Moka MśkewczNawrocka Uwersye Ekoomczy w Kaowcach WPŁYW EDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA STABILNOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA W EKONOMICZNYCH SZEEGACH CZASOWYCH Wprowazee Najwększy wykłak Lapuowa, obok wymaru korelacyjego, jes jeym z główych arzęz służących o eyfkacj chaosu w ukłaach yamczych. Nekórzy auorzy uzają oaą warość ajwększego wykłaka Lapuowa za waruek koeczy wysarczający obecośc chaosu w ukłaze (Frak, Segos, 988, s. 0333). Wykłak Lapuowa osarczają formacj a ema esablośc rajekor ukłau, poeważ merzą śree empo wykłaczej rozbeżośc zbeżośc rajekor wóch począkowo blskch sobe puków przesrze saów ukłau w kolejych eracjach, zw. wrażlwość ukłau a zmaę waruków począkowych. Z werzea Oseleeca (968) oraz z werzeń poaych w pracy Eckma, uelle (985) wyka, że wykłak Lapuowa seją la prawe wszyskch puków ależących o przesrze saów ukłau yamczego oraz że są sałe la prawe wszyskch puków ależących o baseu przycągaa arakora rozważaego ukłau (Kelher, 2002, s. 7; Zawazk, 996, s. 6). Jeakże wspomae wyżej werzea oyczą ylko ukłaów eermsyczych. Dla szeregu czasowego geerowaego przez eermsyczy ukła chaoyczy werzee Oseleeca gwarauje sablość ajwększego wykłaka Lapuowa ezależe o lczby obserwacj szeregu. Naomas la szeregu czasowego geerowaego przez ukła sochasyczy, wzros lczby obserwacj w szeregu bęze powoował zmeość warośc ajwększego wykłaka Lapuowa.
02 Moka MśkewczNawrocka W opracowau zbaao wpływ lczby obserwacj w szeregach czasowych a warośc ajwększego wykłaka Lapuowa. Doakowo sablość ajwększego wykłaka Lapuowa zbaao w szeregach poaych proceurze reukcj szumu losowego meoą ajblższych sąsaów. Baaa emprycze przeprowazoo z wykorzysaem rzeczywsych aych aury ekoomczej. Do przeprowazea ezbęych oblczeń wykorzysao program apsay przez auora w języku Delh oraz arkusz kalkulacyjy Excel.. Najwększy wykłak Lapuowa Dla ukłau yamczego ( X, f ), w kórym m X, f : X X ( m ), wykłak Lapuowa są zefowae jako grace (Zawazk, 996, s. 6): gze:, x 0 λ ( x0 ) = lm l μ (, x0 ), =,..., m, () μ ( ) warośc włase macerzy ( x 0 ) Df ( x 0 ) macerz Jacobego owzorowaa ( x ) Df ( x ) Df ( x ) Df ( ) Df, f rówa Df 0 =... x0, f kroe złożee fukcj f, f Df ( x) = ( x), f skłaowe owzorowaa f, x j, j =,2,..., m. Zgoe z werzeem Oseleeca, la mwymarowego ukłau yamczego ( m, f ) seje m wykłaków Lapuowa spełających waruek λ λ +, la =,..., m. Najwększy z ch λ = λ merzy śree empo zma oległośc począkowo blskch sobe rajekor, czyl zw. wrażlwość ukłau a zmaę waruków począkowych. W prakyce, la rzeczywsych szeregów czasowych, gy e jes zaa posać fukcj geerującej f, warość ajwększego wykłaka Lapuowa szacuje sę a posawe zależośc: Δ = Δ e, (2) gze: Δ 0 począkowa oległość pomęzy woma począkowo blskm (w sese meryk euklesowej) pukam zrekosruowaej przesrze saów, 0 λ
