acta mechanca et atomatca vol4 no (00) SPEKY ODELOWNI DYNIKI RUCU CZŁOWIEK DL ZDŃ SYULCJI ODWRONEJ Wojcech BLJER * Kzysztof DZIEWIECKI * Zenon ZUR * * Instytt echank Stosowanej Eneetyk Wyzał echanczny Poltechnka Raomska l Kasckeo 54-00 Raom wblaje@paompl kzysztofzeweck@paompl zmaz@paompl Steszczene: W pacy omawane są wybane zaanena bowy moel cała człoweka la zaań symlacj ynamcznej owotnej Dysksja powazona jest w onesen o moel płaskeo pzeznaczoneo o analzy skoków w płaszczyźne stzałkowej kła skłaająceo sę z 4 sztywnych sementów połączonych za pomocą pzebów Omawa sę wa moele steowana etemnstyczny (poszczony) za pomocą wypakowych momentów sł męśnowych w stawach oaz neetemnstyczny (szczeółowony) moel meszany za pomocą sł męśnowych (steowane namaowe) w stawach kończyn olnych momentów sł męśnowych w pozostałych stawach Z zastosowanem ównań ch we współzęnych absoltnych nezależnych ysktje sę ozwązana zaań symlacj ynamcznej owotnej la ob moel steowana Rozwązanem są pzebe w czase steowana kłaem oaz eakcj moel z położem (w faze lot z założena ówne ze) Omawa sę też metoy wyznaczana sł eakcj w stawach zależnych o sł męśnowych eakcj zewnętznych WSĘP Symlacja ynamczna owotna czynnośc motoycznych człoweka powazona z wykozystanem moel męśnowo-szkeletowych (weloczłonowych) oaz anych z baań ekspeymentalnych jest postawową technką beznwazyjneo szacowana sł męśnowych oaz obcążeń wewnętznych zewnętznych w takce tych czynnośc Jakoścowe loścowe wynk takch baań znajją szeoke wykozystane w bomechance spot eonom ehabltacj meycznej otope tansplantolo nezależne o aspektów poznawczych lepszeo zozmena bowy steowana skomplkowanym apaatem ch człoweka źóła nspacj la wel maszyn mechanzmów Zomazone ośwaczena weza wspomaane zaawansowanym technkam kompteowym pomaowym możlwają zś analzę bazo skomplkowanych chów człoweka możlwą często z wykozystanem poamów komecyjnych takch jak nyboy (Damsaa et al 00) czy sclogaphcs (nol et al 009) Pommo swoch oomnych możlwośc (mn baza anych antopometycznych) poamy te wykozystywane są jenak często jak czane skzynk co ne zawsze jest zasane w baanach postawowych/specjalstycznych Są to ponato poamy bazo oe Z tych powoów w wel ośokach nakowych powazone są ntensywne baana w zakese oskonalena oaz poszkwana własnych meto moelowana symlacj kłaów bomechancznych (mbóso bantes 00; Blaje nn 00; Pany 00; Potkonjak nn 009; Vkobatovć nn 00; Yamach 00; Zajac Wntes 990) wyspecjalzowanych często la baana szczeólnych pzypaków ch Nnejsza paca wpsje sę w nt baań postawowych otyczących moelowana symlacj kłaów bomechancznych Dysktowane są aspekty moelowana ynamk cała człoweka na pzykłaze płaskeo moel pokazaneo na Rys pzeznaczoneo o baana szeokej amy skoków spotowych typ wyskok ponowy skok w al z mejsca zeskok z powyższena pzeskok pzez kałżę czy tójskok któych analzę można (z pewnym pzyblżenem) powazć w płaszczyźne stzałkowej (skok bez obot/śby) oel skłaa sę z N = 4 sztywnych sementów połączonych pzebowo w k = stawach W faze lot kła ma n = + k = stopn swoboy Y L X 0 K L 5 8 K R Rys oel cała człoweka steowany za pomocą wypakowych momentów sł męśnowych DYSKUSJ ZŁOŻEŃ WSĘPNYC Pzeznaczene bowaneo moel la analzy skoków w sposób natalny koncentje waę na analze pacy męśn obcążenach w stawach kończyn olnych W nnejszej pacy 9 R
Wojcech Blaje Kzysztof Dzeweck Zenon az spekty moelowana ynamk ch człoweka la zaań symlacj owotnej znajje to ozwecelene w szczeółowen moel apaat ch kończyn olnych ch ozaływana z położem Pozostała część cała może być zamoelowana bazej zbne lb węcz potaktowana jako chome popace oele steowana chem Wyóżnć można wa postawowe moele steowana chem cała człoweka: za pomocą wypakowych momentów sł męśnowych w stawach lb bezpośeno za pomocą sł męśnowych Pewszy zecyowane poszczony moel steowana zlstowany jest na Rys Ne efnje sę w nm w oóle męśn an sł męśnowych a ch załane zastępje momentam stejącym w ozważanym pzypak k = momentam [ ] = L w tym k = momentam = [ ] L w stawach kończyn olnych k = momentam = [ ] L w