MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE
TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania poszukiwanie odpowiedzi na pytanie ile? bez faktycznego zliczania. Kombinatoryka analiza problemów kombinatorycznych, dotyczących zbiorów skończonych. Zliczaniu podlegają m.in. obiekty kombinatoryczne tj. : wariacje z/bez powtórzeń, permutacje z/bez powtórzeń, kombinacje z/bez powtórzeń. Podstawowe prawa teorii zliczania: prawo sumy i iloczynu, zasada włączania i wyłączania, zasada szufladkowa Dirichleta, zasada dwoistości. 2
PRAWO SUMY Liczba sposobów na jakie można wybrać element należący do jednego z dwóch rozłącznych zbiorów jest równa sumie mocy tych zbiorów. Dla zbiorów skończonych rozłącznych A i B (AB=): AB = A + B. Dla dowolnych zbiorów skończonych A i B: AB = A + B - AB. Uogólnienie prawa sumy dla wielu zbiorów, to zasada włączania/wyłączania: n i1 A i? 3
PRAWO SUMY - PRZYKŁAD 1 A= B= AB= grupa agentów składa się z 2 kobiet i 4 mężczyzn na ile sposobów można wybrać agenta do realizacji zadania specjalnego? AB = A + B = 4 + 2 = 6 4
PRAWO SUMY - PRZYKŁAD 2 Ile jest liczb podzielnych przez 2 lub 3 w zbiorze {1, 2,..., 100}? A - zbiór liczb podzielnych przez 2 A = 100 / 2 =50 B zbiór liczb podzielnych przez 3 B = 100 / 3 =33 AB zbiór liczb podzielnych przez 2 lub 3 AB AB zbiór liczb podzielnych przez 2 i 3 AB = 100 / 6 =16 AB = A + B - AB = 50 + 33 16 = 67 5
PRAWO ILOCZYNU Liczba sposobów na jakie można wybrać uporządkowaną parę elementów jest równa liczbie możliwości na jakie można wybrać pierwszy element przemnożonej przez liczbę możliwości na jakie można wybrać drugi element. Dla pary zbiorów skończonych A i B: AB = A B. Dla dowolnych zbiorów skończonych A 1,..., A n : A 1... A n = A 1... A n = A i. n i1 6
PRAWO ILOCZYNU- PRZYKŁAD A= B= grupa agentów składa się z 2 kobiet i 4 mężczyzn na ile sposobów można wybrać zespół agentów, który ma udawać parę małżeńską? AB = A B = 4 2 = 8, mężczyzna kobieta 7
WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI k-wyrazową wariacją z powtórzeniami z n-elementowego zbioru A nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru (kn lub k>n). liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi: V(n,k) k n liczba wariacji z powtórzeniami, to liczba możliwych rozmieszczeń k rozróżnialnych elementów w n rozróżnialnych pudełkach 8
WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD 1 2 3 4 n=6 k=4 grupa agentów składa się z 6 osób raz do roku organizowane są zawody dla agentów w 4 różnych dyscyplinach, w których liczy się tylko zwycięstwo ile jest możliwych rozstrzygnięć zawodów? kolejność osób ma znaczenie - oznacza dyscyplinę (ciąg) jeden agent może wygrać w kilku dyscyplinach (powtórzenia) wariacja z powtórzeniami V(n,k) k n V(6,4) 6 4 1 296 9
WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD 1 2 3 4 n=6 k=4 ciąg k elementów wybranych z n elementów k=4 rozróżnialnych elementów wrzucanych w dowolny sposób do pudełek 4 1 2 3 n=6 rozróżnialnych pudełek 10
WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru A nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów tego zbioru (kn). liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego wynosi: V(n, k) = n (n-1) (n-2)... (n-k+1), dla kn czyli V(n,k) n!, (n k)! dla k n 11
WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ- PRZYKŁAD n=6 1 2 3 k=3 grupa agentów składa się z 6 osób pod koniec roku przydzielane są trzy nagrody dla najlepszych agentów ile jest możliwych rozstrzygnięć konkursu? kolejność osób ma znaczenie - oznacza zajęte miejsce (ciąg) jeden agent może uzyskać tylko jedną nagrodę (brak powtórzeń) wariacja bez powtórzeniami V(n,k) n! 6! 6! V(6,3) 120 (n k)! (6 3)! 3! 12
PERMUTACJA BEZ POWTÓRZEŃ permutacją bez powtórzeń nazywamy liniowe uporządkowanie k rozróżnialnych elementów zbioru n-elementowego (kn) czyli k-elementową wariację bez powtórzeń zbioru n-elementowego liczba wszystkich k-wyrazowych permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi: n! P(n,k) V(n,k), dla k n (n k)! n! istnieje jedna permutacja pusta (k=0) P(n,0) 1 n! istnieje n! permutacji elementów zbioru (n=k) n! n! P(n,n) n! (n n)! 0! 13
PERMUTACJA BEZ POWTÓRZEŃ - PRZYKŁAD Ile istnieje anagramów słowa KOMPUTER? każdy anagram to liniowe uporządkowanie 8 różnych liter słowa KOMPUTER np. PUMTERKO, ERTUMPKO,... n = k = 8 P(8,8) = V(8,8) = 8! = 40 320 14
GENEROWANIE PERMUTACJI porządek leksykograficzny x1...xn y1...yn ( xl yl xk k1 lk y k ) 1 2 3 4 1 2 4 3 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4123 4132 4213 4231 4312 4321 15
GENEROWANIE PERMUTACJI porządek antyleksykograficzny x1...xn ' y1...yn (xk yk xl kn lk y ) l 1 2 3 4 2 1 3 4 1234 2134 1324 3124 2314 3214 1243 1243 2143 1423 4123 2413 4213 1342 1342 3142 1432 4132 3412 4312 2341 2341 3241 2431 4231 3421 4321 16
GENEROWANIE PERMUTACJI porządek o minimalnej liczbie transpozcji kolejne permutacje otrzymywane są w wyniku zamiany pary elementów 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 4 1234 2134 2314 2341 3241 3214 3124 3124 1324 1342 3142 3412 3421 4321 4321 4312 4132 1432 1423 4123 4213 4213 4231 2431 2413 2143 1243 17
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru A={a 1,a 2,...,a k }, w której element a 1 powtarza się n 1 razy,..., element a k powtarza się n k razy, n 1 +... + n k = n, nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy, w którym poszczególne elementy zbioru A powtarzają się wskazaną liczbę razy (kn lub k>n) liczba takich n-elementowych permutacji z powtórzeniami wynosi: n! P(n,n 1,n2,...,nk ), dla n n1 n2... nk n 1!n 2!...n k! n można ją zapisać jako współczynnik wielomianowy n1,n 2,..., nk 18
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD Ile jest różnych anagramów słowa NONSENS? każdy anagram to ciąg elementów ze zbioru A={N, O, S, E} np. OSNENNS, SNENNOS,... elementy powtarzają się: n N =3, n O =1, n S =2, n E =1 razy n =n N +n O +n S +n E =7 P(n,n P(n,n N N,n,n O O,n,n S S,n,n E E 7! ) P(7,3,1,2,1) 420 3! 1! 2! 1! 7 ) 3,1, 2,1 7! 420 3! 1! 2! 1! 19
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI P(n, n 1, n 2,..., n k ) to liczba: n-elementowych permutacji z powtórzeniami elementów k typów, rozmieszczeń n rozróżnialnych obiektów w k rozróżnialnych pudełkach, takich że w i-tym pudełku znajduje się n i obiektów, podziałów uporządkowanych zbioru. 20
