Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/ msobol/) Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 15
Wymagania Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 2 / 15
Wymagania Znajomość materiału z kursowego wykładu Topologia I. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 2 / 15
Wymagania Znajomość materiału z kursowego wykładu Topologia I. Zasady oceniania Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 2 / 15
Wymagania Znajomość materiału z kursowego wykładu Topologia I. Zasady oceniania Ocena z przedmiotu będzie zależna od sumy punktów z egzaminu ustnego i z zadań domowych (z ćwiczeń). Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 2 / 15
Uwaga: Będziemy zajmować się tylko przestrzeniami metrycznymi. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 3 / 15
Uwaga: Będziemy zajmować się tylko przestrzeniami metrycznymi. Continuum to niepusta przestrzeń spójna i zwarta. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 3 / 15
Uwaga: Będziemy zajmować się tylko przestrzeniami metrycznymi. Continuum to niepusta przestrzeń spójna i zwarta. Teoria continuów = dział topologii zajmujacy się continuami. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 3 / 15
Uwaga: Będziemy zajmować się tylko przestrzeniami metrycznymi. Continuum to niepusta przestrzeń spójna i zwarta. Teoria continuów = dział topologii zajmujacy się continuami. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 3 / 15
Przykład Najprostsze continua - jednowymiarowe czyli krzywe Przykłady prostych continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 4 / 15
Bardziej skomplikowane przykłady Sinusoida zagęszczona Okrąg warszawski Przykłady 2 i 3 wymiarowe dysk kostka torus Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 5 / 15
Dywan Sierpińskiego Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 6 / 15
Kostka Mengera Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 7 / 15
Poczatki teorii continuów Próby zdefiniowania krzywej w XIX: krzywa - obraz odcinka [0, 1] przy przekształceniu ciagłym. 1890- Giuseppe Peano konstruuje przekształcenie ciagłe przedziału [0, 1] na kwadrat [0, 1] [0, 1]. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 8 / 15
Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 9 / 15
Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ciagłym odcinka [0, 1]. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 10 / 15
Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ciagłym odcinka [0, 1]. Continuum jest lokalnie spójne, jeśli ma bazę złożona ze zbiorów otwartych spójnych. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 10 / 15
Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ciagłym odcinka [0, 1]. Continuum jest lokalnie spójne, jeśli ma bazę złożona ze zbiorów otwartych spójnych. Twierdzenie (Hahn-Mazurkiewicz) Powyższe pojęcia sa sobie równoważne. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 10 / 15
Continuum peanowskie - obraz przy przekształceniu ciagłym odcinka [0, 1]. Continuum jest lokalnie spójne, jeśli ma bazę złożona ze zbiorów otwartych spójnych. Twierdzenie (Hahn-Mazurkiewicz) Powyższe pojęcia sa sobie równoważne. Twierdzenie (Mazurkiewicz-Moore) Każde continuum lokalnie spójne jest łukowo spójne, tzn. każde jego dwa punkty można połaczyć continuum homeomorficznym z odcinkiem (czyli łukiem). Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 10 / 15
Przykład (przykłady continuów lokalnie spójnych) odcinek (ma bazę złożona z przedziałów), grafy spójne (spójne wielościany 1-wymiarowe), dywan Sierpińskiego, kostka Mengera Sinusoida zagęszczona - nie jest lokalnie spójna Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 11 / 15
Własność punktu stałego continuów Przestrzeń X ma własność punktu stałego jeśli dla każdego przekształcenia ciagłego f : X X istnieje punkt stały, tzn. taki punkt x X, że f (x) = x. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 12 / 15
Własność punktu stałego continuów Przestrzeń X ma własność punktu stałego jeśli dla każdego przekształcenia ciagłego f : X X istnieje punkt stały, tzn. taki punkt x X, że f (x) = x. Twierdzenie (Brouwer) Kostka I n ma własność punktu stałego. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 12 / 15
Własność punktu stałego continuów Przestrzeń X ma własność punktu stałego jeśli dla każdego przekształcenia ciagłego f : X X istnieje punkt stały, tzn. taki punkt x X, że f (x) = x. Twierdzenie (Brouwer) Kostka I n ma własność punktu stałego. Twierdzenie Kostka Hilberta I ma własność punktu stałego. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 12 / 15
Continua łukowo spójne Continua peanowskie dendryty dendroidy Niezdegenerowane continua jednorodne Niezdegenerowane continua nierozkładalne Niezdegenerowane continua dziedzicznie nierozkładalne Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 13 / 15
Hiperprzestrzeń C(X) continuum X Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 14 / 15
Hiperprzestrzeń C(X) continuum X Niech X będzie przestrzenia metryczna, wtedy C(X) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryka Hausdorffa dist. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 14 / 15
Hiperprzestrzeń C(X) continuum X Niech X będzie przestrzenia metryczna, wtedy C(X) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryka Hausdorffa dist. dist(a, B) = max(sup{ρ(x, B) : x A}, sup{ρ(y, A) : y B} Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 14 / 15
Hiperprzestrzeń C(X) continuum X Niech X będzie przestrzenia metryczna, wtedy C(X) oznacza zbiór wszystkich continuów zawartych w X z metryka Hausdorffa dist. dist(a, B) = max(sup{ρ(x, B) : x A}, sup{ρ(y, A) : y B} Twierdzenie Jeśli X jest continuum to C(X) jest również continuum. Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 14 / 15
Granice odwrotne Metoda granic odwrotnych służy do konstrukcji interesujacych przykładów continuów, np. continuum nie zawierajacego żadnego łuku. f 2 f 1 Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 15 / 15