Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 1 Wielkości fizyczne można klasyfikować na podstawie różnych kryteriów. Istnieją wielkości, które przy wyznaczonej jednostce miary są w zupełności określone przez jedną liczbę. Nazywamy je wielkościami skalarnymi, a liczby wyznaczające je skalarami. Należą do nich np. masa, tempertura, potencjał elektrostatyczny. Inne wielkości nie mogą być jednoznacznie wyznaczone przez ich miary, gdyż zależne są jeszcze od kierunku (kierunku i zwrotu). Nazywamy je wielkościami wektorowymi. Są to np. prędkość, przyspieszenie, siła. Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy wartość liczbową, to ten obszar nazywamy polem skalarnym. Np. gęstość poszczególnych punktów danego ciała. Jeżeli każdemu punktowi obszaru przyporządkujemy wektor, to obszar ten nazywamy polem wektorowym. Np. prędkość poszczególnych punktów danego ciała, natężenie pola elektrycznego. Pole skalarne przyjmuje nazwę w zależności od sensu fizycznego funkcji ϕ. Np. pole gęstości danego ciała, pole temperatur danego ciała, pole potencjału elektromagnetycznego. Pole wektorowe przyjmuje nazwę w zależności od sensu fizycznego wektora W. Np. pole prędkości cieczy lub gazu, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne. Przyjmijmy teraz oznaczenia. Niech M(x, y, z) będzie punktem należącym do obszaru V oraz niech będzie dane pole skalarne ϕ = ϕ(m) = ϕ(x, y, z), M V oraz pole wektorowe lub krótko W = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, W = [ P, Q, R ] przy czym funkcje P, Q, R są określone na pewnym obszarze V. Symbol (nabla) oznacza wektorowy operator różniczkowy (operator Hamiltona) = x i + y j + z k.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 2 Gradientem pola skalarnego ϕ nazywamy pole wektorowe określone następująco Własności gradientu grad ϕ = ϕ = ϕ x i + ϕ y j + ϕ z k. Niech ϕ, ψ będą różniczkowalnymi polami skalarnymi. Wtedy 1. grad(a ϕ + b ψ) = a gradϕ + b gradψ, gdzie a, b R; 2. grad(ϕψ) = ϕ gradψ + ψ gradϕ; 3. grad(ϕ 2 ) = 2ϕ gradϕ. Funkcja ϕ klasy C 1 wzrasta najszybciej w kierunku swego gradientu. Czyli grad ϕ wskazuje kierunek, w którym ϕ(x, y, z) najszybciej rośnie, przy czym prędkość tego wzrostu dana jest przez długość wektora grad ϕ. Podobnie, wektor grad ϕ wskazuje kierunek, w któym funkcja ϕ(x, y, z) najszybciej maleje. Załóżmy, że potencjał elektrostatyczny dany jest wzorem ψ(x, y, z) = 100 x 2 y 2 z 2. W jakim kierunku w punkcie (3, 4, 5) rośnie on najszybciej. Kierunek, w którym potencjał elektrostatyczny rośnie najszybciej, to grad ψ = 2x i 2y j 2z k. Czyli w punkcie (3, 4, 5) wynosi on grad ψ(3, 4, 5) = 6 i + 8 j 10 k. Załóżmy, że temperatura T w pewnym ciele zmienia się zgodnie ze wzorem T (x, y, z) = x 2 +yz. Wyznacz kierunek, w którym najszybciej maleje.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 3 Kierunek, w którym temperatura maleje najszybciej, to grad T = (2x i + z j + y k). Czyli np. w punkcie (1, 1, 1) kierunek ten wynosiłby grad T (1, 1, 1) = 2 i j k. Natomiast prędkość, z jaką maleje w tym kierunku wynosi grad T (1, 1, 1) = 6. Powierzchnię o równaniu ϕ(x, y, z) = c, (c = const) nazywamy powierzchnią równopotencjalną (lub ekwiskalarną lub ekwipotencjalną) pola skalarnego ϕ. Nadając stałej c różne wartości, otrzymamy różne powierzchnie ekwipotencjalne. Jak widać