pozostałych stawach = [ ] Z ważnejszych cech bomecha- ncznych któe ne są epezentowane w tym moel jest to że momenty stejące elją wyłączne chy wzlęne w opowaających m stawach Bak jest ozwecelena cech załana męśn welostawowych moących wpływać jenocześne na chy w wel stawach Sły męśnowe mają ponato stotny wpływ na obcążena kła kostneo sły eakcj w stawach co jest zanebywane w moelach steowanych za pomocą F jest słą ozwjaną w -tym męśn a jest watoścą jeo pzekoj fzjoloczneo Wekto paametów steowana [ σ = ] ma teaz wyma m = m + k = 5 Poejśce take pozwala skoncentować waę na szczeółowonym moel wyznaczana sł męśnowych obcążeń w stawach kończyn olnych z wzlęnenem ynamk całeo cała człoweka Ozaływane z położem Położe z któym kontaktje sę stopa (lb stopy) moelowane jest w tej pacy jako neskończene sztywne Kontakt stopy z położem pzybeać może óżne postace (włączając w to bak kontakt) zlstowane na Rys Ozaływane na stopę zachoz popzez wypakową eakcję R ozłożoną na skłaowe R R y a pnkt pzyłożena tej sły ne jest stały Z teo powo R wyone jest pzeneść ównolele o pnkt (oś staw skokoweo) oając moment sły R wzlęem = Ry Rh (Rys 4) Dla oszacowanych watośc R R y oaz h zależność ta posłżyć może o wyznaczena mejscowena skłaowej ponowej R y eakcj R czyl = ( + Rh) / Ry Ostateczne wekto oólnonej eakcj na stopę o położa zapsać można jako = [ R Ry ] (w pzypak bak kontakt stopy z położem jest z założena = 0 ) a) b) 8 9 8 0 5 4 5 R Ry R R y Rys ęśne apaat ch kończyn olnych Steowane za pomocą sł męśnowych jest aleko lepszym pzyblżenem ops apaat ch człoweka Steowane take jest powszechne wykozystywane w moelach męśnowo-szkeletowych kończyn olnych ónych (Pany 00 Wnte 005; Yamach 00; Zajac Wntes 000) Bowa takch moel la tłowa waz z ocnkem szyjnym jest zecyowane tnejsza ze wzlę na że skomplkowane bowy tych częśc cała Racjonalnym ozwązanem zastosowanym we wcześnejszej pacy atoów (Blaje nn 00) jest popozycja steowana meszaneo za pomocą sł męśnowych w kończynach olnych oaz momentów sł męśnowych w stawach pozostałych częśc cała W ozważanym pzypak paametam steowana są m = 8 napężena męśn kończyn olnych (9 męśn w każej kończyne Rys ) σ = [ σ ] L σ8 oaz k = momentów sł męśnowych = [ ] L w stawach ónej częśc cała pzy czym σ = F / ze 4 c) R R y Rys ożlwe pzypak ozaływana stopy z położem h R R y Rys 4 Ozaływane o położa zekowane o staw skokoweo stopy R ) R y 8
acta mechanca et atomatca vol4 no (00) ożlwa ekcja moel Opsany moel owzoowje całe cało człoweka Jak zostane pokazane alej pozwala on na oszacowane (symlacja ynamczna owotna) pzebeów sł męśnowych eakcj w stawach kończyn olnych poczas baanych skoków Wylczane są ówneż momenty sł męśnowych w pozostałych połączenach moel oaz eakcje z położem = [ R Ry ] (kontakt jeną stopą) W faze lot eakcje z położem pownny być oczywśce ówne ze a w faze kontakt z położem można je zmezyć (poma na platfome ynamometycznej) Poównane wylczanych z pomaowym (kontakt z położem) oczekwanym ( = 0 w faze lot) może być obym kytem oceny popawnośc bowanym moel oblczenowych jakośc anych knematycznych żytych o oblczeń Dla analzy skoków koncentjącej waę na obcążenach kończyn olnych zastosować można ówneż moel poszczony skłaający sę z człon (olna część tłowa) z zaczeponym o nej kończynam olnym (Rys ) Znany (pomay knematyczne) ch człon taktowany jest wówczas jako chome popace la kończyn olnych co ztje na sposób eneowana postać ównań ch tak zamoelowaneo kła o n * = stopnach swoboy Rozwązane zaana symlacj ynamcznej owotnej z życem tych ównań czyl wyznaczene sł męśnowych oaz eakcj w stawach kończyn olnych poczas analzowanych skoków wymaa znajomośc (poma na platfome ynamometycznej) eakcj załających na stopę w faze kontakt z położem (eakcj tych ne można wyznaczyć) oel ten ne bęze omawany w tej pacy GENEROWNIE RÓWNŃ RUCU Ważną cechą bowanych moel cała człoweka jest możlwość ch stosowana o zaań symlacj ynamcznej owotnej zaówno w faze lot jak w faze kontakt z położem W symlacj tej zastosować można ynamczne ównana wyeneowane we