MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 1896-771X 33, s. 139-144, Gliwie 007 NIELOKALNE NAPĘŻENIOWE KYTEIUM PĘKANIA MATEIAŁÓW OTOTOPOWYCH NA PZYKŁADZIE DEWNA MAEK OMANOWICZ, ANDZEJ SEWEYN Katedra Mehaniki i Informatyki Stosowanej, Politehnika Białostoka Streszzenie. W pray zaproponowano nowe podejśie do prognozowania inijaji i propagaji pęknięć w drewnie, oparte na konepji płaszzyzny krytyznej oraz na nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania. Do zbudowania nielokalnego kryterium wykorzystano model ośrodka z mikropęknięiami o określonej orientaji. W elu oeny poprawnośi zaproponowanego kryterium pękania przedstawiono weryfikaję doświadzalną pękania próbek wykonanyh z drewna sosny z brzegową szzeliną. Badania prowadzono w złożonym stanie obiążenia dla różnyh ilorazów współzynników intensywnośi naprężeń K I / K II. 1. WSTĘP Widozny w ostatnih latah wzrost zainteresowania drewnem jako konstrukyjnym materiałem budowlanym jest wynikiem dwóh zynników, a mianowiie: bardzo dobryh właśiwośi mehaniznyh drewna odniesionyh do jego gęstośi oraz problemów związanyh z wyzerpywaniem się nieodnawialnyh surowów materialnyh. Ortotropię drewna harakteryzują trzy osie symetrii, pokazane na rysunku oznazone odpowiednio literami: L, i T. Zdolność drewna do odpornośi na pękanie zależy od układu propagaji szzeliny. Z powodu znaznyh różni w odpornośi na pękanie w poszzególnyh układah, szzelina w drewnie propaguje najzęśiej równolegle do komórek osiowyh, tj. w układzie L lub TL (pierwsza litera odnosi się do kierunku normalnego do płaszzyzny pękania a druga określa kierunek propagaji szzeliny). Zdaniem Mindessa i Bentura [5], Jernkvista [] oraz Vasia i Smitha [11] w drewnie ys. 1. Budowa drewna: LT osie ortotropii istnieje strefa pękania w pobliżu wierzhołka szzeliny. Występująe tam mikropęknięia mogą się łązyć i rozwijać w proesie obiążania, wprowadzają progresywną zmianę
140 M. OMANOWICZ, A. SEWEYN mikrostruktury. W konsekwenji, dokładne modelowanie strefy uszkodzeń polegająe na oblizaniu rozkładu mikropęknięć i zmian podatnośi dla tego materiału w obszarze dużyh gradientów naprężeń wydaje się być bardzo trudne do zrealizowania. Celem tej pray jest przedstawienie nowego podejśia do oblizania propagaji i inijaji szzelin w konstrukyjnyh elementah drewnianyh, opartego na konepji płaszzyzny fizyznej oraz na nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania, zaproponowanym przez Seweryna i Mroza [9].. NIELOKALNE NAPĘŻENIOWE KYTEIUM PĘKANIA DEWNA ozpatrzmy model rozwoju szzeliny w drewnie w układzie L, pokazany na rys.. ys.. Model rozwoju szzeliny w drewnie w układzie propagaji L ys. 3. Uśrednienie lokalnej funkji pękania w okoliy wierzhołka szzeliny Zakładamy, że jeżeli propagaja szzeliny następuje w drewnie w układzie L, to wówzas uśredniona na odinku d (rysunek 3) funkja naprężeń normalnyh i tnąyh wywołująyh dekohezję (,τ l ) osiąga wartość krytyzną, zyli: f d 1 = d 0 ( τ ) L K I, L dr = gdzie : d = (1) π f, (,τ L ) odpowiednio współzynnik pękania i lokalna naprężeniowa funkja pękania w układzie propagaji L,, τ L odpowiednio normalne i styzne naprężenia na płaszzyźnie krytyznej w układzie propagaji L. Długość strefy pękania d wyznaza się z równoważnośi kryterium Griffitha Irwina dla I sposobu deformaji szzeliny (K I = K I L )