Wpływ reukcj szumu losowego 03 Δ oległość pomęzy ym pukam po eracjach, λ ajwększy wykłak Lapuowa. Zapropooway ezależe przez osesea. (993, s. 734) oraz Kaza (994, s. 77) algorym szacowaa warośc ajwększego wykłaka Lapuowa jes asępujący (Kaz, Schreber, 2005, s. 6970):. W zrekosruowaej przesrze saów wyzaczamy ajblższych (w sese meryk euklesowej) sąsaów x puku j x, zajujących sę o ego w oległośc mejszej ż usaloa warość ε oraz spełających waruek j >, gze jes lczbą auralą 2. 2. Oblczamy śree oległośc wszyskch ajblższych sąsaów o kolejych puków rajekor jako fukcję upływu czasu. Uśreoą warość logarymu oległośc męzy rajekoram moża wyrazć wzorem: N Δ = l ( ) x+δ x j +Δ N = O ε x O ( x ) j ε gze: O ε ooczee o promeu ε wekora począkowego ( x ) ( O ε ) lczba wekorów w ooczeu ε, (3) x, O (lczba ajblższych sąsaów). 3. Najwększy wykłak Lapuowa szacuje sę jako współczyk regresj rówaa: ( ) = l( ) + λδ l (4) Δ a posawe wykresu zależośc 0 Δ o. Dla szeregów chaoyczych achylee prosej regresj wykresu lusrującego zależość l Δ o umeru eracj w począkowej faze powo być oae. λ szacuje sę a posawe zborów puków ależących o ego obszaru. Zaem oszacowaa warość λ zależy e ylko o wyboru meryk, lczby ajblższych sąsaów, wymaru zaurzea, ale akże o usaloej warośc kórej współczyk regresj jes oa (Orzeszko, 2007, s. 3)., la 2 Wymar zaurzea moża oszacować meoą ajblższych fałszywych sąsaów. Zob. Keel, Brow, Abarbael (992, A. 45); Cao (200). Powyższy waruek sosuje sę, aby zwększyć prawopoobeńswo, że ajblższy sąsa e bęze ależał o rajekor wekora x.w prakyce zazwyczaj przyjmuje sę = 0.
04 Moka MśkewczNawrocka Dla ukłaów sochasyczych powyższy algorym jes w sae oszacować ylko lokaly ajwększy wykłak Lapuowa, kóry merzy lokalą sablość ukłau może być zależy o ługośc szeregu czasowego (lośc obserwacj) waruków począkowych. Z baań przeprowazoych przez Feráez orguez. (2004) wyka, że see oaej warośc ajwększego wykłaka Lapuowa e mplkuje obecośc chaosu w baaym szeregu czasowym. Auorzy pokazal eresującą zależość pomęzy chaoyczym a sochasyczym szeregam czasowym. Dla szeregów czasowych geerowaych przez ukłay eermsycze ajwększy wykłak Lapuowa sablzuje sę, a w ekórych przypakach ezacze wzrasa, wraz ze wzrosem ługośc szeregu czasowego. Naomas la szeregów czasowych geerowaych przez ukłay sochaycze warość ajwększego wykłaka Lapuowa zawsze wzrasa wraz ze zwększającą sę lczbą obserwacj w szeregu. 2. eukcja szumu losowego meoa ajblższych sąsaów zeczywsy szereg czasowy opsay za pomocą zależośc (Nowńsk, 2007, s. 24): x + = h x + ( + η ) ( ) + x + = f, (5) s ξ, = 0,, 2,... (6) moża zapsać w skróce w posac ayywej jako: s = + ε, (7) y gze: f : X X owzorowae opsujące rzeczywsą yamkę ukłau, m X, X przesrzeń saów, x, x X, + h : X fukcja pomarowa geerująca szereg czasowy obserwacj s ukłau yamczego, s obserwacja szeregu czasowego w chwl +, + η szum yamczy wewąrz ukłau, ξ szum pomarowy, ( ) ( ) y część eermsycza szeregu czasowego, ε część sochasycza szeregu.
