Wartości logiczne. Za zdanie b. Powiedzenie studenci miewaja

Wartości logiczne Za zdanie b edziemy uważać dowolne stwierdzenie, o którym można powiedzieć, że jest albo prawdziwe, albo fa lszywe, i które nie może być jednocześnie i prawdziwe, i fa lszywe. Powiedzenie studenci miewaja trudności ze zdaniem egzaminu jest zdaniem (jest bowiem albo prawdziwe, albo nie, i powiedzenie o nim, że jest prawdziwe lub fa lszywe, ma sens), natomiast sformu lowanie czy logika jest trudna? zdaniem nie jest, bowiem nie można sensownie wypowiedzieć sie o prawdziwości pytania. W zgodzie z intuicja bedziemy przypisywać zdaniom wartość logiczna prawdy lub fa lszu. System taki nazywamy logika dwuwartościowa. Rachunek zdań 1

Przyk lad 1. Rozpatrzmy nastepuj ace wypowiedzenie w pewnej wiosce jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie gola sie sami. Czy to wypowiedzenie (bed ace w sensie gramatyki jezyka polskiego zdaniem oznajmujacym) jest zdaniem w sensie podanej wyżej definicji? Na pozór tak. Spróbujmy jednak odpowiedzieć na pytanie, kto goli owego golarza. Jeżeli goli sie on sam, to nie może sie sam golić, bo goli on tylko tych, którzy nie gola sie sami. Jeśli jednak nie goli sie sam, to goli sie sam, bo w laśnie goli on w laśnie tych, którzy nie gola sie sami. Rozumowanie to dowodzi tezy, że powyższa wypowiedź nie jest ani prawdziwa, ani fa lszywa, stwierdzenie to nie jest zdaniem i nie ma żadnego sensu. Rachunek zdań 2

Formu ly logiczne Formu ly rachunku zdań tworzy sie z danych zdań, l acz ac je za pomoca spójników zdaniowych i, lub, nie, jeżeli oraz wtedy i tylko wtedy. Każdy sensowny napis, który da sie utworzyć ze zmiennych i spójników bedziemy uważać za formu l e rachunku zdań. Formu ly bedziemy oznaczać literami ϕ, ψ,... Wartość logiczna formu l nie ϕ, ϕ i ψ, ϕ lub ψ, jeżeli ϕ, to ψ, ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy ψ zależy tylko od wartości logicznej formu l ϕ i ψ, a nie od ich sensu. Negacja. Na oznaczenie s lowa nie przyjmiemy znak negacji. Zgodnie z intuicja wyrażenie ϕ jest prawdziwe, gdy ϕ jest fa lszywe, natomiast jest fa lszywe, gdy ϕ jest prawdziwe. Koniunkcja. Na oznaczenie s lowa i przyjmiemy znak koniunkcji. Zgodnie z intuicja wyrażenie ϕ ψ (zwane iloczynem logicznym zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe, gdy zarówno ϕ, jak i ψ (zwane czynnikami), sa prawdziwe. Alternatywa. Na oznaczenie s lowa lub przyjmiemy znak alternatywy. Zgodnie z intuicja wyrażenie ϕ ψ (zwane suma logiczna zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań ϕ, ψ (zwanych sk ladnikami) jest prawdziwe. Rachunek zdań 3

Implikacja. Na oznaczenie s lowa jeżeli przyj eliśmy znak implikacji. Wyrażenie jeżeli ϕ, to ψ jest fa lszywe, gdy ϕ (zwane poprzednikiem) jest prawdziwe, a ψ (zwane nast epnikiem) fa lszywe; w pozosta lych trzech przypadkach jest prawdziwe. Mówimy, że z prawdy tylko prawda wynika, natomiast z fa lszu zarówno prawda, jak i fa lsz wynika. Intuicyjnie implikacja jest prawdziwa, gdy poprzednik daje sie wywnioskować z poprzednika. Jednakże implikacja nie jest tożsama z wnioskowaniem. Zdania wchodzace w sk lad implikacji moga nie mieć ze soba żadnego zwiazku, ponadto implikacja jest prawdziwa nawet wtedy, gdy oba te zdania sa fa lszywe. Wnioskowanie natomiast polega na wyprowadzeniu nowego zdania prawdziwego z innego zdania, uznanego wcześniej za prawdziwe. Zapis ϕ ψ oznacza, że ϕ jest warunkiem wystarczajacym dla ψ, natomiast ψ jest warunkiem koniecznym dla ϕ. Równoważność. Na oznaczenie frazy wtedy i tylko wtedy, gdy przyjemiemy znak równoważności. Zgodnie z intuicja wyrażenie ϕ ψ (zwane równoważnościa zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe wtedy, gdy oba jego cz lony maja taka sama wartość logiczna (tzn. oba równocześnie sa prawdziwe lub fa lszywe). Zapis ϕ ψ oznacza, że ϕ jest warunkiem koniecznym i wystarczajacym dla ψ. Rachunek zdań 4

Definicja indukcyjna zbioru formu l rachunku zdań Nie bedziemy obecnie zajmować sie zdaniami w rodzaju Premier lubi Prezydenta albo Prezydent boi sie Premiera. Zastapimy je zmiennymi zdaniowymi p, q, r,... z nieskończonego zbioru V ; zmienne te bed a mog ly mieć wartość 1 (odpowiadajacej prawdzie) lub 0 (odpowiadajacej fa lszowi). Wprowadzimy teraz (w miejsce intuicyjnej) formalna definicje indukcyjna zbioru formu l rachunku zdań. Dostarczy nam ona wygodnego narzedzia s lużacego do dowodzenia twierdzeń dotyczacych rachunku zdań. Definicja 1. Niech V = {p, q, r,...} bedzie nieskończonym zbiorem zmiennych zdaniowych, zaś Σ = {,,,,,, } zbiorem spójników. Zbiorem F formu l rachunku zdań bedziemy nazywać najmniejszy zbiór napisów z lożony ze zmiennych ze zbioru V, spójników z Σ i nawiasów, spe lniajacy nastepuj ace warunki: 1. V F 2.(a), F, (b) jeżeli ϕ F, to ϕ F, (c) jeżeli ϕ, ψ F, to każda z formu la postaci ϕ ψ, gdzie {,,, }, należy do F. Rachunek zdań 5