przy poruszaniu się po takiej powierzchni nie zmienia się wartość funkcji pola, więc jej różniczka dϕ(x, y, z) = 0. Jeżeli weźmiemy pod uwagę dwa sąsiednie punkty, to różniczka ta przy przejściu od jednego punktu do drugiego wynosi Jak widać jest to iloczyn skalarny: dϕ = dϕ = ϕ x dx + ϕ y dy + ϕ z dz. ( ϕ x i + ϕ y j + ϕ ) ( ) z k dx i + dy j + dz k. Czyli gradient jest jednym z czynników różniczki funkcji pola. Drugi czynnik, to tzw. wektor infinitezymalny. Jeżeli ϕ C 1, to grad ϕ jest wektorem prostopadłym w punkcie M do powierzchni ekwipotencjalnej pola o równaniu ϕ(x, y, z) = c przechodzącej przez punkt M.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 4 Interpretacja fizyczna gradientu Zakładamy oczywiście, że funkcja f jest różniczkowalna - w przeciwnym razie nie istniałby grad f. Wstęp Funkcję z = f(x, y) możemy przedstawić w kartezjańskim trójwymiarowym układzie współrzędnych. Na przykład z = 4x 2 + 9y 2 utworzy nam powierzchnię zwaną paraboloidą eliptyczną. Gdy ustalimy kolejno wartości x, y, z, to otrzymamy odpowiednio: x : parabolę z = 9y 2 + const w płaszczyźnie równoległej do Y Z, y : parabolę z = 4x 2 + const w płaszczyźnie równoległej do XZ, z : elipsę 4x 2 + 9y 2 = const w płaszczyźnie równoległej do XY. Przecięcie z = c z powierzchnią z = f(x, y) nazywamy krzywą konturową, a rzut krzywej konturowej na płaszczyznę XY nazywamy poziomicą. W wypadku funkcji z = 4x 2 + 9y 2 krzywe konturowe i poziomice są elipsami opisanymi równaniami 4x 2 + 9y 2 = c. Krzywe konturowe i poziomice odgrywają ważną rolę w zastosowaniach. Na przykład mapy konturowe (topograficzne) przedstawiają trójwymiarowe cechy terenu na płaszczyźnie, z kolei mapy pogody pokazują poziomice temperatury (izotermy) lub ciśnienia (izobary). 1. Rozważmy teraz poziomice funkcji z = f(x, y), czyli krzywe na płaszczyźnie XY dane wzorem z = c. Jeżeli rozpatrzymy teraz różniczkę zupełną funkcji f(x, y) = c w punkcie, to otrzymamy df = 0. Oznacza to, że wektory grad f = f x i + f y j
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 5 oraz dx i + dy j. są prostopadłe w tym punkcie (o ile grad f 0). Wektor dx i + dy j jest styczny do poziomicy f(x, y) = c, zatem wektor grad f jest prostopadły do poziomicy. Czyli styczne do grad f wskazują kirunek najszybszego spadku. Czyli w wypadku krzywych ekwipotencjalnych, wektor grad f wyznacza odpowiadające im natężenie pola elektrycznego i wskazuje drogę, po której będzie poruszała się cząstka naładowana. 2. W mechanice klasycznej, jeżeli przez V (x, y, z) oznaczymy energię potencjalną, to odpowiadające jej pole sił jest dane wzorem F (x, y, z) = grad V (x, y, z). 3. W elektromagnetyźmie, jeżeli przez V (x, y, z) oznaczymy potencjał elektrostatyczny, to natężenie pola elektrycznego jest równe E(x, y, z) = grad V (x, y, z). 4. Gradient jest również związany z przepływem ciepła. Niech w pewnym ciele temperatura w punkcie (x, y, z) jest równa T (x, y, z). Jeżeli rozkład temperatury nie jest jednorodny, energia w postaci ciepła przepłynie z obszarów o wyższej temperaturze do obszarów o niższej temperaturze, w kierunku jej najszybszego spadku. Przepływ energii q w postaci ciepła przez jednostkę powierzchni (prostopadłej do q) na jednostkę czasu, zgodnie z prawem Fouriera przpływu ciepła, dany jest wzorem q(x, y, z) = kgrad T (x, y, z), 5. gdzie współczynnik k nazywamy przewodnością cieplną substancji. Równanie zwane prawem dyfuzji Ficka J(x, y, z) = Dgrad c(x, y, z)