współzęnych absoltnych lb we współzęnych nezależnych Równana ch we współzęnych zależnych Współzęnym absoltnym kła weloczłonoweo z Rys są p = [ C yc θ L CN ycn θ N ] w lczbe N = 4 na któe skłaają sę współzęne śoków mas kąty obot członów wzlęem necjalneo kła onesena XY Rch członów skępowany jest l = k = węzam połączeń w stawach a w faze kontakt z położem na stopę załają oatkowo eakcje o położa Równana węzów we współzęnych absoltnych p mają postać wkłaną z = Φ( p) = 0 ze z wektoem współzęnych węzów efnjących kenk (pozome ponowe) skępowana w stawach (Blaje 004) Dynamczne ównan ch kła we współzęnych p mają następjącą symbolczną oólną postać macezową p& = f C ( p) C ( p) f ( p) () + w któych p& = f jest złożenem nezależnych ównań la członów swobonych po załanem tylko sł awtacyjnych Sły bene wynkające z węzów połączeń w stawach epezentje N - wekto oólnonych sł eakcj węzów f = C ze C = Φ / p jest l N - wymaową macezą węzów a = [ L ] l jest wektoem (fzycznych) sł eakcj w stawach naloczne okeślena otyczą wektoa oólnonych sł eakcj w wynk kontakt z położem f = C któe załają na stopę lewą lb pawą a w faze lot są z założena zeowe Wekto oólnonych sł stejących la moel steowana omówonych w ozzale pzyjmje opoweno postać: f = B lb f = Bσ ( p) σ () ze B B σ są macezam ystybcj paametów steowana oaz σ na kenk p& o wymaach opoweno N k N m Poneważ [ = ] oaz [ σ = ] maceze te pzestawć można ówneż jako B = [ B B ] oaz B σ = [ B σ B ] z czeo B B σ mają wymay opoweno N k N m a wyma wspólnej macezy B jest N k O O F F K R F +F I = I F obcążene kośc owej 4 N obcążene kośc pszczelowej Rys 5 oel załana postownków staw kolanoweo 4 F F + I = I Wększość skłanków ównań () wypowaza sę elatywne posto włączając w to eneowane ównań węzów połączeń w stawach Φ ( p) = 0 a na tej postawe wyznaczane macezy C Wysłek moelowana skpa sę na konstkcj macezy B σ ystybcj paametów steowana meszaneo [ σ = ] w częśc opowaa- jącej steowan za pomocą sł męśnowych (napężeń ) w stawach kończyn olnych ność polea na zefnowan ln załana sł męśnowych popzez okeślene mejsc wpowazena tych sł o opowench członów ejscam tym moą być bowem zaówno anatomczne mejsca pzyczepów męśn o opowench członów (kośc) jak ówneż pnkty wynkające z fakt oplatana nektóych stawów pzez ścęna męśn co sktkje nezeowym pomenem załana sł męśnowych wzlęem tych stawów nezależne o watośc kąta stawoweo Jako pzykła złożonośc poblem posłżyć może moel męśna czwoołoweo a (qaceps femos) postownka staw kolanoweo (Rys 5) ozzeloneo na wa aktony: (posty a) oaz (skpający łowy boczną pzyśokową pośokową) ktony te zaczepone w pnktach O O opoweno o mency a (pzyczepy początko- 9
Wojcech Blaje Kzysztof Dzeweck Zenon az spekty moelowana ynamk ch człoweka la zaań symlacj owotnej we) popzez zepkę wspólne ścęno (wązało zepk) zaczepone są o poza w pnkce I = I (pzyczepy końcowe) W pewnym poszczen wązało zepk jest neozcąlwe a pzy znan/postowan staw kolanoweo zepka ślza sę (bez taca) po kłykc kośc owej Sły męśnowe popzez zepkę ozałją na kość ową słą nomalną N bęącą wypakową sł F F w aktonach oaz sła F + F w wązale zepk Na kość pszczelową zała sła F + F (wzłż ln wązała zepk) pzyłożona w pnkce I = I Pomeń załana tej sły (postjącej) wzlęem os staw kolanoweo K jest zawsze wększy o zea nezależne o wzajemnej konfacj a poza Wyznaczene ln załana sły N na kość ową oaz sły F + F na kość pszczelową jest zaanem któe ne bęze t szczeółowo omawane wyboem może być zastąpene współzęnych kątowych ϕ pzez kąty stawowe oentjące człon następny wzlęem popzeneo ożlwy jest też wybó q zaweający współzęne absoltne jeneo człon (współzęne śoka masy kąt oentjący ten człon wzlęem kła necjalneo) oaz kąty oentjące położena pozostałych członów Nezależne o wybo współzęnych nezależnych ynamczne ównana ch (4) fomłowane są z wykozystanem opsaneo posteo aloytm wyoneo w zastosowanach kompteowych naltyczneo sfomłowana wymaają: f C oaz B / B σ w onesen o p a następne D oaz γ bęące konsekwencją ównań węzów () p = (q) Wszystke skłank ównań ynamcznych (5) fomłowane są następne za pomocą łatwych o skompteyzowana opeacj mnożena macezy Równana ch we współzęnych nezależnych 4 SYULCJ DYNICZN ODWRON Dynamczne ównana ch we współzęnych nezależnych wyone jest wypowazć stosjąc metoę ztową (Blaje 998) Pnktem wyjśca la teo sfomłowana są skłaowe f C f ( B lb B σ ) ównań ch () we współzęnych absoltnych oaz zależnośc męzy N współzęnym absoltnym p oaz n współzęnym nezależnym q bęące ównanam węzów połączeń w stawach w postac ozwkłanej W zastosowan o ozważaneo moel cała człoweka ównana te na pozome położeń pękośc pzyspeszeń mają postac: p = ( q) p& = D( q) p&& = D( q) & + γ( q ) () ze D = / q jest macezą o wymaze N n a wekto γ = D& ma wyma N Poszkwane ównana ch we współzęnych nezależnych q pzyjmją postać ( q) + ( q ) = f ( q) C ( q) + f (4) ze = D D jest n n - wymaową macezą mas oólnonych opowaających skłank = D γ po pzenesen na pawą stonę ównań ch jest n - wektoem oólnonych sł bezwłanośc a f = D f jest n - wektoem oólnonych sł awtacyjnych Wekto oólnonych sł stejących w onesen o steowana za pomocą lb σ ma postać: f = B lb f = Bσ ( q) σ (5) pzy czym maceze B = D B Bσ = D Bσ mają wymay opoweno n k ( ) n m ( 5 ) Poobne jak w pzypak sfomłowań () poneważ = [ ] [ σ = ] maceze te pzestawć można jako B = [ B B ] B σ = [ B σ B ] ze B B σ mają wymay n k n m a wyma wspólnej macezy B jest n k Wybó współzęnych nezależnych q ne jest jenoznaczny Dla ozważaneo moel acjonalnym wyboem jest q = [ y ] ϕ L ϕ4 ze y są współzęnym pzeb (staw booweo) w necjalnym kłaze onesena XY a ϕ są kątam oentjącym poszczeólne człony wzlęem pon = K N Innym Po pojęcem symlacj ynamcznej owotnej ozme sę wyznaczane steowana kłaem wymaaneo la ealzacj znaneo/zaaneo w czase ch kła ( ewentalne nnych obcążeń kła na pzykła eakcj zewnętznych) powazone z życem moel ynamczneo kła W pzypak kłaów bomechancznych chaakteystyk knematyczne la aneo ch p lb q są okeślane na postawe pomaów (flmowane + obóbka nmeyczna) ską wyznacza sę ówneż p& / oaz p& & / & W zależnośc o wybo lb σ jako paamety steowana (ozzał ) ozważany w tej pacy poblem symlacj ynamcznej owotnej jest zaanenem etemnstycznym lb neetemnstycznym 4 Zaanene etemnstyczne Poblem otyczy symlacj ynamcznej owotnej pzy wyboze [ ] = L jako paamety steowana W onesen o ównań ch () we współzęnych absoltnych p wykozystjąc chaakteystyk knematyczne la analzowaneo skok p p& oaz p& & ównana te pzekształcają sę w kła N = 4 alebacznych ównań lnowych wzlęem l = mnożnków Laane a l = skłaowych ozaływana na stopę o położa oaz k = wypakowych momentów sł męśnowych w stawach l + l + k = N Pzebe tych zmennych poczas analzowaneo ch oaz wyznaczyć można zatem jenoznaczne z zależnośc = [ C ( p ) C ( p ) B ] ( p& f ze N N - wymaowa macez [ C C B ] jest z założena owacalna Rozwązane () obowązje zaówno la fazy kontakt z położem (popzez jeną stopę) jak la fazy lot y żana ze stóp ne kontaktje sę z położem Jest oczywste że w faze lot otzymane tą ) () 0
acta mechanca et atomatca vol4 no (00) oą pownny być zeowe z neokłanoścą wynkającą z neścsłośc moel matematyczneo oaz oanczonej okłanośc żytych o oblczeń chaakteystyk knematycznych paametów masowo-eometycznych moel Zaważmy ponato że wyznaczone z zależnośc () pzebe eakcj w stawach ne wzlęnają wpływ sł męśnowych któy to wpływ może być znaczny Wychoząc z ównań ch (4) we współzęnych nezależnych q po postawen chaakteystyk knematycznych q & zaane symlacj ynamcznej owotnej spowaz sę o zależnośc = [ C ( q) B ] ( ( q) q + ( q q && & ) f ( q na wyznaczane oaz a owacalna macez [ C B ] ma tym azem wyma n n n = l + k = 4 Zaanene neetemnstyczne Poblem otyczy symlacj ynamcznej owotnej pzy wyboze σ = [ ] = [ σl σ8 L ] jako paamety steowana Steowane chem kończyn olnych jest w tym wypak namaowe lczba męśn m = 8 boąca zał w ealzacj ch jest wększa o lczby k = stopn swoboy w stawach m > k co onos sę oólne o wszystkch stawów kończyn olnych jak każeo staw nywalne (nektóe męśne ozałją też na węcej nż jeen staw) Dystybcj wylczanych jenoznaczne wypakowych momentów