Rachunek prawdopodobieństwa
|
|
- Adrian Maj
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek prawdopodobieństwa Tomasz Górecki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
2 Wciągu ćwiczeń zostaną przeprowadzone 2 kolokwia. Na każdym z nichbędziedozdobycia25punktów(5zadańpo5punktówkażde). Dodatkowo przewidziane jest dodatkowe zadanie(trudniejsze), za którebędziemożnauzyskaćjedynie0lub5punktów.od25punktówbędzie zaliczenie ćwiczeń. Osoby, które uzyskają poniżej 30%(poniżej 15 punktów) automatycznie nie uzyskują zaliczenia z przedmiotu. Pozostali(15 24 punktów) mają prawo do poprawki z ćwiczeń. W ciągu wykładów odbędą się 2 egzaminy połówkowe z części teoretycznej. Na każdymdozdobyciabędzie25punktów.składałsięonbędziez5pytań,z czego trzy będą dotyczyły podania definicji, twierdzeń i własności(wraz z przykładami, które nie były omówione na wykładzie). Jedno będzie polegało na przeprowadzeniu dowodu, który był omawiany na wykładzie. Natomiast ostatnie pytanie będzie dotyczyło zastosowania zdobytej wiedzy teoretycznej do problemu jedynie związanego z tematyką wykładu, ale dokładnie nie omówionego. Od 25 punktów egzamin będzie uważany za zaliczony. Ocena końcowa z egzaminu będzie wystawiana na bazie sumy uzyskanych punktów z wykładu oraz ćwiczeń(każda część musi być zaliczona). W sesji egzaminacyjnej odbędzie się jedynie egzamin poprawkowy z części teoretycznej.
3 Billingsley, P.(1987). Prawdopodobieństwo i miara, PWN. Bobrowski, D.(2002). Ciągi losowe, Wydawnictwo UAM. Feller, W.(2006). do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN. Feller, W.(2009). do rachunku prawdopodobieństwa, t. II, PWN. Gerstenkorn, T.& Śródka, T.(1973). Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN. Jakubowski, J.& Sztencel, R.(2001). do teorii prawdopodbieństwa, Script.
4 Krzyśko, M.(2000). Wykłady z teorii prawdopodobieństwa, WNT. Kubik, L.(1976). Rachunek prawdopodobieństwa, PWN. Majsnerowska, M.(2009). Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa, BTC. Misiewicz, J.(2005). Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, Script. Palka, Z. Ruciński, A.(1998). Wykłady z kombinatoryki, WNT. Ross, S.(2010). A First Course in Probability, Pearson.
5 Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami losowymi, o których nie możemy z całkowitą pewnością powiedzieć, czy się wydarzą, czy nie. Ta nieprzewidywalność zdarzenia losowego może wynikać bądź z tego, że nasza informacja o jego charakterze i przyczynach jest niewystarczająca, bądź z samej natury zdarzenia. Charakteryzują się one brakiem deterministycznej regularności, ale za to wykazują pewną regularność statystyczną. W eksperymencie losowym można wyróżnić mechanizm losujący oraz zbiór możliwych wyników. Matematycznym modelem eksperymentu losowego jest przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo jest pojęciem, którego nie można stosować do zjawisk niepowtarzalnych, jednostkowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pewnej planecie poza Ziemią powstanie życie? To pytanie nie ma sensu, musielibyśmy mieć materiał statystyczny, wiele planet, na których powstało życie, i takich, na których się ono nie pojawiło.
6 Potocznie prawdopodobieństwo to pojęcie określające nasze oczekiwania co do rezultatu danego zdarzenia, którego wynik zależy wyłącznie od przypadku. Jeśli jakieś mające nastąpić zdarzenie(np. rzut kostką) może przyjąć kilka rezultatów(liczba oczek), to jeden z rezultatów(liczba oczek większa od 1) możemy opisać jako bardziej prawdopodobny od drugiego(liczba oczek równa 1), jeżeli na podstawie pewnej przesłanki(np. poprzednich doświadczeń) nasze oczekiwania co do wystąpienia rezultatu A są większe niż co do wystąpienia rezultatu B. Definicja prawdopodobieństwa w oparciu o subiektywne odczucia jest oczywiście zupełnie nieprzydatna dla celów praktycznych.
