Matematyczny model wzrostu fazy międzymetalicznej powstającej w wyniku dyfuzji dwu składników. M. Danielewski, S. Środa, H.

Transkrypt

1 Matematyzny model wzrostu fazy międzymetalizne powstaąe w wyniku dyfuzi dwu składników M. anielewski, S. Środa, H. Woźnia 1 Akademia Górnizo-Hutniza Katedra Fizykohemii Ciała Stałego, Mikiewiza 30, Kraków Politehnika Krakowska Instytut Chemii i Tehnologii Nieorganizne Warszawska 4, Kraków 3 Wydział Inżynierii Materiałowe i Metalurgii, Politehnika Śląska, Katowie słowa kluzowe: transport, kinetyka, dyfuza, związki międzymetalizne Streszzenie: W pray zaprezentowano matematyzny model wzrostu związku, np., fazy międzymetalizne. W prezentowanym mdelu warstwa produktu reaki wzrasta w wyniku dyfuzi obu składników. W analizowanym przypadku niezależnyh strumieni dyfuzynyh dwa równania dyfuzi są wystarzaąe do ilośiowego opisu proesu transportu dyfuzynego w takim układzie. Zostały one użyte do analizy wzrostu fazy międzymetalizne powstaąe w wyniku proesów dyfuzynyh. W przeiwieństwie do modeli quasi-staonarnyh, model ten umożliwia ilośiowy opis dyfuzi reakyne w związkah wykazuąyh duże odstępstwo od stehiometrii (takih ak związki międzymetalizne) oraz w układah nierównowagowyh. Abstrat: In this paper a new model of single intermetalli phase growth was presented. In presented model the intermetalli phase grows due to diffusion of both elements. In ase of solely diffusional fluxes the two diffusion equations are suffiient for the quantitative desription of a diffusional transport proess and are applied for the analysis of the diffusion-ontrolled growth of the produt layer. Contrary to quasistationary simplifiations, the presented model allows for the quantitative desription of reative diffusion in the ompounds showing wide homogenity range (suh as intermetalli ompounds) and for the systems far from equilibrium. 1. Wstęp Istniee wiele ważnyh proesów tehnologiznyh w któryh kontrolowany dyfuzą wzrost związków międzymetaliznyh odgrywa znaząa rolę. obrze znane przykłady to wysokotemperaturowa koroza stopów i wytwarzanie międzymetaliznyh pokryć ohronnyh przez wygrzewanie dyfuzyne [1], ynkowanie[], łązenie i spaanie rożnyh materiałów [3]. W powyższyh proesah dyfuza ednego lub kilku składników zęsto warunkue powstawanie nowe fazy (międzymetalizne) i proes taki określany est w literaturze ako dyfuza reakyna [4-7]. Niekiedy proesy dyfuzi reakyne określane są ako dyfuza wzaemna.. Teoria Zakładamy, że wzrost fazy międzymetalizne spowodowany est dyfuzą dwóh składników A i B przez utworzoną warstwę (Rys. 1). Na graniah faz X -1 i X panue stan bliski równowagi termodynamizne, tak wię stężenia na odpowiednih graniah faz nie są funka zasu (Rys. 1a): A (t, X -1 ) onst., A (t, X ) onst., i B (t, X -1 ) onst., A (t, X ) onst., (1) Lokalne stężenia obu składników w rosnąe warstwie fazy międzymetalizne są zarówno funka położenia ak i zasu: A A (t, x) and B B (t, x) i prezentowana teoria umożliwia ih wylizenie. Chwilową grubość rosnąe warstwy międzymetalizne opisue równanie: X (t) X (t) X -1 (t) () gdzie X (t) I X -1 (t) są poruszaąymi się graniami faz, a ih szybkośi są powiązane równaniem (3): d X d X d X -1 (3) d t d t d t 1