Sens tej definicji jest nastepuj acy: z 1. wynika, że napis z lożony z pojedynczej zmiennej jest formu l a. Zasada wyrażona w punkcie 2. ilustruje sposób budowania formu ly z lożonej z jednej lub dwóch formu l oraz wybranego spójnika logicznego; dodatkowo twierdzi sie, że napis z lożony ze spójnika fa lszu jest formu l a. Przyk lad 2. Niech V = {p, q, r,...}. W zgodzie z punktem 1 powyższej definicji twierdzimy, że wyrażenia p, q, r sa formu lami rachunku zdań. Z 2b wynika, że zapis q jest forumu l a. Korzystajac z 2c stwierdzamy, że również napis p ( q) jest formu l a. Stosujac ponownie 2c otrzymujemy kolejne formu ly: (p ( q)) r lub np. (p ( q)) itd. Rachunek zdań 6

L aczność W niektórych formu lach (np. powyższy przyk lad) musimy stosować nawiasy, celem unikniecia niejednoznaczności w sposobie rozbioru formu ly. Niekiedy nawiasy opuszczamy, zak ladajac nastepuj ac a kolejność wiazania (od najsilniejszego do najs labszego):,,,, i przyjmujac, że i l acz a w lewo, tj. p q s znaczy (p q) s), zaś i l acz a w prawo, tj. p q s znaczy p (q s). Powiedzenie, że dany spójnik l aczy w lewo (w prawo) można zrozumieć w ten sposób, że majac ciag zdań po l aczonych danym spójnikiem zdaniowym nawiasy należy zaczać stawiać od lewej (prawej) strony. Przyk lad 3. Niech ϕ oznacza formu l e p q r s. Negacja wiaże najsilniej, możemy wiec zapisać te formu l e w nastepuj acy sposób: p ( q) r s. Drugim co do si ly wiazania spójnikiem jest funktor koniunkcji otrzymujemy p ( q) (r s). Funktor alternatywy l aczy w lewo, zatem ostatecznie ϕ jest równoważne ((p ( q)) (r s)). Rachunek zdań 7

Wartość logiczna formu l Definicja 2. Zbiór wartości logicznych B = {0, 1} zawiera dwa elementy: 0 na określenie fa lszu i 1 na określenie prawdy. Wartościowanie zmiennych to funkcja σ: V B. Intuicyjnie wartościowanie to przypisanie wartości logicznych (0 lub 1) poszczególnym zmiennym. Zdefiniujemy obecnie funkcje w σ przyporzadkowuj ac a formu lom, dla danego wartościowania zmiennych σ, jedna z wartości logicznych prawdy lub fa lszu. Jeżeli wartościowanie zmiennych jest ustalone w danym kontekście i taki zapis nie prowadzi do nieporozumień, bedziemy pomijać symbol σ i zamiast w σ pisać w. Definicja funkcji w bedzie przypominać sposób konstrukcji zbioru formu l r.z. Niech V oznacza zbiór zmiennych wystepuj acych w formule, natomiast σ niech bedzie wartościowaniem tych zmiennych. Oczywiście dla każdej zmiennej v V zachodzi w(v) = σ(v). Nie jest także zaskoczeniem, że dla każdego wartościowania σ mamy w( ) = 0. Rachunek zdań 8

Tabele prawdy Sposób obliczania wartości logicznej formu l z lożonych obrazuja poniższe tabele: w( ) = 0 w( ) = 1 w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 w(ϕ) w( ϕ) 0 1 1 0 w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Rachunek zdań 9

Arytmetyka w logice Zauważmy, że jeśli symbole 0 i 1 potraktować jako liczby naturalne, to: w( ϕ) = 1 w(ϕ) w(ϕ ψ) = w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) = w(ϕ) + w(ψ) + oznacza symbol zwyk lego dodawania arytmetycznego, z wyjatkiem sumy 1 + 1, która uznajemy za równa 1. Obserwacja ta pozwala zrozumieć genez e nazw iloczynu i sumy logicznej. Rachunek zdań 10

Mówimy, że formu la jest: Spe lnialność i tautologie spe lniona, jeżeli dla danego wartościowania ma wartość logiczna 1, spe lnialna, jeżeli istnieje wartościowanie, przy którym ma wartość logiczna 1, tautologia, jeśli ma wartość 1 dla każdego wartościowania zmiennych (lub co na jedno wychodzi nie istnieje wartościowanie, dla którego ma wartość 0), niespe lnialna (albo fa lszywa), jeżeli ma wartość 0 dla każdego wartościowania. O formule spe lnionej przez dane wartościowanie b edziemy niekiedy mówić, że jest prawdziwa przy tym wartościowaniu, natomiast formu la nie spe lniona b edzie fa lszywa. Przyk lad 4. p p jest tautologia p p jest niespe lnialna p q jest spe lnialna, i jest spe lniona przy wartościowaniu σ 1 takim, że σ 1 (p) = 0 i σ 1 (q) = 1, natomiast nie jest spe lniona przy wartościowaniu σ 2 takim, że σ 2 (p) = 1 i σ 2 (q) = 0. Rachunek zdań 11

Metoda zerojedynkowa sprawdzania tautologii Istnieje nieskończenie wiele tautologii, z których wiele znano już w czasach starożytnych. Stanowia one w logice odpowiednik np. tożsamości arytmetycznych czy trygonometrycznych, znanych z matematyki. Aby dowieść, że dana formu la jest tautologia, można poddać ja sprawdzeniu metoda zerojedynkowa. W tym celu należy sprawdzić, czy wartość logiczna badanej formu ly jest równa 1 dla każdego możliwego wartościowania zmiennych w niej wystepuj acych. Przyk lad 5. Rozważmy nastepuj ac a tautologie (p q) ((p q) (q p)) opisujac a zwiazek równoważności z implikacja. p q p q p q q p (p q) (q p) (p q) ((p q) (q 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Rachunek zdań 12