7 Pierwsze pytanie probabilistyczne opublikowano w 1477 roku w jednym z komentarzy do Boskiej komedii Dantego. Za pierwszą pracę naukową z tej dziedziny uważana jest książka Cardano Księga gier losowych(łac. Liber de ludo aleae), odnalezionapośmierciautorawroku1576,awydanawroku1663. Dalszy rozwój teorii rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w drugiej połowie XVII wieku dzięki pracom Pascala i Fermata (w roku 1654 nawiązali korespondencję na temat tzw. problemu podziału nagrody), którzy pierwsi uzasadnili matematycznie prawidłowości występujące w grach hazardowych. Sformułowane przez nich wstępne założenia i wnioski rozwijało wielu wybitnych teoretyków rachunku prawdopodobieństwa, przede wszystkim Bernoulli, który u schyłku XVII wieku pierwszy sformułował i uzasadnił tzw. prawo wielkich liczb.
8 Już w 1711 de Moivre wprowadził prawdopodobieństwo klasyczne jako odwrotność liczby wszystkich możliwych wyników przy założeniu, że są one równoprawdopodobne. Ta definicja spotkała się natychmiast z zarzutem, że opiera się na błędnym kole. Inną próbę sformułowania definicji prawdopodobieństwa podjął w 1919 roku von Mises. Zaproponował, żeby zdefiniować prawdopodobieństwo jako granicę ciągu częstości n A P(A) = lim n n, gdzie n A toliczbarezultatówsprzyjającychzdarzeniu Apo n próbach. Definicja ta nie mówi jednak nic o warunkach istnienia granicy i dlatego nie spełnia wymogów formalnych. Poza tym dokładne określenie wartości prawdopodobieństwa wymaga przeprowadzenia nieskończonej liczby doświadczeń, co w praktyce jest niemożliwe.
9 Nową definicję prawdopodobieństwa podał w roku 1933 Kołmogorow, który korzystając z teorii miary zaksjomatyzował teorię prawdopodobieństwa. W tym nowoczesnym ujęciu, prawdopodobieństwo, podobnie jak punkt w geometrii, jest obiektem niedefiniowalnym, który spełnia tylko pewne warunki. Rachunek prawdopodobieństwa bada własności miary probabilistycznej.
10 Twierdzenie(Prawo mnożenia) Niech A 1,A 2,...,A n będąskończonymizbiorami.liczbaciągów (a 1,a 2,...,a n ),gdzie a i A i, i =1,2,...,n,wynosi A 1 A 2... A n Twierdzenie(Ogólne prawo mnożenia) Jeśli pewna procedura może być rozbita na n kolejnych kroków, z r 1 wynikamiwpierwszymkroku, r 2 wynikamiwdrugimkroku,..., r n wynikamiwn-tymkroku,towcałejprocedurzemamy r 1 r 2... r n łącznychwyników(uporządkowaneciągiwyników cząstkowych).
11 Twierdzenie(Prawo mnożenia) Niech A 1,A 2,...,A n będąskończonymizbiorami.liczbaciągów (a 1,a 2,...,a n ),gdzie a i A i, i =1,2,...,n,wynosi A 1 A 2... A n Twierdzenie(Ogólne prawo mnożenia) Jeśli pewna procedura może być rozbita na n kolejnych kroków, z r 1 wynikamiwpierwszymkroku, r 2 wynikamiwdrugimkroku,..., r n wynikamiwn-tymkroku,towcałejprocedurzemamy r 1 r 2... r n łącznychwyników(uporządkowaneciągiwyników cząstkowych).
12 Przykład(PM1) Gra Mastermind polega na odgadnięciu tajnego kodu zbudowanego z sześciu kolorów na czterech pozycjach, dzięki informacjom uzyskiwanym w kolejnych krokach. Ile kodów można ułożyć mając do dyspozycji cztery miejsca i sześć kolorów? Przykład(PM2) Ilejest3-literowychciągówzbudowanychliter:a,b,c,d,e,f,w której żadna litera się nie powtarza? Ile spośród tych ciągów zawiera literę e? Ile 3-literowych ciągów złożonych z tych liter, w których litery mogą się powtarzać, zawiera literę e?
13 Przykład(PM1) Gra Mastermind polega na odgadnięciu tajnego kodu zbudowanego z sześciu kolorów na czterech pozycjach, dzięki informacjom uzyskiwanym w kolejnych krokach. Ile kodów można ułożyć mając do dyspozycji cztery miejsca i sześć kolorów? Przykład(PM2) Ilejest3-literowychciągówzbudowanychliter:a,b,c,d,e,f,w której żadna litera się nie powtarza? Ile spośród tych ciągów zawiera literę e? Ile 3-literowych ciągów złożonych z tych liter, w których litery mogą się powtarzać, zawiera literę e?