Wpływ reukcj szumu losowego 05 eukcja szumu losowego pozwala a posawe aalzy szeregu obserwacj y. Meoa ajblższych sąsaów (NS) wywoz ( s ) pozać własośc szeregu ( ) sę z eor elowych ukłaów yamczych zosała sworzoa o progozowaa przyszłych warośc szeregów czasowych (Lorez, 969, s. 636646), ale może być róweż sosowaa o reukcj szumu losowego w szeregach czasowych. y szeregu czasowego buuje sę a posawe ajblższych sąsaów (w sese meryk euklesowej wymarowej) wekorów s zrekosruowaej przesrze saów ukłau yamczego opsaego szeregem ( s ). Algorym wyzaczaa warośc y, < < N szeregu czasowego ( s, s2,..., s N ) meoą ajblższych sąsaów jes asępujący (Kaz, Schreber, 2004):. Dla oszacowaego wymaru zaurzea oraz opóźea czasowego τ = worzymy wekor opóźeń w posac: W meoze NS reukcj szumu losowego część eermsyczą ( ) ( ) s = s, s+,..., s+ ( ), (8) ak aby flrowaa obserwacja s była jeą ze śrokowych współrzęych wekora s. 2. Wyzaczamy k ajblższych sąsaów (w sese oległośc euklesowej) wekora s w posac:. s l(), sl( 2),..., sl( k ) Częso spoykaym w leraurze posulaem jes, aby lczba ajblższych sąsaów spełała waruek 2( + ) k < N ( )τ (Casagl, 989, s. 340; Cao, Sofo, 999, s. 425). 3. Na posawe wyzaczoych sąsaów oblczamy warość y jako śreą arymeyczą perwszych współrzęych k ajblższych sąsaów: y = k s l k = (). (9)
06 Moka MśkewczNawrocka 3. Baaa emprycze Przemoem baaa były logarymy zeych sóp zwrou: kursu euro (EU) wobec złoego, ce Żywca (ZWC) oraz eksu gełowego WIG20 w posac: = l s l s x, (0) gze s obserwacja szeregu, oowae w okrese 28.2.202. W celu zbaaa sablośc ajwększego wykłaka Lapuowa w ukłaach yamczych opsaych za pomocą wyżej wymeoych szeregów czasowych po uwagę wzęo róże ługośc baaych szeregów. Szczegółowe formacje oyczące zakresu szeregów czasowych zawera abela. W e sposób la każego z szeregów EU, ZWC WIG20 zbuowao po 2 szeregów o mejszej lczbe obserwacj, ale ym samym waruku począkowym, j. perwszej obserwacj. Symbolem NazwaSzeregu_BS_k ozaczoo szereg poae oakowo proceurze reukcj szumu losowego meoą ajblższych sąsaów. Nazwa szeregu EU_ ZWC _ WIG20_ EU_2 ZWC _2 WIG20_2 EU_3 ZWC _3 WIG20_3 EU_4 ZWC _4 WIG20_4 EU_5 ZWC _5 WIG20_5 EU_6 ZWC _6 WIG20_6 EU_7 ZWC _7 WIG20_7 Zakres czasowy 28.2.2007 30.06.2008 30.06.2008 30.09.2008 30.2.2008 30.03.2009 30.06.2009 Charakerysyka baaych szeregów czasowych Nazwa szeregu EU_8 ZWC _8 WIG20_8 EU_9 ZWC _9 WIG20_9 EU_0 ZWC _0 WIG20_0 EU_ ZWC _ WIG20_ EU_2 ZWC _2 WIG20_2 EU_3 ZWC _3 WIG20_3 EU_4 ZWC _4 WIG20_4 Zakres czasowy 30.09.2009 30.2.2009 30.03.200 30.06.200 30.09.200 30.2.200 30.03.20 Nazwa szeregu EU_5 ZWC _5 WIG20_5 EU_6 ZWC _6 WIG20_6 EU_7 ZWC _7 WIG20_7 EU_8 ZWC _8 WIG20_8 EU_9 ZWC _9 WIG20_9 EU_20 ZWC _20 WIG20_20 EU_2 ZWC _2 WIG20_2 Tabela Zakres czasowy 30.06.20 30.09.20 30.2.20 30.03.202 30.06.202 30.9.202 28.2.202 W abelach 24 zameszczoych w załączku przesawoo szczegółowe wyk szacowaa ajwększego wykłaka Lapuowa la baaych szeregów czasowych. Zakem ozaczoo syuację, w kórej oszacowaego współczyka regresj e powo sę rakować jako ajwększego wykłaka Lapuowa.