Szybka metoda sprawdzania tautologii Sprawdzenie, czy dana formu la jest tautologia, w podany wyżej sposób co prawda jest proste i zawsze prowadzi do celu, ale jest procesem żmudnym. Dlatego zamiast pracowicie sprawdzać wartość logiczna formu ly dla każdego wartościowania zmiennych, korzystniej jest rozważyć takie wartościowania, dla których formu la staje sie fa lszywa. Jeśli takie wartościowania istnieja, badana formu la w oczywisty sposób nie jest tautologia. Natomiast jeśli za lożenie istnienia wartościowania, dla którego formu la jest fa lszywa, prowadzi do sprzeczności, stwierdzamy, że takie wartościowanie nie istnieje, a zatem badana formu la musi być tautologia. Przyk lad 6. Rozważmy formu l e [(p q) p] q. Za lóżmy, że istnieje wartościowanie σ, dla którego jest ona fa lszywa. Ponieważ jest ona implikacja, to jest to możliwe tylko wówczas, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a nastepnik fa lszywy. Zatem w(q) = 0 (skad σ(q) = 0) oraz w((p q) p) = 1. Ale wobec σ(q) = 0 p q jest równoważne p i poprzednik przyjmuje postać koniunkcji p p, która jest zawsze fa lszywa. Za lożyliśmy jednak uprzednio, że poprzednik jest prawdziwy. Nie może on być jednak i prawdziwy, i fa lszywy przy tym samym wartościowaniu. Zatem za lożenie istnienia wartościowania, dla którego badana formu la jest fa lszywa prowadzi do sprzeczności. Oznacza to, że wartościowanie takie nie może istnieć i formu la jest tautologia. Rachunek zdań 13

Tautologie rachunku zdań ( p) p p p p p p p podwójne przeczenie ( oznacza zdanie prawdziwe) p p p p (p q) (q p) przemienność (p q) (q p) (p q) (q p) [(p q) r] [p (q r)] [(p q) r] [p (q r)] l aczność [p (q r)] [(p q) (p r)] rozdzielność [p (q r)] [(p q) (p r)] Rachunek zdań 14

(p q) ( p q) (p q) ( p q) prawa De Morgana p q q p p q p q [(p r) (q r)] [(p q) r] [(p q) (p r)] [(p (q r)] (p q) [(p q) (q p)] zamiana równoważności na implikacje (p q) [(p q) ] sprowadzenie do sprzeczności Rachunek zdań 15

Przyk lad Wyobraźmy sobie, że podczas pewnej kampanii wyborczej politycy Olek, Józek i Kazik wyg losili nastepuj ace oświadczenia: Olek: Józek k lamie. Józek: Kazik k lamie. Kazik: Olek k lamie. Co z tego wynika? Spróbujmy zapisać te wypowiedzi w jezyku logiki, oznaczajac przez P O, P J, P K fakty, że Olek, Józek, i Kazik zawsze mówia prawde. Wtedy wypowiedzi powyższych prominentów maja postać: P O P J inaczej P O P J P J P K inaczej P J P K P K P O inaczej P K P O Rozważmy hipotetyczna możliwość, że Olek rzeczywiście mówi wy l acznie prawde. Wtedy z pewnościa Józek jest k lamca, no i niestety, musimy przyznać, że przynajmniej pomyli l sie Kazik. Podobne rozumowanie możemy latwo przeprowadzić dla każdej z tych osób, a zatem tylko jeden z nich może mieć racje i być rzeczywiście prawdomównym. Tylko nie wiemy który, jeśli w ogóle. Rachunek zdań 16

Interpretacje Przypomnijmy sobie funkcje wartościowania σ przypisujac a każdej zmiennej zdaniowej ze zbioru V jedna z wartości 0 lub 1. Definicja 3. Funkcje w σ przypisujac a każdej formule wartość logiczna 0 lub 1 zgodnie z wartościowaniem σ i tabelkami prawdy definiujacymi operatory logiczne, nazywamy interpretacja. To jest tylko uzupe lnienie nowa nazwa dla funkcji w σ, która pos lugiwaliśmy sie już wcześniej. Rachunek zdań 17

Równoważność logiczna Definicja 4. Jeśli dla wszystkich interpretacji w dla danych formu l ϕ i ψ mamy w(ϕ) = w(ψ) to formu ly ϕ i ψ nazywamy równoważnymi logicznie, co zapisujemy ϕ ψ. Pojecie równoważności logicznej formu l pojawi lo sie już wcześniej, troche nieformalnie. Zwróćmy uwage w powyższej definicji, że odwo lujemy sie do wszystkich możliwych interpretacji, czyli dowolnych funkcji wartościowania. Zauważmy, że dla formu l rachunku zdań mamy skończona liczbe możliwych wartościowań, które rozpatrywaliśmy w tabelkach logicznych do sprawdzania tautologii, lub równoważności logicznej formu l. Zwróćmy uwage na dwa pojecia: spójnika równoważności, np. w formule p q, oraz pojecia równoważności logicznej formu l ϕ ψ. Te pojecia maja ze soba zwiazek, ponieważ formu la ϕ ψ jest tautologia wtw gdy ϕ ψ. Ale sa miedzy nimi istotne różnice: nie jest spójnikiem, a wiec ϕ ψ nie jest formu l a rachunku zdań, i tym samym nie ma wartości logicznej. Rachunek zdań 18

Modele Przypomnijmy sobie poj ecie spe lnialności, i formu l spe lnialnych, niespe lnialnych, oraz prawdziwych, czyli tautologii. Definicja 5. Modelem formu ly ϕ nazywamy każda interpretacje spe lniajac a te formu l e. Zatem formu la niespe lnialna nie ma modelu. Natomiast dla tautologii każda interpretacja jest modelem. Bedziemy też stosować notacje = ϕ oznaczajac a, że formu la ϕ jest tautologia. Rachunek zdań 19