14 Twierdzenie(Prawo dodawania) Niech A 1,A 2,...,A n będąskończonymizbioramiparami rozłącznymi,tzn. A i A j = dla i j,to n A i = i=1 n A i i=1 Twierdzenie(Zasada bijekcji) Niech A i B będą skończonymi zbiorami. Jeśli istnieje bijekcja f : A B,to A = B.
15 Twierdzenie(Prawo dodawania) Niech A 1,A 2,...,A n będąskończonymizbioramiparami rozłącznymi,tzn. A i A j = dla i j,to n A i = i=1 n A i i=1 Twierdzenie(Zasada bijekcji) Niech A i B będą skończonymi zbiorami. Jeśli istnieje bijekcja f : A B,to A = B.
16 Przykład(PD) Ile dwucyfrowych liczb ma parzysty iloczyn cyfr? Przykład(ZB) Ile podzbiorów ma n-elementowy zbiór?
17 Przykład(PD) Ile dwucyfrowych liczb ma parzysty iloczyn cyfr? Przykład(ZB) Ile podzbiorów ma n-elementowy zbiór?
18 Twierdzenie(Zasada szufladkowa Dirichleta) Niech A, B będą dowolnymi skończonymi zbiorami, przy czym A > B.Wówczasdladowolnejfunkcji f : A B,istnieją elementy a 1,a 2 A, a 1 a 2,dlaktórych f(a 1 ) = f(a 2 ). Jeśli pewną liczbę przedmiotów włożymy do szuflad, a szuflad jest mniej niż przedmiotów, które wkładamy, to w pewnej szufladzie znajdą się co najmniej dwa przedmioty.
19 Przykład(ZSD1) Udowodnić, że w dowolnym zbiorze dziesięciu różnych dwucyfrowych liczb naturalnych istnieją dwa rozłączne podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów są równe. Przykład(ZSD2) Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Spośród liczb 1,2,...,2nwybrano n+1liczb.udowodnić,żewśródwybranych liczb istnieje taka, która jest dzielnikiem co najmniej jednej z pozostałych n liczb.
20 Przykład(ZSD1) Udowodnić, że w dowolnym zbiorze dziesięciu różnych dwucyfrowych liczb naturalnych istnieją dwa rozłączne podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów są równe. Przykład(ZSD2) Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Spośród liczb 1,2,...,2nwybrano n+1liczb.udowodnić,żewśródwybranych liczb istnieje taka, która jest dzielnikiem co najmniej jednej z pozostałych n liczb.
21 Twierdzenie(Zasada włączeń i wyłączeń) Dladowolnychzbiorów A 1,A 2,...,A n n A i = A i i=1 + 1 i n 1 i 1 <i 2 <i 3 n +( 1) k 1 1 i 1 <i 2 n A i1 A i2 + A i1 A i2 A i i 1 <i 2 <...<i k n +( 1) n 1 A 1 A 2... A n A i1 A i2... A ik Zasada włączeń i wyłączeń pozostaje prawdziwa, gdy nasze rozważania przeniesiemy na dowolną przestrzeń z miarą, w szczególności z miarą probabilistyczną.
22 Lemat n ( ) n ( 1) k =0, n 1 k k=0
23 Przykład(ZWW1) Spośród 100 studentów pięćdziesięciu uczy się francuskiego, czterdziestu łaciny, a dwudziestu obu tych języków. Ilu z nich nie uczy się ani francuskiego, ani łaciny? Przykład(ZWW2) W trzydziestoosobowej klasie dwudziestu uczniów uczy się łaciny, czternastu greki, a dziesięciu hebrajskiego. Jeśli żadne dziecko nie uczy się wszystkich trzech języków, a ośmioro nie uczy się żadnego, to ilu uczy się greki i hebrajskiego?
24 Przykład(ZWW1) Spośród 100 studentów pięćdziesięciu uczy się francuskiego, czterdziestu łaciny, a dwudziestu obu tych języków. Ilu z nich nie uczy się ani francuskiego, ani łaciny? Przykład(ZWW2) W trzydziestoosobowej klasie dwudziestu uczniów uczy się łaciny, czternastu greki, a dziesięciu hebrajskiego. Jeśli żadne dziecko nie uczy się wszystkich trzech języków, a ośmioro nie uczy się żadnego, to ilu uczy się greki i hebrajskiego?