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 6 opisuje dyfuzję substancji w roztworze zgodnie z gradientem stężeń, gdzie J jest szybkością dyfuzji substancji przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do J, c(x, y, z) oznacza stężenie substancji, a zaś D jest współczynnikiem dyfuzji (wartość D zależy zarówno od sybstancji dyfundującej, jak i od roztworu, w którym zachodzi dyfuzja). Wielkości q i J występujące w dwóch ostatnich równaniach nazywamy strumieniami lub gęstościami strumieni. Linią wektorową pola W = [ P, Q, R ] nazywamy linię, której kierunek w każdym punkcie pokrywa się z kierunkiem wektora pola w tym punkcie. Linie wektorowe pola W = [ P, Q, R ] są rozwiązaniami układu równań różniczkowych dx P = dy Q = dz R. Dywergencją pola wektorowego W nazywamy pole skalarne określone następująco Własności dywergencji div W = W = P x + Q y + R z. Niech W, F będą różniczkowalnymi polami wektorowymi, a ϕ będzie różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy 1. div(a W + b F ) = a div W + b div F, gdzie a, b R; 2. div(ϕ W ) = ϕ div W + gradϕ W. Pole wektorowe, którego dywergencja jest w każdym punkcie równa zeru, nazywamy polem bezźródłowym lub solenoidalnym. Nazwa pola solenoidalnego pochodzi stąd, że pole elektryczne wytworzone w wyniku przepływu stałego prądu przez solenoid (cewkę) ma właśnie rozbieżność równą zeru. Jeśli wektory pola W przedstawiają prędkości cząsteczek cieczy nieściśliwej, to gdy w pewnym punkcie pola przybywa cieczy, to taki punkt nazywamy źródłem dodatnim, jeżeli ubywa cieczy,
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 7 to taki punkt nazywamy źródłem ujemnym. Źródła mogą znajdować się w punktach odosobnionych, pokrywać w sposób ciągły pewną powierzchnię lub wypełniać całkowicie pewną objętość. Niech przez rurę przepływa woda, tak że całkowicie wypełnia jej wnętrze. Woda jest mało ściśliwa, więc przyjmijmy, że jest nieściśliwa. Rozważmy w tej cieczy powierzchnię zamkniętą ograniczającą objętość V. Jeśli pominiemy tarcie zachodzące wewnątrz cieczy, to prędkość cząstek wody będzie przy wchodzeniu i wychodzeniu z rozpatrywanej objętości taka sama. Zatem w V nie może przybywać ani ubywać cieczy, więc dywergencja jest równa zero. Niech przez rurę przepływa powietrze, które początkowo, w zamkniętej objętości V, będzie sprężone. Jeśli w pewnej chwili usuniemy ściany poprzeczne objętości V i równocześnie spowodujemy przepływ powietrza przez rurę, to zjawisko przepływu będzie przebiegać inaczej niż w poprzednim przykładzie. Prędkość cząstek powietrza będzie wzrastała, dopóki ściśnięte powietrze będzie się rozprężać. Z rury wypływa więc więcej powietrza niż do niej wchodzi. Wynika z tego więc, że dywergencja pola prędkości jest różna od zera. Rotacją pola wektorowego W nazywamy pole wektorowe określone następująco rot W = W = i j k y x z P Q R = = ( R y Q z ) i + ( P z R x ) j + ( Q x P y ) k.