NIELOKALNE NAPĘŻENIOWE KYTEIUM PĘKANIA MATEIAŁÓW... 141 oraz nielokalnego kryterium pękania, gdzie: K I L krytyzna wartość współzynnika intensywnośi naprężeń dla rozrywania szzeliny w układzie propagaji L, normalne naprężenie krytyzne w przypadku jednoosiowego roziągania w kierunku osi. W niniejszej pray, w elu uwzględnienia występująyh w drewnie mikropęknięć, zaadaptowano model uszkodzeń dla iała z mikropęknięiami o określonej orientaji, wyprowadzony przez Seweryna i innyh [8] na podstawie wześniejszyh pra Gambarotta i Logomarsino [1]. Zgodnie z przyjętym modelem, propagaja mikropęknięć o normalnej nastąpi wówzas, gdy prędkość uwalnianej energii odkształenia osiągnie wartość krytyzną, a wię: G [ ( p ) + ( f ) ] = G 3 = ao L τl L () gdzie: a o wymiar mikropęknięia odniesiony do wymiaru pozątkowego, p, f L normalne oraz styzne naprężenia działająe na powierzhni mikropęknięia,, L współzynniki podatnośi wzdłużnej oraz poprzeznej wywołane mikropęknięiami. Krytyzną wartość G wyznaza się dla przypadku jednoosiowego roziągania w kierunku. Uwzględniają warunek otwierania się mikropęknięć bez kontaktu ząbków nierównośi (p = 0 oraz f L = 0), na podstawie wzoru (3), otrzymujemy następująą lokalną funkję pękania [10]: L L (, τ ) + 1 L = = τ (3) Jeżeli natomiast mamy do zynienia ze wzajemnym poślizgiem na powierzhniah nierównośi mikropęknięć (p 0 i f L 0), to po uwzględnianiu warunków kontaktu między ząbkami powierzhni mikropęknięć, lokalną funkję pękania można zapisać wzorem [10]: τ (4) L (, τ ) = + tg( ϕ + ψ ) 1 L = L L τ τ gdzie: ψ kąt taria, ϕ kąt pohylenia nierównośi na powierzhni mikropęknięć, τ L naprężenia niszząe dla zystego śinania w płaszzyźnie L W niniejszej pray przyjmuje się założenie o znanym kierunku propagaji szzeliny w drewnie (kierunek ϑ o ). Oznaza to, że do prognozowania pękania drewna nie jest koniezne oblizanie lokalnego maksimum funkji (,τ L ). Dlatego w elu zastosowania nielokalnego naprężeniowego kryterium pękania do szzelin naiętyh pod pewnym kątem α do osi ortotropii L zakładamy, że kierunek propagaji pokrywa się z kierunkiem wzmonienia, a wię lokalną funkję pękania oblizamy dla ϑ o = α lub ϑ o = α 180 o. Stan naprężenia w bliskim otozeniu wierzhołka szzeliny dowolnie naiętej względem osi ortotropii, w lokalnym biegunowym układzie współrzędnyh (r,ϑ), opisuje następująy związek [3]: x Ξ11( ϑ, ) Ξ1 ( ϑ, ) 1 K I = Ξ ( ϑ,, ) Ξ ( ϑ,, ) (5) y 1 1 1 πr K II τ xy Ξ 31( ϑ, ) Ξ 3 ( ϑ, ) gdzie: współzynniki Ξ 11,...,Ξ 3 są funkjami trygonometryznymi kąta ϑ i pierwiastków równania harakterystyznego 1,. Pierwiastki te zależą od stałyh sprężystośi materiału oraz od konfiguraji szzeliny względem osi ortotropii. W elu określenia naprężeń,τ L na
14 M. OMANOWICZ, A. SEWEYN płaszzyźnie krytyznej składowe naprężenia opisane wzorem (5) przekształa się zgodnie z prawem transformaji tensora II rzędu z układu xy do układu L. Podstawiają do wzoru (1) lokalną funkję pękania (3), a także związki na naprężenia (5), otrzymujemy kryterium pękania drewna w przypadku, gdy szzelina naięta pod kątem α względem osi ortotropii L, poddana jest roziąganiu i śinaniu wzdłużnemu, a mianowiie: 11 L L L L L ( K ) + λ ( K )( K ) + λ ( K ) = ( K ) λ (6) I 1 I gdzie: K I L, K II L współzynniki intensywnośi naprężeń odpowiadająe rozrywaniu i śinaniu wzdłużnemu, w przypadku, gdy szzelina propaguje w układzie L. Współzynniki: λ 11, λ 1 i λ są funkjami, L oraz stałyh sprężystośi materiału [6]. II II I 3. WEYFIKACJA DOŚWIADCZALNA I WNIOSKI W elu weryfikaji nielokalnego kryterium pękania (6) wykonano badania doświadzalne pękania drewna sosnowego (ła. pinus sylvestris) w układzie propagaji szzeliny L dla przypadku najmniej rozpoznanego w literaturze, tj. gdy szzelina jest wykonana pod kątem α do osi ortotropii L. W badaniah wykorzystano przyrząd do zadawania dwuosiowego stanu obiążenia opraowany przez Łukaszewiza [4]. Widok przyrządu pokazano na rys. 4. Płaskie próbki umieszzano pod kątem χ do kierunku działania siły F zadawanej przez siłownik maszyny wytrzymałośiowej. Do modelowania pól naprężeń w badanyh próbkah zastosowano metodę elementów skońzonyh oraz osobliwe elementy skońzone [7]. ys. 4. Shemat przyrządu do zadawania dwuosiowego obiążenia w próbkah płaskih