25 Przed przystąpieniem do losowania trzeba odpowiedzieć sobie na dwa pytania: I. Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów(ciągi czy zbiory)? II. Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać? W zależności od odpowiedzi na te pytania wyróżniamy cztery schematy losowania.
26 Definicja(Wariacje z powtórzeniami(i- TAK, II- TAK)) Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. V k n = n k Definicja(Wariacjebezpowtórzeń(I-TAK,II-NIE)) Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 k n)nazywasiękażdy k-wyrazowyciąg króżnych elementów tego zbioru. V k n = n! (n k)!
27 Definicja(Wariacje z powtórzeniami(i- TAK, II- TAK)) Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. V k n = n k Definicja(Wariacjebezpowtórzeń(I-TAK,II-NIE)) Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 k n)nazywasiękażdy k-wyrazowyciąg króżnych elementów tego zbioru. V k n = n! (n k)!
28 Definicja(Permutacje bez powtórzeń) Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego, nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru(szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń dla k = n). P n = n! Definicja(Permutacje z powtórzeniami) Permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru X = {x 1,x 2,x 3,...,x k },wktórej x 1 występuje n 1 razy, x 2 występuje n 2 razyitd.oraz n 1 +n n k = nnazywamykażdy n-wyrazowyciąg,wktórym x i występuje n i razydla i =1,2,...,k. P n 1,n 2,...,n k n = n! n 1! n 2!... n k!
29 Definicja(Permutacje bez powtórzeń) Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego, nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru(szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń dla k = n). P n = n! Definicja(Permutacje z powtórzeniami) Permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru X = {x 1,x 2,x 3,...,x k },wktórej x 1 występuje n 1 razy, x 2 występuje n 2 razyitd.oraz n 1 +n n k = nnazywamykażdy n-wyrazowyciąg,wktórym x i występuje n i razydla i =1,2,...,k. P n 1,n 2,...,n k n = n! n 1! n 2!... n k!
30 Definicja(Kombinacje bez powtórzeń(i- NIE, II- NIE)) Kombinacją(bez powtórzeń) k-elementową zbioru n-elementowego Anazywasiękażdy k-elementowypodzbiórzbioru A(0 k n). ( ) n Cn k = k Definicja(Kombinacje z powtórzeniami(i- NIE, II- TAK)) k-elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy multizbiór(pseudozbiór, kolekcja, zbiór z powtórzeniami) składający się z elementów zbioru A. ( ) n+k 1 C n k = k
31 Definicja(Kombinacje bez powtórzeń(i- NIE, II- NIE)) Kombinacją(bez powtórzeń) k-elementową zbioru n-elementowego Anazywasiękażdy k-elementowypodzbiórzbioru A(0 k n). ( ) n Cn k = k Definicja(Kombinacje z powtórzeniami(i- NIE, II- TAK)) k-elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy multizbiór(pseudozbiór, kolekcja, zbiór z powtórzeniami) składający się z elementów zbioru A. ( ) n+k 1 C n k = k
32 Uwaga Kombinacje z powtórzeniami nie przydają się raczej w rachunku prawdopodobieństwa. Służą bowiem do przeliczania obiektów nieoznaczonych(nieistotna kolejność), jak ma to miejsce np. przy rzucie dwoma identycznymi kośćmi do gry. Możliwych rezultatów jest 21, aczkolwiek nie wszystkie są jednakowo prawdopodobne. Stosująctenmodelnależyprzypisaćwynikomtypu {i,i} prawdopodobieństwo 1/36 a pozostałym 1/18. Prościej jest zatem od razu rozważać rzut dwoma różnymi kośćmi(kolejność istotna) z równymi prawdopodobieństwami.
33 Twierdzenie(Wzór Newtona, twierdzenie dwumianowe) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz dla dowolnej liczby naturalnej n (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k, k gdzie ( n) k = n! k!(n k)! jestwspółczynnikiemdwumianowym.
34 Twierdzenie(Twierdzenie wielomianowe) Dladowolnychliczbrzeczywistych x 1,x 2,...,x k orazdladowolnej liczby naturalnej n (x 1 +x x k ) n = = n 1 +n n k =n ( n n 1,n 2,...,n k gdzie ( n ) n 1,n 2,...,n k = n! n 1! n 2! n k! jestwspółczynnikiem wielomianowym. ) x n 1 1 xn 2 2 nn k k, Suma jest brana po wszystkich kombinacjach nieujemnych, całkowitychliczb n 1,n 2,...,n k,któresumująsiędo n.