Wp pływ w re ukccj szum s mu lo oso oweggo 007 Na ppoższzych N hw wykkresaachh (ry ysuuk 3) zlu z usrrow waoo zm maay waarośc ajjw ększzegoo wyk wę w kła kka Lap L puowa w wobbec zw węk kszaająccej sęę lcczbby obs o serw wacjj w baa b ayych szeereg gachh czzaso owyych h EU U,, ZW WC C WIG W G 20... Sab ys. S blo ość ajw wększeggo wykł w łaka L Lapuowa la szer s regów w EU E EU U BS. 2. Sab ys. S blo ość ajw wększeggo wykł w łaka L Lapuowa la szer s regów w ZWC Z CZ ZWC C_BS S Oblcczo e warrośśc ajwęększzegoo wyk w kłak ka L Lapuuoowaa λ x la aaaalzoowa w ychh sszerregóów czaasow wycch są oae,, jeeaak są oee ew wellke. M Możże o ś acczyćć o obeec śwa oścc chhao osu w ba b ayychh szereg gacch, lecz l z jeego pozzom m jes eez czy. P zac Po obe wyykk orzyymaao laa szzereegów w pprzeeflrow waychh meo m oą ajjb ższyych sąssaów blż w NS S. Dla D szeereg gów w EU U oraaz ZW ZWC szer s reg prrzef flro owaae mee ą aajbllższycch sąs oą s aóów wyk ykazzałyy ceechyy chhao oyczee w węksszym m sop s pu u ż s reg eprrzefflro szer owaaee. Po pprzeeflrow wau osz o zacoowaae wy ykłaak Lappu ow wa ych szzereegóów są la s w wękkszee, jee ak ch waarośc aal są ez zacze wę w ększze oo z a. Dla zera D szerreguu WIG W G_20 reeuukcja szzum mu loso l oweego meeoą NS N w węk w kszoścc e s woow spow wałaa zw węk kszeaa waro w ośc aajwęksszeggo wyk w kłakka Lap L puoowaa.
08 Mo ka MśkewczNawrocka ys. 3. Sablość ajwększego wykł łaka Lapuowa la szer regów WIG20 WIG20_BS Na posawe aych zam meszczoych a rysuku 2 moża zauważyć sab lzowae sęę (zbeżość) waro ośc ajwększego wykłaka Lapuowa wraz ze wzrosem lczby obserwacj w baaym szeregu czasowym. Nesey po zaso sowau proceury reukcj szumu losowego sablość a zosała wyraźee za burzoa. Dla szeregów EU WIG20 warośc ajw wększego wykłaka Lapu owa charakeryzują sę jużż wększąą zmeoścą spowoowaą zwększeem lczby obserwacj szeregu. Je ye la szeregu WIG G20_BS moża sę spoze waćć sablzacj warośc ajwększego wykłaka Lapuowa. Posumowae W opracowau zbaao wpływw reukcj szumu losowego meoą ajblż szych sąsaów a warośc oraz sab blośćć ajwększego wykłaka Lap puowa w ekoomczych szeregach czasowych. Oblczoe warośc ajwększego wykłaka Lapuowa la aal λ zowaych szeregów czasowych są oae, ezacze wększe o zera. Mo głoby o śwaczyć o obecośc chaosu w baaych szeregach, jeak zwęk szee lczby obserwacj w szeregach e pow wouje sablzacj warośc ajwększego wykłaka Lap uowa. Wyjąkem wyaje sęę być szereg ZWC, gze zwększając ługość szeregu obserwacj, moża zaobserwować, że wy kłak Lapuowa zaczyają sę sablzowaćć są zbeże o pewej warośc. Przeflrowae baaych szeregów meoąą NS spowoowało zwększee zmeośc ajw wększych wykł łaków Lapuowa. Posumowując orzymae rezulay, ależy swerzć, że e wskazująą oe a see wykłaczej wrażlwośc a zmaęę waruków począkowych w baa aych szeregach fasowych. Ne możaa zaem woskować o ch cha oyczym charakerze.