sł męśnowych (zaanene etemnstyczne) na poszczeólne męśne (napężena ) okonje sę zwykle z zastosowanem opowench kyteów optymalzacyjnych (sakos nn 99; Eem nn 00) W ozważanym pzypak namaowość zlokalzowana jest jenak tylko lokalne w stawach kończyn olnych a lobalne kła jest ne w pełn steowany ( k = momentów stejących w stawach pzy n = stopnach swoboy kła) Roz to opowene mplkacje w moelowan tak postawoneo zaana symlacj ynamcznej owotnej (Blaje nn 00) Wymaany jest zt ynamcznych ównań ch o popzestzen steowanej Dla ównań ch () we współzęnych absoltnych efekt ten zyskje sę pzez lewostonne pzemnożene tych ównań pzez B Z poównana pawych ston tak pzemnożonych ównań ch la steowana za pomocą [ = ] = [ ] otzymje sę B σ B Bσ = B z czeo k = pewszych zależnośc opsje wank ównoważnośc steowana za pomocą k momentów stejących za pomocą m sł męśnowych (napężeń ) Z pomocą wpowazonych w ównan () sfomłowań B = [ B B ] oaz B σ = [ B σ B ] k wank ównoważnośc steowana w kończynach olnych mają postać G = σ (9) )) () (8) ze G = B B σ = B B σ są macezam o wymaach opoweno k k k m Poobne lewostonne pzemnożene ównań ch (4) we współzęnych nezależnych pzez powaz o B B = B B σ B (0) a po wzlęnen B = [ B B ] B σ = [ B σ B ] opsanych w ównan (5) otzymjemy ostateczne G = σ () ze G = B B σ = B B σ są macezam o wymaach opoweno k k k m Jest oczywste że sfomłowana (9) () są sobe tożsame a węc ówneż G = G σ = σ Dowó tych ostatnch ównośc spowaza sę o wykazana że D( D D) D = co łatwo pokazać bo pawostonne pzemnożene tej zależnośc macezowej pzez D powaz o D = D Wykozystjąc wank (9) lb () ównoważnośc steowana w stawach kończyn olnych za pomocą momentów stejących za pomocą napężeń w męśnach zaanene optymalzacyjne ystybcj wylczanych jenoznaczne wypakowych momentów sł męśnowych (zaanene etemnstyczne) na poszczeólne męśne można zapsać w postac: mnmalzj tak by oaz J ( σ) ( ) = σ p σ G () mn co opowaa sfomłowan ównań ch we współzęnych absoltnych a la sfomłowana we współzęnych nezależnych zaanene optymalzacyjne ma postać mnmalzj tak by oaz J ( σ) = σ ( q) σ G ( q) ( t) () mn W sfomłowanach tych J (σ) jest zaaną fnkcją cel a mn są fzjoloczne opszczalnym mnmalnym maksymalnym napężenam w poszczeólnych męśnach W ten sposób wyznaczane są pzebe któe mnmalzją J (σ) spełnają wank (9) lb () oaz meszczą sę w opszczalnym zakese σ mn Dystybcja ( t) ( t) ne jest jenoznaczna zależy męzy nnym o wybo fnkcj cel J (σ) (sakos nn 99; Eem nn 00) Powszechne stosowane ( fzjoloczne zasanone) jest kytem Cownnshela Bana (98) mnmalzjące smę ponesonych o potę p napężeń w męśnach = J σ (4) P a watość wykłanka p jest zwykle ówna wa lb tzy Yamach nn (995) oaz Yamach (00) owozą też że ozwązane zaana optymalzacyjneo ()/() la fnkcj cel Cownnshela Bana (4) pzy p = (bez oanczena σ ) jest ównoważne (je- mn
Wojcech Blaje Kzysztof Dzeweck Zenon az spekty moelowana ynamk ch człoweka la zaań symlacj owotnej noznacznem) ozwązan analtycznem opoweno t = p G ( ) σ ( ) σ lb σ = ) σ (5) ( t) ( q ) G ( q ze = ( σ σ σ σ ) jest m k - wymaową macezą pseo-owotną o k m - wymaowej macezy σ (analoczne = ( σ σ σ σ ) ) Waą teo posteo nmeyczne efektywneo ozwązana jest to że otzymywane ozwązana moą meć zaówno oatne jak jemne watośc co pzeczy zasaze załana sł męśnowych jako skacających męseń Poblem ten ozwązje sę pzez kolejne elmnowane jemnych skłaowych zastępjąc je watoścam zeowym/mnmalnym a następne chamając poceę oblczeń (5) kolejny az tak ło aż wszystke skłaowe bęą nejemne W omówonych ozwązanach pocey optymalzacyjne bazją na wankach (9) () ównoważnośc załana momentów sł męśnowych bezpośeno sł męśnowych w stawach kończyn olnych Wykozystywane są też pzebe otzymane z ozwązana zaanena etemnstyczneo W popzenej pacy atoów (Blaje nn 00) la sfomłowana we współzęnych nezależnych wyznaczano bezpośeno z ynamcznych ównań ch (zztowanych o popzestzen steowanej) bez wcześnejszeo okeślana Zaanena optymalzacyjne () zmoyfkować należy wówczas o postac mnmalzj tak by oaz J ( σ) ( q ) = h ( q & σ ) () mn ze h = B [ & + ( f + C )] Zależność analtyczna (5) pzyjme natomast kształt σ ( t ) = ( q ) h ( q σ ) () Jak wać la wyznaczena ze sfomłowań () () wymaana jest znajomość eakcj o położa poczas wykonywaneo skok Jeśl ne są one mezone można je wyznaczyć analtyczne z zależnośc bęącej konsekwencją zt ównań ch o popzestzen nesteowanej a manowce (Blaje nn 00) ( ) t [ C ( q )] [ f ( q ) ( q ) ( q )] (8) = ze jest n l - wymaową macezą zpełnena otoonalneo o n k - wymaowej macezy steowana B czyl B = 0 oaz n = k + l = + = naloczne poejśce la sfomłowana we współzęnych absoltnych jest neco bazej złożone 5 WYZNCZNIE REKCJI W SWC KOŃCZYN DOLNYC Sły eakcj w stawach otzymywane jako ozwązane zaana etemnstyczneo () w któym steowane moelem ealzowane jest za pomocą wypakowych momentów sł męśnowych [ ] = L obaczone są neoszacowanem wynkającym z newzlęnena wpływ sł męśnowych ma te eakcje Wpływ ten jest w zeczywstośc bazo stotny (Yamach 00; Zajac Wntes 990; Zatsosky 00) co wymsza wyznaczane eakcj w stawach z życem moel steowanych za pomocą sł męśnowych po wcześnejszym oszacowan tych sł Dla ozważaneo w tej pacy steowana meszaneo za pomocą sł męśnowych w stawach kończyn olnych oaz momentów sł męśnowych w pozostałych stawach moel σ = [ ] = [ σl σ8 L ] ealne szacowane eakcj w stawach otyczy węc tylko stawów kończyn olnych: skokoweo () kolanoweo (K) booweo () Wyóżnć można co najmnej tzy sposoby alebaczneo (zatomatyzowaneo) wyznaczana eakcj w stawach (Blaje 004) Założenem wspólnym jest że znane są pzebe (eakcje o położa) oaz σ (steowane kłaem) W onesen o ównań ch () we współzęnych absoltnych p po zztowan tych ównań o popzestzen skępowana (lewostonnym ch pzemnożen pzez C ) zależność na lczene eakcj we wszystkch stawach ma oólną postać (Blaje 998) ( p p& σ ) = = ( C C ) [ C ( f C + B σ σ ) ξ] (9) ze ξ ( p p& ) = C & p& otzymje sę po wkotnym zóżnczkowan wzlęem czas wkłanych postac ównań węzów połączeń w stawach tzn Φ ( p) = 0 Φ & Cp& = 0 Φ & Cp& ξ = 0 Zależność ta wyażona we współzęnych nezależnych pzez wpowazene ównań węzów w postac ozwkłanej () tzn C [ ( C [ ( B σ [ ( oaz po zastosowan C γ = ξ moyfkje sę o postac ( q y Y ) = = ( C C σ z X ) C[ z ( f C K z + B 4 4 Rys Współzęne węzów sły eakcj w stawach kończyn olnych σ σ z 4 ) γ] z 5 5 5 (0) Waą ob powyższych schematów jest to że lczone są eakcje we wszystkch stawach (w stawach steowanych za pomocą z neoszacowanem wpływ sł męśnowych) a ch efektywność nmeyczną obnża koneczność z
acta mechanca et atomatca vol4 no (00) eneowana owacana l l - wymaowej ( ) macezy C C Schematy te są też newyone la analzy powazonej we współzęnych nezależnych q Dla sfomłowana ynamcznych ównań (4) w tych współzęnych ne jest bowem koneczne wpowazane ównań węzów połączeń w postac wkłanej Φ ( p) = 0 na postawe któych eneowane są C ξ stosowane w schematach (9) (0) Dla sfomłowań we współzęnych nezależnych wyonejszym sposobem wyznaczana eakcj w stawach jest metoa ozszezonych współzęnych złączowych (Blaje 004) Pozwala ona w sposób szczeólne efektywny w zastosowan o kłaów bomechancznych (Blaje nn 00) na selektywne wyznaczane eakcj tylko w wybanych stawach Iea metoy polea na tym że taycyjne ównana węzów połączeń w postac ozwkłanej () czyl zwązk męzy współzęnym absoltnym nezależnym p = (q) zpełna sę o zależność ówneż o współzęnych węzów z (Rys ) czyl p = ( q z) () ze z = [ z L z l ] oznaczają zablokowane kenk pzemeszczeń wzlęnych w połączenach zpełnające efnowane pzez q kenk opszczane pzez węzy Zależność () jest oczywśce ównoważna () bo z założena z = 0 a zależność o z jest wpowazana tylko la wyeneowana n l - wymaowej macezy E takej że p& = + z& = D + E q z z= 0 z= 0 () co też jest ównoważne sfomłowan taycyjnem () p & = D bo z założena z & = 0 Geneowana tak macez E ma bazo żyteczną własność posaa cechy macezy pseo-owotnej o (postokątnej) macezy C czyl C E = E C = I () ze I jest l l - wymaową macezą jenostkową Inną żyteczną własnoścą omawaneo poejśca jest możlwość wpowazena współzęnych z tylko w tych połączenach w któych