2 Proes dyfuzi składników A i B spełnia prawo zahowania masy, które dla i-tego składnika może być wyrażone przy pomoy równania dyfuzi (II prawo Fik a): i t i i x gdzie: i A, B oraz 1,...r; i oznaza stężenie składnika A i B w rosnąe -te fazie międzymetalizne, np. A i B. Ponadto zakładamy większość założeń postulowanyh przez Wagnera [10] i) nawolnieszym proesem determinuąym szybkość powstawania fazy międzymetalizne est dyfuza sieiowa ( J i - i grad i ), ii) stężenia dyfunduąyh składników na poszzególnyh graniah faz X -1 i X są stałe, tzn., nie są funką zasu, (Równanie 1), (est to równoważne założeniu lokalne równowagi termodynamizne) iii) rosnąy związek może mieć dowolnie szeroki zakres homogeniznośi W modelu pomiamy: - dryft, dyfuze wzaemną i reake hemizne w strefie dyfuzi (Równanie 4), - efekt pola elektryznego (np. dyfuzę ambipolarną, i onst) oraz inne efekty, które również mogą wpływać na warunki pozątkowe i brzegowe (np. reake powierzhniowe). - zależność współzynników dyfuzi poszzególnyh składników od składu, i onst. Model ten est ałkowiie zdefiniowany przez następuąe stałe (ANE): a) współzynniki dyfuzi A, i B ; b) stałe stężenia na poszzególnyh graniah faz (X (t)), (X (t)), (X (t)) and (X (t)). A -1 A B -1 B Ponadto, zakładamy ze pierwszy składnik (A) dyfundue z lewe strony na prawą, podzas gdy składnik drugi (B) w przeiwnym kierunku (Rys.1): (X (t)) > (X (t)), (X (t)) (X (t)) A -1 A B -1 < B (4) Matematyznie przedstawiony model opisany est przez drugie prawo Fika, rów.(4) z warunkiem pozątkowym: oraz warunkami brzegowymi: lim X (t) lim X (t) 0-1 t 0 + t 0 + a) stałe stężenia na brzegah: (X (t)), (X (t)), (X (t)) i (X (t)) b) A -1 dx -1 B dt ( t, X ) x B 1 dx (t) A A dt ( t, X ) x A B (t, X A (t, X (t)) -1 (t)) Niewiadome (funke), któryh oblizenie umożliwia prezentowany model: X -1 (t), X (t), A (t,x), B (t,x) B -1 B

3 Rys.1 Shemat wzrostu fazy międzymetalizne powstaąe w wyniku dyfuzi dwu składników poprzez tworząa się fazę i ih reaki na odpowiednih graniah faz Należy zaznazyć, że zostało wykazane [11], iż istniee edyne rozwiązanie powyższego problemu, które można przedstawić w postai: X -1 (t) -Λ -1 t X (t) Λ t (6) gdzie (Λ -1, Λ ) est edynym rozwiązaniem układu równań: Λ Λ -1 A B 1 A B Λ exp π 4 Λ exp π 4 * F(Λ * F(Λ gdzie: F oznaza funkę rozkładu normalnego: A -1 B -1-1 A B 1 A, B ) + F(Λ B A ) + F(Λ 1 A B ) 1 ) 1 (7) 3

4 z 1 1 F(z) exp( r )dr (8) π ponadto (t, x) B A F(x t ) (9) i i + i i A i F(Λ -1 i ( X ) i i ( X 1 + F(Λ ) i, 1 B i i ( X A F(Λ i ) i (10) gdzie i (A, B). Biorą pod uwagę równania () i (6), grubość powstaąe fazy międzymetalizne można opisać równaniem paraboliznym: X (t) k p t (Λ +Λ -1 ) t. (11) Tak, wię parabolizna stała szybkośi może być przedstawiona ako: k p ½(Λ +Λ -1 ) (1) Z zysto matematyznego punktu widzenia dla dowolnyh dodatnih wartośi A, B and i istniee edyne rozwiązanie (λ, λ -1, A, B ) powyższego problemu zwanego problemem Stefana problem [8]. Podsumowanie W przeiwieństwie do modeli quasi-staonarnyh, prezentowany model pozwala wylizyć w sposób ilośiowy rozkład poszzególnyh składników oraz szybkość wzrostu faz z dużym odstępstwem od stehiometrii (np. wustyt, związki międzymetalizne) oraz może być wykorzystywany w układah nie pozostaąyh w stanie równowagi. Wyniki oblizeń dla układu Zn-Fe są prezentowane w inne pray [13]. Podziękowania Praa finansowana była zęśiowo przez KBN proekt nr. 7 T08C Literatura 1. Kofstad, P., High Temperature Corrosion (London, Elsevier, 1998).. Hot dip galvanizing of ast iron, Foundry Trade Journal, Marh 10, 1988, p Niholas, M.G., Joining Proesses (London, Kluwer Aademi Publisher, 1998). 4. Philbert, J., Atom Movements, iffusion and Mass Transport in Solids. Les Ulis, Frane: Les Editions de Phisique, ybkov V. I., Growth Kinetis of Compound Layers, Cambridge International Siene Publishing, Van Loo F. J. J., Progress Solid State Chemistry, 0 (1990) Lengauer W. J Alloys and Compounds, 80 (1995) Wagner, C., Prog. Solid State Chemistry, 3 (1997) Fromhold, A. T., Theory of Metal Oxidation, Vol. I Fundamentals (North-Holland, Amsterdam 1980), p Wagner, C., Atom Movements (ASM Cleveland, USA 1951) p Binkofski, R., "The mathematial desription of the orrosion proess", Jagiellonian Univ. Inst. of Math. thesis (1995). 1. Holly, K., E. Bobula, M. anielewski i K. Szyszkiewiz, Si. Bull., University of Mining and Metallurgy, Metall. And Foundry Eng. 0, 79 (1994). 13. H. Woźnia i M. Mihalik, ten tom. 4

5 5