Zbiory formu l B edziemy si e pos lugiwali zbiorami formu l U = {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } które b edziemy traktowali jak koniunkcje wszystkich formu l ze zbioru. Wprowadzamy poj ecia modeli i niespe lnialności dla zbiorów formu l: Definicja 6. Modelem zbioru formu l U = {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } nazywamy interpretacj e, dla której w(ϕ 1 ) = w(ϕ 2 ) =... = w(ϕ n ) = 1. Zbiór U jest niespe lnialny wtw gdy dla każdej interpretacji w istnieje takie i, że w(ϕ i ) = 0. Zauważmy, że zgodnie z przedstawionymi definicjami pusty zbiór formu l U = musimy uznać za spe lnialny, a wrecz za prawdziwy, czyli tautologie. Może to sie wydawać dziwne, ale zauważmy, że zbiór formu l traktujemy jak koniunkcje, a ponieważ w prawdziwej koniunkcji wszystkie elementy musza być prawdziwe, wiec odrywanie elementów nie zmienia prawdziwości koniunkcji. Zatem nie powinno jej zmienić oderwanie ostatniego prawdziwego elementu, które tworzy pust a koniunkcj e. Pustych koniunkcji normalnie nie zapisujemy (koniunkcja jest spójnikiem dwuargumentowym), ale pusty zbiór formu l oczywiście istnieje. Rachunek zdań 20

Oznaczmy: U = {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } W lasności zbiorów formu l Fakt: Jeśli zbiór U jest spe lnialny to zbiór U {ϕ i } jest spe lnialny dla dowolnego 1 i n. Fakt: Jeśli zbiór U jest spe lnialny, a formu la ψ jest prawdziwa, to zbiór U {ψ} jest również spe lnialny. Fakt: Jeśli zbiór U jest niespe lnialny, to dla dowolnej formu ly ψ zbiór U {ψ} jest również niespe lnialny. Fakt: Jeśli zbiór U jest spe lnialny, a dla pewnego 1 i n formu la ϕ i jest prawdziwa, to zbiór U {ϕ i } jest również spe lnialny. Fakt: Jeśli zbiór U jest niespe lnialny, a dla pewnego 1 i n formu la ϕ i jest prawdziwa, to zbiór U {ϕ i } jest również niespe lnialny. Zauważmy jednak, że dla dwóch spe lnialnych zbiorów formu l U 1 i U 2 nie jest wcale pewne, że U 1 U 2 jest spe lnialny, np. U 1 = {p}, U 2 = { p} Rachunek zdań 21

Konsekwencje logiczne Definicja 7. Niech U bedzie zbiorem formu l, a ϕ dowolna formu l a. Jeśli każdy model U jest jednocześnie modelem ϕ to mówimy, że ϕ jest konsekwencja logiczna U, co zapisujemy U = ϕ. Mówi sie również czasami, że ϕ wynika logicznie z U, który bywa nazywany zbiorem przes lanek. Przyk lad 7. Rozważmy formu l e ϕ = p q. Formu la ϕ jest konsekwencja logiczna zarówno zbioru U 1 = {p}, czyli U 1 = ϕ, jak i U 2 = { q}, czyli U 2 = ϕ. Jednocześnie ϕ nie jest konsekwencja logiczna zbioru U 3 = { p, q}, a wiec U 3 = ϕ. Zwróćmy uwage, że stosowana poprzednio notacja dla tautologii = ϕ jest spójna z notacja wynikania logicznego, jeśli zauważymy, że wtedy = ϕ. Jest tak dlatego, że dowolna interpretacja jest modelem pustego zbioru, który jest z definicji prawdziwy, a jednocześnie dowolna interpretacja jest modelem tautologii ϕ. Możemy wiec powiedzieć, że tautologia jest konsekwencja logiczna pustego zbioru przes lanek. Rachunek zdań 22

W lasności wynikania logicznego Zauważmy, że podobnie jak dla pojeć i istnieje subtelny zwiazek pomiedzy spójnikiem implikacji i pojeciem konsekwencji logicznej =. Mamy: Fakt: Jeśli dla pewnego U = {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } i ψ zachodzi U = ψ to formu la ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ψ jest tautologia, inaczej: = ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ψ Nie możemy jednak powiedzieć, że tautologia jest U = ψ ponieważ nie jest to formu la logiczna, a = nie jest spójnikiem logicznym. Fakt: Jeśli U = ϕ to dla dowolnej formu ly ψ zachodzi: U {ψ} = ϕ Fakt: Jeśli U = ϕ a ψ jest formu l a prawdziwa, to zachodzi: U {ψ} = ϕ Rachunek zdań 23

Teorie Definicja 8. Zbiór formu l T nazywamy teoria jeśli jest on zamkniety na konsekwencje (albo wynikanie) logiczne. Zbiór formu l T jest zamkniety na konsekwencje logiczne wtw gdy dla wszystkich formu l ϕ zachodzi zależność: jeśli T = ϕ, to ϕ T. Elementy teorii T nazywamy twierdzeniami tej teorii. Teoria T (U) zbioru formu l U nazywamy zbiór T (U) = {ϕ U = ϕ}. Fakt: Dla dowolnego zbioru formu l U teoria tego zbioru T (U) jest teoria. Przyk lad 8. Za lóżmy, że mamy jakaś teorie T i formu la ϕ = p należy do tej teorii. Zauważmy, że nastepuj aca formu la musi również należeć do tej teorii: p p, jak również: p q, jak również: p (p q), jak również: (p p) q, jak również: (q q) p, jak również wiele innych. W rzeczywistości, każda teoria jest nieskończonym zbiorem formu l. Teoria zbioru formu l T ({p}) na pewno zawiera sie w teorii T, ale nie musi być jej dok ladnie równa. Na przyk lad, formu la ψ = q z ca l a pewnościa nie jest elementem T ({p}), natomiast może być elementem teorii T, na przyk lad w przypadku, gdy T = T ({p, q}). Rachunek zdań 24

