Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów. Dziedziną lewostronną relacji R nazywamy zbiór D l (R) = {x : x, y R dla pewnego y}, a dziedziną prawostronną relacji R nazywamy zbiór D r (R) = {y : x, y R dla pewnego x}. Zbiór D l (R) D r (R) nazywamy polem relacji R. 9.2 Definicja (Złożenie relacji, relacja odwrotna). Złożeniem relacji R i S nazywamy relację S R = { x, z : dla pewnego y, x, y R oraz y, z S}. Relacją odwrotną do R nazywamy relację R 1 = { y, x : x, y R}. 9.3 Twierdzenie. Dla dowolnych relacji R i S mamy (S R) 1 = R 1 S 1. 9.2 Relacje równoważności 9.4 Definicja (Relacja równoważności). Relację R X X nazywamy relacją równoważności, gdy 1. R jest zwrotna: x X xrx, 2. R jest symetryczna: x, y X (xry yrx), 3. R jest przechodnia: x, y, z X (xry yrz xrz). 1
9 Relacje 2 9.5 Przykład. Następujące relacje są relacjami równoważności: 1. A = P({1,..., n}) oraz X R A Y X Y. 2. B = Z oraz k R B l k l (mod 3). 3. C = N N oraz 4. D = Z (Z \ {0} oraz m 1, n 1 R C m 2, n 2 m 1 + n 2 = m 2 + n 2. k, l R D p, q kq = lp. 9.6 Definicja (Klasa abstrakcji, zbiór ilorazowy). Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X. Klasą abstrakcji elementu a X względem relacji R nazywamy zbiór [a] R = {x A : xra}. Zbiorem ilorazowym zbioru A względem relacji R nazywamy zbiór 9.7 Przykład. Zbiory ilorazowe: 1. A/R A =. 2. B/R B =. 3. C/R C =. 4. D/R D =. A/R = {[x] R : x A}. 9.8 Definicja (Podział zbioru). Rodzinę P podzbiorów zbioru A nazywamy podziałem zbioru A gdy 1. X, dla każdego X P; 2. X Y X Y =, dla dowolnych X, Y P; 3. P = A. 9.9 Przykład. Podziały: 1. A/R A =.
9 Relacje 3 2. B/R B =. 3. C/R C =. 4. D/R D =. 9.10 Lemat. Niech R będzie relacją równoważności na zbiorze A. Wówczas, dla dowolnych a, b A mamy arb [a] R = [b] R. 9.11 Twierdzenie (Zasada abstrakcji). Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Wówczas 1. Jeżeli R jest relacją równoważności na A, to A/R jest podziałem zbioru A. 2. Jeżeli rodzina P jest podziałem zbioru A, to relacja R zdefiniowana jako xry x, y Z, dla pewnego Z P jest relacją równoważności na A. 3. Funkcja F określona na zbiorze wszystkich relacji równoważności R na A taka, że F (R) = A/R przekształca ten zbiór wzajemnie jednoznacznie na zbiór wszystkich podziałów zbioru A. 9.3 Częściowe porządki 9.12 Definicja (Częściowy porządek, liniowy porządek, łańcuch). Relację na zbiorze A nazywamy relacją częściowego porządku, gdy 1. jest zwrotna, 2. jest słabo-symetryczna: x, y A (x y y x x = y), 3. jest przechodnia. Jeżeli jest częściowym porządkiem na A, to parę A, nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym. Relację częściowego porządku nazywamy relacją liniowego porządku, gdy spełnia dodatkowo warunek spójności 1 x, y A (x y y x). 1 Dowolne dwa elementy są porównywalne.
9 Relacje 4 Niech A będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Podzbiór B zbioru A taki, że B jest relacją liniowego porządku nazywamy łańcuchem. 9.13 Przykład. Przykłady zbiorów częściowo uporządkowanych: 1. X,, dla dowolnego zbioru X, 2. R,, 3. R,, 4. N \ {0},, 5. R N,, gdzie f g n. f(n) g(n), 6. X,, gdzie X jest dowolnym zbiorem funkcji oraz f g f = g dom(f), 7. porządek prefiksowy. 9.14 Przykład. Przykłady łańcuchów w zbiorach częściowo uporządkowanych z poprzedniego Przykładu. 9.15 Definicja (Elementy minimalny, maksymalny, największy, najmniejszy, kresy). Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Ponadto, niech a X oraz A X. Mówimy, że element a jest 1. minimalnym w A, gdy a A oraz x a x = a dla każdego x A; 2. maksymalnym w A, gdy a A oraz a x x = a dla każdego x A; 3. najmniejszym w A, gdy a A oraz a x dla każdego x A; 4. największym w A, gdy a A oraz x a dla każdego x A; 5. ograniczeniem dolnym zbioru A, gdy a x dla każdego x A; 6. ograniczeniem górnym zbioru A, gdy x a dla każdego x A; 7. kresem dolnym (infimum) zbioru A, gdy a jest największym ograniczeniem dolnym zbioru A, co zapisujemy a = inf A; 8. kresem górnym (supremum) zbioru A, gdy a jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A, co zapisujemy a = sup A.
9 Relacje 5 9.16 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech A X. Wtedy 1. W A istnieje co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy. 2. Zbiór A ma co najwyżej jeden kres górny i co najwyżej jeden kres dolny. 3. Jeżeli a A jest elementem największym w A, to a jest (i) jedynym elementem maksymalnym w A, (ii) kresem górnym zbioru A. 4. Jeżeli a A jest elementem najmniejszym w A, to a jest (i) jedynym elementem minimalnym w A, (ii) kresem dolym zbioru A. 9.17 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech A X będzie łańcuchem. Wtedy 1. W A istnieje co najwyżej jeden element minimalny i jest on jednocześnie elementem najmniejszym w A. 2. W A istnieje co najwyżej jeden element maksymalny i jest on jednocześnie elementem największym w A. 9.18 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech A X będzie zbiorem skończonym. Wtedy 1. W A istnieje element maksymalny i element minimalny. 2. Jeżeli w A istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to jest on jednocześnie elementem największym w A. 3. Jeżeli w A istnieje dokładnie jeden element minimalny, to jest on jednocześnie elementem najmniejszym w A. 9.4 Lemat Kuratowskiego-Zorna, Twierdzenie Zermelo i Pewnik Wyboru 9.19. Lemat Kuratowskiego-Zorna. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Wówczas, jeżeli każdy łańcuch ma ograniczenie górne w X, to w X istnieje element maksymalny.
9 Relacje 6 9.20 Definicja (Dobry porządek). Niech X będzie zbiorem liniowo uporządkowanym przez relację. Mówimy, że jest relacją dobrego porządku, gdy w każdym niepustym podzbiorze zbioru X istnieje element najmniejszy. 9.21. Twierdzenie Zermelo. Dla każdego zbioru X istnieje relacja, która go dobrze porządkuje. 9.22. Pewnik Wyboru, Lemat Kuratowskiego-Zorna i Twierdzenie Zermelo są sobie wzajemnie równoważne. Literatura [GZ] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN 2007. tp