chce sę wyznaczyć eakcje (pozostałe połączena pozostawając omknęte ) W ozważanym pzypak są to stawy kończyn olnych (Rys otyczy kończyny lewej) Oznaczając z = [ z z ] ze z = [ z L z ] onoszą sę o l = współzęnych węzów w kończynach olnych a z = [ z L z] są współzęnym l = 4 węzów w pozostałych stawach zapsać można opoweno C = [ C C ] E = [ E E ] Konsekwencją () jest następne C E = 0 oaz C E = 0 a następne E C = [ I 0 ] (4) ze I jest macezą jenostkową o wymaze l l Zależność na wyznaczane eakcj w stawach kończyn olnych = [ ] L zyskje sę pzez zztowane ównań ch () o l - wymaowej popzestzen efnowanej pzez kolmny E czyl pzez lewostonne pzemnożene tych ównań pzez E Wykozystjąc własność (4) oaz ównana węzów połączeń w postac ozwkłanej () otzymje sę ostateczne ( q & = E [ f σ ) = C + B σ σ ( D& + γ)] (5) ze C [ ( oaz B σ [ ( Dla otzymana wymaane są zatem otzymane z pomaów q & oaz oblczone wcześnej (t ) PODSUOWNIE I WNIOSKI σ oelowane cała człoweka (stot żywych) jest zaanem nezmene tnym łówne ze wzlę na złożoną stktę sposób ealzacj ch tnym o opsana aekwatnym moelem fzycznym Złożone jest też samo moelowane matematyczne (na baze moel fzyczneo) nawet wówczas y zeczywstą stktę cała człoweka pzyblżymy tylko bazo zbnym moelem fzycznym Nektóe aspekty teo moelowana omówone zostały w nnejszej pacy Na sposób moelowana kłaów bomechancznych wpływa wele óżnych czynnków oelować można całe cało człoweka lb jeo fament (kończynę óną/olną) Steowane moelować można z życem wypakowych momentów sł męśnowych w stawach (posty moel etemnstyczny) lb bezpośeno za pomocą sł męśnowych (steowane namaowe) z zastosowanem óżnych moel załana męśn (co ne było pzemotem ysksj w tej pacy) oel steowana z wzlęnenem specyfk załana męśn w tym ln załana sł męśnowych ma fnamentalne znaczene la aekwatnośc powazonych symlacj nmeycznych Zapoponowany w pacy (Blaje nn 00) moel steowana meszaneo za pomocą sł męśnowych w stawach kończyn olnych oaz momentów sł męśnowych w pozostałych stawach łączy cechy szczeółowonej analzy obcążeń w kończynach olnych z postotą analzy ynamk całeo cała z wykozystanem moel etemnstyczneo Połączene tych w óżnych moel steowana wymaa opowench meto moelowana matematyczneo omówonych w zayse w tej pacy Na sposób moelowana matematyczneo kłaów bomechancznych opócz stkty moel fzyczneo cała człoweka wpływ mają ówneż czynnk stcte technczne na pzykła wybó współzęnych w któych powazona jest analza czy potzeba (lb ne) wyznaczana sł eakcj w stawach W nnejszej pacy omówono moelowane cała człoweka z zastosowanem w klasycznych ozajów współzęnych absoltnych (zależnych) nezależnych ożlwe są jenak ówneż nne wyboy na pzykła tzw współzęnych natalnych któych zastosowane omawane zostało szczeółowo pzez Czaplckeo (009) Złożony jest ówneż poblem wyznaczana eakcj w stawach Opsany w tej pacy schemat (5) z zastosowanem metoy ozszezonych współzęnych złączowych (Blaje 004) wyaje sę szczeólne żyteczny w zastosowan o symlacj ynamcznej owotnej kłaów bomechancznych Na sposób moelowana pewen wpływ może meć ozaj ( jakość) anych pomaowych wykozystywanych o zaań symlacj ynamcznej owotnej Opócz chaakteystyk knematycznych baaneo ch bazo pomocne są zwykle ówneż pomay sł eakcj z otocze-
Wojcech Blaje Kzysztof Dzeweck Zenon az spekty moelowana ynamk ch człoweka la zaań symlacj owotnej nem Dysponowane tym oatkowym anym pomaowym pozwala często zastosować poszczone (zekowane) moele matematyczne o czym namenono kótko w ozzale Nnejsza paca koncentje sę wyłączne na (wybanych) zaanenach moelowana kłaów bomechancznych Wynk symlacj ynamcznej owotnej z zastosowanem poponowanych moel omówone zostaną w pzyszłych pblkacjach atoów W oanczonym zakese z życem jakoścowo poobnych moel wynk take pezentowane były też jż w (Blaje nn 00 009) ze ocenano ówneż ważlwość ozwązań nmeycznych na zmany óżnych paametów moel sposobów moelowana oaz meto symlacj (optymalzacj pzy ozwązywan zaanena steowana namaoweo) Bazo watoścowe są też póby weyfkacj (jakoścowej loścowej) popawnośc wynków symlacj