Wpływ reukcj szumu losowego 09 Leraura Cao L. (200): Meho of False Neares Neghbors. W: Moelg a Forecasg Facal Daa. Es. A.S. Soof, L. Cao. Kluwer, Boso. Cao L., Soof A. (999): Nolear Deermsc Forecasg of Daly Dollar Exchage aes. Ieraoal Joural of Forecasg, Vol. 5, s. 42430. Casagl M. (989): Nolear Preco of Chaoc Tme Seres. Physca D, Vol. 53, s. 335356. Eckma J.P., uelle D. (985): Ergoc Theory of Chaos a Srage Aracors. evews of Moer Physcs, Vol. 57, No. 3. Feráezorguez F., Sosvllavero S., AraaFélx J. (2004): A New Tes for Chaoc Dyamcs Usg Lyapuov Expoes. Uversa e Las Palmas e Gra Caara (maszyops). Frak M., Segos T. (988): Chaoc Dyamcs Ecoomcs Tme Seres. Joural of Ecoomc Surveys, 2, s. 0333. Kaz H. (994): A obus Meho o Esmae he Maxmal Lyapuov Expoe of a Tme Seres. Physcal Leers A, Vol. 85, s. 77. Kaz H., Schreber T. (2004): Nolear Tme Seres Aalyss. Cambrge Uversy Press (seco eo). Kellher J. (2002): Oseleec s Mulplcave Ergoc Theorem. hp://mah.ucr.eu/~ kellher/geomery/lecureoes.pf (maszyops). Kellher J. (2003): Lyapuov Expoes a Oseleec s Mulplcave Theorem. Workg Dyamcal Sysems Semar, UT Aus (maszyops). Keel M.B., Brow P., Abarbael H.D.I. (992): Deecg Embeg Dmeso for Phase Space eosruco Usg a Geomercal Cosruco. Physcal evew, A. 45. Nowńsk M. (2007): Nelowa yamka szeregów czasowych. Wyawcwo Akaem Ekoomczej, Wrocław. Orzeszko W. (2005): Ieyfkacja progozowae chaosu eermsyczego w ekoomczych szeregach czasowych. Polske Towarzyswo Ekoomcze, Warszawa. Orzeszko W. (2007): eukcja szumu losowego w chaoyczych szeregach czasowych jej zasosowae o aalzy procesów ekoomczych. W: Meoy loścowe w aukach ekoomczych. e. A. Welfe. Sóme Warszay Dokorske z Zakresu Ekoomer Saysyk, Szkoła Główa Halowa, Warszawa. Oseleec V.I. (968): A Mulplcave Ergoc Theorem. Lyapuov Characersc Numbers for Dyamcal Sysem. Tras. Moscow Mah. Soc., 9, s. 9723. osese M.T., Colls J.J., De Luca C.J. (993): A Praccal Meho for Calculag Larges Lyapuov Expoes from Small Daa Ses. Physca D, Vol. 65, s. 734. Zawazk H. (996): Chaoycze sysemy yamcze. Elemey eor wybrae zagaea ekoomcze. Zeszyy Naukowe Akaem Ekoomczej w Kaowcach, Kaowce.
0 Moka MśkewczNawrocka Załączk Tabela 2 Szacowae ajwększego wykłaka Lapuowa la szeregów EU EU_BS Szereg ówae regresj λ Szereg ówae regresj λ EU_ y = 0,006x 5,045 0,538 0,00642 EU_BS_ y = 0,0035x 5,973 0,5223 0,003525 EU_2 y = 0,005x 5,9 0,5289 0,00549 EU_BS_2 y = 0,0062x 6,009 0,444 0,00673 EU_3 y = 0,004x 5,98 0,5032 0,00429 EU_BS_3 y = 0,0034x 5,999 0,442 0,003335 EU_4 y = 0,006x 5,563 0,4658 0,00644 EU_BS_4 y = 0,0049x 6,65 0,5792 0,00489 EU_5 y = 0,003x 5,455 0,2835 0,00304 EU_BS_5 y = 0,005x 6,0206 0,3932 0,00464 EU_6 5,478 0,5403 0,002028 EU_BS_6 5,9858 0,638 0,00233 EU_7 y = 0,0032x 5,298 0,7008 0,00375 EU_BS_7 y = 0,006x 6,0037 0,2982 0,00564 EU_8 y = 0,004x 5,25 0,3894 0,0044 EU_BS_8 y = 0,005x 