NIELOKALNE NAPĘŻENIOWE KYTEIUM PĘKANIA MATEIAŁÓW... 143 Na podstawie aproksymaji wyników badań doświadzalnyh z rysunku 5, wyznazono (metodą najmniejszyh kwadratów) dla drewna sosnowego wartość ilorazu L / = 0.13 a także wartość K I L = 0.55 MPa m 0.5. Otrzymane stałe materiałowe wykorzystano następnie do prognozowania pękania badanego materiału za pomoą nielokalnego kryterium pękania (6). Wyniki weryfikaji doświadzalnej dla próbek ze szzelinami naiętymi pod kątem α do osi ortotropii L przedstawiono na rys. 6. ys. 5. Granizne wartośi współzynników intensywnośi naprężeń K I, K II dla drewna sosnowego dla próbek ze szzelinami, w przypadku gdy α = 0, χ 0 ; linia iągła - nielokalne kryterium pękania (6) ys. 6. Granizne wartośi współzynników K I, K II dla drewna sosnowego dla próbek ze szzelinami, w przypadku gdy χ = 0, α 0 ; linie wartośi oblizone na podstawie nielokalnego kryterium pękania (6)
144 M. OMANOWICZ, A. SEWEYN Na podstawie zrealizowanyh badań doświadzalnyh pękania drewna sosnowego (ła. pinus sylvestris) w układzie propagaji szzeliny L można stwierdzić, że nielokalne kryterium pękania drewna (6) jest skuteznym narzędziem do oeny propagaji szzeliny wykonanej pod kątem do osi ortotropii L (α 0 ). LITEATUA 1. Gambarotta L., Logomarsino S.: A mirorak damage model for brittle materials. Int. J. Solids Strut.", 30, 1993, s.177 198.. Jernkvist L.O.: Frature of wood under mixed mode loading I. Derivation of frature riteria. Eng. Frat. Meh., 68, 00 s.549 563. 3. Lekhniki S.G.: Theory of elastiity of an anisotropi elasti body. Holden Day In., San Franiso1963. 4. Łukaszewiz A.: Modelowanie zagadnień kruhego pękania elementów z karbami w dwuosiowym stanie obiążenia, ozprawa doktorska. Politehnika Warszawska 003. 5. Mindess S., Bentur A.: Crak propagation in nothed wood speimens with different grain orientation. Wood Si. Tehnol, 1986, 0,, s.145 155. 6. omanowiz M.: Prognozowanie pękania drewna na podstawie kryteriów związanyh z płaszzyzną fizyzną. ozprawa doktorska. Politehnika Białostoka 006. 7. Seweryn A.: Metody numeryzne w mehanie pękania. Warszawa: IPPT PAN, 003. 8. Seweryn A., Kulhytsky Zhyhailo.D., Mróz Z.: On the modeling of bodies with miroraks taking into aount of ontat of their boundaries. Appl. Problems Meh. Math, 003, s.141 149. 9. Seweryn A., Mróz Z.: A non-loal stress failure ondition for strutural elements under multiaxial loading, Eng. Frat. Meh, 1995, 5 s.955 973. 10. Seweryn A., omanowiz M.: Failure onditions of wood under omplex loading. Materials Siene (w druku) 007. 11. Smith I., Vasi S.: Frature behavior of softwood. Meh. Mater. 35, 003, 803 815. 1. Vasi S., Smith I.: Bridging rak model for frature of wood. Eng. Frat. Meh., 00, 69, s.745 760. A NON LOCAL STESS FACTUE CITEION OF OTHOTOPIC MATEIALS FO EXAMPLE OF WOOD Summary. A new approah to solving frature problems of wood was presented. The presented approah made use of onepts of a ritial plane and a non-loal stress frature riterion, whih were extended to study of frature phenomenon of orthotropi materials, like wood. In the present paper, a loal stress frature funtion was formulated on the basis of the damage model of an elasti solid ontaining growing miroraks. In order to evaluate of the validity of the derived non-loal frature riterion of wood, a experimental investigation of the mixed mode frature toughness of pine wood was made.