Postym sposobem takej weyfkacj może być poównane wylczanych sł eakcj z położem (co możlwa opsywany w tej pacy moel) z watoścam mezonym z życem platfomy ynamometycznej oaz spawzene czy wylczane tak eakcje w faze lot są blske ze Watoścowe moą być ponato pomay EG weyfkjące zeczywste okesy aktywacj męśn w takce baanych czynnośc na tle otzymywanych z oblczeń Są to wszystko wnosk nspacje la alszych baań atoów w zakese moelowana symlacj kłaów bomechancznych LIERUR mbóso J C bantes J C S (00) Developments n bomechancs of hman moton fo health an spots w: Peea S (e) Potat of State-of-the-t Reseach at the echncal Unvesty of Lsbon Spne Nethelans pp 5-55 nol E Wa S R Lebe R L Delp S L (009) moel of the lowe lmb fo analyss of hman movement nnals of Bomechancal Enneen (pblshe onlne) Blaje W (998) etoy ynamk kłaów weloczłonowych Wy Poltechnk Raomskej Raom 4 Blaje W (004) On the etemnaton of jont eactons n mltboy mechansms ansactons of the SE Jonal of echancal Desn Vol 4-50 5 Blaje W Dzeweck K az Z (00) ltboy moeln of hman boy fo the nvese ynamcs analyss of sattal plane movements ltboy System Dynamcs Vol 8 - Blaje W Dzeweck K az Z (009) Senstvty of mscle foce estmates to selecte moeln an comptatonal aspects Poceens of ECCOS hematc Confeence ltboy Dynamcs 009 90 0 009 Wasaw Polan Cownnshel R D Ban R (98) physolocally base cteon of mscle foce pecton n locomoton Jonal of Bomechancs Vol 4 9-80 8 Czaplck (009) oelowane we współzęnych natalnych w bomechance onoafe opacowana n WF w Waszawe Zamejscowy Wyzał Wychowana w Bałej Polaskej Bała Polaska 9 Damsaa Rasmssen J Chstensen S Ejs Sma E e Zee (00) nalyss of mscloskeletal systems n the nyboy oeln System Smlaton oeln Pactce an heoy Vol 4 No 8 00-0 Eem clean S ezo W van en Boet (00) oel-base estmaton of mscle foces eete n movements Clncal Bomechancs Vol -54 Pany G (00) Compte moeln an smlaton of hman movement nnal Revew of Bomecal Enneen Vo 45- Potkonjak V Vkobatovć Babkovć K Boovac B (009) Dynamcs an smlaton of eneal hman an hmano moton n spots w: Pope N Khn K- L Foste J J (es) Dtal Spot fo Pefomance Enhancement an Compettve Evolton: Intellent Gamn echnoloes IGI Global - sakos D Baltzopolos V Batlett R (99) Invese optmzaton: fnctonal an physolocal conseatons elate to the foce-shan poblem Ctcal Revews n Bomecal Enneen Vol 5-40 4 Vkobatovć Potkonjak V Babkovć K Boovac B (00) Smlaton moel of eneal hman an hmano moton ltboy System Dynamcs Vol -9 5 Wnte D (005) Bomechancs an oto Contol of man ovement Wley oboken Yamach G (00) Dynamc oeln of scloskeletal oton Vectoze ppoach fo Bomechancal nalyss n hee Dmensons Klwe Doecht Yamach G oan D W S J (995) comptatonally effcent metho fo solvn the enant poblem n bomechancs Jonal of Bomechancs Vol 8 999-005 8 Zajac F E Wntes J (990) oeln mscloskeletal movement systems: jont an boy semental ynamcs mscloskeletal actaton an neomscla contol w: Wntes J Woo S L-Y (es) ltple scle Systems: Bomechancs an ovement Oanzatons Spne New Yok -48 9 Zatsosky V (00) Knetcs of man oton man Knetcs Champan RERKS ON UN BODY OVEEN ODELING FOR E INVERSE DYNICS NLYSIS bstact: he pape eals wth some aspects of mathematcal moeln of hman boy fo the nvese ynamcs analyss he scsson s elate to a sample plana moel compose of 4 sements connecte by hne jonts banchn fom the hp jont n the open loop lnkaes wo ways of contol ae consee: a smplfe (etemnate) moel wth jont toqes as contol paametes that epesent the mscle acton n the jonts an hyb (netemnate) contol moel wth a m set of mscle stesses n the lowe etemty jonts an jont toqes n the ppe pat of the boy Usn ynamc eqatons of moton eve both n absolte an nepenent coonates a scsson s pove on possble soltons to the nvese ynamcs analyss elate to the mentone two moels of contol Possbltes fo etemnaton of eacton foces n the lowe etemty jonts whch nvolves the nflence of mscle foces an etenal eactons fom the on ae also scsse Pacę wykonano w amach ealzacj pojekt baawczeo n N N50 548 fnansowaneo ze śoków na nakę w latach 00-0 4