POLITECHNIKA GDAŃSKA AGNIESZKA SABIK ANALIZA STATECZNOŚCI POWŁOK WARSTWOWYCH OBCIĄŻONYCH TERMICZNIE GDAŃSK 1
PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Rouald Szykiewicz REDAKTOR PUBLIKACJI NAUKOWYCH Janusz T. Cieśliński REDAKTOR SERII Jerzy M. Sawicki RECENZENCI Wojciech Pietraszkiewicz Krzysztof Wiśniewski PROJEKT OKŁADKI Jolanta Cieślawska Wydano za zgodą Rektora Politechniki Gdańskiej Oferta wydawnicza Politechniki Gdańskiej jest dostępna pod adrese www.pg.gda.pl/wydawnictwo/oferta Copyright by Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1 Utwór nie oże być powielany i rozpowszechniany, w jakiejkolwiek forie i w jakikolwiek sposób, bez pisenej zgody wydawcy ISBN 978-83-7348-437-5 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Wydanie I. Ark. wyd. 7,8, ark. druku 8,5, 16/711 Druk i oprawa: EXPOL P. Rybiński, J. Dąbek, Sp. Jawna ul. Brzeska 4, 87-8 Włocławek, tel. 54 3 37 3
SPIS TREŚCI WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SKRÓTÓW... 5 PRZEDMOWA... 9 1. WSTĘP... 11 1.1. Powłoki warstwowe charakterystyka... 11 1.. Podejścia stosowane w odelowaniu ośrodków warstwowych... 13 1.3. Zagadnienie stateczności powłok... 16 1.3.1. Proble stateczności w praktyce inżynierskiej... 16 1.3.. Analiza stateczności... 17 1.4. Analiza wytężenia kopozytów warstwowych... 19 1.5. Powłoki warstwowe obciążone tericznie... 1 1.6. Uzasadnienie podjęcia teatyki pracy... 4 1.7. Cel i zakres pracy... 4 1.8. Układ i zawartość pracy... 5. MODEL POWŁOKI... 6.1. Geoetria i kineatyka powłoki... 6.1.1. Podstawy geoetrii powierzchni i eleenty rachunku tensorowego... 6.1.. Opis przeieszczeń w raach teorii ścinania pierwszego rzędu... 31.1.3. Odkształcenia w raach opisu 6-paraetrowego... 3.1.4. Kineatyka powłoki w raach opisu 5-paraetrowego... 33.. Obciążenie tericzne... 36.3. Związek konstytutywny w punkcie ośrodka... 38.3.1. Związek konstytutywny w układzie osi ateriałowych... 38.3.. Naprężenia w globalny układzie odniesienia powłoki... 4.4. Sforułowanie słabe probleu brzegowego... 44.5. Związek konstytutywny na pozioie przekroju... 48.6. Kryteriu Tsai-Wu w analizie wytężenia ateriału... 5 3. IMPLEMENTACJA NUMERYCZNA... 53 3.1. Eleenty skończone stosowane w analizie... 53 3.. Macierzowa reprezentacja zasady przeieszczeń wirtualnych... 54 3.3. Ogólne uwagi o równaniu przyrostowy... 56 3.4. Metody śledzenia ścieżek równowagi... 58 3.4.1. Sterowanie obciążeniowe... 59 3.4.. Sterowanie paraetre łuku... 6 3.5. Analiza nieliniowa z uwzględnienie iperfekcji... 66 3.6. Kontrola wytężenia ateriału... 66 4. PRZYKŁADY NUMERYCZNE... 68 4.1. Izotropowe paso płytowe... 69 4.. Płyta sandwiczowa... 7 4.3. Płyta warstwowa obciążona gradiente teperatury... 73 4.4. Płyta warstwowa o różnych scheatach uwarstwienia... 76 4.5. Ortotropowa powłoka cylindryczna... 78 4.6. Powłoka cylindryczna cross-ply... 86 4.7. Powłoka cylindryczna angle-ply... 9 4.8. Ortotropowa powłoka sferyczna... 95 4.9. Powłoka sferyczna o niesyetryczny uwarstwieniu... 1
4 Spis treści 5. PODSUMOWANIE... 14 BIBLIOGRAFIA... 17 Streszczenie w języku polski... 116 Streszczenie w języku angielski... 117 Dodatek A: Zależności przeieszczenia-odkształcenia w raach teorii 6-paraetrowej... 118 Dodatek B: Wyznaczanie współczynników korekcyjnych ścinania dla powłok warstwowych... 14 Dodatek C: Transforacja wewnętrznej pracy wirtualnej... 13 Dodatek D: Uogólnione iary naprężeń powłoki... 13
WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SKRÓTÓW Oznaczenia A, B, L wyiary powierzchniowe płyty/powłoki a, b, c lokalne osie ateriałowe a i kowariantne wektory bazy lokalnej na powierzchni odniesienia w chwili t = a i kontrawariantne wektory bazy lokalnej na powierzchni odniesienia w chwili t = a tensor etryczny bazy lokalnej na powierzchni odniesienia w chwili t = a αβ, a αβ kowariantne i kontrawariantne składowe tensora etrycznego a b, b δ αβ β składowe tensora krzywizny, odpowiednio, kowariantne i ieszane [C ] acierz konstytutywna warstwy w układzie osi ateriałowych [C] acierz konstytutywna warstwy w układzie osi globalnych {C, } wektor konstytutywny warstwy związany z teperaturą w osiach ateriałowych {C, } wektor konstytutywny warstwy związany z teperaturą w osiach globalnych d direktor w chwili t = ds długość eleentarnego odcinka na powierzchni odniesienia powłoki ds długość eleentarnego odcinka na dowolnej powierzchni powłoki ds kwadrat długości łuku w technice sterowania paraetre ścieżki dv, dω, dh eleent objętości, powierzchni i grubości w konfiguracji początkowej E a, E b oduły Younga ateriału w kierunku równoległy i prostopadły do włókien zbrojenia E oduł Younga ateriału izotropowego E E ogólne oznaczenie odkształceń Lagrange a-greena w chwili t = ogólne oznaczenie odkształceń tericznych w chwili t = E n składowe odkształceń tericznych w chwili t = E n przyrosty odkształceń Lagrange a-greena E, E n tensor odkształcenia Lagrange a-greena i jego składowe w konfiguracji t = e, en tensor odkształcenia Eulera-Alansi ego i jego składowe w konfiguracji t = F, F n aterialny gradient deforacji i jego składowe w konfiguracji t = F, Fn odwrotność aterialnego gradientu deforacji i jej składowe w konfiguracji t = F wektor obciążenia tericznego F wektor sił zrównoważonych G ab, G ac, G bc oduły odkształcalności postaciowej w płaszczyznach a-b, a-c, b-c g i kowariantne wektory bazy lokalnej w dowolny punkcie w chwili t = g i kontrawariantne wektory bazy lokalnej w dowolny punkcie w chwili t = g tensor etryczny bazy lokalnej w dowolny punkcie w chwili t = g αβ, g αβ kowariantne i kontrawariantne składowe tensora etrycznego g H grubość powłoki [ H ech ] acierz konstytutywna na pozioie przekroju dla czynnika echanicznego [ H ] acierz konstytutywna na pozioie przekroju dla czynnika tericznego i, j, k,, n indeksy łacińskie przyjujące wartości 1,, 3 J wyznacznik aterialnego gradientu deforacji k, k 13, k 3 współczynniki korekcyjne ścinania K globalna acierz sztywności L uogólnione iary naprężeń echanicznych w konfiguracji t = n L L uogólnione iary naprężeń echanicznych w konfiguracji t = 1 i ich przyrosty n ech 1 n ech, ech
6 Wykaz ważniejszych oznaczeń i skrótów L αβ uogólnione iary naprężeń tericznych w konfiguracji t = oznaczenie dowolnej chwili czasowej (t = ) n wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni odniesienia w chwili t = q M przeieszczenie (stopień swobody) w węźle eleentu skończonego q, Δq wektor węzłowych przeieszczeń całkowitych i ich przyrostów δq wektor poprawki przeieszczeń węzłowych q ip wektor początkowych iperfekcji geoetrycznych R proień powłoki r proień wodzący punktu na powierzchni odniesienia powłoki w konfiguracji t = R proień wodzący dowolnego punktu na grubości powłoki w konfiguracji t = S ef oznaczenie ogólne składowych naprężeń efektywnych w konfiguracji t = S ech oznaczenie ogólne składowych naprężeń echanicznych w konfiguracji t = oznaczenie ogólne składowych naprężeń tericznych w konfiguracji t = S n ech S przyrosty składowych naprężeń echanicznych n S ech składowe naprężeń tericznych w konfiguracji t = S s wytrzyałość ateriału warstwy na ścięcie w jej płaszczyźnie n S ef, Sef drugi tensor naprężeń efektywnych Pioli-Kirchhoffa i jego składowe w chwili t = { S ech } wektor przyrostów uogólnionych iar naprężeń echanicznych { S } wektor uogólnionych iar naprężeń tericznych w konfiguracji t = t uowny czas T cr teperatura krytyczna T init teperatura początkowa T TW teperatura zniszczenia 3 T ( θ ) przyrost teperatury w dowolny punkcie na grubości powłoki w chwili t = Tt, T b, przyrost teperatury na powierzchni górnej i dolnej powłoki w chwili t = [T] acierz transforacji paraetrów ateriałowych u M przeieszczenie w dowolny punkcie eleentu skończonego V wektor przeieszczenia w konfiguracji t = i υi, υ kowariantne i kontrawariantne składowe wektora V X, Y, Z współrzędne kartezjańskie X t, X c wytrzyałość warstwy na rozciąganie i ściskanie w kierunku włókien Y t, Y c wytrzyałość warstwy na rozciąganie i ściskanie w poprzek włókien α, β, δ indeksy greckie przyjujące wartości 1, αaa, α bb współczynniki rozszerzalności tericznej ateriału wzdłuż i w poprzek włókien α współczynnik rozszerzalności tericznej ateriału izotropowego α k kąt orientacji zbrojenia warstwy α δ β delta Kroneckera { E ech } wektor przyrostów uogólnionych iar odkształceń Lagrange a-greena λ paraetr obciążenia teperaturą Δλ przyrost paraetru obciążenia teperaturą δλ poprawka paraetru obciążenia teperaturą Γ δ αβ sybol Christoffela drugiego rodzaju w chwili t = μ β α, μ składowe i wyznacznik tensora przesunięcia w chwili t = v ab współczynnik Poissona w płaszczyźnie a-b v współczynnik Poissona ateriału izotropowego Π całkowita energia potencjalna ij σ, σ tensor naprężeń efektywnych Cauchy ego i jego składowe ef ef
Wykaz ważniejszych oznaczeń i skrótów 7 ij ij σech, σ składowe naprężeń Cauchy ego: echaniczne i tericzne θ 1, θ, θ 3 współrzędne krzywoliniowe Skróty DL (LW) ESL FI FI FPF LPF LRT5 MES SRI URI dyskretny odel warstwowy (ang. Discrete-Layer lub Layer-Wise) odel pojedynczej warstwy zastępczej (ang. Equivalent Single Layer) indeks zniszczenia (ang. Failure Index) pełne całkowanie sztywności eleentu skończonego odel zniszczenia pierwszej warstwy lainatu (ang. First-Ply Failure) odel zniszczenia ostatniej warstwy lainatu (ang. Last-Ply Failure) 5-paraetrowy odel teorii powłok z uwzględnienie dużych obrotów (ang. Large Rotation Theory) Metoda Eleentów Skończonych selektywnie zredukowane całkowanie sztywności eleentu skończonego jednolicie zredukowane całkowanie sztywności eleentu skończonego
PRZEDMOWA Niniejsza praca powstała na podstawie aszynopisu rozprawy doktorskiej 1) pt. Nueryczna analiza kopozytowych powłok warstwowych z uwzględnienie wpływów tericznych, powstałej pod kierunkie dr. hab. inż. Ireneusza Krei, prof. nadzw. PG. Rozprawa ta stanowiła podstawę do nadania Autorce tytułu doktora nauk technicznych z wyróżnienie przez Radę Wydziału Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej w dniu 18.1.1 roku. Uwzględniając uwagi Recenzentów przewodu doktorskiego oraz wnioski z dyskusji podczas publicznej obrony, wprowadzono do niniejszego wydania pewne ziany, w ty.in. zianę tytułu pracy, który w obecny brzieniu w większy stopniu odzwierciedla jej zawartość. Przediote pracy jest analiza stateczności kopozytowych powłok warstwowych poddanych obciążeniu tericzneu. W raach realizacji tego celu rozbudowane zostało podejście zaproponowane w onografii [79]. Sforułowanie opisane w [79] uożliwia analizę obciążonych echanicznie kopozytowych powłok warstwowych w zakresie geoetrycznie nieliniowy. Dla potrzeb niniejszej pracy powyższy odel rozszerzono na zakres obciążeń tericznych, jak również dodano oduł analizy stanu naprężenia i wytężenia w warstwach lainatu, co wzbogaca inforację o globalnej nośności badanej konstrukcji. Wydanie niniejszej onografii uzyskało dofinansowanie z dotacji celowej na prowadzenie w 11 r. badań naukowych lub prac rozwojowych oraz zadań z nii związanych, służących rozwojowi łodych naukowców oraz uczestników studiów doktoranckich, finansowanych w wewnętrzny trybie konkursowy. 1) Sabik A.: Nueryczna analiza kopozytowych powłok warstwowych z uwzględnienie wpływów tericznych. Rozprawa doktorska, Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, 1. Praca doktorska zrealizowana w raach projektu badawczego własnego pt. Nieliniowa teoria i analiza deforacji i stateczności warstwowych powłok kopozytowych etodą eleentów skończonych w raach uowy nr 54/B/T/9/37 do wniosku nr N N56 5437 z Ministre Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
Rozdział 1 WSTĘP Rozdział stanowi wprowadzenie w teatykę pracy. Rozpoczyna go przedstawienie cech charakteryzujących powłoki warstwowe, następnie oówiono podejścia stosowane w ich odelowaniu. W dalszej kolejności uwagę poświęcono zagadnieniu stateczności konstrukcji powłokowych i etodo stosowany w jej badaniu. Następnie oówiona została analiza wytężenia ateriału. W oddzielny podpunkcie zawarto przegląd literatury dotyczącej zagadnienia stateczności powłok warstwowych poddanych obciążeniu tericzneu. Na ty tle przedstawiano uzasadnienie podjęcia teatu pracy, sprecyzowano jej cel oraz zakres. Na końcu zaprezentowano układ onografii. 1.1. Powłoki warstwowe charakterystyka Powłoką z definicji jest dźwigar powierzchniowy, którego jeden z wyiarów grubość jest znacznie niejszy od dwóch pozostałych [19, 76]. Definicja ta obejuje zarówno powłoki zakrzywione, jak i także płyty. Dla inżyniera konstruktora powłoka, zwłaszcza zakrzywiona, to najatrakcyjniejszy eleent konstrukcyjny, którego bezdyskusyjną zaletą jest ały ciężar przy charakterystycznej dużej nośności. Zakrzywienie dźwigara powoduje bowie uaktywnienie sił ebranowych w przenoszeniu obciążenia przy jednoczesny zniejszeniu udziału oentów zginających [9, 14]. W przypadku graniczny, gdy zginanie jest całkowicie wyeliinowane, rozkład naprężeń na grubości przekroju jest równoierny, co pozwala konstrukcji na przenoszenie znacznych obciążeń przy stosunkowo ałej grubości. W budownictwie powłoki są często spotykane jako saodzielne konstrukcje budowlane (koiny, chłodnie koinowe, rury, zbiorniki) czy jako fragenty innych obiektów (ściany, kopuły). Są one także powszechne w przeyśle otoryzacyjny, lotniczy czy stoczniowy. Jak już jednak podkreślono w wielu pracach [9, 76, 79, 14, 177], to nie człowiek odkrył, że powierzchniowy eleent zakrzywiony oże być bardzo wytrzyały io swej lekkości. Szereg przykładów konstrukcji powłokowych znaleźć ożna bowie w naturze choćby powłokowe doki śliaka i żółwia czy też skorupki jaj oraz łupiny niektórych owoców. Powłokę charakteryzuje znaczna dysproporcja iędzy wyiarai powierzchniowyi a grubością, np. L/H >> 1, gdzie L jest większy wyiare powierzchniowy, a H grubością powłoki. Jest to zwykle struktura lekka, cienkościenna. Warto podkreślić, że o stopniu jej sukłości w sposób istotny decyduje ateriał, z którego powłokę wykonano. Starsze inżynierskie konstrukcje powłokowe, np. kopuły Bazyliki św. Piotra w Rzyie czy Panteonu w Paryżu są bardziej krępe niż na przykład obecnie powszechnie spotykane konstrukcje walcowych zbiorników stalowych. Charakteryzujący obecne czasy intensywny rozwój inżynierii ateriałowej dostarcza coraz to nowych tworzyw, dając ty say nowe narzędzia inżyniero, iędzy innyi do projektowania coraz lżejszych, suklejszych struktur powłokowych. Jest to naturalny proces, który bardzo trafnie skoentowano
1 1. Wstęp w pracy [84]: Potrzeba racjonalnego wykorzystania własności ateriałów staje się nie tylko koniecznością czy nawet odą obecnych czasów, ale jest również dowode poziou technicznego społeczeństwa. Rozważane w pracy kopozytowe powłoki warstwowe są właśnie jedny z przykładów, wsponianego wyżej, racjonalnego wykorzystania właściwości ateriałów. Wyjaśnijy, że o ile sa lainat, a więc układ kilku połączonych ze sobą warstw jest kopozyte, właściwie kopozyte warstwowy, to także każda z jego warstw oże stanowić kopozyt, choć niekoniecznie. Można rozróżnić dwie główne grupy kopozytów warstwowych: struktury sandwiczowe, z reguły trójwarstwowe, w których dwie zewnętrzne warstwy stanowią sztywne, często jednorodne (np. etalowe) okładki, a warstwa środkowa jest lekki wypełnienie (np. piankowy lub strukturalny) [79, 8, 84] pełniący rolę izolacyjną oraz dystansową dla okładek; odnosząc się do teorii prętów, układ taki jest analogiczny do przekroju dwuteowego, gdyż podstawowy zadanie zewnętrznych okładek jest przenoszenie obciążenia, natoiast zadanie wypełnienia jest utrzyanie okładek w odpowiedniej odległości, ewentualnie przenoszenie naprężeń ścinania (plaster iodu); struktury warstwowe, których warstwy wykonane są z kopozytów włóknistych (np. włókna węglowe, szklane w osnowie polierowej, włókna ceraiczne w osnowie etalowej [57]); dzięki różneu ukierunkowaniu zbrojenia w poszczególnych warstwach ożna tu w pożądany sposób wpływać na cechy wytrzyałościowe wynikowego kopozytu warstwowego. Wyienione powyżej dwie grupy nie wyczerpują wszystkich ożliwości (por. [48]). Jak zaznaczono, są to dwa najczęściej spotykane warianty kopozytów warstwowych. Podkreśly w ty iejscu, że w niniejszej pracy przyjuje się akroskopowy opis warstwy, a więc w przypadku ateriałów zbrojonych nie wnika się w paraetry włókien i atrycy. Posługujey się charakterystykai ateriałowyi określonyi dla wynikowego kopozytu włóknistego [65, 17]. Obok takich cech jak odporność korozyjna, cheiczna, dobre paraetry teroizolacyjne, główną zaletą kopozytów warstwowych jest wysoka sztywność i wytrzyałość przy niski ciężarze własny [57, 79]. W świetle tej ostatniej zalety, kopozyty ożna postrzegać jako ateriały specjalnie dedykowane lekki konstrukcjo powłokowy. Pierwszą dziedziną, w której szczególnie intensywnie wykorzystano kopozyty warstwowe jest aeronautyka. Znalazły tu one szerokie zastosowanie jako poszycia kadłubów pojazdów kosicznych, łopatki silników odrzutowych itp. Rozszerzenie zastosowania tych ateriałów na inne dziedziny opóźniały wysokie koszty ich wytwarzania. Z czase jednak zaczęły pojawiać się w przeyśle lotniczy, zbrojeniowy [18], a następnie w szkutnictwie czy w budownictwie. Wśród licznych przykładów współczesnych zastosowań powłok kopozytowych znajdują się.in. łopatki turbin wiatrowych, rurociągi, dukty i zbiorniki przeysłowe, okładziny w forie saodzielnych przewodów wewnętrznych w koinach czy konstrukcje koinów [4, 1], itp. Wobec tak szerokiego spektru zastosowań, powłoki te ogą być poddawane różnego rodzaju oddziaływanio, tj. obciążeniu echaniczneu, cheiczneu, ale także tericzneu, któreu uwagę poświęca się w niniejszej pracy. Ośrodek warstwowy jako ateriał posiada zate wiele atrakcyjnych cech użytkowych uzyskiwanych dzięki połączeniu odpowiednich tworzyw w ateriałach pojedynczych warstw, ale także dzięki odpowiednieu ułożeniu warstw w lainacie. Taka kopozytowa
1.. Podejścia stosowane w odelowaniu ośrodków warstwowych 13 struktura wyaga właściwego podejścia w odelowaniu, co szerzej oawiane jest w kolejny podpunkcie rozdziału. W ty iejscu warto jednak wskazać pewne charakterystyczne cechy struktur warstwowych, które w oawianych dalej odelach powinny być uwzględnione. Przede wszystki oczywistą, ale generującą trudności w opisie właściwością ośrodków warstwowych jest niejednorodność i skokowa zienność paraetrów ateriałowych w przekrojach. Matryca stosowana w kopozytach włóknistych charakteryzuje się znaczną odkształcalnością postaciową, co w konsekwencji powoduje, że oduły odkształcalności postaciowej warstw są od kilku do nawet kilkudziesięciu razy niejsze od ich odułów sprężystości podłużnej. Wiąże się to ze znaczną podatnością na odkształcenie postaciowe poszczególnych warstw jak i całego lainatu. Co więcej, ateriały te charakteryzuje duża dysproporcja iędzy odułai Younga w kierunku i w poprzek włókien [57, 65, 151, 154, 158]. Warstwa taka a więc cechy ateriału poprzecznie izotropowego, natoiast cały lainat, w przypadku ziennego kąta ułożenia włókien w kolejnych warstwach, jest ośrodkie ortotropowy. Inny charakterystyczny zjawiskie dla struktur warstwowych jest tzw. efekt zig-zag, czyli zygzakowa deforacja przekroju wynikająca z różnej odkształcalności poprzecznej (podłużnej i postaciowej) poszczególnych warstw [6, 7]. Kolejną kwestią są warunki równowagi naprężeń na granicach warstw, których spełnienie, ze względu na skokową zienność charakterystyk ateriałowych, w pewnych sforułowaniach trudno jest zapewnić [4, 5, 134]. Istotny proble stanowi także ożliwość tzw. delainacji czyli rozwarstwienia, stanowiącej częsty echaniz zniszczenia kopozytu. Inicjacja tego zjawiska zachodzi zwykle w iejscach nieciągłości geoetrycznej, np. na krawędziach otworów [8] lub też w iejscach ubytków w atrycy warstw [5] wynikających np. z jej degradacji. Analiza delainacji stanowi dość złożony proble [8, 166], dlatego często przyjuje się założenie upraszczające o idealny połączeniu warstw, nieuwzględniające rozwarstwienia. 1.. Podejścia stosowane w odelowaniu ośrodków warstwowych W klasyfikacji odeli stosowanych w analizie kopozytów warstwowych rozróżnić ożna dwa nurty: teorie trójwyiarowe oraz sforułowania dwuwyiarowe. Przydatność najniej upraszczających analitycznych sforułowań trójwyiarowych jest ograniczona do analizy bardzo prostych probleów raczej o charakterze czysto teoretyczny [11, 16, 18]. Waga uzyskanych w ten sposób rozwiązań jest jednak nie do przecenienia w ocenie sforułowań bardziej uproszczonych, gdzie wyniki analityczne ożna przyjąć za rozwiązania odniesienia. W świetle najczęściej stosowanych obecnie analiz etodą eleentów skończonych podejścia trójwyiarowe są także ało praktyczne. Różnice iędzy sztywnością warstw narzucają bowie konieczność przyjowania co najniej jednego eleentu bryłowego na grubości każdej z nich. W analizie całych konstrukcji skutkuje to dużą liczbą stopni swobody i w konsekwencji znaczny wydłużenie procesu obliczeń [131]. Z tego względu odelowanie trójwyiarowe ogranicza się raczej do ałych obszarów, zwykle ta, gdzie jest to konieczne, np. strefy znacznej koncentracji naprężeń. W raach sforułowań dwuwyiarowych rozróżnić ożna dwie charakterystyczne grupy: dyskretne odele warstwowe (ang. Discrete-Layer (DL) [79, 8, 13] lub Layer-
14 1. Wstęp Wise (LW) [5, 17, 131, 17]) oraz zastępcze odele jednowarstwowe (ang. Equivalent Single Layer (ESL) [5, 79, 8, 17, 17]). W dyskretnych odelach warstwowych każdą z warstw opisuje się indywidualnie, najczęściej poprzez zienne związane z jej powierzchnią odniesienia. Wpływ warstw sąsiadujących uwzględnia się poprzez odpowiednie warunki ciągłości na wspólnych powierzchniach [8]. W raach tych podejść zapewnienie warunków równowagi na granicach warstw czy też uwzględnienie zygzakowej deforacji przekroju jest stosunkowo łatwe. Sforułowania te ogą być traktowane jako aproksyacja podejść trójwyiarowych, toteż czase klasyfikowane są jako podgrupa tych ostatnich [17]. Podkreśly, że liczba ziennych jest tu bezpośrednio zależna od liczby warstw. Pewne zagadnienia, jak np. drgania własne, wyboczenie, globalne deforacje, nie wyagają zastosowania tak rozbudowanych podejść [4]. Mogą one być wystarczająco dokładnie aproksyowane przy użyciu podejść ESL, w których cały lainat traktuje się jako pojedynczą jednorodną warstwę o sztywności statycznie równoważnej sztywności ośrodka warstwowego [17]. Warstwę redukuje się do jednej powierzchni odniesienia tak, jak w przypadku powłok jednorodnych. Wszystkie zienne związane są z tą powierzchnią i ich liczba jest niezależna od liczby warstw. Dla potrzeb niniejszej pracy, której cele jest analiza stateczności, przyjęto, że wystarczająca w opisie powłoki warstwowej jest koncepcja pojedynczej warstwy zastępczej. Zasadne wydaje się zate szersze oówienie tego typu podejścia. Do opisu pojedynczej warstwy zastępczej wykorzystywane są teorie stosowane w idealizacji powłok jednorodnych. Historycznie najstarszą jest tzw. klasyczna teoria lainatów [48] (ang. Classical Laination Theory [65, 17]). Sforułowanie to stanowi odpowiednik klasycznej teorii płyt/powłok Kirchhoffa-Love a, bazującej na założeniu o nierozciągliwy włóknie noralny, które pozostaje proste i noralne po odkształceniu [4, 17]. Charakteryzujący tę teorię brak efektu ścinania jest jednak poważny ankaente wobec typowej dla ateriałów kopozytowych podatności na to zjawisko. W praktyce zakres efektywności tego sforułowania obejuje tylko bardzo cienkie płyty i powłoki warstwowe [8]. Zdecydowanie bardziej adekwatne w opisie kopozytowych ośrodków warstwowych są teorie uwzględniające ścinanie, przy czy rozróżnia się teorię ścinania pierwszego rzędu (ang. First Order Shear Theory) oraz teorie wyższych rzędów (ang. Higher Order Shear Theory). W teorii ścinania pierwszego rzędu zakładany jest liniowy rozkład przeieszczeń na grubości powłoki, co odpowiada hipotezie płaskich przekrojów. Przyjuje się jednak, że włókna prostopadłe do powierzchni środkowej podczas deforacji pozostają proste, ale niekoniecznie prostopadłe, co odróżnia to podejście od teorii Kirchhoffa. Teoria z tak sforułowaną kineatyką jest dość powszechnie nazywana teorią Reissnera-Mindlina [17]. Terin ten jest jednak dyskusyjny [13], gdyż w pewny sensie sugeruje współpracę autorów albo niezależne sforułowanie przez nich identycznych teorii. Tyczase teoria Reissnera wychodzi z zupełnie innych założeń niż ta, którą niezależnie podał Mindlin [4, 63]. Źródłe nieporozuienia jest fakt, że ostatecznie obydwie teorie charakteryzuje podobna kineatyka, która jest jednak obecna także w teorii Hencky ego czy Bolle a [17, 34]. Z kolei autorzy [34] podejście wykorzystujące oówioną wyżej hipotezę kineatyczną nazywają teorią Tioszenko-Reissnera. Wszystkie te sforułowania charakteryzuje założenie o płaski przekroju i w ty sensie wydaje się, że wystarczający, a zaraze bezdyskusyjny terine jest po prostu teoria ścinania pierwszego rzędu []. Częsty dodatkowy
1.. Podejścia stosowane w odelowaniu ośrodków warstwowych 15 założenie kineatyczny tej teorii jest warunek nierozciągliwości włókien powłoki w kierunku poprzeczny. Cechą charakterystyczną sforułowania jest potrzeba stosowania pewnych współczynników korekcyjnych. Konieczność ta wynika ze stałego na grubości rozkładu odkształceń poprzecznych i w konsekwencji braku spełnienia warunków równowagi naprężeń poprzecznych na zewnętrznych powierzchniach dźwigara jak również na granicach warstw [14]. Podkreśly, że współczynniki korekcyjne wyagane są w klasycznych sforułowaniach przeieszczeniowych. Istnieją jednak podejścia ieszane, w których warunki równowagi narzuca się z góry na zienne naprężeniowe [4, 5, 136], co eliinuje potrzebę stosowania współczynników. Kwestia korekty ścinania nieco szerzej opisana jest w dalszej części pracy. Zwróćy także uwagę, że w odelu sforułowany na bazie teorii ścinania pierwszego rzędu efekt zig-zag z definicji nie jest ujęty. Istnieje jednak ożliwość wzbogacania pola przeieszczeń o dodatkowe stopnie swobody, których rozkład na grubości dany jest funkcją kawałkai ciągłą [1, 7, 3, 135, 136]. W teoriach ścinania wyższych rzędów odchodzi się od hipotezy płaskiego przekroju. Z reguły do opisu pola przeieszczeń stosowane są wieloiany o stopniu wyższy niż pierwszy [8, 17], choć spotykane są także teorie wyższych rzędów, w których rozkład pewnych składowych przeieszczeń dany jest funkcjai trygonoetrycznyi [46, 131, 183, 186]. W sforułowaniach tych, przy odpowiednio przyjęty rozkładzie przeieszczeń, uzyskiwany jest rozkład odkształceń i naprężeń poprzecznego ścinania spełniający warunki równowagi na powierzchniach zewnętrznych (np. dla wieloianu trzeciego rzędu naprężenia poprzeczne ają rozkład paraboliczny [89, 14, 17], dzięki czeu nie są potrzebne żadne techniki korekcyjne). W bardziej wyspecjalizowanych podejściach spełnione są również warunki ciągłości naprężeń na stykach warstw [18, 184]. Także w raach tych teorii istnieją sforułowania, w których wyjściowe pola przeieszczeń wzbogacane są funkcjai klasy C w celu syulacji efektu zig-zag [7, 8, 38, 55, 163]. Modele bazujące na teorii ścinania wyższych rzędów charakteryzuje większa liczba stopni swobody niż sforułowania wychodzące z teorii ścinania pierwszego rzędu. Dodatkowy stopnio często trudno nadać interpretację fizyczną, a poza ty podrażają one koszty obliczeń. Cytując za J.N. Reddy [17]: podejścia te powinny być stosowane tylko wtedy, kiedy jest to konieczne. Jak wcześniej wsponiano, dla potrzeb niniejszej pracy, w której rozważana jest globalna stateczność konstrukcji, zupełnie wystarczające jest sforułowanie pojedynczej warstwy zastępczej (ESL). Do opisu deforacji warstwy przyjęto teorię ścinania pierwszego rzędu. W odelu nie są spełnione warunki równowagi naprężeń poprzecznych, jak również nie jest uwzględniony efekt zig-zag. Brak zrównoważenia naprężeń rekopensowany jest przez przyjęcie odpowiedniej korekty sztywności ścinania. Przyjęcie hipotezy o płaski przekroju ożna także uznać za uzasadnione, ponieważ obiekte przeprowadzanej w pracy analizy stateczności są powłoki cienkie. Efekt zig-zag zanika bowie wraz ze wzroste sukłości dźwigara. Przy proporcji A/H = 1 i większej, gdzie H jest grubością, a A jest wyiare charakterystyczny powłoki [1], zjawisko jest zazwyczaj praktycznie nieobecne (por. [1, 11]). Warto w ty iejscu dodać, że bardzo podobnie sforułowany jest odel kopozytu warstwowego zastosowany w prograie koercyjny NX-Nastran.