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI A ROZMIESZENIE ELEMENTÓW W PUDEŁKACH permutacja z powtórzeniami słowa NONSENS o długości 7 liter to przydzielenie do 4 pudełek odpowiadających literom {N, O, S, E} pozycji w permutacji, czyli numerów ze zbioru {1,..., 7} liczba przydzielonych danej literze pozycji musi być równa liczbie liter danego rodzaju w analizowanym słowie 1 2 3 4 5 6 7 O S N E N N S N O S E 6 2 5 3 1 7 4 P(n,n N,n O,n S,n E ) P(7,3,1,2,1) 7! 3! 1! 2! 1! 420 21
PODZIAŁY ZBIORU Podziałem zbioru niepustego S nazywamy rodzinę niepustych rozłącznych podzbiorów S, których suma wynosi S. (liczbę podziałów zbioru opisują liczby Stirlinga drugiego rodzaju) Podziałem uporządkowanym zbioru niepustego S nazywamy ciąg (A 1, A 2,...,A k ), którego elementy A 1, A 2,...,A k tworzą podział zbioru S. Jeżeli zbiór S ma n elementów i jeśli n 1 +... + n k =n, to liczba podziałów uporządkowanych (A 1, A 2,..., A k ) tego zbioru, takich że A i =n i, dla i=1,...,k wynosi: P(n,n n! 1,n2,...,nk ), dla n n1 n2... nk n 1!n 2!...n k! 22
PODZIAŁY ZBIORU - PRZYKŁAD S={1,2,3,4,5,6,7,8} podziały zbioru S, np.: {1,4,3}, {2,5,6,7,8} {1,5}, {2,4,7}, {3,6,8} podziały uporządkowane zbioru S, np: ({1,4,3}, {2,5,6,7,8}) ({2,5,6,7,8}, {1,4,3}) ({1,5}, {2,4,7}, {3,6,8}) ({1,5}, {3,6,8}, {2,4,7}) ({2,4,7}, {1,5}, {3,6,8}) 23
PRZYKŁAD n=6 k=3 n 1 =2 n 2 =1 n 3 =3 w celu wykonania zadania specjalnego agenci muszą dojechać na miejsce akcji trzema pojazdami, w których powinny jechać odpowiednio 2, 1 i 3 osoby na ile sposobów agenci mogą dojechać na miejsce akcji? grupa agentów (zbiór) zostaje podzielona na podzbiory (samochody) samochody są rozróżnialne (uporządkowane) uporządkowany podział zbioru 24
PRZYKŁAD n=6 k=3 uporządkowany podział zbioru n 1 =2 n 2 =1 n 3 =3,, A 1 A 2 A 3 n 1 =2 n 2 =1 n 3 =3 n 1, n 2, n...,..., n k n! n!n!...n 1 2 k! 6! 2!1!3! 60 25
PRZYKŁAD n=6 k=3 uporządkowany podział zbioru n 1 =2 n 2 =1 n 3 =3,, rozmieszczenie n=6 elementów w k=3 pudełkach taki, że w poszczególnych pudełkach znajduje się określona liczba elementów (n 1 =2, n 2 =1, n 3 =3) 26
PRZYKŁAD n=6 k=3 n 1 =2 n 2 =1 n 3 =3 poszczególni agenci to pozycje permutacji n-elementowej informacja którym samochodem jadą, to element permutacji permutacja z powtórzeniami n=6 elementów k=3 typów powtarzających się określoną liczbę razy 27
GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZIAŁÓW ZBIORU z podziału A 1,...,A k zbioru {1,..., n-1} można uzyskać podział A 1,..., A k zbioru {1,...,n} w następujący sposób: A 1 {n}, A 2,..., A k A 1, A 2 {n},..., A k A 1, A 2,..., A k {n} A 1, A 2,..., A k, {n} 28
GENEROWANIE PODZIAŁÓW ZBIORU - PRZYKŁAD istnieje 15 podziałów zbioru {1,2,3,4} {1} liczba podziałów jest określona przez liczby Bella {1,2} {1}{2} {1,2,3} {1,2}{3} {1,3}{2} {1}{2,3} {1}{2}{3} {1,2,3,4} {1,2,4}{3} {1,3,4}{2} {1,4}{2,3} {1,4}{2}{3} {1,2,3}{4} {1,2}{3,4} {1,3}{2,4} {1}{2,3,4} {1}{2,4}{3} {1,2}{3}{4} {1,3}{2}{4} {1}{2,3}{4} {1}{2}{3,4} {1}{2}{3}{4} 29
KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ kombinacją k-elementową bez powtórzeń n-elementowego zbioru A nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (kn) liczba wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi: n! n C(n,k), dla k n (n k)! k! k C(n,k) 1 P(n,k) k! 1 k! n! (n k)! 30
KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ - PRZYKŁAD n=6 k=3 zadanie specjalne powinno wykonać 3 agentów na ile sposobów można wybrać zespół do wykonania zadania? kolejność osób nie ma znaczenia liczy się przynależność do zespołu (podzbiór) agent może być wybrany tylko jednokrotnie (brak powtórzeń) kombinacja bez powtórzeń n 6 6! C(n,k) C(6,3) 20 k 3 (6 3)!3! 31
GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZBIORÓW ZBIORU każdemu podzbiorowi Y n-elementowego zbioru X={x 1,..., x n }, YX, można przyporządkować liczbę binarną b 1...b n o wartości z zakresu od 0 do 2 n -1, gdzie b i 0, jesli 1, jesli x x i i Y Y generując wszystkie liczby binarne r, 0r2 n -1, można wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru n-elementowego X 32
GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZBIORÓW ZBIORU - PRZYKŁAD istnieje 2 3 =8 podzbiorów zbioru {a,b,c} generacja podzbiorów przez generowanie liczb binarnych 0... 2 3-1=7 a b c 0 0 0 1 0 0 {a} 0 1 0 {b} 1 1 0 {a, b} 0 0 1 {c} 1 0 1 {a, c} 0 1 1 {b, c} 1 1 1 {a, b, c} w oparciu o kod Grey a kolejne podzbiory powstają przez dodanie/odjęcie pojedynczego elementu: a b c 0 0 0 1 0 0 {a} 1 1 0 {a, b} 0 1 0 {b} 0 1 1 {b, c} 1 1 1 {a, b, c} 1 0 1 {a, c} 0 0 1 {c} 33
GENEROWANIE PODZBIORÓW K-ELEMENTOWYCH podzbiorowi k-elementowemu zbioru A={1, 2,..., n} odpowiada pewien ciąg (i 1,..., i r,..., i k ), gdzie i r A, 1rk. w celu wygenerowania podzbiorów k-elementowych należy wyznaczyć wszystkie ciągi o długości k spośród n symboli w porządku leksykograficznym 34
GENEROWANIE PODZBIORÓW K-ELEMENTOWYCH - PRZYKŁAD liczba podzbiorów 4-elementowych zbioru 6-elementowego A={1,2,3,4,5,6}: 6 6! 4 15 4! 2! generacja podzbiorów przez generacje permutacji 4-elementowych ze zbioru 6 elementowego w porządku leksykograficznym i 1 i 2 i 3 i 4 1234 1235 1236 1245 1246 i 1 i 2 i 3 i 4 1256 1345 1346 1356 1456 i 1 i 2 i 3 i 4 2345 2346 2356 2456 3456 35
KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI zestaw k-elementów, z których każdy należy do jednego z n-rodzajów elementów, nazywamy k-elementową kombinacja z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego (kn lub k>n) liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi: n k -1 C(n,k) k (n k 1)! k!(n -1)! 36
KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI liczba C(n,k) określa liczbę: k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego, rozmieszczeń k identycznych elementów w n rozróżnialnych pudełkach całkowitoliczbowych rozwiązań równania postaci: x 1 +x 2 +...+x n =k, x i 0 dla 1 i n, 37
KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD 1$ 1$ 1$ 1$ n=6 k=4 w zawodach na najlepszego agenta rozgrywane są 4 konkursy, w których zwycięzca otrzymuje nagrodę 1$ na ile sposobów może być rozdzielona pula nagród? kolejność osób nie ma znaczenie ponieważ nagroda jest taka sama w każdym konkursie jeden agent może wygrać w kilku konkursach (powtórzenia) kombinacja z powtórzeniami n k 1 6 4 1 9 C(n,k) C(6,4) 126 k 4 4 38