Wyprowadzanie formu l Tautologie i formu ly niespe lnialne rachunku zdań nie sa interesujace same w sobie. Jednak pojecie konsekwencji logicznych i teorii zbioru formu l pozwalaja formu lować ciekawe zagadnienia. Na przyk lad możemy opisać jakaś hipotetyczna rzeczywistość zbiorem formu l, i zadawać sobie pytania czy konkretne fakty bed a spe lnione w tej rzeczywistości, czyli czy sa twierdzeniami teorii tego zbioru formu l. Sprawdzanie czy formu la jest twierdzeniem danej teorii nazywamy problemem decyzyjnym w logice, a procedura umożliwiajaca rozstrzygniecie tego problemu nazywa sie procedura decyzyjna. Zgodnie z przedstawiona metodologia, sprawdzanie czy dana formu la jest twierdzeniem teorii pewnego zbioru formu l powinno wziać pod uwage wszystkie interpretacje bed ace modelami tego zbioru formu l. Jednak takie podejście jest czesto k lopotliwe i niepraktyczne. Zamiast sprawdzać interpretacje i spe lnialność stosuje si e w logice inne podejście, zwane wyprowadzaniem (albo dowodzeniem) formu l. Rachunek zdań 25

Regu ly wnioskowania Twierdzenia matematyczne maja na ogó l postać implikacji. Dowodzi sie ich nastepuj aco: majac pewien zbiór zdań, zwanych za lożeniami lub przes lankami ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n uznaje sie je za prawdziwe i do l acza do nich nowe zdanie ψ zwane wnioskiem lub konkluzja, które wynika z nich zgodnie z prawami logiki. Dla formalnego wprowadzenia dowodów logicznych używa si e regu l wnioskowania, postaci: ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ψ Znaczenie regu ly wnioskowania jest takie, że jeśli wiemy, że prawdziwe sa formu ly ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n to możemy również uznać za prawdziwa formu l e ψ. Regu ly wnioskowania nazywa sie również regu lami dowodzenia, ponieważ s luż a one do budowy dowodów twierdzeń. Rachunek zdań 26

Poj ecie dowodu Przyk ladowa regu l a wnioskowania jest: ϕ, ϕ ψ ψ zwana regu l a odrywania (modus ponens). Sens jej jest nastepuj acy: jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie ϕ oraz implikacje ϕ ψ, to możemy też uznać za prawdziwe zdanie ψ. Definicja 9. Za lóżmy, że dany jest pewien zbiór formu l zwany zbiorem przes lanek, oraz formu la ψ. Dowodem formu ly ψ jest ciag ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ψ, sk ladajacy sie z formu l, z których każda spe lnia jeden z warunków: 1. jest jedna z przes lanek, 2. jest tautologia, 3. zosta la otrzymana w wyniku użycia jednej z regu l wnioskowania zastosowanej do formu l leżacych na lewo od niej w dowodzie. Rachunek zdań 27

Poprawność regu l wnioskowania Zmierzamy do tego, żeby za pomoca regu l wnioskowania określać wynikanie logiczne formu l, aby nie trzeba by lo w tym celu sprawdzać interpretacji i modeli. Jednak w tym celu regu ly wnioskowania musza być w jakimś sensie dobre(?). Definicja 10. Regu l e wnioskowania ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ψ nazywamy poprawna wtedy i tylko wtedy, gdy formu la ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ψ jest tautologia. Latwo zauważymy, że regu la wnioskowania modus ponens jest poprawna. Rachunek zdań 28

Czego jeszcze potrzeba do efektywnego dowodzenia twierdzeń? Weźmy przyk ladowy zbiór przes lanek = {p, q}, i rozważmy nastepuj ac a prosta formu l e: p q. Jeśli odwo lamy sie do interpretacji i modeli, to latwo stwierdzimy, że każdy model zbioru jest równocześnie modelem formu ly p q, a wiec mamy = p q. Chcemy skonstruować dowód formu ly p q, czyli ciag formu l zbudowany wed lug regu l budowania dowodów, i kończacy sie formu l a: p q. Jednak tego nie da sie osiagn ać przy użyciu dotychczas wprowadzonych pojeć. Zgodnie z definicja dowodu, aby sie to uda lo, nasza dowodzona formu la p q musia laby być albo: 1. jedna z przes lanek, ale nie jest, 2. tautologia, ale też niestety nie jest, 3. otrzymana w wyniku użycia jednej z regu l wnioskowania zastosowanej do formu l leżacych na lewo od niej w dowodzie. Potrzebujemy wiecej regu l wnioskowania. Na przyk lad nastepuj aca poprawna regu la wnioskowania, zwana regu l a wprowadzania koniunkcji pozwoli laby ϕ, ψ rozwiazać przedstawiony problem: ϕ ψ Rachunek zdań 29

Formu ly równoważne Zwróćmy uwage, że konstruujac dowody formu l, nie możemy korzystać z faktu równoważności formu l, na przyk lad, wiedzac, że p q nie możemy udowodnić formu ly p q, ani zreszta na odwrót. Dlaczego? Bo równoważność formu l by la w lasnościa oparta o niespe lnialność, czyli o interpretacje. Po prostu wiedzieliśmy, że formu la p q jest prawdziwa zawsze, i tylko wtedy, gdy prawdziwa jest również p q, wiec z punktu widzenia wartości prawdy lub fa lszu możemy zawsze jedna z tych formu l zastapić druga. Dowodzenie twierdzeń musi być oparte o regu ly wnioskowania. Aby korzystać z takiej w lasności jak wyżej, musimy wprowadzić regu l e wnioskowania: i ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (nie ma regu l wnioskowania dzia lajacych w obie strony). Rachunek zdań 30

Wprowadzanie prawdy i fa lszu do formu l Wyobraźmy sobie, że mamy zbiór przes lanek = {p, q, r}. Z tego zbioru formu l możemy latwo udowodnić formu l e r, ale siegaj ac znów do pojeć wynikania logicznego mamy również w lasność: = r q. Latwo to sprawdzić za pomoca odpowiednich tabelek prawdy, ale można też sobie wyt lumaczyć w ten sposób: skoro zak ladamy, że q jest fa lszywe, to możemy do l aczyć fa lszywy element alternatywy do prawdziwej formu ly, i bedzie nadal prawdziwa. Podobnie: = r p. Jakie regu ly wnioskowania sa potrzebne, aby osiagn ać to samo za pomoca dowodzenia? ϕ ϕ (ψ ψ) ϕ ϕ (ψ ψ) Rachunek zdań 31