16 1. Wstęp 1.3. Zagadnienie stateczności powłok 1.3.1. Proble stateczności w praktyce inżynierskiej W obecnych czasach zauważalne jest powszechne dążenie do zinializowania ciężaru konstrukcji; wiąże się ono najczęściej z chęcią obniżenia kosztów realizacji, względai technologicznyi (np. poszycia pojazdów powietrznych), a także nadanie walorów estetycznych [9]. Działanie to zwiększa jednak ryzyko utraty stateczności, zjawiska, którego wystąpienia nie sygnalizują żadne wcześniejsze syptoy. W pracy [14] powłokę nazwano priadonną konstrukcji, trafnie charakteryzując jej kapryśny charakter i wrażliwość na takie kluczowe paraetry, jak geoetria i sukłość. W przypadku cienkich powłok o dużej rozpiętości, utrata stateczności oże wręcz wyprzedzać degradację ateriału i ieć ty say pierwszorzędne znaczenie w ocenie nośności. Stateczność zależna jest także od takich czynników, jak warunki brzegowe [137], sztywność związana z cechai ateriału, w ty także z orientacją włókien w warstwach w przypadku lainatów [51, 137, 138]. Bardzo istotną rolę odgrywają tu również iperfekcje, a więc różnego rodzaju niedoskonałości, które ogą być związane z geoetrią [5, 138], sposobe obciążenia, rozkłade sztywności czy warunkai brzegowyi. Uwzględnienie iperfekcji w analizie stateczności konstrukcji jest bardzo istotne, gdyż wszelkiego rodzaju niedoskonałości ogą znacznie obniżać pozio obciążenia krytycznego. W przypadku powłok, ze względu na charakteryzującą je znaczną sukłość, najistotniejsze wydają się iperfekcje geoetryczne. Powstaje zate pytanie, jakie iperfekcje uwzględnić, jaka a być ich postać i aplituda. Oczywista sytuacja, która oże jednak dotyczyć wyłącznie konstrukcji już istniejących, występuje w przypadku, gdy znane są (zostały poierzone) rzeczywiste odchyłki od geoetrii idealnej. W przeciwny razie, np. w procesie projektowania, ożliwe jest jedynie zadawanie narzuconych, sztucznych iperfekcji, przy czy najodpowiedniejsze są te, które wywoływać będą najniższe obciążenie krytyczne. Określenie ich rozkładu nie jest na ogół jednoznaczne. Można je ustalać etodai ścisłyi, ateatycznyi np. [37], co, według klasyfikacji podanej w [141, 174], odpowiada tzw. iperfekcjo najgorszy z ożliwych. Terin ten dotyczy pól iperfekcji zgodnych np. z wynikającyi z rozwiązania liniowego probleu stateczności postaciai własnyi konstrukcji lub ich liniową kobinacją, ustalonyi na ogół na drodze rozwiązania liniowego probleu własnego, choć w przypadku bardzo sukłych konstrukcji bardziej odpowiedni jest tu nieliniowy proble własny [141]. Warto podkreślić, że zdefiniowane w ten sposób pole iperfekcji wcale nie usi być najbardziej krytyczne dla konstrukcji, gdyż czase gorsze okazać się oże pojedyncze zagłębienie czy wypukłość [141]. Mateatyczne poszukiwanie iperfekcji najgorszych z ożliwych jest z praktycznego punktu widzenia dość złożone i dlatego częściej stosowane są tzw. iperfekcje styulujące [141, 174], przez które rozuie się iperfekcje zbliżone do wyznaczanych ateatycznie, ale narzucane niejako intuicyjnie, np. pola iperfekcji tylko podobne do for własnych, ale zadane np. w postaci fal deforacji określonych funkcjai trygonoetrycznyi lub pojedynczych czy wielokrotnych zagłębień lub wypukłości. Nie sposób nie wsponieć tu o rozwijających się szczególnie w ostatni czasie podejściach stochastycznych [43, 5], które wydają się najtrafniejsze, gdyż ogą potencjalnie najlepiej ze wszystkich iperfekcji natury sztucznej syulować iperfekcje rzeczywiste [141].
1.3. Zagadnienie stateczności powłok 17 1.3.. Analiza stateczności W echanice konstrukcji tradycyjnie posługujey się pojęcie stateczności równowagi. Należy jednak zdawać sobie sprawę, że zagadnienie to jest szersze i dotyczy ruchu w sensie ogólny, a stateczność równowagi jest tu szczególny przypadkie. Pierwszą definicję stateczności ruchu podał Lapunov [96, 1, 17, 19], zgodnie z którą ruch stateczny a tę właściwość, że ałe zakłócenia położenia i prędkości w stanie początkowy powodują niewielkie zaburzenia położenia i prędkości w dowolnej chwili t [13, 19]. O równowadze układu natoiast ówiy, że jest stateczna, jeśli będący w danej konfiguracji układ po niewielki chwilowy zakłóceniu do tej konfiguracji powraca [95, 96]. Definicję tę często ilustruje się na przykładzie kuli sytuowanej na powierzchniach, których zakrzywienie deterinuje stateczność jej równowagi [16, 95, 96]. Wykorzystanie definicji i warunków Lapunova [95, 1], które opisują zjawisko poprzez zienne kineatyczne (przeieszczenia, prędkość) jest w praktyce dość skoplikowane. W echanice konstrukcji, w odniesieniu do zagadnień statyki, posługujey się znacznie prostszyi, statycznyi kryteriai stateczności, których spełnienie odpowiada spełnieniu warunków Lapunova [5, 95]. Najczęściej, zwłaszcza w analizie etodą eleentów skończonych, stosowanej w niniejszej pracy, wykorzystywane jest statyczne kryteriu energetyczne wychodzące z twierdzenia Lagrange a-dirichleta o iniu energii potencjalnej, które brzi: stan równowagi układu zachowawczego jest stateczny wtedy, gdy energia potencjalna jest w ty stanie dodatnio określona (w stanie równowagi energia osiąga iniu) [5, 95, 171]. Twierdzenie odnosi się do układów zachowawczych [171], z jakii ay do czynienia w niniejszej pracy. Lapunov podał także energetyczne kryteriu niestateczności: jeśli energia potencjalna układu konserwatywnego w stanie równowagi osiąga aksiu, stan tej równowagi jest niestateczny [1]. W praktyce powyższe twierdzenia opisać ożna zależnościai [171]: > równowaga stateczna, δ Π= i δ Π (1.1) < równowaga niestateczna, gdzie Π jest całkowitą energią potencjalną układu, a δ Π i δ Π są, odpowiednio, jej pierwszą i drugą wariacją względe przeieszczeń. Stan krytyczny natoiast określa warunek δ Π= i δ Π=, (1.) który oznacza, że układ zachowawczy osiąga stan krytyczny przy zerowaniu się drugiej wariacji jego energii potencjalnej [171]. W praktyce z warunku zerowania się pierwszej wariacji energii potencjalnej (1.1) wynika równanie równowagi. Znak drugiej wariacji (1.1) związany jest z uwarunkowanie acierzy sztywności układu: stano równowagi statecznej odpowiada dodatnio określona, a stano niestateczny ujenie określona acierz sztywności. O dodatniej określoności acierzy K rozstrzyga kryteriu Sylvestera, zgodnie z który acierz jest dodatnio określona, jeśli jej wszystkie inory są większe od zera [95, 171]. W procesie rozwiązywania (np. etodą Gaussa-Choleskiego) acierz K jest zazwyczaj rozkładana na iloczyn dwóch acierzy trójkątnych, z których jedna a jedynki na głównej przekątnej. Wykorzystując właściwości tego rozkładu ożna dowieść, że warunkie konieczny i wystarczający
18 1. Wstęp dodatniej określoności acierzy K jest dodatni iloczyn wszystkich wyrazów na głównej przekątnej [95]. W stanie krytyczny natoiast acierz jest osobliwa: δ Π= K =, (1.3) gdzie K jest wyznacznikie acierzy sztywności. Warunek (1.3) jest warunkie konieczny osiągnięcia stanu krytycznego [171]. Analiza stateczności układów liniowo-sprężystych oże być przeprowadzona jako rozwiązanie zagadnienia dużych przeieszczeń, czyli zadania geoetrycznie nieliniowego. Rozwiązanie nieliniowego probleu brzegowego realizowane jest najczęściej na drodze analizy przyrostowej [13, 14, 34, 7, 179], która odpowiada poszukiwaniu konfiguracji równowagi układu w dyskretnych punktach czasowych, t, t,..., gdzie t jest przyroste czasu, przy czy czas jest tu pojęcie uowny. W etodzie tej zakłada się, że rozwiązania dla wszystkich punktów czasowych od chwili do chwili t włącznie są znane i ożliwe jest określenie położenia równowagi w chwili t + t. Otrzyany zbiór rozwiązań dla całego zakresu zienności t wyznacza tzw. ścieżkę równowagi układu. Trzeba podkreślić, że odchodzi się tu od zasady zesztywnienia i związek kineatyczny przeieszczenieodkształcenie jest nieliniowy. Zaznaczy także, że w raach analizy przyrostowej ożliwe są dwa zasadnicze podejścia: stacjonarny opis Lagrange a, w który wszystkie zienne kineatyczne i dynaiczne odnoszone są do konfiguracji początkowej układu; oraz uaktualniony opis Lagrange a, w który zienne te odnoszone są do konfiguracji aktualnej [13, 14]. W niniejszej pracy przyjęto stacjonarny opis Lagrange a. Położenia równowagi, dla których zachodzi δ Π>, tworzą stateczne fragenty ścieżki, natoiast zbiór punktów, w których δ Π<, wyznacza fragenty niestateczne. Charakterystyczne punkty, w których spełniony jest warunek (1.) są punktai krytycznyi, z któryi wiążą się odpowiednie fory utraty stateczności danej postaci równowagi. Rozróżnia się dwa typy punktów krytycznych [34, 168, 169, 17]: punkt graniczny obciążenia, w który obciążenie osiąga lokalne ekstreu oraz punkt bifurkacji (rozgałęzienia), który stanowi przecięcie ścieżki podstawowej z drugorzędną, względnie z kilkoa ścieżkai drugorzędnyi (wielokrotny punkt bifurkacji). Z punkte graniczny obciążenia wiąże się utrata stateczności poprzez przeskok, tzn. przejście, zwykle dynaiczne, z niestatecznego stanu równowagi do stanu statecznego, co określa się terine lokalnego wyczerpania nośności [17], natoiast w punkcie bifurkacji dochodzi do utraty stateczności przez wyboczenie, co oznacza powstanie nowej, jakościowo różnej postaci równowagi, która oże być stateczna lub niestateczna [17]. Należy w ty iejscu nadienić, że przeprowadzenie analizy przyrostowej wyaga zastosowania odpowiedniej techniki śledzenia ścieżki (tzw. etody sterowania). Istnieją trzy podstawowe etody: etoda sterowania obciążeniowego, etoda sterowania przeieszczeniowego oraz etoda sterowania paraetre ścieżki (zwana też etodą stałej długości łuku) [34, 169]. Nazwa etody nawiązuje do paraetru, który w danej technice przyjowany jest za zienną sterującą. Metoda sterowania obciążeniowego a swoje charakterystyczne ograniczenie, traci ianowicie zbieżność w punkcie graniczny obciążenia, co objawia się charakterystyczny przeskokie rozwiązania. Podobny efekt przeskoku oże wystąpić w przypadku zastosowania sterowania przeieszczeniowego, jeśli na ścieżce wybranego paraetru sterującego wystąpi punkt graniczny przeieszczenia, tzw. punkt zwrotny [169], w który
1.4. Analiza wytężenia kopozytów warstwowych 19 przeieszczenie zienia znak na przeciwny. Warto podkreślić, że punkt zwrotny bywa także dość często określany iane punktu krytycznego. Punkt ten charakteryzuje jednak ścieżki tylko pewnej liczby stopni swobody układu [95], nie a więc charakteru globalnego, toteż nie wynika on z rozważań energetycznych. W sytuacji probleów ze zbieżnością ożliwa jest zate ziana paraetru sterującego na przeieszczenie zachowujące swój dotychczasowy znak i uniknięcie przeskoku rozwiązania. Zaletą ostatniej z wyienionych technik etody sterowania paraetre ścieżki jest fakt, że pozwala ona na efektywne śledzenie położeń równowagi w otoczeniu obydwóch rodzajów punktów granicznych, bez konieczności stałej kontroli znaku przeieszczeń. Warto ponadto podkreślić, że zastosowanie sterowania przeieszczeniowego w pewnych zagadnieniach, np. z obciążeniai tericznyi, jest dość kłopotliwe, bowie trudno tu ustalić paraetr sterujący, jakkolwiek podejście takie znaleźć ożna w np. [93, 94, 95]. W niniejszej pracy stosowane są technika sterowania obciążenie i paraetre ścieżki, które szerzej opisane są w dalszej części onografii. Opisana powyżej analiza przyrostowa jest obecnie jedny z najczęściej stosowanych podejść w badaniu stateczności konstrukcji. Inną etodą jest liniowa analiza stateczności początkowej polegająca na rozwiązaniu uogólnionego probleu własnego [7, 171]. Obydwa podejścia są dostępne np. w prograie NX-Nastran. Należy jednak zauważyć, że liniowa analiza stateczności początkowej daje jedynie ożliwość określenia przybliżonej wartości obciążeń krytycznych, a poza ty a ograniczone zastosowanie w analizie konstrukcji o znacznej sukłości, które charakteryzuje często geoetrycznie nieliniowe zachowanie w zakresie przedkrytyczny. Analiza przyrostowa a tę zaletę, że pozwala ustalić pozio obciążeń krytycznych, charakter utraty stateczności oraz uożliwia zbadanie pokrytycznego zachowania konstrukcji. Podkreśly jednak ponownie, że podejście to wyaga zastosowania odpowiedniej techniki śledzenia ścieżki równowagi. 1.4. Analiza wytężenia kopozytów warstwowych Zasadniczy cele pracy jest ocena zachowania przed- i pokrytycznego konstrukcji poddanej obciążeniu tericzneu. Przeprowadzana analiza dostarcza inforacji o pozioie obciążenia krytycznego, które przy znacznej sukłości powłoki oże być równoważne z obciążenie graniczny [18]. W takiej sytuacji bowie utrata stateczności oże nastąpić znacznie wcześniej niż przekroczenie naprężeń dopuszczalnych w ateriale. W przeciwny razie, tj. gdy pozio obciążenia krytycznego jest wyższy niż obciążenie niszczące ateriał, badanie stateczności nabiera drugorzędnego charakteru. Uzasadnione wydaje się zate rozszerzenie analizy o kontrolę stanu naprężenia. Podkreśly, że w rozważanych w pracy kopozytowych powłokach warstwowych, ze względu na ożliwość zastosowania różnych ateriałów, na ogół ortotropowych, w poszczególnych warstwach lub/i występowania różnych orientacji włókien w układzie warstw, analiza stanu naprężenia jest bardziej skoplikowana niż w przypadku powłok jednorodnych izotropowych. Potrzebna jest tu przede wszystki wiedza na teat odpowiedniej liczby charakterystyk wytrzyałościowych dla każdego ateriału występującego w lainacie. W przypadku warstwy wykonanej z kopozytu włóknistego, wyagana jest znajoość wytrzyałości na rozciąganie i ściskanie w kierunku włókien, w kierunku do nich prostopadły oraz wytrzyałość warstwy na ścięcie w dwóch płaszczyznach. Należy
1. Wstęp przy ty dodać, że często wytrzyałości na ściskanie i rozciąganie ateriałów warstw są różne [57], co zwiększa liczbę potrzebnych paraetrów [48, 65]. Ponieważ cechy wytrzyałościowe warstwy są określane w lokalnych osiach ateriałowych, deterinowanych kierunkie ułożenia włókien, a transforacja tych cech do innego układu odniesienia jest praktycznie nieożliwa [65], ocena stanu wytężenia usi ieć iejsce także w układzie ateriałowy. Stan naprężenia w ty układzie z kolei jest zwykle złożony, nawet przy prostych scheatach obciążenia [48, 65]. W ocenie wytężenia trzeba się zate posłużyć odpowiedni kryteriu czy hipotezą, które pozwalają na odniesienie złożonego stanu naprężeń do charakterystyk wytrzyałościowych określonych w prostych testach laboratoryjnych. Podobnie jak w przypadku ateriałów izotropowych, istnieje szereg hipotez wytrzyałościowych dla ateriałów ortotropowych [1, 57], co więcej, pewne z nich stanowią uogólnienie teorii forułowanych dla ośrodka izotropowego na przypadek ortotropowy. Takii przykładai są choćby kryteriu aksyalnego naprężenia i kryteriu aksyalnego odkształcenia. Kryteriu Tsai-Hilla [48, 65] jest rozszerzenie na ateriały ortotropowe hipotezy Hubera-Misesa-Hencky ego [16]. Z kolei kryteriu Hoffana stanowi rozwinięcie teorii Tsai-Hilla na ateriały o różnej wytrzyałości przy rozciąganiu i ściskaniu [48, 65]. Nośność warstwy określana na podstawie tych hipotez zwykle jednak znacznie odbiega od wyników uzyskiwanych w doświadczeniach [65]. Satysfakcjonująca zgodność z eksperyentai spośród najbardziej znanych hipotez wytrzyałościowych dla kopozytów charakteryzuje natoiast kryteriu Tsai-Wu [48, 65]. Z tego względu w niniejszej pracy zdecydowano się na wybór tego kryteriu i zostanie ono przybliżone w rozdziale. Wyienione wyżej hipotezy należą do najbardziej popularnych i ugruntowanych kryteriów dotyczących kopozytów włóknistych. W prograie NX-Nastran dostępne są np. kryteriu Tsai-Hilla (nazywane ta kryteriu Hilla), kryteriu Hoffana, Tsai-Wu oraz kryteriu aksyalnego odkształcenia. Trzeba jednak zwrócić uwagę, że wśród wyżej wyienionych hipotez jedynie kryteriu aksyalnego naprężenia i odkształcenia identyfikują echaniz zniszczenia warstwy, który oże być związany ze zniszczenie włókien, pękanie atrycy albo ścięcie warstwy. Oceny tego echanizu przy zastosowaniu pozostałych kryteriów ożna dokonać jedynie w sposób przybliżony [18]. Do hipotez, których sforułowania pozwalają na bezpośrednią identyfikację echanizów zniszczenia należą np. kryteriu Hashina [5, 165, 167] czy kryteriu Pucka [57, 11]. Zastosowanie dowolnego z powyższych kryteriów pozwala na ocenę stanu wytężenia ateriału pojedynczej warstwy. Przekroczenie stanu bezpiecznego w jednej z warstw nie jest w rzeczywistości równoznaczne ze zniszczenie całego lainatu. Często jednak pozio obciążenia niszczącego pierwszą warstwę przyjuje się w analizie za obciążenie niszczące, co odpowiada podejściu First-Ply Failure (FPF). Metoda, zgodnie z którą obciążenie niszczące odpowiada zniszczeniu całego lainatu, nazywana jest odpowiednio Last- Ply Failure (LPF) [48, 57]. Analiza LPF wyaga uwzględnienia degradacji sztywności i wytrzyałości, zgodnej z postępe zniszczenia w ateriałach warstw, co stanowi dość złożony proble [5, 74, 18, 167]. Takiej analizy nie uożliwia np. progra NX-Nastran. W niniejszej pracy posługiwać się będziey prostszy wariante i obciążenie niszczące utożsaiane będzie z obciążenie niszczący pierwszą warstwę (FPF).
1.5. Powłoki warstwowe obciążone tericznie 1 1.5. Powłoki warstwowe obciążone tericznie Jak wcześniej wsponiano, pierwsze zastosowania kopozytowych powłok warstwowych iały iejsce w aeronautyce. O wyborze tych ateriałów decydowały tu przede wszystki ały ciężar i duża wytrzyałość, ale także wysokie paraetry teroizolacyjne. Dzięki ty ostatni panele kopozytowe ogą odgrywać rolę efektywnych teroizolacyjnych barier ochronnych konstrukcji statku [49, 1] czy eleentów silnika [14]. Obciążenie teperaturą oże być jednak także istotne w przypadku powłok kopozytowych stosowanych w innych dziedzinach, np. użytych w budowie eleentów turbin gazowych [71], koinów przeysłowych [4, 1], czy rur [69]. Wpływ teperatury oże być zate kluczowy w przypadku niektórych konstrukcji i prowadzić do takich efektów, jak [75]: utrata stateczności układu, degradacja ateriału (w ty.in. zwęglanie atrycy [39], degradacja stałych sprężystych, delainacja [39, 4, 13, 16], poślizg zbrojenia []), pełzanie, tericzne płynięcie, pękanie. Warto też dodać, że już w say procesie wytwarzania kopozyty warstwowe poddawane są działaniu podwyższonych teperatur [158], a następnie schładzaniu do teperatury otoczenia, co oże prowadzić do powstania naprężeń rezydualnych w ateriale [51, 13]. Wyienione powyżej zjawiska inicjowane teperaturą wskazują, że wpływ tego czynnika na kopozyt warstwowy jest bardzo złożony. Teatyka niniejszej pracy dotyczy jednakże probleu stateczności, toteż w dalszy ciągu uwagę koncentruje się głównie na ty zagadnieniu i w przedstawiony poniżej przeglądzie literatury uwzględnia się te prace, których główny cele jest analiza stateczności kopozytowych powłok warstwowych z uwzględnienie efektu tericznego. Jedną z najistotniejszych prac przeglądowych poświęconych probleowi wpływu teperatury na kopozytowe konstrukcje warstwowe jest praca Noora i Burtona [13]. W pracy tej stabelaryzowano artykuły poruszające.in. teatykę stateczności kopozytowych płyt i powłok warstwowych obciążonych tericznie. W tabeli dotyczącej utraty stateczności w forie bifurkacji ujęto około 8 prac, wśród których zdecydowana większość dotyczy płyt. Znacznie niej, bo około pozycji zestawiono w tabeli zawierającej prace poświęcone analizie dużych przeieszczeń i zachowania pokrytycznego. Tutaj tylko 4 prace dotyczą powłok. W niniejszej pracy wykorzystano zaproponowany w [13] sposób uporządkowania źródeł i w tabeli 1.1 przedstawione zostały dostępne Autorce prace, usysteatyzowane przede wszystki ze względu na: 1) zakrzywienie analizowanych dźwigarów (płyta/powłoka), ) typ analizy, tj. czy w danej pracy określano tylko i wyłącznie pozio teperatur krytycznych czy przeprowadzano analizę pokrytyczną. Dodatkowo w tabeli 1.1 zaznaczono, w których z prac wyienionych w punktach 1 i uwzględniane są takie efekty, jak: 3) wpływy tero-echaniczne, 4) zależność paraetrów ateriałowych od teperatury, 5) wpływ iperfekcji, 6) wytężenie ateriału, 7) stateczność dynaiczna (flatter). Podkreśly, że prace dostępne Autorce powstały w większości (poza [6]) po opublikowaniu [13]. Można zauważyć, że analiza stateczności powłok stała się częściej porusza-
1. Wstęp ny problee. Również badaniu zachowania pokrytycznego poświęca się więcej uwagi, czego przyczyną jest prawdopodobnie fakt, że w wielu wypadkach kopozytowe panele warstwowe są w stanie efektywnie przenosić obciążenia w zakresie pokrytyczny i często ten zakres pracy jest uwzględniany podczas projektowania [9]. Analizy ograniczone wyłącznie do określenia poziou teperatur krytycznych polegają zazwyczaj na rozwiązaniu uogólnionego probleu własnego (np. [7, 68, 7, 86, 87]). W pracy [1] teperaturę krytyczną wyznaczono z zakniętego wzoru, wynikającego jak podano taże z klasycznej teorii płyt cienkich. Otrzyane rezultaty porównano z eksperyente. W [66] z kolei badano płyty podparte na dwóch krawędziach i wykorzystując analogię do teorii prętów wyprowadzono wzór na teperaturę krytyczną pojedynczej warstwy poprzecznie izotropowej. W pracy [184] teperaturę wyboczeniową określono natoiast przy wykorzystaniu etody szeregów trygonoetrycznych. Zestawienie prac dotyczących zagadnienia stateczności płyt i powłok kopozytowych obciążonych tericznie Lp. Eleent PŁYTA POWŁOKA 1 Analiza teperatur krytycznych [7], [66], [68], [7], [75], [87], [97], [98], [1], [133], [181], [184] Analiza pokrytyczna [6], [47], [16], [11], [133], [14], [145], [146], [148], [15], [151], [15], [156], [157], [185] 3 Wpływy tero-echaniczne 4 Paraetry ateriału zależne od teperatury [51], [86], [99], [114], [159] Tabela 1.1 [9], [56], [6], [67], [85], [88], [9], [91], [9], [15], [17], [115], [116], [143], [144], [147], [149], [153] [6], [47], [11], [145], [15] [56], [86], [9], [91], [15], [143], [147], [153] [6], [11], [133], [14], [146], [153] [15], [156] 5 Iperfekcje [6], [145], [146], [148], [185] [56], [9], [91], [143], [144], [147] 6 Wytężenie ateriału [6], [156] [6], [153] 7 Stateczność dynaiczna [16] Z kolei badanie zachowania pokrytycznego przeprowadzane jest zwykle na drodze analizy przyrostowej z uwzględnienie dużych przeieszczeń. Najczęściej zagadnienie jest sforułowane w postaci słabej i w rozwiązaniu stosowana jest etoda eleentów skończonych (np. [9, 6, 88, 9, 17]). W pracach [15, 157] ścieżkę pokrytyczną uzyskano etodą sekwencyjnego rozwiązania probleu własnego. W pracach [11, 15] do rozwiązania nieliniowych równań różniczkowych wykorzystano szeregi Chebysheva. Należy zwrócić uwagę, że w przypadku analiz tero-echanicznych obciążenia są jednoparaetrowe, tj. albo obciążenie zienny jest teperatura, a obciążenie echaniczne pozostaje ustalone, albo sytuacja jest odwrotna. Warto podkreślić, że uwzględniana w badaniach zależność odułów ateriałowych od teperatury jest zwykle narzucana arbitralnie, np. poprzez funkcję liniową [11, 133, 146] lub funkcje wyższego stopnia [6]. W pracach [14, 15, 153, 156] rozkład ten zadany
1.5. Powłoki warstwowe obciążone tericznie 3 jest kawałkai ciągłą funkcją liniową, jednakże trzeba podkreślić, że zależność dotyczy wyłącznie jednego ateriału i została podana przez Chena i Chena 1). Uwzględniane iperfekcje związane są z geoetrią konstrukcji i definiowane są np. w postaci fal opisanych funkcjai trygonoetrycznyi [6, 143, 145, 146, 147]. Wytężenie ateriału badane jest tylko w czterech znalezionych przez Autorkę pracach, przy czy w [6, 156] inicjację zniszczenia identyfikuje się przy wykorzystaniu kryteriu Tsai-Wu, a w [153] kryteriu Hashina. W [6] początek zniszczenia ocenia się na podstawie wartości energii zginania. W [16] przedstawiono analizę dynaiczną płyt poddanych obciążeniu tericzneu, w raach której badano.in. wpływ usztywnień na zachowanie konstrukcji. W większości prac przeprowadzono analizę paraetryczną, badając wpływ na stateczność konstrukcji takich czynników, jak: warunki podparcia [47, 67, 7, 75, 86, 9, 17, 14, 15, 15, 153, 157], proporcje geoetryczne dźwigara (np. sukłość, wyniosłość powłoki) [47, 51, 67, 7, 86, 87, 88, 9, 99, 15, 17, 114, 115, 116, 14, 145, 151, 15, 153, 156, 157, 181, 185], scheat uwarstwienia, w ty głównie orientacja włókien w warstwach [47, 51, 7, 15, 115, 116, 133, 14, 144, 145, 148, 149, 15, 151, 156, 185], liczba warstw [6, 14, 145, 15, 156, 157]. Podobnie jak w przypadku konstrukcji jednorodnych izotropowych, wpływ warunków podparcia oraz geoetrii konstrukcji na jej stateczność jest kluczowy. W konstrukcjach warstwowych bardzo istotny jest również scheat uwarstwienia, stąd w tak dużej liczbie prac wpływy te są analizowane. Spotykane są także szczególne analizy paraetryczne, dokonywane ze względu na takie specyficzne kryteria, jak: lokalizacja usztywnień [88, 16, 144], roziar rysy [7], losowa zienność paraetrów ateriałowych [86], wilgotność [85], obecność wiskotyczno-sprężystej warstwy tłuiącej [149], rozkład teperatury na grubości [51, 144, 15], obecność i roziar otworu [9, 9, 15]. Zakres niniejszej pracy obejuje badanie płyt i powłok w stanie przed- i pokrytyczny, do czego wykorzystywana jest analiza przyrostowa z uwzględnienie dużych deforacji. Teatyka ta, jak wynika z tabeli 1.1, jest już dość dobrze ugruntowana w literaturze. Można jednak zauważyć, że towarzyszące analizie w ww. zakresie badanie wytężenia ateriału, a także wpływu iperfekcji jest znacznie rzadziej przeprowadzane, czeu uwagę poświęca się w niniejszej pracy. Początkowo cel ten iał być zrealizowany przy użyciu prograu NX-Nastran. W trakcie obliczeń przy zastosowaniu sterowania paraetre łuku, napotykano jednak na probley ze zbieżnością rozwiązania, których nie eliinowały żadne ziany dostępnych w pre-procesorze ustawień. W celu rozstrzygnięcia, czy probley te związane są z saą etodą śledzenia, czy jednak tkwią w sforułowaniu teoretyczny, przeprowadzono do- 1) Chen L.W., Chen L.Y.: Theral postbuckling behaviors of lainated coposite plates wi teperature-dependent properties, Coposite Structures, 19, 1991, s. 67 83. Praca cytowana za [156].