uporządkowanie elementów jest istotne powtórzenia elementów są dopuszczalne obiekt kombinatoryczny liczba obiektów kombinatorycznych + - wariacja (permutacja) bez powtórzeń V(n,k) P(n,k) 0 k n n! (n k)! + + wariacja z powtórzeniami V(n,k) n,k 0 n k - - - + kombinacja bez powtórzeń kombinacja z powtórzeniami n C(n,k) k 0 k n n k C(n,k) k n,k 0 1 39
k elementów n pudełek obiekt kombinatoryczny liczba obiektów kombinatorycznych identyczne rozróżnialne kombinacja z powtórzeniami n k C(n,k) k n,k 0 1 rozróżnialne rozróżnialne wariacja z powtórzeniami V(n,k) n,k 0 n k rozróżnialne identyczne liczby Stirlinga 2- giego rodzaju? identyczne identyczne podziały liczb całkowitych? 40
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zliczanie obiektów kombinatorycznych (wariacji, permutacji, kombinacji,...) umożliwia określanie prawdopodobieństwa zdarzeń. Każdy obiekt kombinatoryczny można interpretować jako zdarzenie elementarne -. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (obiektów kombinatorycznych danego typu) tworzy przestrzeń zdarzeń elementarnych -. Zdarzenie E, to podzbiór zbioru, E. 41
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa zakłada się, że: zdarzenia elementarne są rozłączne, i równie prawdopodobne, 1 P( ) oraz P( ) P({ }) 1 P(E) E wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia E, P(E), wynosi: zliczając: wszystkie zdarzenia elementarne i zdarzenia elementarne wspierające dane zdarzenie E możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia E - P(E). 42
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania fulla w pierwszym rozdaniu? pojedyncze rozdanie, to wybór 5 kart z talii 52 kart 10 2 A 5 A wszystkie możliwe rozdania tworzą przestrzeń liczba możliwych rozdań, to liczba podzbiorów 5-elementowych ze zbioru 52 elementowego kombinacji bez powtórzeń 52 5 52! 5! 47! 2 598 960 43
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD aby określić prawdopodobieństwo wystąpienia fulla należy zliczyć liczbę rozdań będących fullami E full jest zbiorem kart 2 typów (po 2 i 3 karty) 10 10 A A A liczba fulli wynika z liczby typów fulli par typów kart pokolorowań kart pokolorowań kart danego typu 44
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD 10 10 A A A liczba typów fulli parę kart 2 typów (10, A) wybieramy spośród 13 typów kart {A,K,D,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2} wybór jest ciągiem dwóch różnych elementów czyli wariacją bez powtórzeń 10 A n=13 k=2 (n k)! n! 13! (13 2)! 13! 13 12 156 11! 45
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD 10 każdy z 156 typów fulli należy pokolorować liczba pokolorowań dla każdego typu fulla kolorując kartę dokonujemy wyboru 2 lub 3 kolorów spośród 4 {,,,} 10 wybór jest podzbiorem 2 lub 3 różnych elementów czyli kombinacją bez powtórzeń 10 A n=4 k=2 A n 4 4! n 4 4! 6 4 k 2 2!2! k 3 3!1! z prawa iloczynu liczbę pokolorowań należy wymnożyć liczba pokolorowań wynosi 6 4 =24 A A n=4 k=3 46
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD E 10 10 A A A 13! (13 2)! 4 2 4 3 = 3 744 10 2 A 5 A 52 5 = 2 599 960 prawdopodobieństwo otrzymania fulla wynosi P(E) E 3744 2599960 0,00144 47