Systemy dowodzenia twierdzeń W logice zdefiniowano szereg alternatywnych systemów dowodzenia twierdzeń wprowadzajacych różne regu l wnioskowania (zestawy regu l), a także pewne formu ly, których nie potrzeba udowadniać, zwane aksjomatami. Dok ladna konstrukcja tych systemów jest dość skomplikowana i w tym wyk ladzie zapoznamy sie tylko pobieżnie z dwoma przyk ladowymi takimi systemami. Fakt, że w danym systemie wnioskowania z jego aksjomatów i danego zbioru przes lanek można wywieść zapisujemy: ϕ. Jeśli jesteśmy w stanie wywieść formu l e ϕ jedynie za pomoca regu l wnioskowania i aksjomatów danego systemu, to zapisujemy to jako: ϕ. Stosuje sie również wariant tej notacji odnoszacy sie do kokretnego systemu dowodzenia, np. jeśli formu l e ϕ można udowodnić w hilbertowskim systemie dowodzenia to zapisujemy to: H ϕ. Analogicznie, wywodliwość formu ly w innym popularnym systemie dowodzenia gentzenowskim można zapisać: G ϕ. Rachunek zdań 32

wprowadzenie negacji: eliminacja negacji: wprowadzenie koniunkcji: eliminacja koniunkcji: wprowadzenie alternatywy: eliminacja alternatywy: wprowadzenie implikacji: eliminacja implikacji: modus ponens: modus tollens: System naturalnej dedukcji ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ, ψ ϕ ϕ ψ, ψ ϕ ϕ ψ, ω ψ, ϕ ω ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ, ϕ ψ ψ ϕ ψ, ψ ϕ Rachunek zdań 33

Przyk lad 9. Mamy zbiór aksjomatów = {p, q}. Czy jest dowodem ciag formu l: p, q, q p, q p? Odpowiedź: Tak, jest to poprawny dowód formu ly q p. W dowodzie moga pojawić sie formu ly ze zbioru aksjomatów, oraz formu ly uzyskane z regu l wnioskowania. Zauważmy, że pierwsze dwie formu ly dowodu (p i q) przepisane sa żywcem ze zbioru aksjomatów. Nie jest konieczne przepisywanie w dowodzie formu l ze zbioru aksjomatów, ale jest to dozwolone, a przy dużym zbiorze aksjomatów może uczynić dowód bardziej przejrzystym i latwiejszym do sprawdzenia. Trzecia formu la ( q p) daje sie uzyskać z regu ly wprowadzania alternatywy przyjmujac ϕ = q i ψ = p. Zauważmy, że przes lanki regu ly wnioskowania musza być obecne w zbiorze aksjomatów (i w tym przypadku sa), albo we wcześniejszej cześci dowodu. Czwarta formu la dowodu (q p) daje sie uzyskać z regu ly wprowadzania implikacji jeśli przyjmiemy ϕ = q i ψ = p. Regu la ma jedna przes lanke, i w tej roli przyjmujemy formu l e trzecia dowodu, dopiero co wcześniej otrzymana. Ponieważ wszystkie formu ly w ciagu formu l zosta ly zapisane zgodnie z definicja dowodu, a wiec podany ciag jest dowodem. Rachunek zdań 34

Dowodzenie twierdzeń nie wprost, ϕ ϕ Rachunek zdań 35

Poprawność i pe lność systemu dowodzenia System dowodzenia nazwiemy poprawnym jeśli pozwala on wywodzić jedynie prawdziwe formu ly, czyli jeśli: ϕ to na pewno: = ϕ. Jeśli system dowodzenia pozwala na zbudowanie dowodu każdej formu ly prawdziwej (tautologii), czyli jeśli zawsze gdy: = ϕ to również: ϕ, to b edziemy taki system dowodzenia nazywać pe lnym. Fakt: istnieje pe lny system dowodzenia dla rachunku zdań. Mówimy, że rachunek zdań jest rozstrzygalny. Rachunek zdań 36

Normalizacja formu l rachunku zdań Formu ly w których symbol negacji wystepuje przed formu l a z lożona sa czesto trudne do zrozumienia (wyrażenie nie prawda, że liczba n dzieli sie przez 2 lub przez 3 jest bardziej skomplikowane, niż równoważne mu wyrażenie liczba n nie dzieli sie przez 2 i nie dzieli sie przez 3 ). Fakt: dla każdej formu ly możemy znaleźć formu l e jej równoważna, w której negacja wystepuje jedynie przed zmiennymi zdaniowymi. Na poczatek zauważmy, że ponieważ formu ly ze spójnikami innymi niż koniunkcja, alternatywa, i negacja (czyli implikacja, równoważność, i alternatywa wykluczajaca ), można zamienić na równoważne im formu ly zawierajace tylko koniunkcje, alternatywe, i negacje. Dalej, zgodnie z prawami de Morgana dla dowolnych formu l ϕ 1 i ϕ 2 formu ly (ϕ 1 ϕ 2 ) oraz ϕ 1 ϕ 2, a także formu ly (ϕ 1 ϕ 2 ) oraz ϕ 1 ϕ 2 sa równoważne. Definicja 11. Litera lem nazywamy formu l e, która ma postać pojedynczego symbolu zmiennej zdaniowej, np. p, albo zmiennej zaprzeczonej p. Litera l o postaci p, dla pewnej zmiennej zdaniowej p, nazywamy pozytywnym, a litera l o postaci p nazywamy negatywnym. Rachunek zdań 37