6,247 0,383 0,0050 EU_9 y = 0,003x 5,288 0,3306 0,0032 EU_BS_9 6,288 0,6549 0,002070 EU_0 y = 0,003x 5,2278 0,32 0,00252 EU_BS_0 y = 0,0022x 6,2728 0,583 0,002234 EU_ y = 0,00x 5,2356 0,265 0,0003 EU_BS_ y = 0,0045x 6,2079 0,4739 0,004484 EU_2 y = 0,003x 5,226 0,763 0,003095 EU_BS_2 y = 0,0045x 6,2079 0,4739 0,004484 EU_3 y = 0,0026x 5,95 0,6702 0,00263 EU_BS_3 y = 0,0026x 6,955 0,268 0,002562 EU_4 y = 0,003x 5,84 0,468 0,0030 EU_BS_4 y = 0,002x 6,069 0,4403 0,002033 EU_5 5,528 0,676 0,0022 EU_BS_5 y = 0,0043x 6,844 0,489 0,004268 EU_6 y = 0,002x 5,478 0,608 0,002023 EU_BS_6 y = 0,0055x 6,806 0,6984 0,005489 EU_7 y = 0,002x 5,437 0,5766 0,00200 EU_BS_7 y = 0,0027x 6,952 0,6835 0,002739 EU_8 y = 0,0022x 5,44 0,6303 0,00298 EU_BS_8 y = 0,0025x 6,74 0,2903 0,002526 EU_9 y = 0,005x 5,047 0,5342 0,00545 EU_BS_9 y = 0,004x 6,0295 0,4747 0,00433 EU_20 y = 0,00x 5,0873 0,4206 0,00096 EU_BS_20 y = 0,0048x 6,237 0,6758 0,004828 EU_2 y = 0,0009x 5,0837 0,4349 0,000895 EU_BS_2 y = 0,005x 6,72 0,662 0,00520
Wpływ reukcj szumu losowego Szacowae ajwększego wykłaka Lapuowa la szeregów ZWC ZWC_BS Tabela 3 Szereg ówae regresj λ Szereg ówae regresj λ ZWC_ y = 0,0038x 3,8486 0,6098 0,003786 ZWC_BS_ y = 0,0046x 4,927 0,3775 0,004569 ZWC_2 y = 0,0022x 3,840 0,4337 0,00286 ZWC_BS_2 y = 0,0029x 4,9095 0,3625 0,002899 ZWC_3 y = 0,0029x 3,8378 0,404 0,00387 ZWC_BS_3 y = 0,0006x 4,933 0,0905 ZWC_4 y = 0,0023x 3,8377 0,3463 0,002284 ZWC_BS_4 y = 0,0035x 4,9205 0,6247 0,003488 ZWC_5 y = 0,003x 3,8685 0,654 0,00290 ZWC_BS_5 y = 0,002x 5,0888 0,2397 0,0096 ZWC_6 y = 0,00009x 3,862 0,677 0,000854 ZWC_BS_6 y = 0,0039x 5,0759 0,2972 0,003868 ZWC_7 y = 0,003x 3,8523 0,7383 0,00306 ZWC_BS_7 5,33 0,0628 ZWC_8 y = 0,0027x 3,8509 0,6924 0,002697 ZWC_BS_8 y = 0,005x 5,0648 0,2485 ZWC_9 y = 0,0027x 3,8557 0,7299 0,00270 ZWC_BS_9 y = 0,005x 5,0609 0,2796 0,00526 ZWC_0 y = 0,0026x 3,8625 0,722 0,002604 ZWC_BS_0 y = 0,0022x 5,0505 0,3554 0,00297 ZWC_ y = 0,0024x 3,8684 0,776 0,00244 ZWC_BS_ y = 0,007x 5,0835 0,3357 0,00707 ZWC_2 y = 0,0025x 3,8737 0,6578 0,00259 ZWC_BS_2 y = 0,0022x 5,0835 0,4266 0,00227 ZWC_3 y = 0,0026x 3,883 0,6807 0,002606 ZWC_BS_3 5,079 0,446 0,00207 ZWC_4 y = 0,0026x 3,8842 0,6242 0,002598 ZWC_BS_4 5,0368 0,754 ZWC_5 y = 0,0025x 3,8875 0,605 0,00245 ZWC_BS_5 y = 0,004x 5,0465 0,797 ZWC_6 y = 0,0025x 3,8942 0,654 0,002542 ZWC_BS_6 y = 0,0004x 5,064 0,332 ZWC_7 y = 0,0022x 3,8948 0,5703 0,002245 ZWC_BS_7 y = 0,007x 5,0452 0,2723 0,00726 ZWC_8 3,899 0,54 0,00205 ZWC_BS_8 y = 0,009x 5,0453 0,327 0,0089 ZWC_9 3,904 0,567 0,00235 ZWC_BS_9 y = 0,008x 5,0498 0,2526 0,00767 ZWC_20 y = 0,002x 3,9092 0,5436 0,00958 ZWC_BS_20 y = 0,0035x 5,044 0,3986 0,003465 ZWC_2 y = 0,002x 3,958 0,5572 0,0096 ZWC_BS_2 y = 0,007x 5,0503 0,3365 0,00706