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 8 Własności rotacji Niech W, F będą różniczkowalnymi polami wektorowymi, a ϕ będzie różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy 1. rot(a W + b F ) = a rotw + b rotf, gdzie a, b R; 2. rot(ϕw ) = ϕ rotw + (gradϕ) W. Pole wektorowe W jest bezźródłowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wektor W 1, że W = rotw 1. Jeżeli funkcje P, Q, R są klasy C 2, to div(rot W ) = 0. Pole wektorowe nazywamy bezwirowym na pewnym obszarze V, jeżeli w każdym punkcie tego obszaru rotacja wektora pola równa się zeru: rotw = 0. Nie każdy ruch obrotowy np. cieczy, jest ruchem rotacyjnym. A. B. Na rysunku A. przedstawiono dwa położenia elementu objętościowego cieczy poruszającego się po okręgu. Z ruchem postępowym jest związany ruch obrotowy elementu, rotacja prędkości jest więc różna od zera. Taki ruch nazywamy ruchem rotacyjnym bądź wirowym. Na rysunku B. element objętościowy również porusza się po okręgu, ale bez obrotu. Czyli nie ma prędkości kątowej. W tym przypadku rotacja jest równa zero. Mamy tu do czynienia z ruchem bezwirowym.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 9 Rozważmy ruch cieczy w zagięciu kanału. Mogą tu zachodzić dwa przypadki. A. B. Jeśli przędkość cieczy przy zagięciu wewnętrznym jest mniejsza niż przy zagięciu zewnętrznym (rysunek A.), to element objętościowy cieczy podczas ruchu obróci się. Jest to zatem ruch wirowy. W przypadku, gdy prędkość cieczy przy zagięciu wewnętrznym jest odpowiednio większa od prędkości przy zagięciu zewnętrznym, to element objętościowy nie obróci się i ruch jest bezwirowy. Ruch wirowy może także wystąpić przy ruchu prostoliniowym cieczy. W przypadku, gdy poszczególne warstwy cieczy mają inne prędkości. Ruch taki zachodzi na przykład przy ruchu wody w rzekach i kanałach. Wskutek różnicy prędkości w poszczególnych warstwach, element objętościowy wykonuje pewien obrót z prędkością kątową. Zatem rotacja jest różna od zera i ruch jest wirowy. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] nazywamy potencjalnym, jeżeli istnieje funkcja U zwana potencjałem pola wektorowego W, dla której gradu = W.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 10 Czyli pojęcia gradient i potencjał pozostają we wzajemnym związku (podobnie jak pojęcia pochodna i funkcja pierwotna ). Jeżeli U jest potencjałem pola wektorowego W, to jednocześnie W jest gradientem funkcji U. Dowolne pole wektorowe można rozłożyć na sumę pola bezwirowego i bezźródłowego. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz jest różniczką zupełną pewnej funkcji U. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki Uwaga Q x = P y, P z = R x, R y = Q z. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest bezwirowe wtedy i tylko wtedy, gdy Q x = P y, P z = R x, R y = Q z. Uwaga Pole wektorowe jest potencjalne. W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest bezwirowe wtedy i tylko wtedy, gdy Uwaga rot grad U = 0. Laplasjanem funkcji skalarnej ϕ nazywamy funkcję skalarną określoną wzorem ϕ = 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2.
Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 11 Jeżeli pole wektorowe W ma potencjał U, to div(grad U) = U. Bibliografia I. Dziubiński, L. Siewierski Matematyka dla wyższych szkół technicznych, PWN M. Gewert, Z. Skoczylas Elementy analizy wektorowej, GiS E. Karaśkiewicz Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN D. McQuarrie Mathematical Methods for Scientists and Engineers, USB W. Stankiewicz, J.Wojtowicz Zadania z matematyki dla wyższych szkół technicznych, PWN