Dysjunkcyjna postać normalna DNF Definicja 12. Formu la ma dysjunkcyjna postać normalna (DNF, ang. Disjunctive Normal Form), jeśli jest postaci m n i, i=1 j=1 gdzie l ij sa litera lami, dla i = 1,..., n oraz j = 1,..., m i. Mówiac skrótowo, dysjunkcyjna postać normalna, to alternatywa koniunkcji litera lów. Przyk lad 10. Rozważmy formu l e p (q r), która nie jest w postaci DNF. Możemy znaleźć równoważna formu l e DNF przekszta lcajac ja zgodnie z prawami rozdzielności alternatywy wzgledem koniunkcji: (p q) (p r) Przyk lad 11. Formu la ϕ = (p q) ( p q) jest w postaci DNF. Zauważmy, że jest ona równoważna formule p q: p q p q p q p q ϕ p q 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 l ij Rachunek zdań 38

Dla każdej formu ly rachunku zdań istnieje równoważna jej formu la w postaci DNF. Można ja otrzymać przekszta lcajac formu l e zgodnie z prawami de Morgana i rozdzielności. Istnieje ponadto prosty schemat wyznaczania tej postaci na podstawie tabelki prawdy dowolnej formu ly. p q r... ϕ 0 0 0... 0............... 0 0 1... 1............... 0 1 0... 1............... Dla każdego wiersza tabeli, który ma jedynke w kolumnie formu ly ϕ konstruujemy koniunkcje litera lów odpowiadajacych wszystkim zmiennym zdaniowym formu ly, z negacja tylko przy zmiennych, dla których w danym wierszu wystepuje zero: ϕ ( p q r...) ( p q r...) Formu la wygenerowana zgodnie z tym schematem rzadko jest jednak optymalna, tzn. na ogó l istnieje krótsza postać DNF równoważna danej formule. Rachunek zdań 39

Koniunkcyjna postać normalna CNF Definicja 13. Klauzula nazywamy formu l e postaci m l j, j=1 gdzie l j sa litera lami, dla j = 1,..., m. Mówiac krótko, klauzula to alternatywa litera lów. Definicja 14. Formu la ma koniunkcyjna postać normalna (CNF, ang. Conjunctive Normal Form), jeśli jest postaci m n i, i=1 gdzie l ij sa litera lami, dla i = 1,..., n oraz j = 1,..., m i, tj. gdy jest koniunkcja klauzul. j=1 l ij Przyk lad 12. Formu la ϕ = (p q) (r s) nie jest w postaci CNF (w istocie formu la jest w czystej postaci DNF). Korzystajac kilkukrotnie z prawa rozdzielności alternatywy wzgledem koniunkcji otrzymujemy formu l e równoważna: (p r) (q r) (p s) (q s) Rachunek zdań 40

Przekszta lcanie formu l do postaci CNF Fakt: Dla każdej formu ly rachunku zdań istnieje formu la równoważna w postaci CNF. Algorytm przekszta lcania dowolnej formu ly na równoważna w postaci CNF: 1. Usuń wszystkie spójniki logiczne z wyjatkiem negacji, koniunkcji i alternatywy, tworzac równoważne formu ly wykorzystujace tylko te formu ly. Na przyk lad: (p q) ( p q) (p q) (( p q) (p q)) 2. Przenieś wszystkie negacje do środka, korzystajac z praw de Morgana: (p q) ( p q) (p q) ( p q) 3. Usuń podwójne zaprzeczenia, używajac równoważności p p. 4. Zastosuj prawa rozdzielności dla usuniecia koniunkcji z wnetrza alternatyw. 5. Zastosuj l aczność dla po l aczenia koniunkcji i alternatyw binarnych w n-arne. Rachunek zdań 41

Zapis formu l w postaci CNF jako zbiorów Przyk lad 13. Rozważmy formu l e: ( p q) (p q) i znajdźmy dla niej formu l e równoważna w postaci CNF. ( p q) (p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p p q) (q p q) Definicja 15. Formu l a w postaci klauzulowej nazywamy zbiór zbiorów litera lów, gdzie zbiory litera lów (traktowanych jako alternatywy) bed a reprezentowa ly klauzule, a ca ly zbiór zbiorów (traktowany jako koniunkcja) bedzie reprezentowa l ca l a formu l e. Taka notacja formu l jako zbiorów podkreśla niezależność wartości logicznej formu ly w postaci CNF od kolejności wystepowania w niej klauzul, a w klauzulach litera lów, i od ewentualnych powtórzeń litera lów w klauzulach, albo identycznych klauzul w formule. Postać klauzulowa formu ly z powyższego przyk ladu jest nastepuj aca: {{ p, p, q}, {q, p, q}} = {{ p, q}}. Rachunek zdań 42

Puste klauzule i zbiory klauzul Definicja 16. Pojedynczy litera l bedziemy uważać za klauzule, która nazywamy klauzula unarna. Ponadto, pusty zbiór litera lów bedziemy uważać za klauzule pusta, i oznaczać:. Fakt: klauzula pusta ({} = ) jest niespe lnialna (fa lszywa), to znaczy jest równoważna formule. Wynika to z prostego uogólnienia tabelki prawdy logicznej dla alternatywy n-arnej taka alternatywa jest spe lniona wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jeden z jej elementów (litera lów) jest spe lniony. Intuicyjnie: alternatywa jest latwiej spe lnialna, gdy ma wiecej elementów, czyli im mniej ma elementów tym trudniej ja spe lnić. Fakt: formu la pusta ({} = ) jest tautologia (formu l a prawdziwa), to znaczy jest równoważna formule. Wynika to z prostego uogólnienia tabelki prawdy logicznej dla koniunkcji n-arnej taka koniunkcja jest spe lniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jej elementy (klauzule) sa spe lnione. Intuicyjnie: koniunkcja jest latwiej spe lnialna, gdy ma mniej elementów. Uwaga: formu la {} jest prawdziwa, ale klauzula {} jest fa lszywa. Ponadto fa lszywa jest formu la {{}} = { }. Rachunek zdań 43

Regu la i metoda rezolucji Definicja 17. Nastepuj aca regu la wnioskowania dla klauzul jest nazywana regu l a rezolucji: {ϕ 1,..., ϕ n, ω}, {ψ 1,..., ψ m, ω} {ϕ 1,..., ϕ n, ψ 1,..., ψ m } Klauzule wejściowe rezolucji nazywamy kolidujacymi ze wzgledu na litera l ω. Klauzula wynikowa rezolucji nazywana jest rezolwenta klauzul wejściowych. Definicja 18. Metoda rezolucji nazywamy nastepuj acy algorytm generowania klauzul z poczatkowego zbioru klauzul S = S 0. W kolejnym i-tym kroku algorytmu wybieramy wcześniej jeszcze niewybrana pare klauzul kolidujacych C 1, C 2, tworzymy rezolwente C klauzul C 1 i C 2, oraz zbiór klauzul S i = S i 1 {C}. Jeśli C = to zatrzymaj algorytm stwierdzajac, że zbiór S jest niespe lnialny. Jeśli S i = S i 1 dla wszystkich możliwych wyborów klauzul kolidujacych, to zatrzymaj algorytm stwierdzajac, że zbiór S jest spe lnialny. Fakt: 1. Algorytm metody rezolucji zatrzymuje sie dla każdego skończonego zbioru klauzul rachunku zdań. 2. Dla każdego niespe lnialnego zbioru klauzul algorytm wygeneruje klauzule pusta. 3. Algorytm może wygenerować klauzule pusta tylko z niespe lnialnego zbioru klauzul. Rachunek zdań 44

Dowodzenie metoda rezolucji Zauważmy, że metoda rezolucji nigdy nie pozwala na stwierdzenie, że formu la jest prawdziwa, a jedynie że jest spe lnialna lub niespe lnialna. Zatem rezolucja jest metoda dowodzenia nie wprost, czyli jeśli chcemy udowodnić jakieś twierdzenie, to musimy utworzyć jego zaprzeczenie, i wykazać metoda rezolucji, że jest niespe lnialne. W szczególności, chcac wykazać ϕ musimy utworzyć formu l e { ϕ}, przekszta lcić ja do zbioru klauzul CNF, i uruchomić metode rezolucji. Wniosek: metoda rezolucji jest poprawnym i pe lnym systemem dowodzenia rachunku zdań. Rachunek zdań 45

Drzewa rezolucji Kolejne kroki w dowodzie niespe lnialności formu ly metoda rezolucji można zobrazować graficznie za pomoca nastepuj acego diagramu, gdzie C 1 i C 2 sa klauzulami kolidujacymi, a C ich rezolwenta: C 1 C 2 C Definicja 19. Pe lny dowód bedzie sie sk lada l z zestawu takich diagramów l acz acych sie w strukture drzewiasta, zwane drzewem rezolucji. W symbolicznym zapisie dowodów rezolucyjnych przydaje sie jeszcze dalsze uproszczenie notacji. Oznaczajac przez l negacje litera lu jeśli jest on pozytywny, a pozytywna wersje tego litera lu jeśli jest on negatywny, możemy stosować jeszcze bardziej uproszczony zapis formu l, na przyk lad klauzule: {{ q, p, q}, {p, p, q}} możemy zapisać w skrócie jako: {qpq, ppq}. Rachunek zdań 46

Przyk lady Rozważmy formu l e {p, pq, r, pqr}. pqr pq r pq p Pusta klauzula zosta la wygenerowana. Formu la jest niespe lnialna. p Rozważmy formu l e {p, pq}. p q Klauzula pusta nie zosta la wygenerowana, i nie ma żadnej innej możliwości wybrania pary klauzul kolidujacych. Algorytm rezolucji zatrzyma sie w tym momencie, konkludujac, że wyjściowy zbiór klauzul jest spe lnialny. Natomiast otrzymana rezolwenta jest pe lnoprawnym twierdzeniem teorii rozważanej formu ly. (Ale ta teoria jest znacznie wieksza, zawiera inne twierdzenia takie jak p p, p r, itd.) pq Rachunek zdań 47

Przyk lady (cd.) Rozważmy formu l e {pqr, r, pqr, r}. pqr r pqr r pq p pq Pusta klauzula nie zosta la wygenerowana. Czy to oznacza, że rozważana formu la jest spe lnialna i z rozważanej formu ly można wywieść jedynie p? Nie! Zauważmy, że to nie jest jedyne możliwe drzewo rezolucji dla tej formu ly, i algorytm rezolucji nie zatrzyma lby sie w tym momencie, tylko dalej generowa l rezolwenty. Ca lkowicie wystarczajacym dowodem niespe lnialności rozważanej formu ly jest natomiast nastepuj ace drzewo: r r Rachunek zdań 48

Klauzule i formu ly Horna Niech C = m j=1 l j bedzie dowolna klauzula i niech P C = {j {1,..., m} litera l l j jest pozytywny}, oraz N C = {j {1,..., m} litera l l j jest negatywny} C = j N C l j j P C l j. gdzie l j oznacza pozytywna wersje negatywnego litera lu. Fakt: formu ly C i C sa równoważne. Fakt (wniosek z powyższego): dowolna klauzule można zapisać w postaci m n p i q j, i=1 j=1 gdzie p i i q j sa zmiennymi zdaniowymi (bez negacji). Definicja 20. Klauzula m j=1 l j jest klauzula hornowska (albo klauzula Horna), jeżeli co najwyżej jeden spośród litera lów l 1,..., l m jest pozytywny. Formu la ma postać hornowska, jeżeli jest koniunkcja klauzul hornowskich. Rachunek zdań 49

Klauzule i formu ly Horna (cd.) Klauzule hornowskie można wi ec zapisywać w postaci m j=1 p j q lub m j=1 p j gdzie p j oraz q sa zmiennymi zdaniowymi. Nie jest to preferowana postać zapisu formu l, ponieważ bedziemy dażyć do normalizacji i ograniczenia sie do spójników koniunkcji, alternatywy, i negacji, a w rzeczywistości do postaci CNF, ale warto intuicyjnie rozumieć taka interpretacje formu l i klauzul Horna. Przyk lad 14. Dla nastepuj acych formu l podano równoważna im formu l e w postaci hornowskiej: p p p q nie ma p q p q p q r p q r p q r p q r p q r ( p r) ( q r) Rachunek zdań 50