Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę. Aby można było mówić o grze, należy określić kilka pojęć: 1. Gracz uczestnik sytuacji, może nim być człowiek, firma, państwo, gatunek w znaczeniu biologicznym; w grze musi być co najmniej dwóch graczy 2. Strategia możliwość postępowania każdego z graczy, sposób rozgrywania przez niego gry 3. Wynik gry determinowany jest przez kombinacje strategii wybieranych przez poszczególnych graczy 4. Wypłata określa wartość wyniku gry dla poszczególnych graczy, można ją wyrazić liczbowo; poszczególne wyniki są przyporządkowane pewnym zbiorom strategii Pojęciu gry towarzyszą także takie określenia jak konflikt i kooperacja. Konflikt mamy z nim do czynienia, ponieważ zazwyczaj każdy z graczy dąży do innego wyniku gry Kooperacja jest możliwa, gdy kilku graczy koordynuje swoje strategie, by doprowadzić do wyniku dającego każdemu z nich wyższą wypłatę Z przykładami gier spotykamy się w wielu sytuacjach społecznych. Kompletna teoria racjonalnego rozwiązywania gier miałaby bardzo szerokie zastosowanie i pozwalałaby na znalezienie właściwego sposobu postępowania w każdej sytuacji. W praktyce jednak teoria gier ma pewne ograniczenia: 1. Gry rozgrywane w rzeczywistym świecie są bardzo skomplikowane wskazanie wszystkich graczy, opisanie ich strategii, możliwych wyników o przypisanie do nich wartości wypłat jest trudne. Możliwe jest konstruowanie prostych kier dotyczących niektórych istotnych elementów rzeczywistości. 2. Teoria gier zakłada, że gracze zachowują się racjonalnie w realnym świecie nie zawsze ma to miejsce 3. Teoria gier nie potrafi dokładnie przewidzieć przebiegu gier, w których interesy obu graczy nie są dokładnie przeciwstawne i w których bierze udział więcej niż dwóch graczy
Gra o sumie zerowej gra, w której interesy obu graczy są dokładnie przeciwstawne; osoba pierwsza wygrywa dokładnie tyle, ile przegrywa druga. Takie gry stanowią modele dla sytuacji czystego konfliktu dwóch stron. Dla takich gier wystarczy podać wypłaty jednego gracza. Wypłatę drugiego uzyskamy mnożąc wypłatę pierwszego przez -1. Analizując sposób, w jaki gracze powinni rozegrać taką grę, możemy ja zapisać także jako diagram przesunięć. Strzałki przeprowadzamy w następujący sposób: - w poszczególnych wierszach prowadzimy je z każdej komórki do komórki z najmniejszą wartością - w kolumnach prowadzimy je z każdej komórki do komórki z największą wartością w danej kolumnie Gra o sumie niezerowej - gra, w której wypłaty obu graczy nie sumują się do zera.
Gra macierzowa gra dwuosobowa o sumie zerowej, która jest macierzą m x n, gdzie m to liczba strategii jednej osoby, a n to liczba strategii drugiej. Celem osoby pierwszej jest taki wybór wiersza, by uzyskać wynik reprezentowany przez największą wartość, drugiej wybór kolumny, w której wynik gry jest liczbą najmniejszą. Definicja Strategia S dominuje strategię T, jeżeli każdy wynik dawany przez S jest co najmniej równie korzystny co odpowiedni wynik dawany przez T, a przynajmniej jeden wynik dawany przez S jest bardziej korzystny niż odpowiedni wynik dawany przez T. Kryterium dominacji. Racjonalny gracz nigdy nie wybiera strategii zdominowanej. Kryterium to pozwala czasami wyeliminować niektóre strategie, ale ma dość ograniczone zastosowanie. Dla osoby II strategia B jest bezwzględnie lepsza niż C, bo w każdej komórce B znajduje się liczba mniejsza niż w odpowiedniej komórce kolumny C. Mówimy, że strategia B dominuje strategię C lub strategia C jest zdominowana przez strategię B. Można zauważyć też, że strategie B i C są najbezpieczniejsze. Para strategii C osoby I i B osoby II daje wynik będący punktem równowagi. Znaczy to tyle, że strategie te są wzajemnie najlepszymi odpowiedziami na siebie. W takim przypadku wypłata dla tej pary strategii jest jednocześnie największa w swoim wierszu i najmniejsza w swojej kolumnie. Definicja Wynik gry macierzowej (dla macierzy zawierającej wypłaty gracza wybierającego wiersze) nazywamy punktem siodłowym, jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa każdej wartości w jego wierszu, a większa lub równa każdej wartości w jego kolumnie.
