ( p ( X w X / w )) modw ( X p ) modw, a podtawe zachowawczo c ogruecj () X p modw Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS * ( X modw ) p modw X p modw.

26 Aby dowe prawdzwo c tezy wytarczy w c wyaza, e ( p ) modw. * Poewa z udowodoego wcze ej lematu wya, e NWD(x,y) amodyd amodxd amodxyd, za W w w... w w jet loczyem lczb wzgl de perwzych, w c wytarczy wyaza prawdzwo poprzeda mplacj Ale. () w : ( p )mod w ( p )modw w w : w /, zatem () ( w ˆ p )mod w ( p )mod w ( ( mod w ))mod w. St d wya prawdzwo at pa mplacj (), co dowodz tezy. Jauz Berat, AK-5-9-.doc, wrze a 9 RNS 4*