MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE

Transkrypt

1 MATEMATYKA DYSKRETNA (0/0) dr hab. inż. Małgorzata Sterna PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE

2 PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE Prostokąt łaciński o wymiarze pq o elementach ze zbioru {,,..., n} to macierz o wymiarze pq o elementach wybranych ze zbioru {,,..., n}, w której w żadnym wierszu i w żadnej kolumnie elementy nie powtarzają się. prostokąt łaciński o wymiarze ze zbioru {,,,,} Kwadrat łaciński o wymiarze nn (p=q=n) to prostokąt łaciński, w którym każdy wiersz i kolumna składa się z dokładnie n elementów. kwadrat łaciński o wymiarze

3 ZASTOSOWANIA PROSTOKĄTÓW ŁACIŃSKICH Określ sposób przeprowadzenia testów prototypowych produktów {A, B, C, D} na specjalistycznych maszynach {,,, } w ciągu dni roboczych {P, W, Ś, C}. Każdy pełen plan testów jest kwadratem łacińskim, np.: 7 C B A P C Ś W P D C B A C Ś W P Inne plany opisują prostokąty łacińskie, np. ze zbioru {,,...,7}: Matematyka Dyskretna

4 PROBLEMATYKA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH Rozszerzanie prostokątów łacińskich do kwadratów łacińskich vs (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Ortogonalność kwadratów łacińskich Matematyka Dyskretna

5 POSTAĆ PODSTAWOWA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH Kwadrat łaciński jest w postaci podstawowej, jeśli jego pierwszy wiersz ma postać (,,..., n). Kwadrat łaciński można sprowadzić do postaci podstawowej poprzez przemianowanie symboli. Matematyka Dyskretna

6 POSTAĆ PODSTAWOWA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH - PRZYKŁAD Matematyka Dyskretna

7 ROZSZERZANIE PROSTOKĄTÓW ŁACIŃSKICH Czy następujący prostokąt można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego? Czy następujący prostokąt można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego? tak nie Matematyka Dyskretna

8 ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn Twierdzenie Każdy prostokąt łaciński wymiaru pn o elementach ze zbioru {,..., n} może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego wymiaru nn. pn nn 8

9 DOWÓD TWIERDZENIA L - prostokąt łaciński pn, p<n A i - zbiór liczb ze zbioru {,...,n} nie występujących w kolumnie i n p L i p+ a i A i jeśli rodzina A={A, A,..., A n } ma transwersalę, to L można rozszerzyć o dodatkowy wiersz (p+) zbudowany z tej transwersali dowód sprowadza się do wykazania, że rodzina A posiada transwersalę, czyli zgodnie z twierdzeniem Halla musi zachodzić A I{,,...,n} ii i I

10 ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn dowód Twierdzenia przedstawia procedurę rozszerzania prostokąta pn do kwadratu nn n p L i p+ a i A i prostokąt jest rozszerzany wiersz po wierszu w danym kroku należy: wyznaczyć rodzinę zbiorów kandydatów do dołączenie w każdej z kolumn A={A, A,..., A n } znaleźć transwersalę rodziny A, która określa elementy nowego wiersza 0

11 ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn - PRZYKŁAD Plan testów p produktów na n stanowiskach w ciągu n dni należy rozszerzyć do planu dla n produktów. produkt dzień stanowisko produkt dzień stanowisko Matematyka Dyskretna

12 produkt dzień stanowisko w celu wygenerowania dodatkowego wiersza, należy wyznaczyć różnych reprezentantów (transwersalę) zbiorów elementów, które nie zostały dotychczas uwzględnione w kolumnie A i, i: A ={,,} A = {,,} A = {,,} A = {,,} A = {,,} Matematyka Dyskretna

13 w analogiczny sposób następuje rozszerzenie prostokąta o kolejny wiersz A ={,} A = {,} A = {,} A = {,} A = {,} Matematyka Dyskretna

14 ostatni wiersz zostaje utworzony z elementów dotychczas nie uwzględnionych w kolumnach A ={} A = {} A = {} A = {} A = {} Matematyka Dyskretna

15 ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq DO KWADRATU nn rozszerzenie wymaga dodania kolumn i wierszy p q L n-q L n niech L(i) oznacza liczbę wystąpień liczby i w obszarze L każdy element kwadratu nn musi występować w każdym wierszu, tym samym musi występować p razy w p górnych wierszach obszaru L L każdy element i musi występować w obszarze L p-l(i) razy n obszar L ma n-q kolumn, w których należy rozmieścić p-l(i) wystąpień poszczególnych elementów i, czyli musi zachodzić: p-l(i) n-q Warunek konieczny i dostateczny rozszerzenia prostokąta łacińskiego L o wymiarze pq do kwadratu nn i,,...,n L(i) p q n

16 ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq DO KWADRATU nn Twierdzenie Prostokąt łaciński L o wymiarze pq o elementach ze zbioru {,...,n} może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego o wymiarze nn wtedy i tylko wtedy, gdy L(i) oznaczające liczbę wystąpień elementu i w L spełnia warunek: i,,...,n L(i) p q n