2 Moka MśkewczNawrocka Szacowae ajwększego wykłaka Lapuowa la szeregów WIG20 WIG20_BS Tabela 4 Szereg ówae regresj λ Szereg ówae regresj λ WIG20_ WIG20_2 WIG20_3 WIG20_4 WIG20_5 WIG20_6 WIG20_7 WIG20_8 WIG20_9 WIG20_0 WIG20_ WIG20_2 WIG20_3 WIG20_4 WIG20_5 WIG20_6 WIG20_7 WIG20_8 WIG20_9 WIG20_20 WIG20_2 y = 0,0046x 3,9878 0,5622 y = 0,004x 3,9796 0,527 y = 0,0038x 3,983 0,5087 y = 0,0044x 3,9835 0,4406 y = 0,0049x 3,989 0,4598 y = 0,0042x 3,9804 0,3597 y = 0,0044x 3,9856 0,3745 y = 0,0046x 3,9844 0,493 y = 0,0043x 3,9665 0,396 y = 0,0049x 3,962 0,4958 y = 0,0049x 3,9729 0,5036 y = 0,0043x 3,9547 0,3966 y = 0,0039x 3,9536 0,3966 y = 0,0034x 3,9562 0,3332 y = 0,0045x 3,9645 0,5878 y = 0,0045x 3,9645 0,5878 y = 0,004x 3,974 0,557 y = 0,0048x 3,9838 0,6445 y = 0,0044x 3,995 0,629 y = 0,004x 3,9753 0,2393 y = 0,007x 3,987 0,337 0,004580 0,00438 0,00380 0,00448 0,004887 0,00484 0,00435 0,004563 0,004298 0,004899 0,004899 0,004263 0,003928 0,003393 0,00454 0,00454 0,004068 0,004788 0,004356 0,0043 0,00726 WIG20_ y = 0,0065x 4,895 BS_ 0, 6943 WIG20_ y = 0,00x 4,8654 BS_2 0, 284 WIG20_ y = 0,0037x 4,8737 BS_3 0, 5367 WIG20_ y = 0,005x 4,8663 BS_4 0, 0955 WIG20_ y = 0,0023x 4,888 BS_5 0, 3235 WIG20_ y = 0,0062x 4,9027 BS_6 0, 599 WIG20_ BS_7 y = 0,005x 4,8892 0, 5242 WIG20_ y = 0,0025x 4,824 BS_8 0, 6658 WIG20_ y = 0,0023x 4,8057 BS_9 0, 777 WIG20_ y = 0,0023x 4,8057 BS_0 0, 777 WIG20_ y = 0,009x 4,7958 BS_ 0, 6073 WIG20_ BS_2 y = 0,0029x 4,8053 0, 5429 WIG20_ y = 0,0033x 4,8439 BS_3 0, 2048 WIG20_ y = 0,007x 4,847 BS_4 0, 6529 WIG20_ y = 0,009x 4,8334 BS_5 0, 6206 WIG20_ y = 0,004x 4,8403 BS_6 0, 633 WIG20_ y = 0,004x 4,8395 BS_7 0, 594 WIG20_ y = 0,003x 4,8394 BS_8 0, 655 WIG20_ y = 0,007x 4,842 BS_9 0, 56 WIG20_ y = 0,002x 4,8455 BS_20 0, 4866 WIG20_ y = 0,005x 4,8469 BS_2 0, 6742 0,006477 0,003699 0,002349 0,00653 0,00537 0,00247 0,002343 0,002343 0,0092 0,00294 0,00654 0,0094 0,00395 0,00357 0,00325 0,0069 0,0098 0,00543
Wpływ reukcj szumu losowego 3 THE EFFECT OF ANDOM NOISE BY THE NEAEST NEIGHBOS METHOD ON THE STABILITY OF THE LAGEST LYAPUNOV EXPONENT IN ECONOMIC TIME SEIES Summary The Oseleec heorem (968) a he heorems gve he paper Eckma, uelle (985) show he Lyapuov expoes exs for almos all he pos he sae space of a yamcal sysem, a hey are cosa for almos all pos he bas of araco of he aracor of yamcal sysem. However, he abovemeoe heorem apples oly o eermsc sysems. The Oseleec heorem proves he sably of he larges Lyapuov expoe regarless of he umber of observaos for he me seres geerae by eermsc chaoc sysem. Whle for he me seres geerae by a sochasc sysem, crease he umber of observaos a seres wll cause chage he value of he larges Lyapuov expoe. I hs paper researche he effec of he umber of observaos of he me seres o he value of larges Lyapuov expoe. I ao, he sably of he larges Lyapuov expoe was exame he me seres afer raom ose reuco proceure.