4 1. Wstęp W ty wypadku na ogół żadne probley, poza charakterystyczny dla tej etody śledzenia przeskokie lub utratą zbieżności w otoczeniu punktu granicznego obciążenia, nie występowały. Warto podkreślić, że w analizach przykładów z obciążenie echaniczny przy użyciu tego prograu, niezależnie od zastosowanej etody śledzenia, z taki problee się nie spotkano, co potwierdzają wyniki własne zaprezentowane.in. w pracach [137, 138, 139]. Można wysunąć ostrożny wniosek, że progra koercyjny NX-Nastran a niedopracowaną technikę sterowania paraetre łuku dla przypadku obciążenia teperaturą, lub czego nie ożna wykluczyć ożliwość prawidłowego ustawienia paraetrów dla tej etody jest dla użytkownika niedostępna. W ty zakresie opisywany progra pozostaje dla Autorki pracy przysłowiową czarną skrzynką. 1.6. Uzasadnienie podjęcia teatyki pracy Na podstawie przedstawionych w punktach 1.1 1.5 rozważań ożna wysunąć następujące wnioski: 1. Lekkie kopozytowe panele warstwowe stają się coraz popularniejsze, a ich analiza różni się od analizy powłok jednorodnych.. Konstrukcje te cechuje duża sukłość, stąd ich duża podatność na utratę stateczności. 3. Warunki eksploatacji takich konstrukcji powinny często uwzględniać także oddziaływania tericzne, co przy narzuconych warunkach podparcia ograniczających swobodę deforacji oże prowadzić do utraty stateczności. 4. W ocenie nośności konstrukcji należy uwzględniać stopień wytężenia ateriału. 5. Znane Autorce oprograowanie koercyjne nie pozwala na przeprowadzenie odpowiedniej analizy, dlatego powstało zapotrzebowanie na opracowanie odpowiedniego narzędzia. 1.7. Cel i zakres pracy Cel pracy Cele pracy jest opracowanie oraz ipleentacja koputerowa odelu nuerycznego uożliwiającego efektywną analizę stateczności w zakresie przed- i pokrytyczny jednopłatowych kopozytowych powłok warstwowych poddanych obciążeniu tericzneu w postaci równoiernego ogrzania lub gradientu teperatury na grubości. Analizę rozszerza się dodatkowo o kontrolę stanu wytężenia ateriału. Zakres pracy Badanie stateczności przeprowadzane jest na zasadzie śledzenia nieliniowych ścieżek równowagi realizowanego etodą analizy przyrostowej z uwzględnienie dużych przeieszczeń i obrotów, lecz przy ograniczeniu do zakresu ałych odkształceń. W ocenie stanu wytężenia ateriału wykorzystywana jest hipoteza wytrzyałościowa Tsai-Wu. W odelu teoretyczny przyjęto następujące założenia: ruch powłoki opisywany jest zgodnie z koncepcją stacjonarnego opisu Lagrange a; przyrosty teperatury są ałe zjawisko uderzenia ciepła nie jest rozważane; rozkład teperatury w układzie w danej konfiguracji jest znany i ustalony, nie rozpatruje się zagadnienia przepływu ciepła;
1.8. Układ i zawartość pracy 5 poija się wpływ deforacji na rozkład teperatury w układzie; zachowanie ateriału podczas analizy ieści się w reżiie ałych odkształceń liniowo-sprężystych i w ty zakresie kontrolowany jest stan jego wytężenia; charakterystyki wytrzyałościowe i oduły sztywności ateriału są ustalone i niezależne od teperatury; powłoka a uiarkowaną grubość; warstwy powłoki są idealnie połączone i takie pozostają nie uwzględnia się zjawiska delainacji; warstwowa struktura powłoki idealizowana jest pojedynczą warstwą zastępczą, co odpowiada podejściu ESL; kineatyka warstwy zastępczej opisana jest poprzez teorię ścinania pierwszego rzędu z odpowiednią techniką korekty ścinania. Opisane powyżej podejście stanowi rozszerzenie przedstawionego w pracy [79] sforułowania LRT5 o ożliwość zadania obciążenia tericznego oraz oduł analizy wytężenia ateriału. Model ten został zaipleentowany do autorskiego prograu napisanego w języku Fortran. Efektywność sforułowania badana jest na podstawie dostępnych w literaturze przykładów. 1.8. Układ i zawartość pracy Praca składa się z pięciu rozdziałów i czterech dodatków uzupełniających: 1. W rozdziale pierwszy zawarto wprowadzenie w teatykę pracy, uzasadniono podjęcie teatu, przedstawiono cel i zakres pracy.. W drugi rozdziale przedstawiono teoretyczne sforułowanie stosowanego w obliczeniach odelu powłoki. 3. Rozdział trzeci zawiera opis eleentów ipleentacji nuerycznej. 4. W rozdziale czwarty zawarto przykłady nueryczne. 5. Piąty rozdział stanowi podsuowanie pracy. 6. W bibliografii zawarto spis cytowanej literatury. Przyjęto ogólną zasadę, że w końcowy spisie uieszcza się tylko te źródła, do których Autorka iała bezpośredni dostęp. Prace, do których następuje odwołanie w tekście, a które były niedostępne, podawane są w przypisach dolnych wraz z inforacją, za jaki dostępny źródłe są cytowane. 7. W dodatku A przedstawiono wyprowadzenie zależności przeieszczenia-odkształcenia dla ogólnego przypadku teorii 6-paraetrowej. 8. Dodatek B zawiera opis procedury określania wartości współczynników korekcyjnych ścinania. 9. W dodatku C przedstawiono transforację wewnętrznej pracy wirtualnej. 1. W dodatku D zawarto wyprowadzenie uogólnionych iar naprężeń.
Rozdział Equation Chapter Section 1 MODEL POWŁOKI Niniejszy rozdział zawiera opis stosowanego w obliczeniach odelu powłoki, ty say wraz z dwoa kolejnyi rozdziałai stanowi zasadniczą część pracy. Wielowarstwowa powłoka kopozytowa traktowana jest jako pojedyncza warstwa zastępcza, do której opisu przyjęto teorię ścinania pierwszego rzędu. W opisie ruchu powłoki stosowany jest stacjonarny opisu Lagrange a. W rozdziale oówione są kolejno: geoetria i kineatyka powłoki, obciążenie tericzne, związek konstytutywny w punkcie ośrodka, sforułowanie słabe probleu brzegowego, związek konstytutywny na pozioie przekroju, kryteriu Tsai-Wu w analizie wytężenia ateriału..1. Geoetria i kineatyka powłoki Stosowana w pracy teoria powłok nawiązuje do tzw. podejścia wyprowadzanego [34], w który ciało trójwyiarowe redukowane jest przy poocy pewnych założeń do ośrodka dwuwyiarowego. Kluczową jest tu powierzchnia odniesienia (powierzchnia podstawowa), gdyż przy poocy ziennych z nią związanych aproksyowany jest opis deforacji całej powłoki. Najczęściej, także w niniejszej pracy, za powierzchnię odniesienia przyjuje się geoetryczną powierzchnię środkową dźwigara. Nieodzowne staje się zate odwołanie do podstaw geoetrii różniczkowej powierzchni..1.1. Podstawy geoetrii powierzchni i eleenty rachunku tensorowego W ty podrozdziale przedstawiono podstawowe zależności geoetrii różniczkowej i eleenty rachunku tensorowego, niezbędne w opisie kineatyki powłoki. Podpunkt ten opracowano na podstawie następujących źródeł: [1, 9, 59, 77, 79, 1]. Do większości z przedstawionych poniżej zależności wystąpi bezpośrednie odwołanie w dalszej części pracy. Pewne związki, io że bezpośredniego odwołania dalej nie znajdą, przytacza się jako eleentarne, ułatwiające analizę przekształceń zawartych w rozprawie. Jak wyżej wsponiano, podpunkt ten stanowi wstęp do opisu kineatyki powłoki, dlatego wśród poniższych zależności obok ogólnych, pozostających bez związku z kineatycznyi założeniai upraszczającyi przyjętej teorii powłok, pojawią się takie, które są dla tej właśnie teorii charakterystyczne. Model powłoki kopozytowej, jak już wcześniej w pracy podkreślono, winien uwzględniać poprzeczną odkształcalność postaciową przekroju, toteż fundaente odelu bazowego opisanego w [79] jest teoria ścinania pierwszego rzędu, w której przyponijy przyjuje się.in., że prosta prostopadła do powierzchni środkowej pozostaje podczas deforacji prosta (przekroje pozostają płaskie), jednak niekoniecznie prostopadła. Na rysunku.1 przedstawiono podstawowe wielkości wykorzystywane w opisie ruchu punktu
.1. Geoetria i kineatyka powłoki 7 aterialnego powłoki dla konfiguracji początkowej w chwili t = oraz konfiguracji w dowolnej chwili t =. Konfigurację oznacza się poprzez lewy górny indeks przy sybolu danej wielkości. Rys..1. Geoetria powłoki Przyjęto następującą zienność indeksów greckich i łacińskich: α, β, δ, γ... = 1, i, j, k,, n... = 1,,3. Położenie dowolnego punktu powłoki P * określa jego proień wodzący R, który na ocy założenia o płaski przekroju w chwili t = oraz t = ożna opisać odpowiednio: R( θ, θ, θ ) = r( θ, θ ) + θ n( θ, θ ), (.1) 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 R(,, ) = r(, ) + d(, ), θ θ θ θ θ θ θ θ (.) gdzie n jest wektore jednostkowy prostopadły do powierzchni odniesienia, natoiast d to tzw. direktor w dowolnej konfiguracji t =, który ww. warunku prostopadłości, zgodnie z hipotezą kineatyczną przyjętej teorii powłok, spełniać nie usi. W konfiguracji początkowej zachodzi zate związek: a a n = a = g = n = 1. 1 3 3 a1 a (.3) Wektory lokalnej bazy kowariantnej w dowolny punkcie P na powierzchni odniesienia powłoki są pochodnyi wektora wodzącego tego punktu względe współrzędnych krzywoliniowych:
8. Model powłoki r ai = = i θ r,. Analogicznie definiowane są wektory bazowe w dowolny punkcie powłoki P * : i (.4) R gi = = R,. i i θ Wektory baz kontrawariantnych ożna wyznaczyć ze związków: gdzie β δ α jest deltą Kroneckera (.5) a a β = δ β, g g β = δ β, (.6) α α α α β δα = 1, dla α = β, β δ =, dla α β. α (.7) Kowariantne składowe tensora etrycznego na powierzchni środkowej a αβ oraz w dowolny punkcie powłoki g αβ dane są przez: a = a a, g = g g. (.8) αβ α β αβ α β Kontrawariantne składowe ww. tensorów etrycznych obliczay analogicznie: a = a a, g = g g. αβ α β αβ α β (.9) Poiędzy składowyi tensorów etrycznych zachodzą relacje: βλ λ βλ λ a a = δ, g g = δ. (.1) αβ α αβ α Składowe tensorów etrycznych wykorzystywane są często do tzw. podnoszenia lub obniżania indeksów, np.: a α = a αβ a lub g = g g β β α αβ. (.11) Pierwsza fora fundaentalna, czyli kwadrat długości eleentarnego odcinka iędzy dowolnyi punktai powłoki a następującą definicję: R R g θ g θ θ θ (.1) ( ds) = d d = i j i j id jd = gijd d. Analogicznie wyprowadza się pierwszą forę fundaentalną dla odcinka zawartego w powierzchni odniesienia: r r a θ a θ θ θ (.13) ( ds) = d d = i j i j id jd = aijd d. Składowe tensora krzywizny powierzchni odniesienia dane są przez: a a a a a a a a b. αβ = bβα = 3, α β = 3, β α = α, β 3 = β, α 3 (.14) Zachodzą zależności: b = b = a b. δ αβ βα αδ β (.15)
.1. Geoetria i kineatyka powłoki 9 W ty oencie ożna wprowadzić pojęcie drugiej fory fundaentalnej, jako iloczynu skalarnego da 3 dr: da dr = ( a dθ ) ( a dθ ) = a a dθ dθ = b dθ dθ. (.16) α β α β α β 3 3, α β 3, α β αβ Aby przedstawić kolejne związki geoetrii różniczkowej, potrzebne jest odwołanie się do pojęcia pochodnej kowariantnej wektora. Dowolny wektor w w lokalnej bazie kowariantnej i kontrawariantnej ożna przedstawić, jak poniżej: w = w g = w g. (.17) i k i k Podkreśly, że w (.17) wektor w został przedstawiony w bazie w konfiguracji początkowej, co jest konsekwencją przyjęcia stacjonarnego opisu Lagrange a. Różniczkowanie wektora przeprowadzay następująco: w w g θ θ θ θ lub k k k k = w, i = i i ( w gk) = g i k + w i w w g θ θ θ θ k k k k = w, i = ( wk g ) = g + wk. i i i i Występujące w (.18) pochodne wektorów bazowych ożna przedstawić jako: (.18) g i k θ g k θ i g, = Γ g, i k ik g, = Γ g, i i k k gdzie Γ = Γ są tak zwanyi sybolai Christoffela drugiego rodzaju: ik ki Γ = Γ = g g = g g = g g Γ = g g = b, δ δ δ δ δ αβ βα α, β β, α α β 3 αβ 3 α, β αβ Γ = g g =, 3 3β 3 3, β δ δ Γ 3α = bα. W konsekwencji związki (.18) ożey przepisać w postaci: ( ) w, = w, + w Γ g = w g lub k j k k i i ji k i k ( ) = w w Γ = w j k k w, i k, i j ik g k i g,,, (.19) (.) (.1) gdzie pionową linią zaznaczono różniczkowanie kowariantne składowych wektora. Przedstawy teraz pochodne wektorów bazowych w punktach powierzchni odniesienia w konfiguracji początkowej t = (reguła Gaussa-Weingartena):
3. Model powłoki a, = Γ a = Γ a + Γ a = Γ a + b n, δ 3 δ α β αβ αβ δ αβ 3 αβ δ αβ a, = Γ a = Γ a Γ a = Γ a + b n, α α α δ α 3 α δ α β β βδ β3 βδ β n, = a, = Γ a = Γ a + Γ a = b a. δ 3 δ β 3 β 3β 3β δ 3β 3 β δ (.) Można w ty iejscu wprowadzić pojecie tensora przesunięcia (ang. shifter) w konfiguracji początkowej, który wyraża zależność iędzy wektorai bazowyi a α powierzchni odniesienia a wektorai bazowyi g α w dowolny punkcie powłoki. Wykorzystując (.5) i (.), ożey zapisać: g = R, = ( + ) = +,. r θ n a θ n α θ 3 3 α α α α Korzystając następnie z (.) zapisujey: ( b ) β β 3 β α α α β α β (.3) g = δ θ a = μ a, (.4) gdzie μ β α są składowyi tensora przesunięcia w konfiguracji początkowej. Z (.4) i (.8) wynika, że w konfiguracji początkowej współrzędne tensora etrycznego bazy w dowolny punkcie na grubości powłoki zależą od współrzędnych tensora etrycznego bazy związanej z powierzchnią podstawową następująco: g ( a )( a ) = μ μ = μ μ a. (.5) β λ β λ αδ α β δ λ α δ βλ Eleent objętości w konfiguracji początkowej wyznaczyć ożna z interpretacji geoetrycznej iloczynu ieszanego wektorów bazowych: ( ) dv = 1 3 1 3 1 3 d d d = g d d d, g g g θ θ θ θ θ θ (.6) gdzie g jest wyznacznikie tensora etrycznego g w konfiguracji początkowej, tj. g = g = g g g g. 11 1 1 αβ (.7) Z interpretacji geoetrycznej iloczynu wektorowego wektorów bazy związanej z powierzchnią środkową wynika natoiast foruła określająca eleent tej powierzchni w konfiguracji początkowej: 1 1 dω= 1 d d = ad d, a a θ θ θ θ (.8) gdzie a jest wyznacznikie tensora etrycznego a w konfiguracji początkowej, tj.: a = a = a a a a. 11 1 1 αβ (.9) Z (.6) i (.8) wyprowadzić ożna zależność na eleent grubości powłoki w konfiguracji początkowej: gdθ dθ dθ g 1 3 dv 3 dh = = = dθ 1 dω adθ dθ a. (.3)
.1. Geoetria i kineatyka powłoki 31 Z (.5) i własności wyznaczników wynika, że: g = μ μ a. (.31) β λ αδ α δ βλ Wykorzystując (.31), wyrażenie (.3) doprowadzay do postaci: 3 dh = β d = d 3 α, μ θ μ θ (.3) gdzie μ jest wyznacznikie tensora przesunięcia (.4) w konfiguracji początkowej: = β = 1 1. α 1 1 μ μ μ μ μ μ (.33).1.. Opis przeieszczeń w raach teorii ścinania pierwszego rzędu Wektor przeieszczenia punktu P * ożna wyznaczyć jako różnicę proieni wodzących w konfiguracji aktualnej t = oraz konfiguracji początkowej t = : Podstawiając (.1) i (.) do (.34) otrzyujey: V = R R. (.34) () (1) 3 3 V = ( r r) + θ ( d n) = V+ θ V. (.35) Interpretację graficzną (.35) przedstawia rysunek.. Rys... Kineatyka powłoki Współrzędne wektora przeieszczenia, wobec przyjętego stacjonarnego opisu Lagrange a, odnosiy do wektorów bazowych w konfiguracji nieodkształconej i dekoponujey w bazie kowariantnej lub kontrawariantnej następująco:
3. Model powłoki 3 V = α α aα + n = α a + 3 n. W zapisie skalarny składowe przeieszczeń dane są przez: υ υ υ υ (.36) () (1) 1 3 1 3 1 i = i + i υ ( θ, θ, θ ) υ ( θ, θ ) θ υ ( θ, θ ). (.37) Podkreśly, że w (.37) występuje łącznie 6 paraetrów skalarnych opisujących stan przeieszczenia..1.3. Odkształcenia w raach opisu 6-paraetrowego 1) Składowe wykorzystywanego w stacjonarny opisie Lagrange a tensora odkształcenia Lagrange a-greena E wyprowadzay z zależności (por. [53]): θ θ (.38) E i j ( ijd d = ds) ( ds), gdzie po prawej stronie występuje różnica kwadratów długości łuku w konfiguracji aktualnej, t = i początkowej t =. Podstawiając do (.38) związek (.1) odpowiednio dla każdej z konfiguracji otrzyujey: Eij g ij g ij. = (.39) Podstawiając (.1) i (.) do (.5) i wykorzystując (.4), otrzyay: g = a + θ d,, 3 α α α g 3 = 3 α α α 3 d, g = a + θ n,, g = n. (.4) Korzystając z (.8b) i (.4) składniki prawej strony (.39) ożey zapisać następująco: 1) Należy zwrócić uwagę, że występujący w niniejszy sforułowaniu szósty stopień swobody ożna powiązać z opise rozciągnięcia włókna powłoki w kierunku poprzeczny. Uwaga ta jest istotna, gdyż stopień ten, zależnie od sforułowania teorii powłok, oże ieć różną interpretację. Przykłade jest tu teoria opisana.in. w [31, 3, 33, 34, 36, 176], gdzie paraetr ten jest inaczej interpretowany i stanowi tzw. owinięcie (ang. drilling rotation) niezbędne w opisie powłok z przecięciai. Tę saą interpretację szóstego stopnia wykorzystują również autorzy w [111, 175]. Zaznaczy, że szósty stopień związany z opise rozciągnięcia włókna w poprzek powłoki oże być także różnie interpretowany i wprowadzany do sforułowania, patrz np. [11] oraz [17].
.1. Geoetria i kineatyka powłoki 33 ( θ ) ( θ ) 3 3 gαβ = gα gβ = aα aβ + θ d α aβ + aα d β + d α d β g (,, ),,, = g g = a a + θ ( n, a + a n, ) + n, n,, 3 3 αβ α β α β α β α β α β g = g g = a d+ θ d, d, 3 α3 α 3 α α g = g n= a n+ θ n, n=, 3 α3 α α α (.41) g 33 3 3 g 33 = g g = d d, = n n =1. Porządkując zapis, składowe tensora odkształcenia ożna przedstawić jak poniżej [79]: () (1) () 1 3 1 3 1 3 1 Eαβ θ θ θ = Eαβ θ θ + θ Eαβ θ θ + θ Eαβ θ θ () (1) 1 3 1 3 1 Eα3 θ θ θ = Eα3 θ θ + θ Eα3 θ θ () 1 3 1 E33 θ θ θ = E33 θ θ ( ) (,, ) (, ) (, ) (, ), (,, ) (, ) (, ), (,, ) (, ), (.4) gdzie: () 1 Eαβ θ θ = aα aβ aα aβ (, ), (1) 1 Eαβ θ θ = d α aβ + aα d β n α aβ aα n β (, ),,,,, () 1 Eαβ θ θ = d α d β n α n β (, ),,,,, () 1 Eα3 θ θ = aα (, ) d, (1) 1 Eα3 θ θ = d α (, ), d, (.43) () 1 E33 θ θ d (, ) = d 1. W dodatku A zaprezentowano szczegóły wyprowadzenia zależności (.43) w funkcji składowych przeieszczeń w raach ogólnego przypadku, tj. teorii 6-paraaterowej. Poszczególne składowe (.43) przedstawiają (A.7), (A.14), (A.18), (A.1), (A.3), (A.5)..1.4. Kineatyka powłoki w raach opisu 5-paraetrowego W teorii powłok stosowanej w pracy zakłada się warunek nierozciągliwości włókien powłoki w kierunku poprzeczny, zate E 33 =. (.44)
34. Model powłoki Należy zaznaczyć, że założenie (.44) oże być stosowane tylko w zakresie ałych odkształceń [179]. Z (.43f) i (.44) otrzyujey, że d d = 1. (.45) Różniczkując obustronnie (.45) ożna wykazać, iż (por. [1, 11, 76, 11]) z czego wynika zerowanie się (.43e): d, d =, (.46) α (1) 1 E 3(, ) = ) α θ θ. (.47) Ponadto wyrażenia na pozostałe składowe tensora odkształcenia, tj. (.43 a-d) ulegają uproszczeniu, gdyż konsekwencją założenia (.44) jest stały rozkład ugięcia powłoki w kierunku jej grubości, zate ożna przyjąć, że w (.37) [, 79]: (1) ( 1, ). 3 = υ θ θ (.48) Wtedy rozkład przeieszczeń na grubości powłoki opisuje 5 paraetrów (por. (.37): () (1) 1 3 1 3 1 υα θ θ θ = υα θ θ + θ υα θ θ () 1 3 1 υ3( θ, θ, θ ) = υ3( θ, θ ) = const. (,, ) (, ) (, ), (.49) W rezultacie uproszczeniu ulegają wyrażenia (A.3) i (A.6) z indekse n = 1. Dla porządku przedstawia się poniżej te związki dla obydwóch indeksów, tj. n = i n = 1: () () () ϕαβ = υα β υ3 bαβ (1) (1) (1) (1) ϕαβ = υα β υ3 bαβ = υα β,, () () () λ ϕα3 = υλ bα + υ3, α, (1) (1) (1) (1) λ λ ϕα3 = υλ bα + υ3, α = υλ bα, (.5) () () () () δ δλ δ δ ϕβ = ϕβλ a = υ β υ3 bβ (1) (1) (1) ( 1) (1) δ δλ δ δ δ ϕβ = ϕβλ a = υ β υ3 b β = υ β,. ) W odelach powłok sforułowanych w raach 5-paraetrowej teorii z uwzględnienie dużych obrotów prezentowanych w pracach [, 73], a także w odelu LRT5 w pracy [79] z tego uproszczenia nie skorzystano.
.1. Geoetria i kineatyka powłoki 35 Składowe tensora odkształcenia w raach teorii 5-paraetrowej dane są ostatecznie następująco: () () () () () () () δ Eαβ = ϕβα + ϕαβ + ϕδα ϕβ + ϕα 3 ϕβ 3, (1) (1) (1) () () (1) () (1) () λ λ δ δ Eαβ υβ α υα β bα ϕλβ bβ ϕλα υδ α ϕβ υδ β ϕα = + + + + () (1) () (1) λ λ + ϕβ3 υλ bα + ϕα3 υλ bβ, () (1) (1) (1) (1) (1) (1) λ δ λ δ λ Eαβ = bα υλ β bβ υδ α υ α υλ β υδ bα υλ bβ () (1) () () (1) λ Eα3 = υα+ ϕα3+ ϕα υλ. + +, (.51) Bardzo istotny jest fakt, że założenie (.44) jest forą narzucenia więzów na kierunku prostopadły do powierzchni odniesienia, zate naprężenie poprzecznego rozciągania winno być różne od zera. Tyczase w przyjęty sforułowaniu zakłada się, że naprężenie to również zanika i związki konstytutywne wyprowadza się jak dla płaskiego stanu naprężenia (PSN), o czy szerzej będzie w punkcie.3. W ty iejscu warto wsponieć, że istnieją podejścia bazujące na założeniu teorii ścinania pierwszego rzędu, w których poprzeczne odkształcenie noralne przyjuje się za niezerowe, a jego wartość wyznacza się właśnie z warunku płaskiego stanu naprężenia [6, 111]. Paraetry przeieszczeń υ i, υ α w (.49) interpretować ożna jako, odpowiednio, translacje punktów powierzchni odniesienia powłoki oraz obroty 3) wokół wektorów bazowych tejże powierzchni, (por. [79]), co przedstawia rysunek.3. Rys..3. Interpretacja paraetrów obrotów Podkreśly jednak, że taka interpretacja paraetrów przeieszczeń a swoje ograniczenia. Odwołując się do klasyfikacji podanej w [118], przywołanej także w [83], przyjęty tu opis oże być stosowany do zakresu dużych obrotów, tj. około 5 [], traci natoiast słuszność w zakresie obrotów skończonych [117, 119]. Inne podejścia stosowane w opisie obrotów znaleźć ożna w [34, 175, 176], także w [79, 8]. Bogaty przegląd podejść stoso- 3) Wprost jest to różnica d n (por. (.35)).
36. Model powłoki wanych w ty zakresie zawiera praca [15]. Podkreśly także, że tak ujęty opis przeieszczeń oże ieć uzasadnienie tylko w zakresie ałych odkształceń. W niniejszej pracy pozostajey przy pięciu stopniach swobody w opisie przeieszczeń i uproszczonej interpretacji obrotów, zakładając, że w będących przediote analizy zagadnieniach stateczności powłok pod wpływe oddziaływań tericznych odkształcenia są ałe i obroty skończone nie występują... Obciążenie tericzne W pracy analizowane są powłoki poddane obciążeniu tericzneu, zarówno w postaci równoiernego ogrzania, jak i gradientu teperatury wzdłuż grubości. W najbardziej ogólny przypadku obciążenie gradiente teperatury oże być obciążenie dwuparaetrowy, tj. teperatury na górnej i dolnej powierzchni ogą zieniać się wzajenie niezależnie. W niniejszej pracy nie rozpatruje się obciążeń wieloparaetrowych, toteż rozkład teperatury na grubości powłoki jest uzależniany tylko od teperatury na powierzchni dolnej albo górnej (por. [9, 15]). Przyjuje się liniowy rozkład teperatury na grubości powłoki. Na wskazanej powierzchni zewnętrznej teperatura (tzw. teperatura wiodąca) zienia się od wartości początkowej T init do wartości końcowej (założonej w analizie) T ax. Na drugiej powierzchni zewnętrznej teperatura aksyalna jest funkcją teperatury wiodącej. W warunkach początkowych zakłada się stały rozkład teperatury na grubości powłoki (rozkład równoierny). Ogólnie rozkład przyrostu teperatury na grubości powłoki 3 T ( θ ) opisać ożna, jak poniżej: 3 Tt + Tb Tt T b 3 T ( θ ) = + θ, (.5) H gdzie: T t, T b przyrost teperatury w konfiguracji t = względe konfiguracji początkowej, odpowiednio na powierzchni górnej i dolnej; H grubość powłoki. Podkreśly, że (.5) opisuje rozkład teperatury obciążającej, tj. powyżej teperatury początkowej, w której z założenia ośrodek jest w stanie beznaprężeniowy. jest więc aplitudą teperatury, jakiej poddawane są poszczególne punkty powłoki. Rozważyć ożna dwa warianty obciążenia: 1) z teperaturą wiodącą na powierzchni górnej, ) z teperaturą wiodącą na powierzchni dolnej. 3 T ( θ ) Wariant 1 teperatura wiodąca na powierzchni górnej W konfiguracji poszukiwanej paraetry (por. (.5)) opisujące rozkład teperatury obciążającej są następujące: Tt Tb T p = T = λ ( T b,ax t,ax, ax = λ ( p T T ax init ), T init ), (.53) gdzie: λ paraetr obciążenia teperaturą w konfiguracji t =,
.. Obciążenie tericzne 37 T ax teperatura aksyalna na powierzchni górnej, T init teperatura początkowa, p stosunek teperatury aksyalnej dolnej do aksyalnej górnej. Podstawiając (.53) do (.5), otrzyujey: 1+ p 1 p H 3 3 T ( θ ) = λ Tax λ Tinit + λ Tax θ Wariant teperatura wiodąca na powierzchni dolnej. (.54) W ty przypadku paraetry opisujące rozkład przyrostu teperatury w konfiguracji poszukiwanej (por. (.5)) są następujące: Tt Tb T p = T = λ ( p T = λ ( T t,ax b,ax, ax ax T T init init ), ), (.55) gdzie: λ, T init jak w (.53), T ax teperatura aksyalna na powierzchni dolnej, p stosunek teperatury aksyalnej górnej do aksyalnej dolnej. Po podstawieniu (.55) do (.5) liniowy rozkład dany jest następującą zależnością: 3 1+ p p 1 3 T ( θ ) = λ ax λ + λ T ax θ. Tinit T H (.56) Uogólniony zapis rozkładu teperatury Powyższe warianty 1 i rozkładu teperatury obciążającej ożna zapisać jedny uogólniony wzore: 3 T ( θ ) = T () + T (1) ( θ ), () 1+ p T = λ Tax λ T 1 p T (1) = SIGN λ T ax, H 3 init, (.57) gdzie: T ax teperatura aksyalna na powierzchni wskazanej paraetre SIGN. SIGN = 1, jeśli wiodącą jest teperatura na górnej powierzchni, wtedy p = T b,ax /T t,ax, SIGN = 1, jeśli wiodącą jest teperatura na powierzchni dolnej, wtedy p = T t,ax /T b,ax. Można zauważyć, że dla p = 1 rozkład (.57) opisuje przypadek równoiernego ogrzania. Poza ty przypadkie przyjęty opis rozkładu teperatury uożliwia analizę obciążeń gradiente tepertaury, których definicje zestawiono w tabeli.1.
38. Model powłoki Tabela.1 Przykłady definicji obciążenia gradiente teperatury (pole ciene warunki początkowe) SIGN = 1, p < 1 lub SIGN = 1, p > 1 SIGN = 1, T ax = T init, p > 1 SIGN = 1, T ax = T init, p > 1 SIGN = 1, p > 1 lub SIGN = 1, p < 1 SIGN = 1, T init =, p = SIGN = 1, T init =, p =.3. Związek konstytutywny w punkcie ośrodka.3.1. Związek konstytutywny w układzie osi ateriałowych W ty podpunkcie prezentowany jest związek odkształcenie-naprężenie obowiązujący w punkcie ośrodka. Ponieważ warstwy konstrukcji lainowanych są bardzo często wykonane z ateriału poprzecznie izotropowego [57, 65], prezentowane prawo konstytutywne dotyczy właśnie takiego przypadku ateriału. Na rysunku.4 przedstawiono scheatycznie przykład lainatu z zaznaczenie głównych osi ateriałowych ośrodka poprzecznie izotropowego. Kierunek osi a jest zgodny z kierunkie włókien zbrojenia, natoiast oś b jest prostopadła do osi a. Oś c jest prostopadła do płaszczyzny a-b. k Rys..4. Osie lokalne ateriału poprzecznie izotropowego
.3. Związek konstytutywny w punkcie ośrodka 39 W punkcie.1 nadieniono, że io narzucenia więzów kineatycznych (.44), poprzeczne naprężenie noralne jest w przyjęty odelu powłoki zakładane jako zerowe, co uożliwia wprowadzanie związków konstytutywnych jak dla płaskiego stanu naprężenia. Warto jednak dodać, że używanie terinu płaski stan naprężenia jest w ty wypadku nieścisłe, gdyż niezerowe w sforułowaniu pozostają naprężenia poprzecznego ścinania. Jednakże w kontekście saego związku konstytutywnego nieścisłość ta nie a znaczenia, bowie zgodnie z prawe Hooke a, dla ateriałów ortotropowego, poprzecznie izotropowego czy izotropowego, stan ścinania i zgięciowo-ebranowy są rozprzężone [65, 17], a w kopozytach najczęściej do czynienia ay z dwoa ostatnii przypadkai ortotropii. Naprężenia poprzecznego ścinania w przeciwieństwie do ewentualnie niezerowego naprężenia poprzecznego rozciągania pozostają zate bez wpływu na naprężenia PSN i odwrotnie. W rozpatrywany w pracy zagadnieniu stateczności powłok poddanych obciążeniu tericzneu odkształcenia sprężyste, wskutek sprzężenia teroechanicznego 4), są zależne od odkształceń tericznych, będących funkcją przyrostu teperatury i współczynników rozszerzalności tericznej, oraz od odkształceń echanicznych (kineatycznych) (.51). Wykorzystując notację acierzową, składowe naprężeń efektywnych w konfiguracji t = ożna przy wykorzystaniu liniowego związku konstytutywnego wyrazić następująco [54, 93, 94, 113]: { S } [ ]({ } { }) { } { } { ef E E Sef Sech S} = C =, (.58) gdzie { E}, { E } są, odpowiednio, wektorai odkształceń echanicznych i tericznych, { S ech }, { S }, { S ef }, stanowią, odpowiednio, wektory echanicznych, tericznych oraz efektywnych naprężeń, a [C ] jest odpowiednią acierzą konstytutywną. W analizie geoetrycznie nieliniowej odkształcenia echaniczne i związane z nii zależnościai konstytutywnyi naprężenia są nieliniowo zależne od niewiadoych przeieszczeń. Dokonuje się zate addytywnej dekopozycji przyrostowej tych wielkości na część znaną (aktualną, skuulowaną) oraz przyrost [13, 14]. Związek konstytutywny forułowany jest tu jedynie dla przyrostu naprężeń/odkształceń, co daje ożliwość uwzględnienia np. zienności stałych ateriałowych, czy też nieliniowej zależności naprężenieodkształcenie. Poniższe prawo ateriałowe dla składowych echanicznych jest zapisane zate w forie przyrostowej, io, że w niniejszej pracy zakłada się liniowo-sprężyste zachowanie ateriału. Z drugiej strony, związek konstytutywny dla składowych tericznych, przy założeniu niezienności paraetrów ateriałowych (w ty współczynników rozszerzalności tericznej), oże być zapisany wprost, tj. dla całkowitych naprężeń i odkształceń, gdyż te nie zależą od przeieszczeń. Przy założeniu zerowego noralnego naprężenia poprzecznego stan naprężeń echanicznych opisać ożna za poocą pięciu składowych, natoiast stan naprężeń wywołany teperaturą w lokalnych osiach ateriałowych określają dwie składowe. Ich związek ze sprzężonyi energetycznie odkształceniai w lokalnych osiach ateriału dany jest przez: 4) Istotne jest, że rozpatrywane tu sprzężenie teroechaniczne jest niepełne, tj. jak napisano w założeniach odelu w rozdziale 1 uwzględniany jest wpływ efektów tericznych na echanikę (deforację) konstrukcji, natoiast poijany jest wpływ deforacji na rozkład teperatury w układzie [18].
4. Model powłoki aa aa S ech E aa S E aa bb bb Sech Ebb S Ebb ab S [ C ], [ C ], ech = Eab = bc S ech E bc ac S ech E ac (.59) ij ij gdzie Sech oznacza przyrosty naprężeń echanicznych (. tensor Pioli-Kirchhoffa), S są składowyi całkowitych naprężeń tericznych; E ij są przyrostai składowych odkształceń Lagrange a-greena, obliczanych zgodnie z (.51), a E ij składowyi odkształ- ceń wywołanych teperaturą w konfiguracji t =, wyznaczanyi ze związku: E aa α aa Ebb αbb = 3 T ( ), θ (.6) gdzie α aa, α bb są współczynnikai rozszerzalności tericznej w kierunkach odpowiednio 3 wzdłuż i w poprzek włókien, T( θ ) jest przyroste teperatury w dany punkcie w konfiguracji t = wg (.57). Materiał poprzecznie izotropowy w płaski stanie naprężenia jest opisany przez 5 paraetrów [65, 17]. Macierz konstytutywna w (.59) a postać: Ea vabeb 1 vabvba 1 vabv ba vbaea E b C 1 ab ba 1 = v v vabvba, Gab ( k) Gbc ( k) G ab [ ] (.61) gdzie: E a oduł Younga ateriału wzdłuż włókien 5), E b oduł Younga ateriału w kierunku prostopadły do włókien, G ab oduł odkształcalności postaciowej w płaszczyźnie a-b warstwy (G ab = G ac ), G bc oduł odkształcalności postaciowej w płaszczyźnie b-c warstwy, v ab współczynnik Poissona w płaszczyźnie a-b warstwy; wyraża stosunek skrócenia próbki w kierunku b do jej wydłużenia w kierunku a, przy rozciąganiu w kierunku a. Poiędzy współczynnikai Poissona i odułai Younga zachodzi zależność: E v a ba E. bvab Związek (.6) wynika z warunku zgodności przeieszczeń [65]. = (.6) 5) Należy odróżniać oznaczenie odułów Younga E a i E b od syboli składowych odkształceń E aa i E bb.
.3. Związek konstytutywny w punkcie ośrodka 41 Warto w ty iejscu wprowadzić wynikową forułę na naprężenia tericzne w lokalnych osiach ateriału w funkcji teperatury. Podstawiając (.6) i (.61) do (.59) ożey zapisać: aa S bb S = { } 3 C, T ( ), θ (.63) gdzie pojawiający się w (.63) wektor konstytutywny w układzie lokalny ateriału a następujące składowe: {, } ( αaa + vbaαbb ) E a 1 vabvba ( vabαaa + αbb ) C E = b 1 v. abv ba (.64) W (.61) pojawił się dodatkowy paraetr k. Jest to tzw. współczynnik korekty ścinania, charakterystyczny dla teorii ścinania pierwszego rzędu. Zastosowanie tego współczynnika jest konieczne ze względu na stały rozkład odkształceń postaciowych na grubości powłoki [63], co jest skutkie założeń kineatycznych (.35) i (.44). Konsekwentnie, rozkłady naprężeń poprzecznego ścinania wyznaczone na podstawie związku konstytutywnego (.59) nie spełniają warunków równowagi na powierzchniach zewnętrznych powłoki, a w przypadku ośrodka warstwowego także na granicach warstw [4, 64]. Skutkie braku spełnienia warunków równowagi jest przeszacowanie energii poprzecznych odkształceń postaciowych. Dlatego też stosuje się tu odpowiednią korektę. Określenie wartości współczynnika k jest wciąż otwartą kwestią, nawet w przypadku powłok jednorodnych izotropowych [35 6), 63]. Najczęściej, także dla powłok warstwowych, przyjuje się tu arbitralnie wartość k = 5/6 za Reissnere i Bolle, ale również k = 1 za Hencky czy k = π /1 [63]. W (.61) współczynniki k wprowadzono jednak celowo w nawiasie, aby zasygnalizować, że jest to tylko jeden z ożliwych wariantów korekty ścinania w odelach konstrukcji warstwowych. Ze względu na swą prostotę, wynikającą z bezpośredniego zapożyczenia ze sforułowań dla ośrodków jednorodnych, jest on dość często stosowany (np. [33, 79, 17, 177]). Trafniejsze wydaje się jednakże korzystanie z bardziej wyrafinowanych 6) Praca [35] dotyczy 6-paraetrowej teorii powłok, z tzw. owinięcie (drillingie) jako szósty stopnie. Teorię tę charakteryzuje brak upraszczających założeń kineatycznych, jednakże prawo konstytutywne w niej stosowane jest niejako zapożyczone z teorii 5-paraetrowej [31, 3, 33, 177], stąd konieczne jest i tu stosowanie współczynników korekcyjnych ścinania.
4. Model powłoki etod korekcyjnych, dedykowanych ośrodko warstwowy (np. [, 3]) czy ogólnie niejednorodny (np. [64]). W niniejszej pracy współczynniki korekcyjne nie są określane arbitralnie i wprowadzane do związku konstytutywnego pojedynczej warstwy, lecz wyznaczane nuerycznie dla całego przekroju lainatu, oddzielnie dla dwóch płaszczyzn ścinania. Wykorzystuje się przy ty bezpośrednio podejście podane w artykule [164], choć trzeba podkreślić, że w pracy tej rozwinięto podejście zaproponowane wcześniej w [173]. Punkte wyjścia jest tu porównanie energii poprzecznego ścinania obliczanej z jednej strony na podstawie naprężeń wyznaczonych ze składowych PSN przy założeniu cylindrycznego zginania dźwigara, a z drugiej strony przyjętej jako praca siły tnącej na uśredniony kącie odkształcenia postaciowego. Podobny sposób znaleźć ożna w [13], przy czy nie wyprowadzono ta foruł dla saych współczynników korekcyjnych, a zodyfikowano stałe sprężyste ateriału związane z poprzeczny ścinanie. Pewną dyskusję efektywności sposobów określania współczynników korekcyjnych dla ośrodków lainowanych zawiera praca [135], gdzie wykazano.in., iż propozycja podana w [164] łączy w sobie prostotę sforułowania oraz zadowalającą efektywność, którą oceniono poprzez porównanie z innyi etodai. Szczegóły wyznaczania wartości współczynników korekcyjnych stosowanych w pracy zawiera dodatek B..3.. Naprężenia w globalny układzie odniesienia powłoki Podany w (.59), a w konsekwencji także w (.63) związek obowiązuje w lokalnych osiach ateriału. Konieczna jest transforacja naprężeń echanicznych i tericznych do układu (θ 1, θ, θ 3 ) (rys..4). Wprowadźy zate acierz transforacji jak w [79]: 1 cos ( αk) sin ( αk) sin( αk) 1 sin ( αk) cos ( αk) sin( α ) k [ T ] =, (.65) sin( αk) sin( αk) cos( αk) cos( αk) sin( αk) sin( αk) cos( αk) gdzie α k jest kąte ierzony od osi θ 1 do osi aterialnej a (rys..4) w k-tej warstwie. Macierz ta opisuje transforację naprężeń/odkształceń z układu globalnego do lokalnego, natoiast jej transpozycja opisuje transforację odwrotną naprężeń/odkształceń 7). 7) Wyrażenie (.65) przedstawia nieco inną postać acierzy transforacji niż często (np. [48]) spotykany w literaturze wariant. Podkreśly, że zaproponowana tu postać pozwala zapisać bezpośrednio transforację dla inżynierskich iar odkształceń postaciowych, podczas gdy w transforacji najczęściej spotykanej (por. [48, 65]) wyagane jest użycie acierzy Reutera [R T ], gdyż zastosowane ta acierze transforacji obowiązują dla tensorowych iar tychże odkształceń. Łatwo ożna sprawdzić, że transforacja opisana np. w [48], stanowiąca że [C] = [T_][C ] [R T ] [T + ][R T ] 1 jest identyczna z (.68), gdyż [T_] = [T] T, a [R T ] [T + ][R T ] 1 = [T].
.3. Związek konstytutywny w punkcie ośrodka 43 Transforacje naprężeń i odkształceń z jej wykorzystanie zapisać ożna następująco: 11 aa S ech S ech E aa E 11 bb Sech Sech Ebb E 1 T ab S [ T ], [ T ech = Sech Eab = ] E1, 3 bc S ech S ech E bc E 3 13 ac S ech S ech E ac E13 11 aa S S E 11 E aa bb S S E Ebb 1 T T S [ T ], 1 [ T ]. = E = (.66) Podkreśly, że w wyniku transforacji, w układzie osi (θ 1, θ, θ 3 ) pojawia się trzecia składowa naprężeń/odkształceń tericznych. Ponadto otrzyana składowa E 1 jest iarą tensorową odkształcenia, a iarą inżynierską jest jej podwojona wartość (por. [17]). Wykorzystując (.59a) i (.66a) naprężenia echaniczne zapisujey ostatecznie w postaci: 11 S ech E 11 Sech E 1 S [ C ], ech = E1 3 S ech E 3 13 S ech E 13 (.67) gdzie [C] jest acierzą konstytutywną warstwy wiążącą naprężenia i odkształcenia w układzie osi (θ 1, θ, θ 3 ), daną przez: c11 c1 c13 c c c C T C T. 1 3 = = c31 c3 c 33 c44 c45 T [ ] [ ] [ ][ ] c c 54 55 (.68) Szczegółowo rozpisane eleenty acierzy [C] znaleźć ożna w wielu pracach, np. w [48, 65, 17], dlatego tutaj tę kwestię się poija. Naprężenia tericzne wg (.63) transforujey do układu globalnego wykorzystując transforację (.66b) i ostatecznie otrzyujey zależność:
44. Model powłoki S = 11 S 1 3 S { C } T ( ), θ (.69) gdzie {C } jest wektore konstytutywny związany z czynnikie tericzny w układzie globalny, otrzyany w wyniku transforacji (.66b) wektora {C, } (.64): o składowych: c 1 c c 3 { C} 1 c c 3 = c ( + ) + ( + ) E v E v = 1 v v a αaa baαbb cos ( αk) b abαaa αbb sin ( αk), ( + ) + ( + ) E α v α α E v α α α = 1 v v a aa ba bb sin ( k) b ab aa bb cos ( k), ( α + α ) ( α + α ) Ea aa vba bb Eb vab aa bb 1 = sin( αk ). 1 v v ab ba ab ab ba ba (.7) (.71) Uzyskujey zate ostateczną postać związku naprężenie-odkształcenie w punkcie ośrodka w układzie globalny (θ 1, θ, θ 3 ): S E S 11 11 ech 11 Sech E S 1 T 1 3 S = [ T] [ C ][ T ], 1 { C } ( ). ech E S = T 3 Sech E3 13 Sech E13 θ (.7).4. Sforułowanie słabe probleu brzegowego Fundaentalne w echanice są zasady zachowania: asy, pędu, oentu pędu, energii [34, 41, 77]. W rozważany zagadnieniu stateczności powłok zasada zachowania asy jest spełniona z założenia, gdyż badane konstrukcje stanowią zaknięte układy echaniczne [34]. Ponieważ nie rozpatruje się zjawiska przepływu ciepła, obciążenie teperaturą traktowane jest jako quasi-statyczne. Zakłada się także, że poijalny jest wpływ
.4. Sforułowanie słabe probleu brzegowego 45 efektów echanicznych na rozkład teperatury w ośrodku. W konsekwencji proble sprowadza się do zagadnienia statycznej terosprężystości lub krótko terosprężystości, w raach którego spełniona jest także zasada zachowania energii (patrz [18]). Przy poinięciu efektów dynaicznych zasada zachowania pędu jest tożsaa z równanie równowagi sił, natoiast zasadzie zachowania oentu pędu odpowiada równanie równowagi oentów [77]. Proble sprowadza się więc do odpowiedniego zapisu ww. równań równowagi. Równania te raze z wcześniej opisanyi związkai przeieszczenieodkształcenie i odkształcenie-naprężenie wraz z odpowiednio zdefiniowanyi warunkai brzegowyi definiują proble brzegowo-początkowy. Proble ten oże być sforułowany w dwóch postaciach: silnej (różniczkowej) i słabej (całkowej). Stosowana w analizie nuerycznej etoda eleentów skończonych wychodzi ze słabego sforułowania probleu brzegowego, toteż równania równowagi wprowadza się w postaci tożsaości całkowej, albo wykorzystując warunki stacjonarności funkcjonałów (odpowiednia zasada wariacyjna) [34]. Jedny z podejść oże być zastosowanie zasady iniu energii potencjalnej [7, 16]. Jeśli jednak badane układy nie są potencjalne (obciążenia nie są konserwatywne), zasada ta nie oże być stosowana. Bardziej uniwersalna jest zasada pracy wirtualnej, w ty wariant zasady przeieszczeń wirtualnych i wariant zasady obciążeń wirtualnych [5, 41], przy czy chętniej stosowana jest zasada wirtualnych przeieszczeń ze względu na probley z opise warunków brzegowych w wariancie wirtualnych sił. Zasada przeieszczeń wirtualnych a fundaentalne znaczenie w echanice ciał stałych, gdyż nie stawia się w niej żadnych ograniczeń w postaci zakresu wielkości przeieszczeń, obrotów czy też np. sprężystego zachowania ateriału [95]. Nadieńy, że w układach liniowych zasada ta jest tożsaa z zasadą iniu energii potencjalnej [19]. Funkcjonał zasady przeieszczeń wirtualnych, w który jedyną niewiadoą jest pole przeieszczeń, jest podstawą forułowania tzw. przeieszczeniowych eleentów skończonych [13, 34, 176]. Poprzez nożniki Lagrange a funkcjonał ten oże być rozbudowany o dodatkowe zienne niezależne, jak naprężenia (zasada Hellingera-Reissnera) czy jednocześnie naprężenia i odkształcenia (zasada Hu-Washizu) [5, 36, 54, 7, 176]. Warto podkreślić, że wprowadzone dodatkowo ogą być tylko wybrane składowe pól naprężeń, np. naprężenia poprzecznego ścinania (tzw. Reissner Mixed Variational Theore), co pozwala przyjąć dowolny rozkład tychże składowych, w ty taki, aby spełnione były warunki równowagi na powierzchniach zewnętrznych i granicach warstw [5, 136]. Podejście to nie wyaga stosowania współczynników korekcyjnych ścinania. W niniejszej pracy stosowane są przeieszczeniowe eleenty skończone, forułowane na bazie zasady przeieszczeń wirtualnych. Zasada ta brzi: jeśli ciało znajduje się w równowadze, to dla dowolnych, zgodnych, ałych, wirtualnych, oddziałujących na ciało przeieszczeń, które spełniają geoetryczne warunki brzegowe, całkowita wewnętrzna praca wirtualna równa jest całkowitej zewnętrznej pracy wirtualnej [13]. Jak odnotowano we Wstępie, cele analizy jest określenie położenia równowagi w dyskretnych punktach czasowych, t, t,..., gdzie t jest przyroste czasu. Rozwiązanie poszukiwane jest na drodze procesu rekurencyjnego, w który zakłada się, że znane są rozwiązania dla wszystkich punktów czasowych od chwili do chwili t włącznie, co daje podstawę do określenia położenia dla następnego punktu czasowego t + t. Przez powtarzanie tego procesu dla całego zakresu zienności t otrzyujey kopletną ścieżkę rozwiązania.
46. Model powłoki Przyjijy w ty iejscu następującą konwencję: konfiguracją odniesienia jest, zgodnie ze stacjonarny opise Lagrange a, chwila początkowa t =, konfigurację aktualną oznaczy przez t = 1, a konfigurację poszukiwaną przez t =. Zasadę przeieszczeń wirtualnych w konfiguracji poszukiwanej ożna zapisać: W, i = We δ δ (.73) gdzie po lewej stronie (.73) występuje wewnętrzna, a po prawej stronie zewnętrzna praca wirtualna w konfiguracji poszukiwanej. Pracę zewnętrzną zapisujey δ W = f δ u dv + p δ u da, (.74) i i A e i i V A gdzie f i są składowyi sił zewnętrznych oddziałujących na jednostkę objętości, a i p to A składowe sił działających na jednostkę powierzchni ciała; δui i δ u i to kowariantne współrzędne wektora przeieszczeń wirtualnych, przy czy wyraźnie odróżniono tu A przeieszczenia oddziałujące na powierzchnie ( δ u i ). Przeieszczenia wirtualne ożey dalej traktować jako wariację przeieszczeń w konfiguracji poszukiwanej [79]. Wirtualną pracę wewnętrzną w konfiguracji poszukiwanej zapisujey ( ) ij ij ij Wi = ef eij dv = ech eij dv, V V δ σ δ σ σ δ (.75) gdzie ij σ ef są składowyi tensora naprężeń efektywnych Cauchy ego obliczanyi w konfiguracji t = i odniesionyi do tejże konfiguracji. Lewe indeksy oddają zate istotę tej iary naprężenia. δ eij to wirtualne odkształcenia, które odpowiadają wariacji ałych (infinitezyalnych) odkształceń w konfiguracji poszukiwanej [13,79]. W stacjonarny opisie Lagrange a konfiguracją odniesienia jest stan początkowy, t =, toteż związek (.75) nie oże być w powyższej postaci bezpośrednio w ty opisie wykorzystany. Adekwatną dla tego opisu iarą odkształceń jest tensor Lagrange a-greena, natoiast energetycznie sprzężoną z ni iarą naprężeń drugi tensor Pioli-Kirchhoffa. Należy dokonać odpowiedniej transforacji (.75), aby wirtualna praca wewnętrzna była wyrażona w adekwatnych dla stacjonarnego opisu Lagrange a iar naprężeń i odkształceń oraz aby całkowanie odbywało się po objętości początkowej. Przyponijy, że: Fij są składowyi aterialnego gradientu deforacji, Fij są składowyi jego odwrotności, J jest wyznacznikie aterialnego gradientu deforacji. Transforację eleentu objętości zapisujey [77]: dv = J dv. (.76) Relacja poiędzy składowyi tensora naprężeń Cauchy ego a składowyi drugi tensora Pioli-Kirchhoffa [77] jest następująca: ij 1 n ef = J Fi Fnj Sef. σ (.77) n S są składowyi. tensora naprężeń Pioli-Kirchhoffa, obliczanyi w konfiguracji t ef = i odniesionyi do konfiguracji początkowej, t =.
.4. Sforułowanie słabe probleu brzegowego 47 Stosując tzw. transforację wprzód [59, 77] ożey zapisać związek iędzy składowyi tensora odkształceń Eulera-Alansiego a składowyi tensora odkształceń Lagrange a-greena: eij Fi Fjn En, = (.78) gdzie e ij to składowe tensora odkształceń Eulera-Alansiego, obliczane w konfiguracji t = i odniesione do tejże konfiguracji, a E n oznacza składowe tensora odkształceń Lagrange a-greena, obliczane w konfiguracji t = i odniesione do konfiguracji początkowej, t =. Wykorzystując (.76.78), (.75) ożey przedstawić w następującej postaci: ij n Wi = ef eij dv = Sef En dv, V V δ σ δ δ (.79) co przy wykorzystaniu dekopozycji naprężeń na składowe związane z czynnikai echaniczny i tericznyi ożna dalej rozpisać: ij ij n n ( ) ( ) Wi = ech eij dv = Sech S En dv. V V δ σ σ δ δ (.8) Szczegóły transforacji (.79) zawiera dodatek C. Odpowiednią transforację należałoby przeprowadzić także dla zewnętrznej pracy wirtualnej (.74), która wynika z echanicznych oddziaływań sił powierzchniowych i objętościowych w konfiguracji poszukiwanej, t =, na, odpowiednio, powierzchnię i objętość w tejże konfiguracji. Zauważay, że tak dokładny opis, tj. odnoszenie tych oddziaływań do konfiguracji poszukiwanej byłby dość skoplikowany i w ty iejscu dokonuje się uproszczenia przyjując, że oddziaływanie ww. sił jest opisane względe konfiguracji początkowej, tj.: δ W = f δ u dv + p δ u da. (.81) i i A e i i V A Przechodząc do zapisu przyrostowego, zapiszy dekopozycję tensora naprężeń i odkształceń echanicznych (por. [13]): 1 S n n n ech Sech Sech, = + (.8) 1 En En En. = + (.83) Składowych naprężeń związanych z teperaturą, jako niezależnych od przeieszczeń, nie dekoponuje się. Wariację tensora odkształceń w konfiguracji aktualnej rozpisujey: ( ) δ E = δ E + E = + δ E = δ E. (.84) 1 n n n n n Wykorzystując (.8) i (.84), wirtualną pracę wewnętrzną (.8) ożna zate zapisać: n n n (( ) ) 1 Wi = Sech + Sech S En dv. V δ δ (.85)
48. Model powłoki W podejściu pojedynczej warstwy zastępczej (ESL), czyli w sforułowaniu stricte dwuwyiarowy, posługujey się uogólnionyi iarai naprężeń, toteż wyrażenie (.85) trzeba zapisać z użycie tychże iar. Należy w (.85) oddzielić całkowanie po grubości od całkowania po powierzchni. Wykorzystując (.3), ożey (.85) sprowadzić do postaci: n n n {( ) } 1 Wi = Sech + Sech S En dh dω. Ω H δ δ μ (.86) W (.86) pojawia się wyznacznik tensora przesunięcia μ (ang. shifter) (por. (.4)). Często przyjuje się uproszczenie μ 1, co jest uzasadnione dla powłok ało wyniosłych [1, 31, 3, 33]. W niniejszej pracy nie stosuje się jednak uproszczeń w ty zakresie. Szczegóły całkowania po grubości zawiera dodatek D. Wprowadzono ta powłokowe siły przekrojowe (por. (D.4)) i zapisano związek konstytutywny (.7) na pozioie całego przekroju (por. (D.18)). Wykorzystując wyprowadzone w dodatku D uogólnione iary naprężeń (por. (D.5- D.7)), ożey zapisać ich dekopozycję, analogicznie do (.8): ( n) ( n) ( n) n 1 n n L ech L ech L ech oraz następującą postać wirtualnej pracy wewnętrznej: = + (.87) δw = δ E L + L L + δ E L + L dω. (.88) ( n) ( n) ( n) ( n) () () () 1 αβ αβ αβ 1 α 3 α 3 i αβ ech ech α 3 ech ech Ω n=.5. Związek konstytutywny na pozioie przekroju Jak wcześniej wsponiano, szczegóły wyprowadzenia związku konstytutywnego (.7) w iarach uogólnionych naprężeń i odkształceń przedstawiono w dodatku D. W ty iejscu przedstawia się jedynie skrótowy zapis, wprowadzając ty say oznaczenia, które będą wykorzystywane w dalszej części pracy. Ogólną postać związku naprężenie-odkształcenie dla wielkości echanicznych ożna zapisać w postaci (por. (D.18)): gdzie: { Sech} { } ech ech { ech} S = H E (.89), { N } ech { Mech} { Bech} { Qech} { Eech} () { ε } (1) { ε } () { ε } () { γ },. = = (.9)
.5. Związek konstytutywny na pozioie przekroju 49 Składowe wektora przyrostów naprężeń i odkształceń w (.9) przyjowane są, odpowiednio, wg (D.6) i (D.9). Macierz konstytutywna [ H ech ] a następującą strukturę blokową (por. (D.18): H ech Poszczególnie podbloki w (.91) dane są przez: [ ] [ ] (,) (,1) (,) [ A] [ B] [ D] [ ] 3 3 3 3 3 3 3 (1,) (1,1) (1,) [ B] [ D] [ E] [ ] 3 3 3 3 3 3 3 = (,) (,1) (,). [ D] [ E] [ F] [ ] 3 3 3 3 3 3 3 (,) [ ] [ ] [ ] [ S ] 3 3 3 A (.91) H a11 a1 a13 k 3a44 k3k13 a 45 3 A = a 3 3 1 a a 3, SA, a, ij cij d = = μ θ (.9) k3k13 a54 k13a55 H a31 a3 a 33 H b11 b1 b13 3 3 B = b 3 3 1 b b 3, bij cij d, = θ μ θ (.93) H b31 b3 b 33 [ ] d d d D d d d d c d 3 3 d d d H 11 1 13 3 3, θ μ θ, (.94) H 31 3 33 [ ] = 1 3 ij = ij ( ) e e e E e e e e c d 3 3 H 11 1 13 3 3 3, θ μ θ, (.95) H e31 e3 e 33 [ ] = 1 3 ij = ij ( ) f f f F f f f f c d 3 3 H 11 1 13 3 4 3, θ μ θ, (.96) H f31 f3 f 33 [ ] = 1 3 ij = ij ( ) gdzie c ij są eleentai acierzy (.68). W (.9) wprowadzono opisane w dodatku B globalne dla całego przekroju współczynniki korekcyjne ścinania k ij. Lewy dolny indeks przy acierzy H wprowadzono w celu podkreślenia, że paraetry ateriałowe są traktowane podczas analizy jako stałe, niezależne od poziou obciążenia, w ty teperatury. Dla czynnika tericznego natoiast związek konstytutywny na pozioie przekroju w konfiguracji t = dany jest przez (por. (D.18)): gdzie { } { } S = H T (.97),
5. Model powłoki { S} { N} { M} { B } { } T,, T () = { T} = (1) (.98) przy czy T () oraz T (1) przyjuje się zgodnie z (.57). Struktura blokowa acierzy konstytutywnej związanej z wpływe teperatury jest następująca: Podwektory (.99) są dane przez: gdzie i c według (.7). { } (,) (,1) { A} { B } 31 31 (1,) (1,1) { B} { D } 31 31 H =. (,) (,1) (.99) { D} { E } 31 31 {} {} 1 1 a A a, a c μdθ, (.1) 1 h i i 3 = 3x1 = 3 h a { } b B b, b c θ μdθ, (.11) 1 h i i 3 3 = 3x1 = 3 h b 1 h d 3 3 D d, d c d, 3x1 θ μ θ (.1) 3 h d i i { } = = ( ).6. Kryteriu Tsai-Wu w analizie wytężenia ateriału Jak wsponiano we Wstępie, analizę stateczności konstrukcji rozszerza się o kontrolę stanu wytężenia ateriału warstw, wykorzystując w ty celu kryteriu Tsai-Wu. Obszar bezpieczny dla płaskiego stanu naprężenia w punkcie warstwy poprzecznie izotropowej określa zgodnie z hipotezą Tsai-Wu wieloian [48, 57, 65, 17, 18]:
.6. Kryteriu Tsai-Wu w analizie wytężenia ateriału 51 1 1 σ ef Xt X c 1 + ef Y Y t c aa 1 1 σ ef Yt Yc 1 + X X aa ( σ ) bb aa bb 1 ab ( σ ) + F σ σ + ( σ ) = 1 ab ef bb ef S t s c ef ef + (.13) gdzie aa bb ab σ ef, σ ef, σ ef są składowyi tensora naprężeń efektywnych Cauchy ego w lokalnych osiach ateriałowych warstwy (rys..4). X t, X c, są wytrzyałością warstwy w kierunku zgodny z ułożenie włókien przy rozciąganiu i ściskaniu; Y t, Y c sybolizują wytrzyałości warstwy w kierunku poprzeczny do kierunku włókien przy rozciąganiu i ściskaniu; S s oznacza wytrzyałość warstwy na ścięcie w jej płaszczyźnie; F ab to współczynnik interakcji naprężeń σ ef i bb aa σ ef. Wszystkie charakterystyki wytrzyałościowe poza współczynnikie interakcji wyznaczane są w laboratoryjnych próbach jednoosiowych. Ponieważ określenie współczynnika F ab wyagałoby przeprowadzenia skoplikowanego badania dwu-osiowego [57, 65, 161], często wartość tej stałej przyjowana jest jako równa zeru. W niniejszej pracy jednak współczynnik ten jest wyznaczany zgodnie z forułą, którą podali Tsai i Hahn 8) F ab 1 =. (.14) X X YY Wartość współczynnika interakcji, choć zwykle bardzo ała, a znaczący wpływ na kształt i zasięg obszaru bezpiecznego kreślonego zgodnie z opisywaną hipotezą w przestrzeni naprężeń [139]. Koentarza wyaga fakt, że kryteriu (.13) zapisane zostało dla płaskiego stanu naprężenia. W zastosowany odelu powłoki, obok składowych naprężeń występujących w (.13), występują także składowe poprzecznego ścinania. Podkreśly, że kryteriu Tsai-Wu jest w ogólny przypadku trójwyiarowe [17, 18] i ożna by je w takiej postaci zastosować w niniejszej pracy. W praktyce jednak, ze względu na dostępne w analizowanych w dalszej części pracy przykładach dane wytrzyałościowe ograniczone do płaskiego stanu naprężenia, kontrolę wytężenia ogranicza się tylko do składowych PSN i dlatego przytaczane tu kryteriu jest dwuwyiarowe. Warto dodać, że takie uproszczone podejście jest zastosowane także w prograie NX-Nastran. Stopień wytężenia ateriału określany będzie tzw. indekse zniszczenia FI, którego foruła wynika wprost z (.13): 1 1 FI = Xt X 1 + ef YY t c c aa 1 1 bb σ ef σ ef Yt Y c bb aa bb 1 ab ( σ ) + F σ σ + ( σ ) ab ef t ef c t c S 1 + X X s t ef c aa ( σ ) ef + (.15) Stano bezpieczny odpowiadają wartości FI < 1, natoiast wartości FI > 1 będą określały stan niebezpieczny. 8) Tsai S.W., Hahn H.T.: Introduction to coposite aterials. Lancaster: Technoic Publishing Co., 198. Praca cytowana za [161].
5. Model powłoki O echanizie zniszczenia rozstrzyga się w sposób przybliżony, tj. na podstawie oceny, które ze składników suy po prawej stronie (.15) są doinujące [17]. I tak: warunek: FI 1 1 aa 1 aa a = ef + ( ef ) ax( FIa, FIb, FIab) Xt X σ σ c Xt X = c odpowiada zniszczeniu włókien; warunek: FI 1 1 bb 1 bb b = ef + ( ef ) ax( FIa, FIb, FIab) Yt Y σ σ c YY = t c odpowiada zniszczeniu atrycy; (.16) 1 ab warunek: FI ab = ( σ ) ax(,, ) ef = FIa FIb FIab S odpowiada ściśnięciu warstwy. s
Rozdział 3 IMPLEMENTACJA NUMERYCZNA W ty rozdziale przedstawia się eleenty nuerycznej ipleentacji odelu obliczeniowego powłoki opisanego w rozdziale. Na początku oówione są krótko eleenty skończone stosowane w dyskretyzacji, następnie podana jest acierzowa wersja zasady przeieszczeń wirtualnych, kolejno oówione są: etody śledzenia ścieżek równowagi, analiza z uwzględnienie iperfekcji oraz analiza wytężenia konstrukcji. 3.1. Eleenty skończone stosowane w analizie Do dyskretyzacji analizowanych konstrukcji używane są eleenty izoparaetryczne [58, 61, 188]. W stosowany prograie udostępnione są: 8-węzłowy eleent Serendipity oraz 9- i 16-węzłowe eleenty Lagrange a [34, 58]. Przyjęto następujące oznaczenia: NNE liczba węzłów eleentu, k nuer węzła w eleencie, r, s naturalne współrzędne lokalne eleentu, q M przeieszczenie (stopień swobody) w węźle k eleentu, M = 1..5, u M przeieszczenie w dowolny punkcie eleentu, M = 1..5. Zachodzą następujące relacje iędzy przeieszczeniai punktów eleentu, a składowyi wektora przeieszczeń (.49): u u M M = = () υi (1) υ j M = i = 1,, 3 M 3 = j = 1, (translacje), (obroty). (3.1) Przeieszczenia punktów w eleencie w funkcji paraetrów węzłowych przedstawia zależność: NNE k um rs Nk rs qm k = 1 (,) = (,), M = 1, 5, (3.) gdzie N k (r,s) jest funkcją kształtu naturalnych współrzędnych eleentu w węźle k (patrz np. [58, 19]). Wprowadzając liniowe operatory acierzowe B ijm i G ikp, składowe tensora odkształcenia E ij (por. (.51)) ożey zapisać [79, 8]: 1 E = B u + G G u u. (3.3) ij ijm M ikp jkq P Q Pochodne składowych tensora odkształceń w funkcji przeieszczeń węzłowych w konfiguracji aktualnej wyrażone są przez [79, 8]:
54 3. Ipleentacja nueryczna E u u 1 1 1 ij M 1 M = BijM + GikPGjkM up qr qr qr E u u 1 1 1 ij P M = GikPGjkM R Q Q R q q q q.,, (3.4) (3.5) Ze względu na liniową zależność przeieszczeń od paraetrów węzłowych drugie pochodne przeieszczeń po paraetrach węzłowych w (3.5) zanikają. Analiza efektywności tych eleentów, zwłaszcza pod kąte obecności tzw. efektu blokady (ang. locking, [9, 34, 36, 58, 19, 111, 175, 176, 189]), nie jest przediote niniejszej pracy i w ty zakresie bazuje się na doświadczeniach zaprezentowanych.in. w [79, 83]. W konsekwencji najczęściej w obliczeniach stosowany jest eleent 8-węzłowy. W celu uniknięcia wpływu blokady na wyniki stosowany jest zaproponowany w [189] scheat równoiernie zredukowanego całkowania na etapie wyznaczania sztywności eleentów (ang. Unifor Reduced Integration URI) [58, 81, 175]. Technika ta oże być jednak źródłe zero-energetycznych for deforacji, tzw. for pasożytniczych [34, 176, 177]. Z tego względu, w celu weryfikacji otrzyanego rozwiązania, w pracy używany jest także eleent 16-węzłowy z pełny całkowanie (ang. Full Integration FI), który ożna uznać za zasadniczo wolny od wpływu efektu lockingu [34]. 3.. Macierzowa reprezentacja zasady przeieszczeń wirtualnych Przyponijy wprowadzoną wcześniej konwencję: konfiguracją odniesienia jest chwila początkowa t =, konfigurację aktualną oznaczy przez t = 1, a konfigurację poszukiwaną przez t =. Wewnętrzną pracę wirtualną (.88) z uwzględnienie związku konstytutywnego (.89) i (.97) ożna wyrazić, jak poniżej: W = E L + H E L dω+ ( n) ( n) ( n, ) ( ) ( n) 1 αβ αβχδ αβ δ i δ αβ ech χδ Ω n= = () () (,) () 1 ζ 3 ζ 3η3 + δ Eζ 3 Lech + Ξ Eη3 dω, Ω (3.6) gdzie H αβχδ i Ξ ζ3η3 są odpowiednii współrzędnyi tensora konstytutywnego H ech (por. (.91)). Wykorzystując dekopozycję przyrostową (.83), składowe tensora odkształcenia w konfiguracji poszukiwanej ożey zapisać: 1 Eij Eij Eij. = + (3.7) Składowe odkształcenia w konfiguracji poszukiwanej ożna także przybliżyć rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu konfiguracji aktualnej, z czego wyznacza się nieznany w (3.7) przyrost odkształceń w funkcji ich aktualnej wartości: E 1 1 1 ij ij Eij Eij + ΔqS Eij = ΔqS, qs qs E (3.8)
3.. Macierzowa reprezentacja zasady przeieszczeń wirtualnych 55 gdzie pochodna składowych tensora odkształcenia w konfiguracji aktualnej, t = 1, wg (3.4). Wariację przyrostów składowych tensora odkształcenia ożna zapisać następująco [79, 8]: 1 1 1 Eij Eij δ( Eij) = δ( Eij Eij) = δ( Eij) δ( Eij) δqs + δ qsδqt, (3.9) q q q S S T gdzie pochodne składowych tensora odkształceń w MES wyznaczane są według (3.4) i (3.5). Podstawiając (3.8) i (3.9) do (3.6) i po uporządkowaniu, otrzyujey: gdzie: 1 1 1 δw = δ q F F + ( K + K K ) Δ q + K Δq Δq, (3.1) 1 1 U 1 G G, 1 U ( II ) i S S S ST ST ST T STR T R 144443 1 JS ( q, Δq) F S składowe wektora sił zrównoważonych 1 F 1) w konfiguracji aktualnej, zależne od aktualnych naprężeń i przeieszczeń: ( n) () 1 ( n) 1 () 1 Eαβ 1 E αβ ζ 3 1 ζ 3 S ech ech n= qs q Ω S F = L + L dω, F S składowe wektora obciążenia tericznego (3.11) F, zależne od teperatury w konfiguracji poszukiwanej i aktualnych przeieszczeń: F = L dω, ( n) 1 ( n) Eαβ αβ S n= q Ω S U K ST składowe ateriałowej acierzy sztywności 1 K U, zależne od aktualnych przeieszczeń: ( n) ( ) () () 1 ( n, ) 1 1 (,) 1 1 U Eαβ E E 3 3 3 E αβχδ χδ ζ ζ η η3 ST n= = qs q T qs q Ω T (3.1) K = H + 4 Ξ dω, G K ST składowe geoetrycznej acierzy sztywności 1 G G, ST K, zależne od aktualnych naprężeń: ( n) () 1 ( n) 1 () 1 G Eαβ 1 E αβ ζ 3 1 ζ 3 ST ech ech n= qs qt qs q Ω T K = L + L dω, (3.13) (3.14) K składowe tericznej geoetrycznej acierzy sztywności K G,, którą dalej nazywać będziey w skrócie tericzną acierzą sztywności, zależne od teperatury w konfiguracji poszukiwanej: 1) Sybolikę wektora sił zrównoważonych 1 F i późniejszą F należy odróżniać od stosowanego w pracy oznaczenia aterialnego gradientu deforacji F i jego odwrotności F.
56 3. Ipleentacja nueryczna 1 U ( II ) STR ( n) 1 ( n) G, Eαβ αβ ST n= qs q Ω T K = L dω, (3.15) K składowe trójwyiarowego obiektu, który nazywany jest acierzą wyższego rzędu [79] 1 U ( II K ), zależne od aktualnych przeieszczeń: ( n) ( ) () () 1 ( n, ) 1 1 (,) 1 1 U( II) Eαβ E E 3 3 3 E αβχδ χδ ζ ζ η η3 STR n= = qs qr q T qs qr q Ω T K = H + 4 Ξ dω. (3.16) Macierz wyższego rzędu 1 U ( II ) K (3.16) wraz kwadrate przyrostu wektora paraetrów 1 węzłowych w równaniu (3.1) stanowią dodatkowy składnik J( q, Δq ), zależny od aktualnej deforacji i nieliniowy względe przyrostu przeieszczeń. Równanie (3.1) ożey przepisać wprowadzając notację acierzową: ( ( ) ( )) δw = δ q F F + K + K K, Δ q+ J q, Δq. (3.17) T 1 1 1 1 i U G G Pracę wirtualną obciążeń zewnętrznych (por. (.81)) w notacji acierzowej zapisać ożna następująco: T W e = q Rech, δ δ (3.18) gdzie R ech reprezentuje wektor zewnętrznych echanicznych obciążeń węzłowych w konfiguracji poszukiwanej. Podstawiając (3.17) i (3.18) do (.73), zapisujey acierzową wersję zasady przeieszczeń wirtualnych, otrzyując ty say acierzową postać przyrostowego równania równowagi: 1 1 1 1 ( U + G G ) Δ = ech + ( Δ ) 1 1 gdzie ( KU + KG K G, ) jest tzw. styczną acierzą sztywności. K K K, q R F F J q, q, (3.19) Koentarza w ty iejscu wyaga pojawiająca się po lewej stronie równania (3.19) tericzna acierz sztywności K G,, przy której występuje lewy górny indeks t =, w odróżnieniu od pozostałych składowych acierzy sztywności oznaczonych indekse t = 1. Oznaczenie to jest bezpośrednią konsekwencją definicji tych składowych, tj. acierze 1 K U i 1 K G zależą, odpowiednio, od aktualnych (t = 1) przeieszczeń i naprężeń echanicznych (por. (3.13) i (3.14)), natoiast acierz tericzna K G, jest funkcją teperatury w konfiguracji poszukiwanej (t = ) (por. (3.15)). Wartość teperatury uwzględniana w składniku K G, jest jednak zależna od etody śledzenia ścieżki i będzie oówiona w dalszej części pracy. 3.3. Ogólne uwagi o równaniu przyrostowy Przyponijy, że w przyjętej w pracy etodzie analizy stateczności konstrukcji poszukiwane są punkty krytyczne na ścieżce równowagi układu, którą to ścieżkę znajdujey na drodze rozwiązania przyrostowego. Równanie (3.19) odgrywa tu zate kluczową rolę,
3.3. Ogólne uwagi o równaniu przyrostowy 57 przy czy w zaprezentowanej powyżej postaci przedstawia ono nieliniową zależność względe poszukiwanego przyrostu przeieszczeń, gdyż uwzględniono w ni związany z acierzą (3.16) wektor wyższego rzędu (por. (3.1)). W celu znalezienia rozwiązania równania, dokonuje się jego linearyzacji, poijając powyższy człon nieliniowy: ( ) K + K K Δ q = R + F F. (3.) 1 1 1 U G G, ech Podkreśly teraz, że równanie (3.) zapisane jest w postaci ujującej dwa typy obciążeń: obciążenia natury echanicznej R ech (obciążenia skupione, ciśnienie itp.) oraz obciążenie teperaturą F. Uwzględnienie zienności obydwóch obciążeń jednocześnie wyagałoby analizy tzw. obciążenia wieloparaetrowego. Jest to dość skoplikowane zagadnienie [95, 171]. W niniejszej pracy, jak już wcześniej wsponiano, badane są tylko obciążenia jednoparaetrowe. Przyjęto zate dwa ożliwe warianty analizy: ziennego obciążenia echanicznego przy ustalony polu teperatury, ziennego obciążenia tericznego przy ustalony pozioie obciążenia echanicznego. Praktycznie jednak w pracy skoncentrowano się na przypadkach powłok obciążonych tylko i wyłącznie zienny pole teperatury. Zaznaczy ponownie, że określenie zienny oznacza tu zienność w tzw. czasie uowny. Przepiszy (3.) w skróconej forie, uwzględniając jedynie obciążenie tericzne: ( ) K + K K Δ q= F F. (3.1) 1 1 1 U G G, Zazwyczaj w analizie przyrostowej obciążenie definiowane jest poprzez pewne obciążenie referencyjne ponożone przez tzw. paraetr obciążenia [34, 171]. Obciążenie referencyjne jest definiowane raz i pozostaje ustalone. Zauważy jednak, że wektor obciążenia tericznego w niniejszy sforułowaniu jest zależny od aktualnych przeieszczeń (por. (3.1) i (3.4)). Wektor ten a zate charakter obciążenia śledzącego [95] i ewentualny zapis obciążenia w konfiguracji poszukiwanej w forie F = λ F, REF, gdzie F, REF jest wektore ustalony, byłby błędny [113]. W poprzedni rozdziale w punkcie. wprowadzono opis obciążenia tericznego (3.57), będący uogólnienie zapisów (3.54) i (3.56). Zgodnie z ty opise przyrost teperatury w dowolny punkcie na grubości powłoki jest uzależniony od przyrostu teperatury na wyróżnionej, tj. górnej albo dolnej powierzchni zewnętrznej (tzw. teperatury wiodącej), ustalonego jako iloczyn aplitudy teperatur, której wskazane włókno jest poddane, i paraetru obciążenia λ. W niniejszy sforułowaniu obciążenie referencyjny jest zate aplituda teperatur na wskazanej powierzchni zewnętrznej, tj. Δ TREF = Tax Tinit, (3.) gdzie T ax i T init wg (.53) lub (.55). W istocie to występujące w (3.1) i (3.15) tericzne siły przekrojowe L αβ są bezpośrednio zależne od obciążenia referencyjnego (3.): ( ) L αβ αβ = L, ΔTREF λ. ) (3.3) ) W celu uproszczenia zapisu nad oznaczenie sił tericznych poinięto indeks (n).
58 3. Ipleentacja nueryczna Paraetr obciążenia ożna wyłączyć na zewnątrz (3.3) (por. (D.7) i (D.1)): ( ) L = λ L ΔT. (3.4) αβ αβ REF Należałoby zate wprowadzić poniższy zapis dla wektora obciążenia tericznego oraz zależnej także od teperatury tericznej acierzy sztywności w dowolnej konfiguracji t = : ( 1) αβ ( λ L ( T )) αβ λ L ( T ). F = F q, Δ, REF K ( ) = K Δ G, G, REF (3.5) W (3.5) zaznaczono dodatkowo, że wektor obciążenia tericznego jest zależny od przeieszczeń w znanej konfiguracji. Struktura tego wektora (3.1) i acierzy tericznej sztywności (3.15) pozwalają jednak także na wyprowadzenie paraetru obciążenia z wnętrza i zapisanie (3.5) w forie: ( 1) ( T ) F = λ F q, Δ, REF K = λ K Δ ( T ) G, G, REF Wykorzystując (3.6), równanie (3.1) ożna zapisać, jak poniżej: ( U G G ( TREF )) (, TREF ) 1 1 1 1,. (3.6) K + K λ K Δ Δ q= λ F q Δ F. (3.7) W celu uproszczenia dalszych rozważań i przekształceń wprowadźy jeszcze inną postać równania przyrostowego ze skrócony zapise stycznej acierzy sztywności: 1 1 1 K( q,, ΔTREF ) Δ q = F ( q, ΔTREF ) F( q), 1 1 1 gdzie zaznaczono, że acierz ( KU + K G λ K G, ( Δ TREF )) = K( q, λ, ΔTREF ) 1 i wektor obciążenia tericznego λ F ( q, ΔTREF ) 1 i teperatury w konfiguracji poszukiwanej, a wektor sił zrównoważonych F( ) teperatury niezależny. λ λ (3.8) są funkcją aktualnych przeieszczeń q jest od 3.4. Metody śledzenia ścieżek równowagi Wskutek poinięcia w (3.) składnika nieliniowego względe przyrostu przeieszczeń, z bezpośredniego rozwiązania (3.8) otrzyujey wynik, który oże być obarczony duży błęde, zwłaszcza jeśli zagadnienie jest silnie nieliniowe [179]. Dlatego też konieczne jest poprawienie uzyskanego rozwiązania. To jest dokonywane przy użyciu odpowiedniego algorytu iteracyjnego, dla którego wynik rozwiązania (3.8) będzie traktowany jako pierwsze (lub zerowe) przybliżenie. W nieliniowej analizie konstrukcji używany jest najczęściej algoryt Newtona- Raphsona [7, 111, 168, 169, 17, 171]. Jak nadieniono w punkcie.4 pracy, cele analizy nie jest znalezienie tylko jednego rozwiązania w pojedynczy kroku przyrostowy, ale ciągu rozwiązań odpowiadających dyskretny punkto czasowy, które definiują poszukiwaną ścieżkę równowagi kon-
3.4. Metody śledzenia ścieżek równowagi 59 strukcji. Istotną kwestią jest tu dalej wybór paraetru sterującego, względe którego rozróżnić ożna trzy typowe etody śledzenia ścieżek równowagi [34, 168, 171]: sterowanie obciążenie, sterowanie przeieszczenie, sterowanie paraetre łuku (paraetre ścieżki). Jak już wsponiano w rozdziale 1, w niniejszej pracy w analizach nuerycznych stosowane są jedynie: etoda sterowania obciążeniowego i paraetre łuku. Aby oówić stosowane etody śledzenia ścieżek, przyjijy następujące oznaczenia: n nuer kroku przyrostowego stosowany w iejscu lewego górnego indeksu, i nuer iteracji w n-ty kroku przyrostowy stosowany w iejscu prawego górnego indeksu. 3.4.1. Sterowanie obciążeniowe W etodzie sterowania obciążeniowego wartość paraetru obciążenia n λ w dowolny kroku przyrostowy n jest określona następująco: λ = λ +Δλ, (3.9) n ( n 1) gdzie Δλ jest predefiniowany przyroste tej wielkości. Przyjując, że stan przeieszczenia w chwili n 1 oraz teperatura w konfiguracji poszukiwanej są znane, ożey z równania (3.8), wyznaczyć wstępne, tzw. zerowe przybliżenie poszukiwanego przyrostu przeieszczenia: ( ( n 1) n ) n () n ( 1) ( 1) ( n ) ( n ΔTREF Δ = ΔT REF ) K q, λ, q λ F q, F q. (3.3) n () Δq uożliwia obliczenie zerowego przybli- Otrzyany z rozwiązania (3.3) przyrost żenia poszukiwanych przeieszczeń: q = q+ Δq. (3.31) n () ( n 1) n () Jak wcześniej napisano, wskutek zlinearyzowania równania wyjściowego (3.19), uzyskany na drodze rozwiązania równania (3.3) rezultat n Δq () wyaga poprawienia. W ty celu przeprowadzany jest na dany kroku przyrostowy n ciąg iteracji Newtona i = 1,,3 i END i z rozwiązania równania ( n ( i 1) ( ) ( 1) ( 1), n, ) n i n ( n i, ) ( n i Δ TREF = ΔT REF ) K q λ δq λ F q F q (3.3) wyznaczana jest poprawka δq (i). Następnie korygowany jest wyznaczony z (3.3) przyrost: i przeieszczenia węzłowe: Δ q = Δ q + δ q (3.33) n ( i) n ( i 1) n ( i) n () i n ( i 1) q = q + n q () i. δ (3.34) Przy czy w (3.33) i (3.34) n Δq () i n q () wyznaczay z (3.3) i (3.31). O zakończeniu procesu iteracyjnego decyduje spełnienie warunku: n () i n () i δq < ε Δq i = i END, (3.35)
6 3. Ipleentacja nueryczna gdzie ε jest zadaną tolerancją, a sybol oznacza norę kwadratową wektora. Z praktycznych względów, na wypadek probleów ze zbieżnością, wprowadza się graniczną liczbę iteracji i ax w kroku przyrostowy. Jeśli warunek zbieżności (3.35) w tej liczbie iteracji nie zostanie spełniony, obliczenia są przerywane. Przy znanej wartości n iend λ obliczony ostatecznie w ciągu iteracyjny przyrost n Δq iend i przeieszczenia n q określają położenie nowego punktu na ścieżce równowagi. Podkreśly na koniec, że w etodzie sterowania obciążeniowego paraetr obciążenia n λ jest zienną niezależną, w związku z czy jest on w raach danego kroku przyrostowego n znany i ustalony i oże ieć tę saą wartość po obu stronach równania (3.3) czy (3.3). Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że po lewej stronie tych równań wartość tego paraetru, nawiązująca do konfiguracji poszukiwanej, związana jest ze składnikie sztywności, który odejowany jest od pozostałych składowych zależnych od aktualnych przeieszczeń i naprężeń. Jeśli więc przyjęty przyrost paraetru Δλ jest zbyt duży, ogą wystąpić pewne probley z uwarunkowanie acierzy. Należy zate unikać zbyt dużych wartości Δλ. Nie stanowi to jednak o ograniczeniu praktycznego zastosowania opisanej etody. Metoda sterowania obciążeniowego cechuje się, wsponiany wcześniej, charakterystyczny ograniczenie, ianowicie pozwala śledzić rozwiązanie jedynie do poziou punktu granicznego obciążenia. Za ty punkte krzywa (ścieżka) przestaje być jednoznacznie określona dla ziennej niezależnej n λ, stąd algoryt w pobliżu tego punktu traci zbieżność. Z tego względu etoda ta jest ało przydatna w przeprowadzanej w pracy analizie stateczności konstrukcji, gdyż nie uożliwia wyznaczenia wielkości obciążenia krytycznego oraz śledzenia ścieżki pokrytycznej. 3.4.. Sterowanie paraetre łuku Analizę ścieżki pokrytycznej uożliwia etoda sterowania paraetre łuku. W etodzie tej przyjuje się ieszany paraetr sterujący, wiążący przyrost obciążenia z przyroste przeieszczenia, tzw. długość łuku lub inaczej długość paraetru ścieżki ds. Technika ta pozwala na efektywne poszukiwanie rozwiązań w pobliżu punktów granicznych obciążenia, ale także przeieszczenia (punktów zwrotnych ścieżki) [19, 169]. Etap zerowy w kroku przyrostowy Podobnie jak w przypadku sterowania obciążeniowego, niezbędne jest określenie zerowego przybliżenia poszukiwanego przyrostu przeieszczeń. Nie jest tu jednak ożliwe zastosowanie równania (3.3), gdyż o ile znany jest stan przeieszczenia z przyrostu (n 1), to wartość paraetru obciążenia w konfiguracji poszukiwanej n λ pozostaje nieokreślona, gdyż w tej etodzie przyrost paraetru obciążenia Δλ nie jest (poza pewny wyjątkie) predefiniowany. Oprócz zerowego przybliżenia poszukiwanego przyrostu przeieszczeń konieczne jest zate także określenie zerowego przybliżenia przyrostu paraetru obciążenia w każdy kroku przyrostowy. Długość paraetru ścieżki ds, wiąże długość zerowego przybliżenia wektora przyrostu przeieszczeń z zerowy przybliżenie przyrostu paraetru obciążenia w kroku przyrostowy n zgodnie z relacją: T ( ) ( ) ( ) n () n () n () n Δ Δ + Δ = ds, q q λ (3.36)
3.4. Metody śledzenia ścieżek równowagi 61 gdzie n Δq () n () i Δλ są poszukiwanyi w dany kroku przyrostowy zerowyi przybliżeniai. Związek (3.36) odpowiada sferyczneu sterowaniu paraetre łuku, w odróżnieniu od wariantu cylindrycznego, w który występuje tylko pierwszy składnik suy po lewej stronie (3.36), [44, 113]. Zerowe przybliżenie poszukiwanego przyrostu wektora przeieszczeń uzależnia się n () poprzez paraetr obciążenia Δλ od tzw. wektora referencyjnego n Δq REF : Δ q = Δλ Δq. (3.37) n () n () n Wektor referencyjny wyznaczany jest w każdy kroku przyrostowy z następującego równania: REF ( ( n 1) ( n 1) ( 1) ) n ( n ΔTREF Δ REF = ΔTREF ) K q, λ, q F q,. (3.38) Zwróćy uwagę, że po prawej stronie (3.38) występuje wektor obciążenia tericznego zależny od całkowitej aplitudy teperatur, jakiej poddana jest wskazana powierzchnia zewnętrzna konstrukcji według (3.), natoiast acierz sztywności jest zależna od przeieszczeń i teperatury wyznaczonych w poprzedzający kroku przyrostowy (n 1). Uzależnienie sztywności od teperatury związanej z całkowity obciążenie nie iałoby sensu. Wykorzystując (3.37), (3.36) ożna zapisać: T ( ) ( q ) ( q ) λ 1. (3.39) n () n n n Δ Δ REF Δ REF + = ds n () Przyrost paraetru obciążenia Δλ nie jest w tej etodzie stały podczas analizy. Ponadto jego wartości zasadniczo jak już wcześniej wsponiano nie predefiniuje się. Jedyny wyjątkie jest tu pierwszy krok przyrostowy, w który: 1 () Δ =Δ, Δ, zadane λ λ, λ. (3.4) Jeśli więc w pierwszy kroku przyrostowy (n = 1) dla q = i λ = z (3.38) wyznaczony zostanie wektor referencyjny 1 Δq REF, to przy zadanej wartości przyrostu paraetru obciążenia 1 Δλ () (3.4), ożna z (3.39) ustalić wartość kwadratu długości łuku 1 ds. n () W pozostałych krokach przyrostowych, tj. dla n > 1, gdy Δλ nie jest już predefiniowane, postępuje się niejako odwrotnie, tj. najpierw wyznaczany jest kwadrat długości łuku z relacji: n NDIT ( n 1) ds = ds, n > 1, (3.41) NITE gdzie NDIT i NITE są, odpowiednio, zakładaną przez użytkownika liczbą iteracji oraz rzeczywistą liczbą iteracji w poprzedni kroku przyrostowy. Dodatkowo n ds usi spełniać praktyczny warunek: n ds < ds< ds, (3.4) in gdzie ds in i ds ax są zadanyi, odpowiednio, inialną i aksyalną długością łuku. Związek (3.41) opisuje zate skalowanie kwadratu długości łuku z kroku poprzedzającego, zgodne z warunkai zbieżności algorytu w tyże kroku. ax
6 3. Ipleentacja nueryczna Następnie z przekształcenia (3.39) określa się zerowe przybliżenie przyrostu paraetru obciążenia: n n () ds Δ λ =, n > 1. (3.43) Δ Δ + 1 n T n ( qref ) ( qref ) Postępując, jak wyżej opisano, w każdy kroku przyrostowy n określana jest para n () Δλ ((3.4) i (3.43)) oraz n Δq () (3.37), a więc zerowe przybliżenie poszukiwanych przyrostu wektora przeieszczeń i paraetru obciążenia. Na ich podstawie ożna wyznaczyć zerowe przybliżenie poszukiwanego punktu na ścieżce równowagi: q = q+ Δq n () ( n 1) n () λ = λ + Δλ n () ( n 1) n (),. (3.44) Proces iteracyjny w kroku przyrostowy Wyznaczone w etapie zerowy n Δq () n () i Δλ interpretujey jako składowe wektora stycznego do poszukiwanej ścieżki w punkcie odpowiadający konfiguracji (n 1): n t () n () n () = Δ q, Δ λ. (3.45) Przybliżenia zerowe n Δq () n () i Δλ wyagają poprawienia, które uzyskuje się na drodze procesu iteracyjnego i = 1,,3 i END Newtona. Nie ożna w ty iejscu skorzystać jednak z równania identycznego jak (3.3), ponieważ nieznana jest wartość paraetru obciążenia w konfiguracji poszukiwanej n λ. Korzystay tu z relacji: n ( i) n ( i 1) n ( i) λ = λ + δλ, (3.46) n () i n ( i 1) gdzie λ, λ są przybliżeniai wartości paraetru obciążenia w konfiguracji poszukiwanej n, odpowiadającyi, odpowiednio i-tej iteracji i iteracji poprzedzającej (i 1); n () i δλ jest poszukiwaną poprawką wartości paraetru obciążenia w bieżącej iteracji. Równanie równowagi na etapie iteracji a więc postać: ( n ( i 1) n ( i 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ) n i ( n i n i ) ( n i ) ( n i Δ TREF = + ΔT REF ) K q, λ, δq λ δλ F q, F q. (3.47) Równanie to ożna jeszcze przekształcić do postaci: n ( i 1) n ( i 1) n () i n () i n ( i 1) n ( i 1) ( λ Δ TREF ) δ = δλ ( Δ TREF ) + U ( ΔTREF ) K q,, q F q, J q,, gdzie: (3.48) J q, F q, F q, n ( i 1) n ( i 1) n ( i 1) n ( i 1) ( Δ T ) = λ ( ΔT ) ( ) U REF REF w który wprowadzony wektor J U jest wektore sił niezrównoważonych w bieżącej iteracji i. Podkreśly, że sztywność w (3.47) uzależniay od znanej w danej iteracji wartości teperatury, identycznej z teperaturą uwzględnianą w wektorze sił niezrównoważonych (3.48b). Inną ożliwą opcją jest obliczanie sztywności w ciągu iteracyjny dla teperatury z początku kroku przyrostowego. Przeprowadzone eksperyenty nueryczne wykazały jednak, że przy przyjęciu teperatury zaktualizowanej, jak w (3.47) czas obliczeń poje-
3.4. Metody śledzenia ścieżek równowagi 63 dynczego kroku przyrostowego, ierzony liczbą iteracji potrzebnych do spełnienia warunku zbieżności, jest krótszy. Należy ponadto zaznaczyć, że z identycznych powodów, jak w przypadku sterowania obciążeniowego nie należy stosować zbyt dużych przyrostów paraetrów obciążenia, co w sterowaniu paraetre łuku sprowadza się do unikania zbyt dużego Δλ, (3.4). W procesie iteracyjny poszukiwana będzie para poprawek, tj. δq (i) n () i i δλ dla obliczonych w zerowy etapie przyrostów n Δq () n () i Δλ. W ty iejscu należy zastosować odpowiednie kryteriu decydujące o kierunku poszukiwań rozwiązania. Do najbardziej znanych kryteriów należą: kryteriu Crisfielda, zgodnie z który rozwiązanie poszukiwane jest na okręgu (ściśle sferze) o środku w punkcie ścieżki odpowiadający konfiguracji aktualnej; kryteriu Riksa-Wepnera, według którego poszukiwanie rozwiązania odbywa się na kierunku prostopadły do wektora stycznego (3.45) do ścieżki w aktualny punkcie [169]. Zaznaczy tu jednak, że istnieją jeszcze inne kryteria [19, 17], jak również szereg różnych wariantów wyienionych wyżej kryteriów (por. [3]). W niniejszej pracy stosowany jest warunek Riksa-Wepnera-Raa, który poniżej przybliżyy. Poszukiwane poprawki ziennych δq (i) n () i i δλ są interpretowane jako składowe pewnego wektora poprawki: δδ = δq, δλ. (3.49) n () i n () i n () i Zgodnie z klasyczny kryteriu Riksa-Wepnera, rozwiązania są poszukiwane na kierunku prostopadły do wektora n t () (3.45). Kierunek poszukiwań jest więc narzucony warunkie ortogonalności wektorów (3.45) i (3.49), co ożna zapisać: n () n ( i) t δ Δ =. (3.5) Po podstawieniach (3.45) i (3.49) do (3.5) otrzyujey: T ( q ) ( q ) Δ δ + Δ λ δλ =. (3.51) n () n ( i) n () n ( i) W algorytie Riksa-Wepnera-Raa warunek (3.5) jest zodyfikowany, jak poniżej [3]: t δ Δ =, (3.5) n ( i 1) n ( i) co oznacza zachowanie warunku prostopadłości iędzy poszukiwany wektore poprawki n δδ (i) a aktualny wektore styczny do ścieżki, a więc wyznaczony w iteracji (i 1) (por. [79]). Przyjując, że składowe aktualnego wektora stycznego są następujące: zależność (3.5) ożna zapisać w postaci: t = Δ q, Δ λ, (3.53) n ( i 1) n ( i 1) n ( i 1) T ( q ) ( q ) Δ δ + Δ λ δλ =. (3.54) n ( i 1) n ( i) n ( i 1) n ( i) Warunek (3.5) oże być interpretowany jako pewien pośredni wariant iędzy kryteriai Crisfielda a klasyczny warunkie Riksa-Wepnera. Algoryt z odyfikacją Raa a
64 3. Ipleentacja nueryczna istotną zaletę z punktu widzenia obliczeń nuerycznych, tj. nie wyaga zapaiętywania, obok składowych wektora n Δq (i-1), współrzędnych wektora n Δq () w procesie iteracyjny [79]; poza ty jest na ogół szybciej zbieżny niż wariant klasyczny. Kryteria narzucające kierunek poszukiwań rozwiązania stanowią w istocie dodatkowe równania, tzw. równania więzów, które ogą być bezpośrednio wprowadzane do przyrostowego układu równań. Macierz takiego rozszerzonego układu przestaje być jednak syetryczna, co koplikuje algoryt jego rozwiązania [169]. Tego probleu ożna uniknąć wykorzystując technikę zaproponowaną przez Batoza i Dhatta 3) i wykorzystaną także np. w [79], bazującą na założeniu, że poszukiwana poprawka przeieszczeń oże być zdekoponowana następująco: n ( ) ( ) ( ) ( q i = n i n i n i) qf + qj. δ δλ δ δ (3.55) Składniki poprawki występujące po prawej stronie równania (3.55) wyznaczane są z dwóch układów równań o syetrycznej acierzy: n ( ( i 1) n ( i 1) n ( i) n ( i 1) λ Δ TREF ) δ F = ( ΔTREF ) n ( ( i 1) n ( i 1) n ( i) n ( i 1) λ Δ TREF ) δ J = U ( ΔTREF ) K q,, q F q,, K q,, q J q,. (3.56) n () i Można łatwo sprawdzić, że po ponożeniu pierwszego równania przez δλ i następny dodaniu stronai obydwóch równań w (3.56), otrzyay równanie (3.48) z poszukiwaną poprawką w postaci (3.55). Po rozwiązaniu (3.56), z (3.54), przy wykorzystaniu (3.55), wyznaczana jest poprawka przyrostu paraetru obciążenia: n δλ () i = n ( i 1) T n ( i) ( Δq ) ( δ qj ) T ( Δ q ) ( δqf ) + Δ λ n ( i 1) n ( i) n ( i 1). (3.57) n () i n () i n () i W ty oencie znane są zate wszystkie poprawki, tj. δ q F, δ q J i δλ, co przy wykorzystaniu związku (3.55) pozwala wyznaczyć całkowitą poprawkę przyrostu wektora przeieszczeń n δq (i) w iteracji i. Następnie zgodnie z (3.46) aktualizowany jest przyrost paraetru obciążenia oraz wektora przyrostów przeieszczeń i wektor przeieszczeń całkowitych, identycznie jak w sterowaniu obciążeniowy, a więc zgodnie z (3.33) i (3.34). Proces iteracyjny kończy spełnienie warunku (3.35). Obliczone wartości przeieszczeń i paraetru obciążenia pozwalają na wyznaczenie nowego punktu ścieżki. Warunek odciążania Istotną rolę w algorytie sterowania paraetre łuku odgrywa warunek decydujący n () o znaku paraetru Δλ wyznaczanego z (3.43). W początkowej fazie analizy znak ten jest przyjowany jako dodatni. Za punkte graniczny obciążenia, na ścieżce niestatecznej, konieczna jest jednak jego ziana na ujeny. Potrzebny jest zate odpowiedni warunek, którego spełnienie będzie decydowało o zianie tego znaku. Warunek ten nazyway 3) Batoz J.L., Dhatt G.: Increental displaceents algoris for non-linear probles. International Journal for Nuerical Meods in Engineering, 14, 1979, 16 166. Praca cytowana za [3] i [113]. Warto jednak nadienić, że propozycję tę przypisuje się także E. Raowi [6, 79].
3.4. Metody śledzenia ścieżek równowagi 65 tutaj warunkie/kryteriu odciążania. W stosowany w pracy prograie dostępne są dwa kryteria. Pierwsze kryteriu, stosowane bardzo często w wielu prograach, także koercyjnych, zakłada, że o zianie znaku przyrostu paraetru obciążenia decyduje ziana znaku wyznacznika globalnej acierzy sztywności układu, tj.: n () ( n 1) ( n 1) ( Δ ) = K( q ΔTREF ) sgn λ sgn, λ,. (3.58) Trzeba jednak podkreślić, że powyższe kryteriu a pewną wadę, ianowicie znak wyznacznika acierzy sztywności zienia się zarówno w punkcie graniczny obciążenia jak i w punkcie bifurkacji. Kryteriu to niejako nie rozróżnia tych dwóch punktów i jeśli na ścieżce wystąpi punkt bifurkacji, to zastosowanie tego warunku oże powodować oscylacje rozwiązania w otoczeniu punktu rozgałęzienia [155]. Warunek (3.58) nie jest jedyny ożliwy kryteriu; istnieją inne, często jednak także o ograniczonej zastosowalności (por. [44, 45, 113, 155]). Z uwagi na fakt, że ścieżki równowagi badanych w pracy powłok poddanych obciążeniu tericzneu charakteryzuje obecność punktów bifurkacji, konieczne stało się zaipleentowanie innego warunku odciążania. Wykorzystano tu kryteriu zaproponowane przez Fenga [44], opisane także w [113, 155]. W niniejszej pracy wykorzystuje się bezpośrednio postać tegoż warunku podaną w pracy [113], zgodnie z którą usi zachodzić związek: gdzie ( n 1) T n () ( ) ( ) Δ t >, (3.59) Δ= Δq, Δλ (3.6) ( n 1) ( n 1) ( n 1) jest wektore, którego składowe stanowią wyznaczone w poprzedni kroku przyrostowy (n 1) wektor przyrostu przeieszczeń i przyrost paraetru obciążenia, a n t () jest wektore styczny w przyroście n wg (3.45). Wyrażenie (3.59) ożna więc zapisać: T ( ) ( ) Δq Δ q + Δλ Δ λ >. (3.61) ( n 1) n () ( n 1) n () Wykorzystując (3.37) i rozpisując operację iloczynu skalarnego w (3.61), po eleentarnych przekształceniach otrzyujey warunek: T (( q) ( q ) ) Δλ Δ Δ + Δ λ >, (3.6) n () ( n 1) n ( n 1) REF którego równoważna postać jest następująca: ( ) T ( ) ( q) ( q ) n () ( n 1) n ( n 1) sgn Δ = sgn Δ Δ REF + Δ. λ λ (3.63) W praktyce w prograie prawa strona (3.63) jest obliczana na końcu kroku przyrostowego (n 1). Wektor n Δq REF, który winien być obliczony w kroku przyrostowy n z równania (3.38), jest przybliżany poprawką ( n 1) ( i δ q END ) F obliczoną z (3.56a) w ostatniej iteracji kroku przyrostowego (n 1). Jeśli bowie przyjąć, że dla ostatniej iteracji w kroku ( n 1) ( i ) ( 1) (n 1) w (3.56a) END n ( n 1) ( i ) ( 1) q q i END n λ λ, to (3.56a) odpowiada równaniu (3.38) i ( n 1) ( iend ) n δ qf ΔqREF. Podkreśly ponadto, że istotny jest właściwie tylko znak (3.63), stąd też opisane przybliżenie wektora n Δq REF jest jak najbardziej uzasadnione.
66 3. Ipleentacja nueryczna Spełnienie warunku (3.59) zapewnia, że ścieżka w kroku przyrostowy n zachowa tendencję, albo wznoszącą albo alejącą, zgodną z tendencją charakteryzującą krok przyrostowy (n 1) [155]. Kryteriu pozwala efektywnie poszukiwać rozwiązań w otoczeniu punktów krytycznych dowolnego typu, tj. punktu granicznego obciążenia, punktu zwrotnego ścieżki, ale także punktu bifurkacji, przy czy warunkie, jaki usi być spełniony, aby kierunek wektora n t () był poprawny, jest odpowiednio ały przyrost przeieszczeń w kroku poprzedzający (n-1) Δq [155], co jednak praktycznie w otoczeniu punktów krytycznych zapewnia sa algoryt śledzenia. 3.5. Analiza nieliniowa z uwzględnienie iperfekcji W niniejszej pracy uwzględniane są iperfekcje geoetryczne i obciążeniowe, przy czy nie stanowią one rzeczywistych zaburzeń, gdyż dla analizowanych zadań, czerpanych z literatury, brakuje odpowiednich danych. Nawiązując do wsponianej w rozdziale 1 klasyfikacji, stosowane tu iperfekcje ają charakter styulujący. Wprowadzanie iperfekcji a z jednej strony na celu ocenę wrażliwości konstrukcji na niedoskonałości; z drugiej strony są one wprowadzane w raach tzw. techniki zaburzeń stosowanej podczas poszukiwania ścieżek drugorzędnych [34, 78, 95, 171, 177]. Jako iperfekcje obciążeniowe rozuiane są w pracy następujące sytuacje: zdefiniowanie równoiernego ogrzania powłoki poprzez gradient teperatury z wartością paraetru p (por. (.57)) bliską jedności, wprowadzenie do układu obciążonego teperaturą ałego obciążenia skupionego. Iperfekcje geoetryczne natoiast wyagają realizacji obliczeń dwuetapowych: etap pierwszy obejuje rozwiązanie probleu konstrukcji poddanej pewneu obciążeniu (echaniczneu lub tericzneu) w zakresie statyki liniowej, w etapie drugi przeprowadzana jest geoetrycznie nieliniowa analiza konstrukcji poddanej obciążeniu tericzneu (choć zadanie obciążenia echanicznego także jest ożliwe); konstrukcja posiada wstępne iperfekcje geoetryczne, które stanowi wyznaczona w pierwszy etapie obliczeń deforacja, która oże być odpowiednio skalowana. Z deforacją wyznaczoną w pierwszy etapie obliczeń związany jest pewien stan naprężenia w konstrukcji. Aby uzyskać odel powłoki z zaburzoną geoetrią, ale w stanie beznaprężeniowy, konieczna jest odpowiednia odyfikacja równania przyrostowego (4.8), jak poniżej: (( 1 + ) ) (( 1 ) ) ( ( 1 ip,, ΔTREF Δ = + ip, ΔTREF + ip) ( ip )), K q q λ q λ F q q F q q F q (3.64) gdzie, obok zwiększania aktualnych wartości przeieszczeń o wartość iperfekcji, po prawej stronie równania wektor sił zrównoważonych jest skorygowany o składnik odpowiadający stanowi naprężenia w konstrukcji z pierwszego etapu obliczeń. 3.6. Kontrola wytężenia ateriału Kontrola stanu wytężenia ateriału odbywa się zgodnie z hipotezą Tsai-Wu w każdy kroku przyrostowy, po spełnieniu warunku zbieżności (3.35) i określeniu aktualnego stanu deforacji. Na podstawie znanych i aktualnych przeieszczeń wyznaczane są składowe uogólnionych odkształceń według (3.3), a następnie, zgodnie z (.4a) i (.51 a,b,c)
3.6. Kontrola wytężenia ateriału 67 obliczana jest lokalna wartość odkształceń zgięciowo-ebranowych w środku wysokości każdej z warstw. Ze względu na zakładane liniowo sprężyste zachowanie ateriału, ożna do przyrostowego związku konstytutywnego (.7a) podstawić wartości odkształceń całkowitych i otrzyać odpowiednio całkowite naprężenia echaniczne. Z kolei z (.7b) dla znanej wartości teperatury aktualnej wyznaczane są naprężenia tericzne w środku każdej z warstw. Tak określone naprężenia echaniczne i tericzne pozwalają na wyznaczenie składowych naprężeń efektywnych. tensora Pioli-Kirchhoffa. Przy wykorzystaniu transforacji (C.3) obliczane są naprężenia efektywne Cauchy ego, które następnie transforowane są do układu lokalnych osi ateriału warstwy zgodnie z relacją: aa 11 σ ef σ ef bb σef σef ab 1 σef = [ T] σef, (3.65) bc 3 σ ef σef ac 13 σef σef gdzie [T] jest acierzą transforacji (.65). Uzyskane w ten sposób wartości naprężeń Cauchy ego w głównych osiach ateriałowych podstawiane są do (.15) i wyznaczany jest indeks zniszczenia. Kontrola odbywa się w punktach Gaussa odpowiadających zredukowaneu scheatowi całkowania, co w przypadku stosowanego eleentu 8-węzłowego oznacza 4 punkty kontrolne w każdy eleencie. Wybór tych punktów podyktowany jest fakte, że charakteryzuje je najlepsza dokładność wyznaczonych wartości naprężeń [187].
Rozdział 4 PRZYKŁADY NUMERYCZNE Rozdział zawiera wyniki przeprowadzonych za poocą prograu autorskiego analiz kilku przykładów nuerycznych płyt i powłok poddanych oddziaływaniu teperatury. Dodatkowo w dwóch zadaniach zaprezentowano także rezultaty uzyskane prograe NX- Nastran (ver. 7.). Do prezentacji wyników wykorzystano Microsoft Office Excel oraz post-procesor GID (ver. 7.). W raach wstępnego testu poprawności prograu własnego rozważany jest akadeicki proble izotropowego pasa płytowego w równoierny polu teperatury, dla którego ożliwe jest wyznaczenie wartości teperatury krytycznej w sposób analityczny. Pozostałe zadania dotyczą dźwigarów warstwowych. Ich kolejność uszeregowano według geoetrii, stąd początkowe zadania dotyczą płyt, kolejne paneli cylindrycznych, a końcowe powłok sferycznych. Wszystkie prezentowane zadania, poza pierwszy, zostały zaczerpnięte z literatury. Wśród nich, aż 3 pochodzą z pracy [6]. Przyjując, że prezentowane wyniki ają dowodzić poprawności opracowanego prograu własnego, konieczne jest, aby wśród analizowanych zadań znalazły się takie, których rozwiązanie cechuje się znaczną nieliniowością. Zadania dotyczące płyt takiego warunku nie spełniają. Wśród dostępnych Autorce prac dedykowanych analizie powłok głównie w trzech znaleźć ożna oryginalne propozycje przykładów, dla których przyjęte dane zapewniają silnie nieliniowe rozwiązanie. Najwięcej tego typu zadań zawiera właśnie praca [6]. Warto wsponieć, że przykłady z niej są często wykorzystywane do oceny odeli własnych także przez innych autorów np. [9, 85, 88, 9, 17, 153, 156]. Kontrolę wytężenia ateriału przeprowadzono w tych zadaniach, w których oryginalnie stan naprężenia był analizowany i podane zostały charakterystyki wytrzyałościowe ateriałów. W niniejszy studiu podjęto próbę nieco szerszego niż w pracach, w których przykłady zaproponowano, opisu wytężenia poprzez dodanie inforacji o jego echanizie i lokalizacji. W opisie zadań przyjuje się, że nueracja warstw lainatu przebiega od dołu. Stosowane są oznaczenia, z których część pojawiła się już we wcześniejszej części pracy, ale dla większej czytelności przytacza się je tu ponownie: H grubość powłoki, T d, T g aksyalne teperatury na powierzchni, odpowiednio dolnej i górnej powłoki; w celu uproszczenia zapisu wprowadzono tu ww. oznaczenia zaiast odpowiednio T b,ax i T t,ax (por. (.53) i (.55)). T init teperatura początkowa; jeśli inaczej nie podano przyjuje się, że T init = ; T cr teperatura krytyczna; T TW teperatura zniszczenia ateriału określona zgodnie z kryteriu Tsai-Wu; FI, SRI, URI technika, odpowiednio pełnego, selektywnie zredukowanego i jednolicie zredukowanego scheatu całkowania sztywności eleentu skończonego; E a, E b oduły Younga ateriału, odpowiednio w kierunku równoległy i prostopadły do ułożenia włókien zbrojenia (E dla ateriału izotropowego),
4.1. Izotropowe paso płytowe 69 G ab, G ac, G bc oduły odkształcalności postaciowej w płaszczyznach, odpowiednio a-b, a-c, b-c, v ab współczynnik Poissona w płaszczyźnie a-b (v dla ateriału izotropowego), α aa, α bb współczynniki rozszerzalności tericznej ateriału odpowiednio wzdłuż i w poprzek włókien zbrojenia (α dla ateriału izotropowego), ICRIT = warunek odciążania w technice sterowania paraetre łuku wg (3.58), ICRIT = 1 warunek odciążania w technice sterowania paraetre łuku wg (3.63). Stosowane w opisie warunków podparcia sforułowanie swobodnie nieprzesuwne podparcie oznacza blokadę wszystkich translacji oraz obrotu wokół noralnej do danej krawędzi. 4.1. Izotropowe paso płytowe Analizowane jest paso płytowe, podparte swobodnie nieprzesuwnie na dwóch krawędziach, poddane równoierneu ogrzaniu. Przyjęto następujące dane (rys. 4.1): długość L = 1, szerokość B = 1, grubość H = 1. Założono izotropowy ateriał o paraetrach: E = 1 GPa, v =, α =1 5 1/ C. Rys. 4.1. Geoetria pasa płytowego Traktując rozpatrywane paso jako belkę i wykorzystując analogię do prętów, teperaturę krytyczną (wyboczeniową) ożna wyznaczyć w ty wypadku analitycznie z porównania w stanie krytyczny naprężeń tericznych z naprężeniai odpowiadającyi pierwszej sile krytycznej Eulera [16]. Konsekwentnie otrzyujey, że: T cr = π I α A L = 8, C, F gdzie I, A F są, odpowiednio oente bezwładności i pole przekroju poprzecznego belki. Przyjęto siatkę 1 1 eleentów 8URI. Na wstępie obciążono układ idealny równoierny ogrzanie. Przy zastosowaniu w trakcie obliczeń kryteriu ICRIT =, nieco powyżej 8 C, a więc w pobliżu analitycznie wyznaczonego punktu bifurkacji, wystąpiły typowe dla zastosowanego warunku odciążania oscylacje rozwiązania i dalsza analiza była nieożliwa. Ziana kryteriu na ICRIT = 1 spowodowała, że probley ze zbieżnością nie wystąpiły i obliczenia kontynuowano do zadanego obciążenia 1 C. Na rysunku 4. przedstawiono ścieżkę równowagi ugięcia punktu centralnego belki. W układzie idealny belka nie wygina się i ścieżka równowagi ugięcia analizowanego punktu pokrywa się z osią pionową. Jej fragent powyżej punktu bifurkacji jest oczywiście niestateczny. Aby znaleźć ścieżki pobifurkacyjne do układu wprowadzono iperfekcje. Na początku równoierne ogrzanie zastąpiono gradiente teperatury taki, że stosunek teperatury na górnej powierzchni (T g) do teperatury na powierzchni dolnej (T d ) i odwrotnie wynosił, odpowiednio, T d /T g =,999 i T g /T d =,999. Wprowadzenie iperfekcji powoduje, że obliczenia
7 4. Przykłady nueryczne w badany zakresie teperatur przebiegają bez żadnych probleów ze zbieżnością bez względu na zastosowany warunek odciążania. Ścieżki otrzyane przy obciążeniu gradiente, jaki wyżej opisano, ożna traktować jako przybliżenie ścieżek pokrytycznych układu idealnego (rys. 4.). Przeanalizowano również wpływ iperfekcji geoetrycznych na zachowanie belki. W ty celu w pierwszy etapie obliczeń układ obciążano centralnie usytuowaną siłą skupioną (P ip) i deforację, jaką ona spowodowała, przyjowano za pole wstępnych iperfekcji geoetrycznych w przeprowadzanej w drugi etapie analizie nieliniowej z obciążenie tericzny. Wykonano serię takich obliczeń, przykładając siły o różnych wartościach i różny znaku. Wyniki ilustruje rysunek 4., na który w opisie iperfekcji geoetrycznych podano znak i wartość początkowego ugięcia punktu centralnego (np. +,1H oznacza, że na początku punkt centralny wychylony jest w górę o wartość 1% grubości płyty). Można zauważyć, że konstrukcja charakteryzuje się syetryczny stateczny punkte bifurkacji. Rys. 4.. Płytowe paso izotropowe; ugięcie punktu centralnego względe teperatury we włóknach środkowych 4.. Płyta sandwiczowa Przykład został zaproponowany przez Noora 1) w niedostępny autorce pracy źródle i jest tu cytowany za [7]. Analizowana jest kwadratowa płyta sandwiczowa (rys. 4.3) o sukłości A/H =. Płyta jest swobodnie nieprzesuwnie podparta na wszystkich krawędziach. Jej okładki stanowi lainat typu cross-ply, a wypełnienie jest struktura typu plaster iodu (ang. honeycob). 1) Noor A.K, Peters J.M., Burton W.S.: Three-diensional solutions for initially stressed structural sandwiches, Journal of Engineering Mechanics. 1, 1994, 84 33. Praca cytowana za [7].
4.. Płyta sandwiczowa 71 Rys. 4.3. Geoetria płyty Układ warstw lainatu jest syetryczny ([ /9 ] 5, wypełnienie, [9 / ] 5 ). Właściwości ateriału warstw okładek ają następującą paraetryzację: E a /E b* = 19, G ab /E b* =,5, G bc /E b* =,338, v ab =,3, α aa / α =,1, α bb / α = 1; a paraetry wypełnienia: E a /E b* = 3, 1 5, E b /E b* =,9 1 5, G ab /E b* =,4 1 3, G ac /E b* = 7,9 1, G bc /E b* = 6,6 1, v ab =,99, α aa / α = α bb / α = 1,36. Współczynnik α jest iarą noralizacji odułu odkształcalności tericznej, a E b* jest odułe Younga ateriału warstw okładek w kierunku poprzeczny do zbrojenia. Syetria geoetrii, warunków brzegowych i uwarstwienia sprawiają, że konstrukcja zachowuje się podobnie do płyty jednorodnej izotropowej i przy pewnej teperaturze krytycznej (T cr ) dochodzi do bifurkacji stanu równowagi. Badany jest wpływ ziany grubości okładek i wypełnienia na teperaturę krytyczną. Zaletą zadania jest istnienie rozwiązania trójwyiarowego, przy czy wyniki podawane są w forie bezwyiarowego współczynnika λ T, gdzie λ T = α T cr. Zieniając stosunek grubości okładek do grubości całej płyty = H o /H (H o jest grubością pojedynczej okładki), rozpatrzono 5 wariantów uwarstwienia: =,5,,5,,75,,1,,15. Rys. 4.4. Płyta sandwiczowa [7]; ziana znoralizowanej wartości teperatury krytycznej wraz ze zianą paraetru, rozwiązanie własne (ścieżki ugięcia punktu centralnego)
7 4. Przykłady nueryczne W analizie własnej, podczas poszukiwania teperatury krytycznej, równoierne ogrzanie zastąpiono gradiente teperatury. Zastosowano siatkę 1 1 eleentów 8URI. Śledząc ścieżkę ugięcia punktu centralnego płyty, punkt wyboczenia identyfikowano w oencie, w który ścieżka ta odchodzi od osi obciążenia. W praktyce wiązało się to ze wzroste wartości śledzonego przeieszczenia o dwa rzędy. Aby uzyskać ożliwie jak największą dokładność wyniku, stosowano najniejszą z ożliwych wartość dysproporcji poiędzy teperaturą na powierzchni górnej i dolnej, taką jednak, aby ugięcie punktu centralnego stało się aktywny stopnie swobody. Dla wszystkich wartości, poza =,5, wystarczyło przyjąć, że T d /T g =,999999, a dla =,5 konieczne było obranie nieco większej dysproporcji T d /T g=,999995. Wyniki analizy przedstawia rysunek 4.4. Na rysunku 4.5 przedstawiono porównanie otrzyanych wyników znoralizowanych wartości teperatur krytycznych, zieniających się zależnie od przyjętej wartości paraetru, z rozwiązaniai zaprezentowanyi w pracy [7]. Rys. 4.5. Płyta sandwiczowa [7]; ziana znoralizowanej wartości teperatury krytycznej wraz ze zianą paraetru, porównanie z rozwiązaniai odniesienia Warto w ty iejscu podkreślić, że rozwiązania autorów pracy [7] uzyskane zostały przy zastosowaniu odelu sforułowanego na bazie teorii ścinania pierwszego rzędu (seria: Kant FSDT), w który narzucony był stały współczynnik korekcyjny k = 5/6, oraz odele teorii ścinania wyższego rzędu (seria: Kant HSDT). Autorzy zwracają uwagę, że odel teorii ścinania pierwszego rzędu wraz ze wzroste paraetru zawyża wartość teperatury krytycznej w porównaniu z rozwiązanie Noora, co widać na rysunku 4.5. Przy =,15 rozbieżność wyników wynosi około 1%. Wyniki z odelu własnego, wychodzącego z tej saej teorii, w który stosowane współczynniki korekcyjne jednak nie są narzucone z góry (seria: własne k13 <> k3), takiej tendencji nie wykazują i pozostają w bardzo dobrej zgodności z rozwiązanie trójwyiarowy. Ze względu na znaczną grubość płyty (A/H = ) istotny wpływ na jej deforację oże ieć efekt poprzecznego ścinania, toteż rozwiązanie oże tu w istotny sposób zależeć właśnie od przyjętej wartości współczynnika korekcyjnego k. Przeprowadzono zate do-
4.. Płyta sandwiczowa 73 datkowe obliczenia prograe własny, stosując narzuconą wartość współczynnika k = 5/6 =,8333. Wyniki przedstawiono na rysunku 4.5 (seria: własne k13 = k3 = 5/6). Otrzyane w ty wypadku rozwiązania są bliższe wyniko uzyskany odele teorii ścinania pierwszego rzędu zaprezentowany w [7] niż wcześniejsze, uzyskane ze współczynnikai wyznaczanyi nuerycznie. Podobnie, jak w [7], wykazują tendencję do zawyżania wartości teperatury krytycznej przy wzrastającej sztywności płyty. Dla porównania w tabeli 4.1 zawarto wartości współczynników wyznaczonych w analizie własnej. Można zauważyć, że wraz ze wzroste udziału okładek w całkowitej sztywności przekroju płyty wartości współczynników aleją, odbiegając coraz bardziej od wartości k = 5/6 =,8333. Wykazano zate, że źródłe nieco zawyżonej sztywności odelu w pracy [7] w przypadku płyt o większej wartości paraetru jest zastosowana ta wartość współczynnika korekcyjnego k = 5/6. Rozwiązania otrzyane odele teorii ścinania wyższego rzędu natoiast są podobnie jak wyniki własne zgodne z rozwiązanie trójwyiarowy. Warto jednak podkreślić, że podwyższenie rzędu teorii ścinania wiąże się ze zwiększenie liczby stopni swobody układu. Płyta sandwiczowa [7]; współczynniki korekcyjne w analizie własnej Tabela 4.1 Współczynnik korekcyjny =,5 =,5 =,75 =,1 =,15 k 13,8,6968,678,541,457 k 3,7797,6387,5414,477,377 4.3. Płyta warstwowa obciążona gradiente teperatury Przykład został zaproponowany w pracy [9]. Badana jest płyta kwadratowa A = B (rys. 4.3), obciążana gradiente teperatury. Długość boku kwadratu wynosi 54. Płyta zbudowana jest z 16. warstw o grubości H l =,17, których ułożenie opisuje scheat [45 / 45 / /9 ] s. Materiał warstw a następujące właściwości: E a = 13,3 GPa, E b = 9,37 GPa, G ab = G ac = G bc = 4,5 GPa, v ab =,33, α aa =,139 1 6 1/ C, α bb = 9 1 6 1/ C. 1 Krawędzie wzdłuż osi θ (rys. 4.3) są swobodnie nieprzesuwnie podparte, wzdłuż pozostałych natoiast zablokowano ugięcie oraz obrót wokół noralnej do krawędzi. Współczynniki korekcyjne ścinania dla powyższych danych wynoszą k 13 =,81, k 3 =,7955. Przyjęto dyskretyzację 1 1 eleentów 8URI i przeprowadzono obliczenia dla kilku przypadków obciążenia gradiente, które określa paraetr p = T g /T d. W pracy [9] rozpatrzono następujące warianty obciążenia: p =,,3,,6,,8,,9,,95 oraz odpowiednio gradienty opisane przez odwrotności p, tj. 1/p. Na rysunku 4.6 przedstawiono ścieżki równowagi znoralizowanego ugięcia punktu środkowego płyty odniesione do jej grubości względe teperatury we włóknach środkowych. Warto tu podkreślić, że w [9] zienną na osi przeieszczeń oznaczono jako bezwzględną wartość ugięcia, co należy traktować jako poyłkę, zwłaszcza, że w jednostce podano etry. Rozwiązania odniesienia zaznaczono na rysunku 4.6 czarnyi przerywanyi liniai. Jak wynika z porównania, wyniki własne są zgodne z rezultatai z [9]. Warto w ty iejscu wsponieć, że przy obciążeniu gradiente rozwiązanie w żądany zakresie teperatury uzyskujey przy dowolnie wybrany kryteriu odciążania.
74 4. Przykłady nueryczne Dodatkowo w raach analizy własnej rozpatrzono wariant równoiernego ogrzania konstrukcji (p = 1). Podobnie, jak w przykładzie 1 przy zastosowaniu podczas obliczeń kryteriu ICRIT = rozwiązanie było ożliwe tylko do pewnego poziou, w ty wypadku do około C. W ty iejscu pojawiły się oscylacje rozwiązania, które nie wystąpiły podczas analizy z zastosowanie kryteriu ICRIT = 1. Dodatkowe serie obliczeń dla obciążenia gradiente zbliżony do równoiernego ogrzania, tj. p =,999 i p = 1/,999 potwierdziły, że w około C występuje punkt bifurkacji. Rys. 4.6. Płyta obciążona gradiente teperatury [9]; ugięcie punktu centralnego względe teperatury we włóknach środkowych Na rysunku 4.7 przedstawiono powiększenie fragentu rysunku 4.6, aby pokazać, że ścieżki układają się syetrycznie względe osi obciążenia. Pokazano tutaj tylko rozwiązanie własne, które w przeciwieństwie do rozwiązania odniesienia, nie jest obarczone błęde odczytu. Podobnie jak rozważone w pierwszy przykładzie paso izotropowe, analizowana tu płyta charakteryzuje się syetryczny stateczny punkte bifurkacji. W analizie własnej przeprowadzono podobną serię analiz dla płyty o identycznych geoetrii, warunkach brzegowych i ateriale, ale zieniony uwarstwieniu. W oryginale uwarstwienie lainatu jest syetryczne. Zbadano, jaki wpływ będzie iała ziana na wariant niesyetryczny, tj. [45 / 45 / /9 ] 4. Współczynniki korekcyjne ulegają zianie i przyjują wartości k 13 =,848, k 3 =,8399. Rezultaty przedstawiono na rysunku 4.8. Przede wszystki należy zwrócić uwagę, że w przypadku równoiernego ogrzania (p = 1) ugięcie środka płyty jest aktywny stopnie swobody od saego początku obciążania. Konstrukcja nie a punktu bifurkacji. Wszystkie serie obliczeń dla wariantu niesyetrycznego uwarstwienia ożna zate przeprowadzić przy zastosowaniu dowolnego warunku odciążania. Warto również podkreślić, że ścieżki w ty wypadku nie układają się syetrycznie względe osi obciążenia, co ożna zaobserwować na rysunku 4.9.
4.4. Płyta warstwowa o różnych scheatach uwarstwienia 75 Rys. 4.7. Płyta obciążona gradiente teperatury [9]; syetria rozwiązań Rys. 4.8. Płyta obciążona gradiente teperatury o uwarstwieniu niesyetryczny [45 / 45 / /9 ] 4, ([9 / / 45 /45 ] 4 ); ugięcie punktu centralnego względe teperatury we włóknach środkowych W przypadkach obciążenia gradiente (rys. 4.8) kierunek wygięcia płyty jest deterinowany przyjęty rozkłade teperatury na grubości. Przy równoierny ogrzaniu (p = 1) wygięcie wynika z rozkładu sztywności w przekroju płyty dla przyjętego układu warstw [45 / 45 / /9 ] 4 ugięcie środka płyty jest dodatnie. Sprawdzono dodatkowo, że
76 4. Przykłady nueryczne dla scheatu odwróconego, tj. [9 / / 45 /45 ] 4 (odwrócenie scheatu nie wpływa na wartości k 13 i k 3 ) przy równoierny ogrzaniu znak ten ulega zianie (rys. 4.8). Rys. 4.9. Płyta obciążona gradiente teperatury o uwarstwieniu niesyetryczny; brak syetrii rozwiązania 4.4. Płyta warstwowa o różnych scheatach uwarstwienia Za pracą [156] analizie poddano przykład warstwowej płyty kwadratowej (rys. 4.3) o sukłości A/H = 1 obciążonej równoierny pole teperatury. Płyta jest swobodnie nieprzesuwnie podparta wzdłuż wszystkich krawędzi. Zbudowana jest z 16. warstw, których ateriał a następujące paraetry: E a = 141 GPa, E b = 13,1 GPa, G ab = G ac = G bc = 9,31 GPa, v ab =,8, α aa =,18 1 6 1/ C, α bb = 1,8 1 6 1/ C, X t = X c = 165 MPa, Y t = 58,9 MPa, Y c = 36 MPa, S s = 16 MPa. W zadaniu ty analizowany jest wpływ uwarstwienia na stateczność konstrukcji oraz wytężenie ateriału. Rozpatrywane są trzy scheaty uwarstwienia: cross-ply [ /9 ] 4s, uwarstwienie quasiizotropowe [45 / 45 / /9 ] s i scheat angle-ply [45 / 45 ] 4s. Jak w [156] przyjęto, że teperatura początkowa wynosi T init = C. Wyznaczone nuerycznie wartości współczynników korekty ścinania wynoszą: k 13 =,8668, k 3 =,788 (płyta cross-ply), k 13 =,8148, k 3 =,85 (płyta quasiizotropowa), k 13 = k 3 =,8333 = 5/6 (płyta angle-ply). Zastosowano siatkę 8 8 eleentów 8URI. W celu znalezienia przybliżonej ścieżki pokrytycznej konstrukcji, w analizie własnej równoierne ogrzanie zastąpiono gradiente teperatury taki, że T d /T g =,9999. Na rysunku 4.1 przedstawiono ścieżki równowagi znoralizowanego ugięcia punktów centralnych płyt względe teperatury na ich powierzchniach środkowych. Liniai przerywanyi zaznaczone zostały wyniki z pracy [156], które otrzyano przy zastosowaniu iperfekcji w postaci ałej siły poprzecznej. Drobne różnice ilościowe w wyższy zakresie teperatur iędzy rozwiązaniai własnyi a rezultatai odniesienia Autorka tłuaczy błędai odczytu tych ostatnich.
4.4. Płyta warstwowa o różnych scheatach uwarstwienia 77 W rozwiązaniu zauważalna jest zależność teperatury krytycznej od scheatu uwarstwienia. Teperatury krytyczne wynoszą: T cr = 63 C (64 C), T cr = 81 C (81 C), T cr = 87 C (81 C) dla uwarstwień, odpowiednio, [ /9 ] 4s, [45 / 45 / /9 ] s i [45 / 45 ] 4s. W nawiasach podano wartości teperatur krytycznych stabelaryzowane w pracy [156]. Wartość T cr = 81 C dla przypadku uwarstwienia [45 / 45 ] 4s jest ta zapewne podana ylnie (por. rysunek 4.1). Rys. 4.1. Płyta warstwowa [156]; porównanie z rozwiązanie odniesienia W rozwiązaniu własny wytężenie ateriału kontrolowano w środku wysokości każdej z warstw lainatu. W przypadku wszystkich scheatów uwarstwienia zniszczenie następuje w teperaturze znacznie wyższej niż teperatura wyboczeniowa. Warunek Tsai-Wu przekroczony jest w teperaturze: T TW = 81 C (794.5 C), T TW = 738 C (7 C), T TW = 71 C (691 C) dla scheatu, odpowiednio, [ /9 ] 4s, [45 / 45 / /9 ] s i [45 / 45 ] 4s. Wartości podane w nawiasach pochodzą z pracy [156]. Warto podkreślić, że spośród przeanalizowanych uwarstwień, scheat typu cross-ply decyduje o najlepszych warunkach pracy ateriału (najwyższa teperatura niszcząca), warunkuje jednakże największą podatność konstrukcji na wyboczenie (najniższa teperatura krytyczna). Należy w ty iejscu wyraźnie zaznaczyć, że uzyskane w powyższej analizie wartości teperatur zniszczenia są w rzeczywistości ało prawdopodobne, gdyż w odelu obliczeniowy nie uwzględniono efektu degradacji wartości paraetrów ateriału wynikającego z oddziaływania nań tak znacznych teperatur. Można io wszystko przypuszczać, że zniszczenie nastąpi po wyboczeniu. Trzeba zaznaczyć, że rezultaty analizy wytężenia są zależne od takich kwestii jak: podział na eleenty, rozkład i liczba punktów kontroli naprężeń w planie eleentu skończonego oraz na grubości warstw, także przyrostu obciążenia w poszczególnych krokach analizy. Wpływ oże ieć tu również zastosowane kryteriu wytężeniowe. W pracy [156] zastosowano siatkę 5 5 eleentów 9-węzłowych Lagrange a z całkowanie selektywnie zredukowany. Wytężenie kontrolowano wykorzystując kryteriu Tsai-Wu w węzłach eleentów, w środku wysokości każdej z warstw. Lokalizacje punktów kontrolnych w roz-
78 4. Przykłady nueryczne wiązaniu odniesienia i analizie własnej, gdzie wytężenie badane jest w punktach Gaussa, nie są więc identyczne. Ponadto w [156] przy sprawdzaniu warunku Tsai-Wu uwzględniono naprężenia poprzecznego ścinania (założono, że wytrzyałości warstwy na ścinanie we wszystkich płaszczyznach są identyczne). Mio opisanych różnic odeli obliczeniowych, wyniki własne nie różnią się jednak od rozwiązań odniesienia o więcej niż 6%. Na rysunku 4.11 przedstawiono deforacje płyt w teperaturach zniszczenia z naniesioną apą rozkładu indeksu zniszczenia FI (.15) w warstwie dolnej. Białą przerywaną linią oznaczono kierunek ułożenia zbrojenia w tejże warstwie. Niezależnie od scheatu uwarstwienia echanize zniszczenia jest pękanie atrycy. W płycie o uwarstwieniu [45 / 45 ] 4s następuje ono w warstwie dolnej w narożnikach leżących na linii zbrojenia; w płytach [ /9 ] 4s, [45 / 45 / /9 ] s atryca niszczy się jednocześnie w dwóch warstwach zewnętrznych w scheacie cross-ply wzdłuż krawędzi płyty prostopadłych do kierunku ułożenia włókien w tych warstwach, a w płycie quasi-izotropowej w narożnikach na linii zbrojenia. Rys. 4.11. Płyta warstwowa [156]; deforacje w teperaturze zniszczenia z naniesioną apą rozkładu indeksu zniszczenia FI w warstwie dolnej; a) płyta [ /9 ] 4s, b) płyta [45 / 45 / /9 ] s, c) płyta [45 / 45 ] 4s 4.5. Ortotropowa powłoka cylindryczna Przykład został zaproponowany w pracy [6] i był badany.in. w pracach [9, 88, 9]. Analizowana jest ortotropowa powłoka cylindryczna (rys. 4.1) poddana równoierneu ogrzaniu. Geoetrię opisują następujące zależności: A = B = Rφ, R/A = 5, A/H =. Wszystkie krawędzie są swobodnie nieprzesuwnie podparte. Powłoka jest jednowarstwowa i wykonana z kopozytu o paraetrach: E a = 138 GPa, E b = 8,8 GPa, G ab = G ac = G bc = 6,9 GPa, v ab =,33, α aa =,18 1 6 1/ C, α bb = 7 1 6 1/ C, X t = X c = 163 MPa, Y t = 33,7 MPa, Y c = 7 MPa, S s = 57,3 MPa. Kierunek ułożenia włókien jest równoleżnikowy (α = 9 ). Współczynniki korekcyjne wyznaczone nuerycznie dla przyjętych danych wynoszą k 13 = k 3 =,8333 = 5/6, co odpowiada klasycznej propozycji Reissnera.
4.5. Ortotropowa powłoka cylindryczna 79 Rys. 4.1. Geoetria powłoki cylindrycznej W pracach [6 ), 9, 9] najprawdopodobniej również w [88], wykorzystano warunki podwójnej syetrii zadania i przeanalizowano ćwiartkę powłoki. W bieżącej analizie odstępuje się od tego uproszczenia ając na uwadze, że narzucanie warunków brzegowych odpowiadających warunko syetrii eliinuje ożliwość niesyetrycznych deforacji, które ogą charakteryzować zachowanie całej konstrukcji. Ze względu na przeprowadzaną kontrolę stanu naprężeń w powłoce, do obliczeń przyjęto siatkę 16 16 eleentów, choć dla potrzeb globalnej analizy saej deforacji wystarczająca byłaby rzadsza dyskretyzacja. Rysunek 4.13 przedstawia ścieżkę równowagi znoralizowanego ugięcia punktu centralnego powłoki uzyskaną w analizie własnej wraz z porównanie z rozwiązanie odniesienia [6]. W około 84 C następuje utrata stateczności w forie przeskoku. W rozwiązaniu własny zastosowano dwa kryteria odciążania, tj. ICRIT = oraz ICRIT = 1. Algoryt rozwiązania przy zastosowaniu warunku ICRIT = stracił zbieżność przy obciążeniu wynoszący około 8 C. Kryteriu ICRIT = 1 pozwoliło na efektywne rozwiązanie zadania w zakresie teperatur, jaki badano w [6] i uzyskanie identycznego wyniku z rozwiązanie odniesienia. Probley ze zbieżnością przy zastosowaniu warunku ICRIT = ogą sugerować wystąpienie punktu bifurkacji na ścieżce. Należy w ty iejscu podkreślić, że w dodatkowej analizie z wykorzystanie warunków po- ) O zastosowaniu w pracy [6] warunków podwójnej syetrii w ty przykładzie rozstrzyga podana ta uwaga ogólna, cyt.: For e FE analysis of an angle-ply lainate subject to unifor eral loading, it is generally necessary to discretize on-half e panel. W ty iejscu autorzy odwołują się do niedostępnego Autorce artykułu: Noor A.K., Maers M.D., Anderson M.S.: Exploiting syetries for efficient postbuckling analysis of coposite plates, AIAA Journal. 15, 1977, 4 3. Następnie podają, However, only a quadrant of e panel needs to be considered in e following two special cases: (i) lainates wi fiber angle θ = or θ = 9, and (ii) lainates having an infinite nuber of layers Uwagę tę ożna interpretować jako dopuszczenie zastosowania syetrii dla potrzeb efektywnej analizy stateczności powłok warstwowych w równoierny polu teperatury. W ogólny przypadku, tj. dla dowolnego kąta ułożenia włókien (angle-ply) układ redukuje się do połowy, w przypadkach szczególnych do ćwiartki. Trzeba jednak podkreślić, że warunki syetrii w przypadku analizy kopozytowych powłok warstwowych należy stosować szczególnie ostrożnie. W pracy [15], której autorzy powołują się także na ww. artykuł Noora i współautorów, w konkluzjach napisano, że w przypadku konstrukcji o syetrycznej geoetrii i warunkach brzegowych, ale niesyetryczny względe powierzchni środkowej uwarstwieniu, warunków podwójnej syetrii stosować nie wolno. Bardzo istotny jest jednak fakt, że nawet w probleie izotropowy syetria geoetrii i warunków brzegowych nie wyklucza niesyetrycznej fory wyboczenia, stąd Autorka, jak wyżej napisano, warunków syetrii w obliczeniach nie wykorzystuje.
8 4. Przykłady nueryczne dwójnej syetrii zadania, probley ze zbieżnością przy zastosowaniu warunku ICRIT = nie wystąpiły. Rys. 4.13. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; konstrukcja idealna; porównanie kryteriów odciążania Aby ustalić przebieg ożliwej ścieżki drugorzędnej przeprowadzono dodatkową analizę z iperfekcjai w postaci ałych sił zaburzających. Lokalizacja tych zaburzeń nie jest oczywista i została ustalona arbitralnie, etodą prób i błędów. Na rysunku 4.14 przedstawiono deforację powłoki w teperaturze 8 C z naniesionyi punktai lokalizacji sił zaburzających. Obliczenia przeprowadzono w dwóch etapach: w pierwszy etapie obciążeniu równoierny ogrzanie towarzyszyła ała siła skupiona usytuowana w jedny z punktów przedstawionych na rysunku 4.14; analiza przeprowadzana była do oentu, w który zauważalne było przejście rozwiązania na ścieżkę jakościowo 3) inną niż podstawowa (rys. 4.13); drugi etap obliczeń rozpoczynano z punktu leżącego w bliski położeniu punktu, w który nastąpiła ziana jakości rozwiązania, usuwając iperfekcję obciążeniową, przy założeniu, że rozwiązanie przeskoczy na ścieżkę drugorzędną konstrukcji idealnej. W obydwóch etapach obliczeń wykorzystano warunek odciążania ICRIT = 1. Wartość siły zaburzającej była tak przyjowana, aby w rozwiązaniu liniowy ugięcie punktu, w który siła jest usytuowana wynosiło,1h (niejsza wartość iperfekcji), względnie,1h (większa wartość iperfekcji). 3) Trzeba podkreślić, że ścieżka równowagi uzyskiwana w pierwszy etapie, a więc z siłą zaburzającą, nie jest już ścieżką podstawową. Przy ały zaburzeniu oże ona jednak być bardzo zbliżona do ścieżki fundaentalnej.
4.5. Ortotropowa powłoka cylindryczna 81 Rys. 4.14. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; lokalizacje sił zaburzających naniesione na deforację w 8 C Siły usytuowane na osi syetrii wzdłuż tworzącej walca, a więc w punktach A i B, bez względu na swą wartość, nie zieniły jakościowo rozwiązania do poziou teperatury około 9 C. Dalej analizy z tyi iperfekcjai nie prowadzono, gdyż spodziewany punkt bifurkacji oczekiwany był w około 8 C. Siły zlokalizowane poza osiai syetrii, a więc w punktach D i E (także D ), już przy niejszej wartości, spowodowały identyczną w obu wypadkach zianę odpowiedzi. Uzyskaną dla tych iperfekcji ścieżkę przedstawiono na rysunku 4.15. Zlokalizowane na równoleżnikowej osi syetrii walca, a więc w punktach C i F, niejsze wartości iperfekcji nie spowodowały jakościowej ziany rozwiązania do poziou 9 C. Zaburzenia o większej wartości wywołały jednak przejście na inną ścieżkę, przy nieco wyższy obciążeniu niż odpowiadające punktowi rozgałęzienia uzyskaneu dla iperfekcji w punktach D i E. Obydwa usytuowania siły, tj. w punkcie C i F wywołały identyczną zianę odpowiedzi, co przedstawia rysunek 4.16. Rozgałęzienie odpowiadające iperfekcjo w punktach D i E (rys. 4.15) następuje w około 8 C, natoiast siło w punktach C i F (rys. 4.16) odpowiada rozgałęzienie w około 8 C. Rys. 4.15. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; ścieżka drugorzędna dla iperfekcji zlokalizowanych w punktach D, E
8 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.16. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; ścieżka drugorzędna dla iperfekcji zlokalizowanych w punktach C, F Rysunek 4.17 przedstawia deforacje powłoki w 1 C, odpowiadające każdej z otrzyanych ścieżek równowagi. Jak widać, fory deforacji powłoki na ścieżkach drugorzędnych nie są bisyetryczne. Wykorzystanie warunków podwójnej syetrii zadania eliinuje z góry ożliwość ich wystąpienia, co tłuaczy brak pojawiania się w taki wypadku punktów bifurkacji na ścieżce i dlatego wtedy przy zastosowania warunku odciążania ICRIT = probley ze zbieżnością nie występują. Dodatkowo przeprowadzono dwuetapowe obliczenia, przykładając w pierwszy etapie siły zaburzające we wszystkich punktach, tj. A-F. W punktach D i E przyłożono niejszą wartość iperfekcji, a w pozostałych punktach wartość większą. Rysunek 4.18 przedstawia otrzyane w wyniku tych obliczeń rozwiązanie. Widać, że po usunięciu iperfekcji rozwiązanie przeskakuje na ścieżkę drugorzędną otrzyaną dla pojedynczych iperfekcji w punktach D i E, o niejszych wartościach, io, że w tej analizie obecne były iperfekcje o większych wartościach w punktach A, B, C, F. Rys. 4.17. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; deforacje w 1 C: a) ścieżka podstawowa, b) ścieżka drugorzędna (8 C; iperfekcje w D i E), c) ścieżka drugorzędna (8 C, iperfekcje w C i F)
4.5. Ortotropowa powłoka cylindryczna 83 Rys. 4.18. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; ścieżka drugorzędna dla iperfekcji zlokalizowanych w punktach A-F Ścieżka drugorzędna, przecinająca ścieżkę podstawową w około 8 C (rys. 4.15), oże wiązać się zate z najbardziej prawdopodobny zachowanie konstrukcji, gdyż odpowiada pierwszeu punktowi rozgałęzienia. Jest to syetryczny niestateczny punkt bifurkacji, co ilustruje przedstawiony na rysunku 4.19 przebieg ścieżek równowagi jednego z tzw. stopni pobifurkacyjnych, tj. translacji punktu G (rys. 4.14) wzdłuż tworzącej walca. Iperfekcje przyłożone w syetrycznie ułożonych względe osi syetrii walca punktach D i D wywołują wzajenie syetryczne ( bliźniacze ) deforacje (rys. 4.). Rys. 4.19. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; ścieżki translacji pozioej punktu G; syetryczny niestateczny punkt bifurkacji
84 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; bliźniacze deforacje w 1 C wywołane iperfekcjai w punktach D i D ; syetryczny niestateczny punkt bifurkacji Analiza wytężenia wykazała, że na ścieżce podstawowej stan naprężenia w zakresie badanych teperatur 1 C jest bezpieczny. Jej wyniki przedstawiono w tabeli 4., w której pierwsza koluna zawiera dodatkowo wyniki analizy zbieżności wyniku teperatury zniszczenia dla różnych siatek eleentów 8URI. Pogrubioną czcionką zaznaczono wynik przyjęty za ostateczny w bieżącej analizie, a więc dla dyskretyzacji 16 16 8URI. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; wpływ dyskretyzacji i lokalizacji punktów analizy wytężenia na wartość teperatury zniszczenia T TW Tabela 4. 8URI siatka 1 1 14 C siatka 16 16 1 C siatka 11 C Huang siatka 6 1 siatka 16 16 (syetria) 3 6 9SRI 8URI 8SRI 8URI 8SRI 94 C >11 C 14 C 1 C 96 C Przyponijy, że kontrola naprężeń odbywa się w punktach Gaussa w środku każdej warstwy. W analizowany przykładzie występuje jedna warstwa fizyczna. Ponieważ po utracie stateczności zdoinowana do tego oentu stane ebranowy praca konstrukcji przechodzi w stan zgięciowy, największe wytężenie spodziewane jest w skrajnych włóknach przekroju powłoki. W obliczeniach rzeczywistą pojedynczą warstwę podzielono zate na trzy subwarstwy, z których dwie zewnętrzne iały grubość,1h. Pierwsze zniszczenie pojawia się dopiero w T TW = 1 C i związane jest z pękanie atrycy dolnej warstwy w iejscu największego zagłębienia powłoki (rys. 4.17a), podczas gdy na powierzchni środkowej jest jeszcze duży zapas bezpieczeństwa. W pracy [6] podano, że warunek Tsai-Wu jest przekroczony w T TW = 94 C. Jak wsponiano w poprzedni przykładzie, wynik ten zależy.in. od gęstości siatki, liczby i lokalizacji punktów kontrolnych naprężeń w eleencie oraz w ty przypadku od podziału na subwarstwy. Z pracy [6] nie wynika, w jaki iejscu na grubości kontrolowano wytężenie. Wiadoo jedynie, że do dyskretyzacji ćwiartki powłoki zastosowano siatkę 3 6 eleentów 9-węzłowych z całkowanie selektywnie zredukowany i najprawdopodobniej naprężenia kontrolowano w 9 punktach Gaussa. Dla porównania przeprowadzono dodatkowe analizy wyników naprężeń dla siatki 6 1 (więcej wzdłuż wysokości walca) eleentów 8-węzłowych z całkowanie selektywnie (8SRI) i równoiernie zredukowany
4.5. Ortotropowa powłoka cylindryczna 85 (8URI) oraz dla siatki 16 16 eleentów 8SRI. Siatka 6 1 odpowiada dyskretyzacji przyjętej w [6]. Można zauważyć wyraźny wpływ lokalizacji punktów obliczania naprężeń w eleencie na wynik teperatury zniszczenia. Trzeba jednak podkreślić, że zgodnie z [187] zarówno w eleencie 8- jak i 9-węzłowy najlepszą dokładność wyników naprężeń uzyskuje się w 4. punktach Gaussa. Na ścieżce drugorzędnej, której odpowiada rozgałęzienie w 8 C, zniszczenie do 1 C nie występuje, natoiast na drugiej ścieżce pobifurkacyjnej w około 1 C następuje pękanie atrycy warstwy w największy zagłębieniu powłoki (rys. 4.17c). Dodatkowo dla tego przykładu przedstawiono wyniki otrzyane prograe NX-Nastran (ver. 7.) (rys. 4.1, 4.). Przy zastosowaniu sterowania paraetre łuku (Arc-Leng) (rys. 4.1) dla początkowej wartości przyrostu obciążenia Δ λ, = dt =, oraz standardowego w ty prograie skalowania długości łuku, dopuszczającego czterokrotne zniejszanie lub zwiększanie tej długości (,5/4), rozwiązanie ożna uzyskać tylko do poziou 84 C. W ty iejscu pojawiły się probley ze zbieżnością i progra przerwał obliczenia. Po unieożliwieniu wydłużania długości łuku (,5/1) progra zakończył obliczenia w około 65 C, kounikując proble zbieżności. Przy standardowy ustawieniu skalowania długości łuku (,5/4) i bardzo ałej wartości początkowej przyrostu paraetru obciążenia Δ λ, = dt =,1, w około 83 C wystąpiły oscylacje rozwiązania. Progra rozwiązał w ty iejscu kilkadziesiąt przyrostów i obliczenia zostały przerwane wskutek wyczerpania zadanej ich aksyalnej liczby. W ty zadaniu również przy zastosowaniu sterowania obciążeniowego (LC) (rys. 4.) nie udało się uzyskać przybliżonego rozwiązania w zakresie 1 C. Przy niejszych wartościach przyrostu paraetru obciążenia Δ λ, = dt =, i Δ λ, = dt =,1 progra NX-Nastran przerwał obliczenia w około 83 C, a przy większej wartości Δ λ, = dt =,1 w około 84 C. Rys. 4.1. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; rozwiązania z prograu NX-Nastran (ver. 7.), sterowanie paraetre łuku (Arc-Leng)
86 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.. Ortotropowa powłoka cylindryczna [6]; rozwiązania z prograu NX-Nastran (ver. 7.), sterowanie obciążeniowe (LC) 4.6. Powłoka cylindryczna cross-ply Przykład został zaproponowany przez Lee i współautorów w [88, 17]. Analizowany jest panel cylindryczny (rys. 4.1) o wyiarach A = B = Rφ, φ = 15, swobodnie nieprzesuwnie podparty wzdłuż wszystkich krawędzi, poddany równoierneu ogrzaniu. Powłoka zbudowana jest z czterech warstw ułożonych według scheatu cross-ply [ /9 ] s. Materiał warstw jest identyczny, jak w zadaniu 4.5. Współczynniki korekcyjne ścinania dla rozpatrywanego tu przekroju wynoszą: k 13 =,867, k 3 =,5475. W pracach [88, 17], a także [67] badany jest wpływ sukłości powłoki A/H (rys. 4.1) na zachowanie konstrukcji. W niniejszej pracy analizowane są dwa warianty: A/H = i A/H = 8. W przypadku powłoki A/H = przyjęto dyskretyzację 1 1 eleentów 8URI. Na rysunku 4.3 przedstawiono ścieżkę znoralizowanego ugięcia punktu centralnego powłoki. Przy zastosowaniu kryteriu ICRIT=1 uzyskano rozwiązanie bardzo zbliżone do rozwiązania odniesienia [88, 17]. Niezgodności ilościowe ogą tu wynikać z niedokładności odczytu rozwiązania odniesienia, ale również z różnic sforułowań eleentów skończonych. W pracy [17] podano, że w analizie zastosowano eleent typu layer-wise, przy czy nie sprecyzowano konkretnie liczby węzłów tego eleentu, podając jedynie we wstępie, że oże to być eleent 8- lub 9-węzłowy. Po przyjęciu w obliczeniach kryteriu ICRIT = wystąpiły oscylacje rozwiązania w około 6 C. Zakładając, że źródłe tych oscylacji oże być obecność punktu bifurkacji, przeprowadzono dodatkowe analizy z ałyi siłai zaburzającyi, które usuwano po przejściu rozwiązania na inną jakościowo ścieżkę niż podstawowa. Lokalizację sił zaburzających przyjęto w punktach przedstawionych na rysunku 4.4. Wartości sił były tak dobrane, że ugięcia pod nii w rozwiązaniu liniowy nie przekraczały,1h.
4.6. Powłoka cylindryczna cross-ply 87 Siła w punkcie E nie spowodowała jakościowej ziany odpowiedzi konstrukcji. Przyłożenie pojedynczych zaburzeń w pozostałych punktach oraz wszystkich tych sił jednocześnie (A-D) wywołało zianę (rys. 4.5). Ścieżki drugorzędne ugięcia punktu środkowego dla wszystkich przypadków zaburzeń pokryły się. Jednakże trzeba tu zaznaczyć, że iperfekcja zlokalizowana w punkcie D, leżący po innej stronie pionowej osi syetrii walca niż pozostałe punkty, wywołuje odpowiedź w forie lustrzanego odbicia deforacji otrzyanych dla lokalizacji zaburzeń w punktach A, B, C i A-D (rys. 4.6). Konstrukcję charakteryzuje syetryczny niestateczny punkt bifurkacji, co ilustruje pokazany na rysunku 4.7 przebieg ścieżek równowagi translacji w kierunku równoleżnikowy (v) punktu centralnego powłoki. Ścieżce drugorzędnej na rys. 4.7, przebiegającej po lewej stronie osi obciążenia, odpowiada deforacja przedstawiona na rys. 4.6b, a ścieżce po stronie prawej deforacja 4.6c. W badany zakresie teperatury nie dochodzi do przekroczenia warunku Tsai-Wu. Dodatkowo dla tego przykładu na rysunku 4.8 przedstawiono wyniki otrzyane prograe NX-Nastran (ver. 7.). Na ścieżce układu idealnego w badany zakresie teperatury nie występują punkty krytyczne, toteż rozwiązanie ożna uzyskać sterując paraetre obciążenia (LC). Zastosowano przyrost Δ λ, = dt =,. Można zauważyć, że otrzyana w ten sposób ścieżka pokrywa się idealnie z rozwiązanie z prograu autorskiego dla ICRIT = 1. Fakt ten oże potwierdzać wcześniejszą uwagę o wpływie sforułowania odelu kopozytu warstwowego na rozwiązanie, bowie odel w Nastranie, podobnie jak podejście stosowane w niniejszej pracy, bazuje na koncepcji pojedynczej warstwy zastępczej. Na rysunku 4.8 pokazano także wynik otrzyany techniką sterowania paraetre łuku (Arc-Leng) dla Δ λ, = dt =,. Jak we wcześniejszy przykładzie, algoryt stracił w pewny punkcie zbieżność i progra przerwał obliczenia. Rys. 4.3. Powłoka cylindryczna [17] A/H = ; porównanie wyników własnych z rozwiązanie odniesienia
88 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.4. Powłoka cylindryczna [17] A/H = ; lokalizacje sił zaburzających Rys. 4.5. Powłoka cylindryczna [17] A/H = ; ścieżka drugorzędna dla zaburzeń w punktach A, B, C, D oraz A-D Rys. 4.6. Powłoka cylindryczna [17] A/H = ; deforacje w 4 C: a) ścieżka podstawowa, b) ścieżka drugorzędna dla zaburzeń w punktach A, B, C i A-D, c) ścieżka drugorzędna dla zaburzenia w punkcie D
4.6. Powłoka cylindryczna cross-ply 89 Rys. 4.7. Powłoka cylindryczna [17] A/H = ; ścieżki równowagi translacji w kierunku równoleżnikowy punktu centralnego powłoki; syetryczny niestateczny punkt bifurkacji Rys. 4.8. Powłoka cylindryczna [17] A/H = ; porównanie wyników własnych z prograu autorskiego i NX-Nastran (ver. 7.) z rozwiązanie odniesienia W analizie zbieżności podziału na eleenty skończone w przypadku powłoki o sukłości A/H = 8 obserwowano znaczne ziany jakościowe rozwiązania w zależności od przyjętej dyskretyzacji. Minialny zagęszczenie gwarantujący stabilność odpowiedzi jest eleentów 8URI i taką siatkę przyjęto ostatecznie w obliczeniach. Na rysunku 4.9 przedstawiono porównanie rezultatów własnych z rozwiązanie odniesienia. Obserwujey wyraźne jakościowe różnice wyników. Z interpretacji rozwiązania
9 4. Przykłady nueryczne własnego wynika, że powłoka traci stateczność poprzez przeskok w około 44 C, podczas gdy rozwiązanie odniesienia wskazuje, że efekt ten następuje w około 6 C. Przy tak ałej grubości powłoki jakość i wartość rozwiązania oże być fałszowana wpływe blokady ścinania. Aby rozstrzygnąć, czy uzyskana eleente 8URI postać rozwiązania własnego nie wynika z wpływu lockingu czy też for pasożytniczych ogących towarzyszyć technice jednolicie zredukowanego całkowania, przeprowadzono dodatkowe obliczenia, stosując eleent 16-węzłowy z pełny całkowanie (16FI). Aby uzyskać porównywalne zagęszczenie węzłów jak w przypadku dyskretyzacji eleentów 8URI, przyjęto podział 14 14 eleentów. Otrzyane eleente 16-węzłowy rozwiązanie potwierdziło poprzednią odpowiedź (rys. 4.9). Rys. 4.9. Powłoka cylindryczna [17] A/H = 8; porównanie wyników własnych z rozwiązanie odniesienia W pracach [67, 88] zastosowano siatkę 5 5 eleentów wykorzystując podwójną syetrię zadania, w [17] natoiast przyjęto zagęszczenie 1 1 eleentów do analizy całego odelu. W artykule [88] zastosowano eleent 9-węzłowy Hellingera-Reissnera z niezależny pole odkształceń. Z uwag wstępnych w [17] wynika jedynie, że oże to być eleent 8- lub 9-węzłowy wychodzący z ieszanej zasady wariacyjnej Hellingera- Reissnera. W [67] zastosowano eleent 8-węzłowy, w którego sforułowaniu, w celu uniknięcia lockingu, przyjęto wygładzone funkcje interpolacyjne. Przeprowadzono dodatkowe obliczenia stosując własny eleent 9-węzłowy z pełny całkowanie (9FI). Wyniki przedstawia rysunek 4.3. Dla siatki 1 1 eleentów otrzyano ścieżkę jakościowo zgodną z rozwiązanie przedstawiony w [67, 88, 17]. Niezgodności ilościowe ogą wynikać, jak w przypadku analizy powłoki A/H =, z różnic sforułowań odeli kopozytu warstwowego. Po zagęszczeniu podziału do eleentów 9FI otrzyano już jednak rozwiązanie bardzo zbliżone do wyników otrzyanych eleente 8URI i 16FI (rys. 4.3). Fakt ten pozwala założyć, że przedstawiona w [67, 88, 17] postać rozwiązania jest nieprawidłowa i wynika z przyjęcia ta zbyt ubogiego podzia-
4.6. Powłoka cylindryczna cross-ply 91 łu na eleenty skończone, który nie oże poprawnie aproksyować skoplikowanej deforacji tak cienkiej powłoki. Rys. 4.3. Powłoka cylindryczna [17] A/H = 8; wpływ sforułowania eleentu i zagęszczenia siatki na rozwiązanie Na rysunkach 4.31 i 4.3 przedstawiono porównanie deforacji konstrukcji odpowiadających, odpowiednio, pozioowi ugięcia punktu centralnego równeu w/h = 1 oraz teperaturze 1 C, uzyskanych w analizie z zastosowanie siatki 8URI i 1 1 9FI. Powłoka ze względu na ałą grubość doznaje licznych zafalowań na całej powierzchni ( 8URI), czego nie oddaje zbyt sztywna siatka 1 1 9FI. Rys. 4.31. Powłoka cylindryczna [17] A/H = 8; porównanie deforacji odpowiadających w/h = 1; a) siatka eleentów 8URI, b) siatka 1 1 eleentów 9FI
9 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.3. Powłoka cylindryczna [17] A/H = 8; porównanie deforacji w 1 C; a) siatka eleentów 8URI, b) siatka 1 1 eleentów 9FI Wyniki analizy wytężenia wskazują, że stan naprężenia w badanych teperaturach ieści się w zakresie dopuszczalny. Powyższe analizy powłoki A/H = 8przeprowadzono przy wykorzystaniu kryteriu ICRIT = 1. Dodatkowe obliczenia z zastosowanie warunku ICRIT = były ożliwe tylko do poziou 44 C (w/h =,55). W ty iejscu wystąpiły oscylacje rozwiązania, ogące świadczyć o obecności punktu bifurkacji. Poszukiwania ożliwej ścieżki drugorzędnej dla tego zadania nie przeprowadzono. 4.7. Powłoka cylindryczna angle-ply Zadanie zaprezentowano w pracy [6]. Analizowany jest równoiernie ogrzany panel cylindryczny o identycznej geoetrii i warunkach podparcia jak w przykładzie 4.5. Różnicę w stosunku do tatego przykładu stanowi typ uwarstwienia, bowie tutaj rozpatrywany jest scheat typu angle-ply [67.5 / 67.5 / ] (rys. 4.1). Badany jest wpływ liczby warstw N na zachowanie konstrukcji. W ty celu przeprowadzono obliczenia dla dwukrotnie zwielokrotnianej ich liczby, tj. N =, N = 4, N = 8, itd. Przeprowadzone w raach analizy własnej obliczenia wykazały, że zwiększanie liczby warstw powyżej N = 8 nie zienia odpowiedzi konstrukcji, toteż przypuszczalnie dlatego w [6] podano, że badane są liczby N =, N = 4 oraz N = (N = inf.). Materiał warstw jest identyczny jak w zadaniu 4.5. Niezależnie od liczby warstw nuerycznie wyznaczone współczynniki korekty ścinania są równe k 13 = k 3 =,8333 = 5/6. W analizie własnej przyjęto siatkę 1 1 eleentów 8URI. Wybór siatki podyktowany jest.in. koniecznością uzyskania identycznego położenia węzłów, dla których w [6] przedstawiono rozwiązania. Dla potrzeb analizy wytężenia zewnętrzne warstwy dzielone są na dwie, z których skrajne ają grubość,1h. W ty zadaniu wszystkie obliczenia przeprowadzono przy zastosowaniu kryteriu ICRIT = 1. W rozwiązaniu własny analizowano całą powłokę, podczas gdy w [6] zostały wykorzystane warunki syetrii, o czy wnioskować ożna z podanej ta uwagi ogólnej (por. zadanie 4.5) oraz z porównania przedstawionej siatki w [6] węzłów. W przypadku powłok N =, N = 4 rozpatrywano połowę powłoki (1/) (linia podziału konstrukcji w połowie wysokości walca A/, rys. 4.1). Trzeba w ty iejscu ponownie podkreślić, że wykorzystanie warunków syetrii w zagadnieniach dotyczących powłok warstwowych wyaga pewnej ostrożności. O ile bowie geoetria rozpatrywanego tu walca i warunki brzegowe są bisyetryczne, to uwarstwienie typu angle-ply ten typ syetrii zaburza i nale-
4.7. Powłoka cylindryczna angle-ply 93 ży się raczej spodziewać, że deforacja konstrukcji będzie skośnie lub obrotowo syetryczna. Niestety, w [6] nie doprecyzowano, jakie warunki brzegowe na liniach połowicznego podziału konstrukcji zostały przyjęte. Powłokę N = 8 = w [6] rozwiązano analizując ćwiartkę konstrukcji (1/4), najprawdopodobniej przy wykorzystaniu warunków podwójnej syetrii. Postąpiono zate zgodnie z uwagą przytoczoną w zadaniu 4.5. Podkreśly jednak, że rozpatrywane tu uwarstwienie jest niesyetryczne względe powierzchni środkowej, co zgodnie z [15] a wykluczać ożliwość stosowania warunków podwójnej syetrii (patrz uwaga do zadania 4.5). Na rysunkach 4.33 4.35 przedstawiono porównanie otrzyanych wyników z rozwiązanie odniesienia. Dla powłok N =, N = 4 przedstawione są ścieżki równowagi znoralizowanych ugięć w punkcie (A/4; B/3), a dla powłoki N = 8 = w punkcie (7/4A; B/) (por. rys. 4.1). Zgodność wyników z rozwiązanie odniesienia w przypadku powłok N =, N = 4 jest zadowalająca, podczas gdy dla powłoki N = 8 = uzyskano jakościowo inne rozwiązanie. Aby sprawdzić, czy różnica ta nie wynika z przyjętych w [6] warunków podwójnej syetrii przeprowadzono dodatkowe obliczenia i przeanalizowano ćwiartkę powłoki N = 8 = z zastosowanie warunków brzegowych syetrii na liniach podziału, których wynikie jest przedstawiona na rys. 4.35 ścieżka N = 8 (1/4). Można zaobserwować, że wynik ten jest jakościowo zgodny z rozwiązanie przedstawiony w [6]. Niezgodność rozwiązań uzyskanych przy wykorzystaniu warunków syetrii z rezultate otrzyany w analizie całej powłoki potwierdza, że zastosowanie warunków podwójnej syetrii w obliczeniach powłok o niesyetryczny względe powierzchni środkowej uwarstwieniu nie jest poprawne. Rys. 4.33. Powłoka cylindryczna angle-ply [6]; N =, porównanie z rozwiązanie odniesienia
94 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.34. Powłoka cylindryczna angle-ply [6]; N = 4, porównanie z rozwiązanie odniesienia Rys. 4.35. Powłoka cylindryczna angle-ply [6]; N =8 = (=inf.), porównanie z rozwiązanie odniesienia Analiza wytężenia wskazuje, że zniszczenie następuje w każdy przypadku w dolnej warstwie konstrukcji i jest skutkie ścięcia warstwy. W powłoce N = zniszczenie następuje w T TW = 47 C, w powłoce N = 4 w T TW = 8 C, a w powłoce N = 8 = w T TW = 88 C (wynik z analizy całej powłoki). W [6] podano, odpowiednio, T TW = 55 C, T TW = 5 C, T TW = 3 C. Różnice poiędzy wynikai własnyi a przedstawionyi w [6] ogą wynikać z przyczyn opisanych w przykładzie 4.5. W przypadku powłoki N = 8 = różnica ta jest zdecydowanie konsekwencją ogólnej rozbieżności rozwiązań, wynikającej z zastosowania w [6] warunków podwójnej syetrii. W analizie
4.7. Powłoka cylindryczna angle-ply 95 własnej przeprowadzonej dla ćwiartki konstrukcji otrzyano bowie teperaturę niszczącą równą T TW = C. Rysunek 4.36 przedstawia deforacje powłok w teperaturze zniszczenia ateriału. Zniszczenie następuje w zagłębieniach konstrukcji. Jak widać, wszystkie postaci są obrotowo syetryczne, co ponownie potwierdza, ze wykorzystanie warunków podwójnej syetrii w ty zadaniu jest błędne. Rys. 4.36. Powłoka cylindryczna angle-ply [6]; deforacje w teperaturze zniszczenia: a) powłoka N =, T TW = 47 C, b) powłoka N = 4, T TW = 8 C, c) powłoka N = 8=, T TW = 88 C Warto w ty iejscu dodać, że także w pracy [6] przedstawiono deforacje powłok w teperaturze zniszczenia, ostatecznie dla całej konstrukcji. Autorzy koentują, że deforacja dla N =, N = 4 jest obrotowo syetryczna, a dla N = 8= wydaje się syetryczna ( is seen to be syetric wi respect to e center lines ). Koentarze te wydają się nieco zaskakujące w świetle założenia, że w pracy tej deforacje całej konstrukcji otrzyano przez odpowiednie odbicia deforacji otrzyanej dla połowy powłoki (N =, N = 4) i ćwiartki (N = 8 = ), i że saa analiza wyagała przyjęcia odpowiednich, zgodnych z przewidywany zachowanie konstrukcji, warunków brzegowych na liniach podziału. 4.8. Ortotropowa powłoka sferyczna Zadanie zaproponowano w pracy [85]. Badane jest nieliniowe zachowanie równoiernie ogrzanej powłoki sferycznej (rys. 4.37) o wyiarach A = B, A/H = oraz różnych wyniosłościach: R/A = 8, R/A = 6, R/A = 5, R/A = 4. Krawędzie konstrukcji są swobodnie nieprzesuwnie podparte. Powłoka jest jednokierunkowo zbrojona, co w pracy [85] opisano scheate uwarstwienia [ 9 /9 ] 4. Właściwości ateriału są następujące: E a = 13 GPa, E b = 7, GPa, G ab = G ac = 4,75 GPa, G bc =,375 GPa, v ab =,3, α aa =,3 1 6 1/K, α bb = 8,1 1 6 1/K. Wartości współczynników korekcyjnych w ty zadaniu wynoszą k 13 = k 3 =,8333 = 5/6. W obliczeniach przyjęto siatkę 1 1 eleentów 8URI. Na rysunku 4.38 przedstawiono ścieżki znoralizowanego ugięcia punktu centralnego powłoki dla poszczególnych wyniosłości R/A. Reprezentację rozwiązań odniesienia stanowią na rysunku 4.38 linie przerywane. Należy zaznaczyć, że podana w pracy [85] noralizacja przeieszczeń w forie w/h deterinuje inny rząd wartości niż przedstawione ta na wykresach. Ustalono, że najprawdopodobniej do noralizacji wyników zastosowano w [85] nożnik,1 A/H. Rezultaty własne są zgodne z rozwiązaniai odniesienia. Bez względu na wartość paraetru R/A uzyskano nieliniową odpowiedź konstrukcji. Wszystkie obliczenia dla tego zadania przeprowadzono stosując kryteriu ICRIT = 1. W badany zakresie teperatur punkty graniczne obciążenia nie występują. Punktów bifurkacji nie badano.
96 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.37. Geoetria powłoki sferycznej Rys. 4.38. Powłoka sferyczna [85]; porównanie wyników z rozwiązaniai odniesienia W analizie własnej przeprowadzono serię obliczeń jak powyżej, odyfikując sposób obciążenia powłok, tj. równoierne ogrzanie zastąpiono dwoa wariantai gradientu teperatury: T d =,5T g oraz T g =,5T d. Wyniki dla poszczególnych wyniosłości przedstawiono na rysunkach 4.39 4.4. Są to ścieżki znoralizowanego ugięcia punktów centralnych powłok względe teperatury na ich powierzchni środkowej. W przypadku paneli bardziej wyniosłych R/A = 5 i R/A = 4 sposób obciążenia wywołuje jedynie ilościowe różnice rozwiązań. Powłoki o wyniosłości R/A = 8 i R/A = 6 reagują silniej na zianę rozkładu teperatury na grubości i tu widoczne jest jakościowe zróżnicowanie odpowiedzi. Powłoka z geoetrią R/A = 8 przy obciążeniu T d =,5T g traci stateczność w forie przeskoku w około 8 C, natoiast powłoka R/A = 6 w około 11 C przy obciążeniu T g =,5T d.
4.8. Ortotropowa powłoka sferyczna 97 Rys. 4.39. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 8, wpływ sposobu obciążenia na zachowanie konstrukcji Rys. 4.4. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 6, wpływ sposobu obciążenia na zachowanie konstrukcji
98 4. Przykłady nueryczne Rys. 4.41. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 5, wpływ sposobu obciążenia na zachowanie konstrukcji Rys. 4.4. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 4, wpływ sposobu obciążenia na zachowanie konstrukcji Na rysunkach 4.43 4.46 przedstawiono deforacje powłok w 1 C odpowiadające poszczególny warianto obciążenia, tj. równoierneu ogrzaniu oraz gradiento T d =,5T g i T g =,5T d. Postać deforacji jest w zdecydowanej większości przypadków bardzo podobna. Zdecydowanie wyróżnia się tu powłoka najbardziej wyniosła R/A = 4 oraz ało wyniosła R/A = 6 w przypadku obciążenia T g =,5T d.
4.8. Ortotropowa powłoka sferyczna 99 Rys. 4.43. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 8, deforacje w 1 C; a) równoierne ogrzanie, b)t d =,5T g, c) T g =,5T d Rys. 4.44. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 6, deforacje w 1 C; a) równoierne ogrzanie, b) T d =,5T g, c) T g =,5T d Rys. 4.45. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 5, deforacje w 1 C; a) równoierne ogrzanie, b) T d =.5T g, c) T g =.5T d Rys. 4.46. Powłoka sferyczna [85]; R/A = 4, deforacje w 1 C; a) równoierne ogrzanie, b) T d =,5T g, c) T g =,5T d
1 4. Przykłady nueryczne 4.9. Powłoka sferyczna o niesyetryczny uwarstwieniu Oryginał tego przykładu pochodzi z pracy [6]. Przediote analizy jest ało wyniosła powłoka sferyczna, swobodnie nieprzesuwnie podparta na krawędziach, poddana równoierneu ogrzaniu. Geoetrię powłoki opisują następujące dane (rys. 4.37): A = B, R/A = 1, A/H = 1. Powłoka wykonana jest z czterech warstw o właściwościach: E a = 76 GPa, E b = 5,5 GPa, G ab = G ac =,3 GPa, G bc = 1,5GPa, v ab =,34, α aa = 4 1 6 1/ C, α bb = 79 1 6 1/ C, X t = 14 GPa, X c = 35 MPa, Y t = 1 MPa, Y c = 53 MPa, S s = 34 MPa. Uwarstwienie jest niesyetryczne [ /9 / /9 ]. Wartości współczynników dla przyjętych danych wynoszą k 13 = k 3 =,65. W bieżącej analizie zastosowano siatkę 1 1 eleentów 8URI dla całej konstrukcji. Ścieżkę równowagi znoralizowanego ugięcia punktu centralnego wraz z porównanie z rozwiązanie odniesienia przedstawiono na rysunku 4.47. Można zauważyć, że dla przyjętych danych powłokę charakteryzuje niealże liniowa odpowiedź i zjawisko utraty stateczności w badany zakresie teperatury nie występuje. Zaprezentowaną na rysunku 4.47 ścieżkę uzyskano dla kryteriu odciążania ICRIT = 1, jakkolwiek w ty przypadku, ze względu na stabilność konstrukcji, efektywne obliczenia ożna także przeprowadzić przy zastosowaniu warunku ICRIT =. Rys. 4.47. Powłoka sferyczna [6]; porównanie wyników z rozwiązanie odniesienia Przeprowadzono dodatkową analizę paraetryczną, badając wpływ ułożenia włókien w warstwach na zachowanie konstrukcji. Sprawdzono, jaki ziano ulegnie odpowiedź, jeśli oryginalny scheat uwarstwienia cross-ply [ /9 / /9 ] zastąpiony zostanie układe typu angle-ply. Przeanalizowano następujące scheaty: [45 / 45 /45 / 45 ], [3 / 3 /3 / 3 ], [15 / 15 /15 / 15 ] oraz przypadek szczególny, tj. powłoki ortotropowej [ / / / ]. Dla wszystkich dodatkowo analizowanych przypadków układu warstw współczynniki korekcyjne równe są k 13 = k 3 =,8333 = 5/6. Wyniki przedstawiono na rysunku 4.48.
4.9. Powłoka sferyczna o niesyetryczny uwarstwieniu 11 Z rysunku 4.48 wynika, że układ zbrojenia warstw bardzo istotnie wpływa na zachowanie konstrukcji. Ścieżki ugięcia środka powłoki dla uwarstwień [45 / 45 /45 / 45 ] i [ /9 / /9 ] pokrywają się. Jak zostanie dalej wykazane, zachowanie całej konstrukcji nie jest jednak w tych dwóch przypadkach identyczne. Pozostałe typy uwarstwienia charakteryzuje zdecydowanie nierównoierny rozkład sztywności w dwóch kierunkach θ, θ 1 1 (rys. 4.37) i wraz ze zniejszanie kąte α wzrasta sztywność powłoki w kierunku θ. Konstrukcja w iarę wzrostu ortotropii wchodzi w wyraźnie nieliniowy zakres pracy, a w przypadku uwarstwień [15 / 15 /15 / 15 ] oraz [ / / / ] traci stateczność w forie przeskoku w teperaturach, odpowiednio, T cr = 47 C i T cr = 38 C. Rys. 4.48. Powłoka sferyczna [6]; analiza wpływu uwarstwienia na zachowanie konstrukcji Ścieżki przedstawione na rysunku 4.48 zbadano przy zastosowaniu dwóch kryteriów odciążania. We wszystkich przypadkach poza [ / / / ] przy zastosowaniu kryteriu ICRIT = nie pojawiały się żadne probley ze zbieżnością rozwiązania, co sugeruje brak punktów bifurkacji w badany zakresie teperatur. W przypadku uwarstwienia [ / / / ] przy wykorzystaniu warunku ICRIT = następowały oscylacje rozwiązania w teperaturze około 38 C i dalsze rozwiązanie nie było ożliwe. Może to świadczyć o obecności punktu bifurkacji. Wszystkie próby poszukiwania ożliwych ścieżek drugorzędnych poprzez technikę zaburzeń nie spowodowały jednakże przejścia na inną jakościowo ścieżkę niż podstawowa. Być oże więc probley oscylacji rozwiązania nie są związane z punkte bifurkacji lub też identyfikację ścieżek pobifurkacyjnych utrudnia tu bliskie sąsiedztwo punktu granicznego obciążenia. W bieżącej analizie zniszczenie kontrolowano w środku wysokości warstw fizycznych, bez podziału na subwarstwy. W tabeli 4.3 przedstawiono teperatury zniszczenia dla wszystkich przeanalizowanych uwarstwień wraz z inforacją o scheacie i lokalizacji zniszczenia. Zniszczenie powłok o uwarstwieniach [15 / 15 /15 / 15 ] i [ / / / ] następuje za punkte graniczny obciążenia. Otrzyana teperatura niszcząca dla sche-
1 4. Przykłady nueryczne atu [ /9 / /9 ] jest nieco większa od podanej w [6], równej T TW = 115 C. Różnica jednak nie jest znaczna i ożna ją tłuaczyć podobnie, jak w zadaniu 4.5. Widoczne jest, że wraz ze wzroste ortotropii powłoki teperatura zniszczenia aleje. Różnica teperatur niszczących dla scheatów uwarstwień [ /9 / /9 ] i [45 / 45 /45 / 45 ] jest nieznaczna i ieści się w zakresie błędu nuerycznego. Ziana ułożenia zbrojenia z [ /9 / /9 ] na układ [45 / 45 /45 / 45 ], jak i na pozostałe scheaty uwarstwienia, wpływa jednak na zianę lokalizacji zniszczenia ateriału. Tabela 4.3 Powłoka sferyczna [6]; teperatury zniszczenia dla poszczególnych scheatów uwarstwienia Uwarstwienie Teperatura zniszczenia Mechaniz zniszczenia [ /9 / /9 ] 11 C pękanie atrycy [45 / 45 /45 / 45 ] 13 C pękanie atrycy [3 / 3 /3 / 3 ] 1 C pękanie atrycy [15 / 15 /15 / 15 ] 44 C pękanie atrycy [ / / / ] 36 C pękanie atrycy Lokalizacja zniszczenia warstwa dolna, wzdłuż krawędzi prostopadłych do kierunku zbrojenia warstwa dolna, narożniki na linii zbrojenia warstwa górna, zagłębienie na środku powłoki (rys. 4.49) warstwa dolna, zagłębienie na środku powłoki (rys. 4.49) warstwa dolna, zagłębienie na środku powłoki (rys. 4.49) Na rysunku 4.49 przedstawiono deforacje powłoki dla poszczególnych scheatów uwarstwienia w teperaturze zniszczenia ateriału z naniesienie ap indeksu zniszczenia FI w warstwach najbardziej wytężonych (tab. 4.3). Na siatce powłok zaznaczono dodatkowo punkty A-H. Poszczególnyi sybolai zastosowanyi do oznaczeń punktów rozróżniono pary (grupy) punktów o identycznych ścieżkach równowagi ich ugięć. Można zauważyć, że w przypadkach powłok ortotopowej [ / / / ] i cross-ply [ /9 / /9 ], io niesyetrycznego ułożenia warstw w tej ostatniej, ścieżki ugięć w punktach (A, B, C, D) oraz parai (E, G) i (F, H) pokryły się, co świadczy o podwójnej syetrii deforacji względe osi dzielących krawędzie na połowę. W przypadku powłoki [45 / 45 /45 / 45 ] zgodność ugięć zachodzi w punktach (E, F, G, H) oraz parai w (A, D) i (B, C), co dowodzi podwójnej syetrii skośnej. Obserwacje te ponownie potwierdzają, że zachowanie powłok [ /9 / /9 ] i [45 / 45 /45 / 45 ] nie jest identyczne. W pozostałych przypadkach uwarstwień, tj. [3 / 3 /3 / 3 ] i [15 / 15 /15 / 15 ], równość ugięć zachodzi parai w punktach (A, D), (B, C), (E, G), (F, H), co potwierdza obrotową syetrii deforacji. Warto w ty iejscu powrócić do przywołanych w przykładzie 4.5 uwag o wykorzystaniu warunków syetrii w analizie. Zgodnie z [6] przy dowolnej orientacji włókien w warstwach dopuszczalna jest redukcja układu do połowy, a w szczególnych przypadkach, tj. dla kątów i 9 lub nieskończonej liczby warstw, do ćwiartki. W [15] napisano jednak, że niesyetryczne uwarstwienie względe powierzchni środkowej wyklucza ożliwość redukcji do ćwiartki. Przeprowadzone w przykładach 4.7 i 4.9 analizy wskazują, że istotnie, niesyetryczne uwarstwienie w ogólny przypadku warunki podwójnej syetrii zaburza (przykład 4.7, 4.9), jednak rzeczywiście w przypadku kątów ułożenia zbrojenia i 9 (przykład 4.9) warunki te pozostają spełnione. Nie udało się jednak potwierdzić, że
4.9. Powłoka sferyczna o niesyetryczny uwarstwieniu 13 podwójną syetrię deforacji gwarantuje nieskończona liczba warstw (przykład 4.7). Nie ożna jednak wykluczyć, że wariant nieskończonej liczby warstw w przykładzie 4.7 został przez Autorkę pracy źle zinterpretowany i w analizie własnej przyjęte zostały błędne dane i założenia, prowadzące do uzyskania innej odpowiedzi niż rozwiązanie odniesienia. Rys. 4.49. Powłoka sferyczna [6]; deforacje w teperaturach zniszczenia z naniesioną apą indeksu FI warstw najbardziej wytężonych według tabeli 4.3; oś θ 1 wyznacza kierunek odniesienia dla orientacji zbrojenia warstwy