17 DOWÓD TWIERDZENIA Dowód Twierdzenia oparty jest o: transwersalową postać Twierdzenia Halla, twierdzenie o istnieniu transwersali zawierającej zbiór P, własność prostokątów łacińskich. 7

18 dowód Twierdzenia przedstawia procedurę rozszerzania prostokąta pq do kwadratu nn transwersala zawierająca zbiór P={i: in L(i)=p+q-n} pozwala rozszerzyć prostokąt L o wymiarze pq do prostokąta L o wymiarze p(q+) nowy prostokąt L nadal posiada własność: L'(i) p (q ) n ip ip L(i)=p+q-n L (i)=l(i)+ L(i)>p+q-n L (i) L(i) i,,...,n L (i)=(p+q-n)+ =p+(q+)-n p+(q+)-n L (i) L(i) > p+q-n L (i) p+(q+)-n fakt ten umożliwia iteracyjne zastosowanie procedury, aż do otrzymania prostokąta o wymiarze pn następnie na mocy Twierdzenia prostokąt pn może być rozszerzony do kwadratu nn 8

19 ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq DO KWADRATU nn. rozszerzenie prostokąta pq do prostokąta pn (w oparciu o Twierdzenie ). rozszerzenie prostokąta pn do kwadratu nn (w oparciu o Twierdzenie ) pq.. 9

20 PRZYKŁAD Rozszerzanie prostokąta o elementach ze zbioru {,,...,} do prostokąta p= q= n= w nowej kolumnie muszą być umieszczone elementy ze zbioru P={i:iL(i)=p+q-n} i L(i) 0 p+q-n=+-=0 P={i:iL(i)=0}={} A ={,,} A ={,,} A ={,,} szukamy transwersali zawierającej P={} 0

21 p= q= n= i L(i) p+q-n=+-= P={i:iL(i)=}={,} w nowej kolumnie muszą być umieszczone elementy ze zbioru P={i:iL(i)=p+q-n} A ={,} A ={,} A ={,} szukamy transwersali zawierającej P={,} Matematyka Dyskretna

22 ostatnia kolumna jest tworzona w sposób jednoznaczny A ={} A ={} A ={} rozszerzenie prostokąta o wymiarze do kwadratu odbywa się na mocy Twierdzenia Matematyka Dyskretna

23 ORTOGONALNOŚĆ KWADRATÓW ŁACIŃSKICH Dwa kwadraty łacińskie L=(l ij ) nn i M=(m ij ) nn są ortogonalne jeśli wszystkie n par (l ij,m ij ) dla i, j n jest różne. tablica par liczb stworzona z dwóch ortogonalnych kwadratów łacińskich, ((l ij,m ij )) nn, nazywana jest: kwadratem grecko-łacińskim lub kwadratem Eulera

24 PRZYKŁAD D C B A C Ś W P samochód samochód dzień dzień (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) D C B A C Ś W P samochód dzień paliwo biokomponent Plan testów wszystkich możliwych kombinacji par paliwo-biokomponent (paliwo, biokomponent) D C B A C Ś W P Matematyka Dyskretna

25 PROBLEM EULERA (PROBLEM OFICERÓW) Na defiladzie każdy z regimentów jest reprezentowany przez oficerów w różnych rangach. Czy można ustawić oficerów w równobok, tak aby w żadnym rzędzie i kolumnie nie powtarzał się reprezentowany regiment ani ranga? pytanie postawione przez Eulera w 78 roku to pytanie o istnienie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze odpowiedź negatywną w 900 roku udzielił Tarcy

26 TWIERDZENIE BOSEGO-SHRIKHANDE-PARKERA (90) Dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich n, n, n, istnieją pary ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn.

27 TWIERDZENIE Dla dowolnego n> istnieje co najwyżej n- wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn. Ponadto można dowieść, że: Jeśli n jest liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej, to istnieje dokładnie n- wzajemnie orogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn. 7

28 DOWÓD TWIERDZENIA niech L, L,..., L q oznacza q różnych ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn w postaci podstawowej... n k Lk (l ij) i, j n, k q k k k l l... l n kwadraty są w postaci podstawowej, więc l k j j j n k k k k q l n l n... lnn kolejne elementy l k kwadratów k q mogą przyjąć tylko wartości różne od, czyli ze zbioru {,...,n} każdy z kwadratów musi mieć inną wartość l k, aby były one wzajemnie ortogonalne w przeciwnym wypadku dla pewnej pary kwadratów k, k k k k k k k l l j (l,l ) (l,l ) ponieważ istnieje n- możliwych wartości l k tym samym istnieje co najwyżej n- wzajemnie ortogonalnych kwadratów o wymiarze nn (qn-) j j 8

29 PRZYKŁAD Istnieją wzajemnie ortogonalne kwadraty łacińskie wymiaru (n== istnieją (n-)= wzajemnie ortogonalne kwadraty ) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 9