Kryterium punktu siodłowego. Jeżeli gra macierzowa ma punkt siodłowy, obaj gracze powinni wybrać zawierające go strategie. Definicja Dla każdej gry macierzowej, dla której istnieje taka liczba v, że osoba I ma strategię gwarantującą jej wygranie co najmniej v, a osoba II ma strategię gwarantującą, że osoba I nie wygra więcej, v jest wartością gry. Jeżeli gra ma punkt siodłowy, to jego wartość jest wartością gry. Niektóre gry nie mają żadnego punktu siodłowego, inne mają ich kilka. Gdy gra ma wiele punktów siodłowych, wszystkie one są ze sobą powiązane mają tę samą wartość i leżą na wierzchołkach jednego prostokąta. Twierdzenie Każde dwa punkt siodłowe tej samej gry mają taką samą wartość. Jeżeli zarówno osoba I, jak i osoba II zagrają strategie zawierające punkty siodłowe, to wynik gry zawsze będzie punktem siodłowym. Metoda określania, czy gra ma punkt siodłowy i jeśli tak, pozwalająca go znaleźć: - wypisujemy najmniejsze wartości z każdego wiersza i wybieramy największą spośród nich - wypisujemy największe wartości z każdej kolumny i wybieramy najmniejszą z nich Jeśli maksimin wierszy i minimaks kolumn jest taki sam, to leży on w punkcie siodłowym Jeżeli maksimin i minimaks mają różne wartości, gra nie posiada punktu siodłowego
ZADANIA Zad.1 W następującej grze wskaż wszystkie zdominowane i dominujące strategie obu graczy. Rozwiązanie: Kolumna: - C dominuje A, bo 2 3, 0 2, -5-4 (A jest zdominowana przez C) - B dominuje D, bo -6-4, 1 1, 3 4 (D jest zdominowana przez B) Wiersz: - brak strategii zdominowanych Kryterium dominacji wyższego rzędu głosi ono, że gracze mogą wybierać jedynie te strategie, które przetrwają proces eliminacji polegający na tym, że w pierwszym kroku skreślamy wszystkie strategie zdominowane, uzyskując w ten sposób nową, mniejszą grę. W tej mniejszej grze niektóre strategie mogą znów być zdominowane, pomimo że nie były zdominowane w grze oryginalnej, znajdujemy je i skreślamy, otrzymując ponownie zmniejszoną grę. Powtarzamy ten proceder, dopóki w uzyskanej grze nie ma już żadnych strategii zdominowanych. Zad.2 Które ze strategii w poniższej grze są dopuszczalne ze względu na kryterium dominacji wyższego rzędu? Rozwiązanie: Krok 1: - kb dominuje ka, bo 1 1, 1 2, 2 2, 2 2 (ka jest zdominowana przez kb) - kc dominuje kb, bo 1 1, 1 1, 1 2, 2 2 (kb jest zdominowana przez kc)
Krok 2: -wa dominuje wb, bo 1 1, 2 1, 2 2 (wb jest zdominowany przez wa) -wb dominuje wc, bo 1 1, 1 1, 2 1 (wc jest zdominowany przez wb) Krok3: -ke dominuje nad kd, bo 2 2, 0 1 (kd jest zdominowana przez ke) Strategie A i D dla Wiersza oraz strategie C i E dla Kolumny są dopuszczalne ze względu na kryterium dominacji wyższego rzędu. Zad.3 Wyznacz w poniższych grach wszystkie punkty siodłowe, a dla gier b) i c) narysuj diagramy przesunięć. Rozwiązanie:
a) 4 punkty siodłowe b) 1 punkt siodłowy c) Brak punktów siodłowych