35 Przykład(SW1) Na ile sposobów można otrzymać 13 kart w rozdaniu brydżowym? A ile jest różnych rozdań brydżowych? Przykład(SW2) Grupa składa się z 15 małżeństw. Na ile sposobów można spośród nich wybrać czteroosobową delegację, jeśli w skład delegacji nie może wchodzić żadne małżeństwo?
36 Przykład(SW1) Na ile sposobów można otrzymać 13 kart w rozdaniu brydżowym? A ile jest różnych rozdań brydżowych? Przykład(SW2) Grupa składa się z 15 małżeństw. Na ile sposobów można spośród nich wybrać czteroosobową delegację, jeśli w skład delegacji nie może wchodzić żadne małżeństwo?
37 Przykład(SW3) Nailesposobówmożnapołączyćwpary2nosób? Przykład(SW4) Zebrało się n szachistów, mających do dyspozycji k szachownic (n 2k).Naileróżnychsposobówmożnautworzyć kpar szachistów do rozegrania pierwszej partii?
38 Przykład(SW3) Nailesposobówmożnapołączyćwpary2nosób? Przykład(SW4) Zebrało się n szachistów, mających do dyspozycji k szachownic (n 2k).Naileróżnychsposobówmożnautworzyć kpar szachistów do rozegrania pierwszej partii?
39 Przykład(SW5) Ile rozwiązań całkowitych(całkowitych dodatnich) ma równanie postaci: x 1 +x x n = k? Przykład(SW6) Na ile sposobów można wybrać trzy liczby spośród liczb 1,2,...,30wtensposób,żeichsumajetparzysta?
40 Przykład(SW5) Ile rozwiązań całkowitych(całkowitych dodatnich) ma równanie postaci: x 1 +x x n = k? Przykład(SW6) Na ile sposobów można wybrać trzy liczby spośród liczb 1,2,...,30wtensposób,żeichsumajetparzysta?
41 Przykład(permutacje koralikowe) Szczególnym wariantem permutacji są permutacje koralikowe, gdzie nie jest wyróżniony początek i koniec(np. rozstawienie na okręgu). W takiej sytuacji nie ma znaczenia gdzie znajdują się elementy, ważne jest jedynie z czym sąsiadują. Wyznaczyć liczbę permutacji koralikowych zbioru n-elementowego. Przykład(dowód kombinatoryczny) Wykazać,żedla n 1 n ( ) n k = n 2 n 1. k k=0
42 Przykład(permutacje koralikowe) Szczególnym wariantem permutacji są permutacje koralikowe, gdzie nie jest wyróżniony początek i koniec(np. rozstawienie na okręgu). W takiej sytuacji nie ma znaczenia gdzie znajdują się elementy, ważne jest jedynie z czym sąsiadują. Wyznaczyć liczbę permutacji koralikowych zbioru n-elementowego. Przykład(dowód kombinatoryczny) Wykazać,żedla n 1 n ( ) n k = n 2 n 1. k k=0
Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa
Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa dr hab. Tomasz Górecki tomasz.gorecki@amu.edu.pl Zakład Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013
Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii
Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii 6 października 2015 Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.0. Kilka słów na początek Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska O czym mowa? Jakiego typu pytania będą nas interesować? Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna:
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Matematyka dyskretna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoMatematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE
PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym
Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowo2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne 1) Nazwa modułu : MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI 2) Kod modułu : 08-KODL-MPK 3) Rodzaj modułu : OBOWIĄZKOWY 4) Kierunek studiów: KOGNITYWISTYKA
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Spis treści Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Liczba wyników doświadczenia losowego. Reguła mnożenia i reguła dodawania
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 4 część I 2 Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami Permutacje Wariacje bez powtórzeń Kombinacje Łączenie
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA (A) Szczegółowy plan wykładu
Szczegółowy plan wykładu 1. Podstawowe narzędzia kombinatoryki 1.1. Zbiory i działania na zbiorach (przypomnienie i uzupełnienie), 1.2. Równania rekurencyjne (m.in. nieporządki, ciąg Fibonacciego), 1.3.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna
9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków ZADANIA
Matematyka dyskretna dla informatyków ZADANIA Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 Spis treści 1 Metody dowodzenia
Bardziej szczegółowoElementy kombinatoryki
Elementy kombinatoryki Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 04 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Elementy kombinatoryki 04 1 / 59 Permutacje Definicja. Permutacja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowo