PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 97 Transport 2013 Zbgnew Tarapata Wojskowa Akadema Technczna, Wydza Cybernetyk ANALIZA I MODELOWANIE SIECI TRANSPORTOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SIECI ZOONYCH Rkops dostarczono, kwece 2013 Streszczene: W pracy przedstawono podstawy teoretyczne oraz wynk bada zwzanych z analz modelowanem sec transportowych z wykorzystanem sec zoonych. Opsano wasnoc sec zoonych (Scale Free Small World) oraz zdefnowano mary charakterystyk sec. W tym kontekce, przedstawono wynk bada zwzanych z charakterystykam sec rozkadowych pocze lotnczych oraz ekspresowych pocze kolejowych InterCty EuroCty w Polsce. Dla sec pocze lotnczych w Polsce uzyskane wynk skonfrontowano z wynkam bada tych sec w USA, Chnach, Indach, Woszech Hszpan. Prac podsumowuj wnosk, w których starano s znterpretowa otrzymane wynk oraz okrel perspektyw rozwoju zastosowa sec zoonych w kontekce sec transportowych. Sowa kluczowe: modelowane sec transportowych, sec zoone, analza sec, mary stotnoc w secach 1. WPROWADZENIE Opsywana w artykule problematyka zwzana jest z secam zoonym, czyl specyfcznym modelam grafowo-secowym obektów rzeczywstych, których znaczene w ostatnch latach gwatowne wzroso, kedy to wynk bada cech welu wspóczesnych sec rzeczywstych potwerdzy, e maj one pewne szczególne wacwoc - nne n dotychczas sdzono. Badane sec zoonych (ang. complex networks), które modeluj ukady zoone [6], jest modym aktywnym obszarem bada naukowych, w duej merze nsprowanym przez empryczne badana rzeczywstych sec, np. spoecznych 1. Szerok przegld zastosowa sec zoonych przedstawono m.n. w pracach [6], [9]. Wynka z nego, e wele sec rzeczywstych z rónych obszarów ma wasnoc charakterystyczne dla sec zoonych (potgowy rozkad stopna werzchoka, wysok wspóczynnk klasteryzacj, stosunkowo ma redn odlegoc mdzy dwoma dowolnym werzchokam w sec). Wasnoc te krótko przypomnamy w rozdzale 3. 1 Sec spoeczne to take sec, które opsuj zwzk (nterakcje) mdzy czonkam pewnych spoecznoc.
520 Zbgnew Tarapata Szereg wynków dotychczasowych bada ([1], [4], [5], [14]) wskazuje, e do tej grupy zalczaj s równe sec transportowe. Dla przykadu, na Rys. 1 przedstawono se pocze lotnczych w USA. Werzchokam w tej sec s porty lotncze (masta), a krawdze cz te werzchok, mdzy którym odbywaj se loty. Dodatkowo grubo krawdz wadczy o czstoc lotów na danym kerunku (m grubsza krawd, tym czstsze loty). Zwrómy uwag, e w zwzku z tym, mamy do czynena z sec (jako specyfcznym grafem), gdy na krawdzach grafu opsano funkcj "czsto lotów" (zamast uywa krawdz o rónej gruboc moemy na krawdz napsa lczb, jako warto tej funkcj). Se ta jest przykadem sec posadajcej pewne charakterystyczne wasnoc, o których pszemy w rozdzale 3. Rys. 1. Se pocze lotnczych w USA, ródo: [15] Celem nnejszej pracy jest zbadane, czy wybrane sec transportowe w Polsce wykazuj cechy wystpujce w secach zoonych. Wykazane tych wasnoc pozwol np. prognozowa kerunek ewolucj tych sec, skorzysta w praktyce z praw rzdzcych nm. Artyku zorganzowany jest nastpujco. W rozdzale 2 3 opsano podstawowe mary charakterystyk secowych oraz wasnoc sec zoonych. Rozdza 4 zawera wynka bada sec pasaerskch pocze lotnczych oraz ekspresowych pocze kolejowych InterCty EuroCty w Polsce, w kontekce cech sec zoonych. We wnoskach starano s znterpretowa otrzymane wynk oraz okrel perspektyw rozwoju zastosowa sec zoonych w kontekce sec transportowych. 2. MIARY ISTOTNYCH CHARAKTERYSTYK W SIECI Zaómy, e struktura rozpatrywanej sec opsywana jest grafem G V, E, gdze V jest zborem werzchoków, a E zborem krawdz bd uków (krawdz skerowanych), ponadto nech V =N, E =M. Powstaje zasadncze pytane: w jak sposób merzy charakterystyk sec? Sposób tego pomaru pownen umolwa "wydobyce" takch jej cech, które stotne s z punktu wdzena analzy systemu zoonego. W lteraturze defnuje s tzw. mary centralnoc
Analza modelowane sec transportowych z wykorzystanem sec zoonych 521 werzchoków, które merz ch pewne cechy charakterystyczne, jednoczene okrelajc, który werzchoek jest najwanejszy w sec z punktu wdzena okrelonej mary. Znormalzowany stope dc (ang. normalzed degree) werzchoka : k dc N 1 (1) gdze: k oznacza stope werzchoka w grafe G. Najwysz warto tej mary uzyskuje werzchoek, który ma najwkszy stope (a zatem ma najbardzej lczne ssedztwo). Acentryczno ec (ang. eccentrcty) werzchoka [7]: ec max d (2) jv j gdze: d j dugo najkrótszej drog w grafe G mdzy werzchokam oraz j (dugo drog w grafe mdzy werzchokam oraz j = lczba krawdz na drodze z do j). Im mnejsza warto tej mary, tym lepej (m krótsza najdusza z najkrótszych dróg, tym lepej). Warto tej mary jest odwrotne proporcjonalna do promena werzchoka zdefnowanego ponej. Prome rc (ang. radus, graph centralty) werzchoka [3]: 1 1 rc (3) max d ec jv Najwysz ocen uzyskuje werzchoek, który jest molwe najblej wszystkch najbardzej wysuntych werzchoków sec (odlego dzelca go od najdalszego werzchoka jest najmnejsza). Blsko cc (ang. closeness) werzchoka [3]: j N 1 cc (4) d jv j Wedle tej mary werzchoek jest tym bardzej centralny, m jest redno blej wszystkch nnych werzchoków sec. W efekce mara ta pozwala stwerdz, który z dowolnych dwóch werzchoków wymaga mnej kroków, aby skomunkowa s z dowolnym nnym werzchokem sec. Obcene sc (ang. stress) werzchoka [3]: l,, k lv klv sc p (5) gdze: p l,,k lczba najkrótszych dróg w grafe G mdzy werzchokam l oraz k przechodzcych przez werzchoek.
522 Zbgnew Tarapata Werzchoek ma tym wksz warto tej mary m wcej najkrótszych dróg czcych dwa dowolne werzchok w sec przez nego przechodz. Porednctwo bc (ang. betweenness, load) werzchoka [3] 2 : bc p lk,, (6) lv klv plk, gdze: p l,k lczba najkrótszych dróg w grafe G mdzy werzchokam l oraz k. Mara ta defnowana jest, jako uamek lczby najkrótszych dróg czcych dwa dowolne werzchok sec, które zaweraj dany werzchoek. Zazwyczaj wartoc tej mary normalzuje s poprzez uwzgldnene maksymalnej molwej lczby najkrótszych dróg w grafe bdcym grafem penym 3. Wspóczynnk gronowana (klasteryzacj) gc (ang. clusterzaton) werzchoka [8], [13]: 2E gc, k 1 (7) k ( k 1) gdze: E lczba krawdz mdzy ssadam werzchoka. Mara ta opsuje prawdopodobestwo, e perws (tzn. najbls) ssedz 4 werzchoka s równe swom perwszym ssadam. Wspóczynnk gronowana (klasteryzacj) odzwercedla sytuacj, w której zlczamy stosunek trójktów 5 wystpujcych w sec, do wszystkch trójktów mogcych potencjalne wystpowa. Charakterystyk poprzedno opsane dotyczyy werzchoków grafu (sec). Zdefnujemy teraz podstawowe charakterystyk dotyczce sec. redna odlego L (ang. average paths length, redna dugoc dróg najkrótszych) w sec [13]: 1 L dj N( N 1) (8) j V Wspóczynnk gronowana (redn) C (ang. clusterzaton coeffcent) sec [13]: 2 W grafach neskerowanych warto tej mary dzelona jest przez 2 (mdzy par werzchoków x,y oraz y,x wystpuje zawsze ta sama lczba dróg najkrótszych). 3 Graf peny to tak graf, w którym kady werzchoek poczony jest z kadym z pozostaych. W grafe o N werzchokach moemy me N(N-1) takch pocze. 4 Potoczne, perwszym ssadam danego werzchoka nazywa s te werzchok, które s z nm poczone bezporedno krawdz (ukem). Dalszym (drugm, trzecm, td.) ssadam nazywa s te werzchok, z którym dany werzchoek poczony jest poredno poprzez swoch ssadów (blszych nnych dalszych). 5 Trójkt w grafe (sec) to taka jego cz (podgraf) skadajca s z trzech werzchoków, w której kady werzchoek z kadym z pozostaych dwóch jest poczony krawdz (ukem). Inaczej mówc jest to tzw. klka w grafe (podgraf, w którym kady werzchoek z klk z kadym nnym z klk poczony jest krawdz) o lcznoc werzchoków 3.
Analza modelowane sec transportowych z wykorzystanem sec zoonych 523 1 C gc (9) N V rednca (ang. graph dameter) sec [7]: D max ec (10) Prome (ang. graph radus) sec [7]: V R mn ec (11) redna stopn werzchoków (ang. average nodes degree) sec [13]: V 1 k k (12) N V 3. PODSTAWOWE WASNOCI SIECI ZOONYCH Wynk welu bada wskazuj, sec rzeczywste maj zupene nne wasnoc n grafy regularne 6, czy te grafy losowe, jak do nedawna sdzono. S to tzw. sec zoone, które posadaj dwe podstawowe cechy: Small World Scale Free. Sec Small World (sec maego wata) maj t cech, e redna odlego (redna dugoc dróg, defnowana przez (8)) mdzy dwoma dowolnym werzchokam jest maa w porównanu z lczb werzchoków sabo zaley od rozmaru sec: ln N L ~ ln k (13) Zgodne ze spostrzeenam Wattsa Strogatza [13], se moe by uwaana za se maego wata wtedy, gdy redna odlego L w tej sec jest porównywalna ze redn odlegoc w sec losowej oraz posada znaczne wksz warto rednego wspóczynnka gronowana C (opsywanego przez (9)). Model sec Scale Free (sec bezskalowe) [1] charakteryzuje s: staym wzrostem rozmaru sec (ewolucja, spontanczno); preferencyjnym doczanem nowych werzchoków do sec; potgowym rozkadem stopna (k) werzchoka: Pk ( )~ k (14) 6 Graf regularny to tak graf, w którym kady werzchoek ma ten sam (lub bardzo zblony) stope.
524 Zbgnew Tarapata gdze: jest parametrem rozkadu, np. dla sec nternetowej 2.5, dla sec cytowa artykuów naukowych z tzw. lsty fladelfjskej 3.15, dla sec mocy trzse zem 1.88 [6]. W praktyce parametr w secach rzeczywstych w zasadze ne przekracza wartoc 3. Potgowy rozkad stopna werzchoka jest podstawow cech tych sec decyduje o tym, e wkszo werzchoków ma nsk stope, ale nektóre (stosunkowo mao wzgldem rozmaru sec) maj bardzo duy stope. Se typu Scale Free jest bardzo odporna na atak losowe, ale jest bardzo neodporna na atak celowane [10]. Jeel z kole rozpatrujemy t se z punktu wdzena propagacj nformacj (plotk, opn), to jest ona szybka, ale jednoczene szybka jest propagacja bdu, wrusa, awar. 4. CHARAKTERYSTYKI WYBRANYCH SIECI TRANSPORTOWYCH W POLSCE W rozdzale tym przedstawmy wynk bada dwóch sec rzeczywstych w Polsce: sec krajowych pocze pasaerskch w ruchu lotnczym oraz sec ekspresowych pocze kolejowych InterCty (IC) EuroCty (EC). S to wprawdze sec maych rozmarów, ale dla nch mona zaobserwowa pewne cekawe wasnoc. Rys. 2. Se S 1 rozkadowych pocze lotnczych w Polsce, stan na III.2013 ródo: opracowane wasne na podstawe danych Eurolot (LOT) SprntAr Se S 1 z Rys. 2, której charakterystyk werzchoków przedstawono w Tablcy 1, posada 10 werzchoków oraz 12 krawdz (na krawdzach opsano nazw przewonka). Rozkad stopna werzchoka w tej sec (Rys. 3) jest zblony do potgowego: stneje jeden werzchoek centralny (Warszawa), który ma bardzo duo krawdz przylegych a zdecydowana wkszo werzchoków tej sec ma mao tych krawdz.
Analza modelowane sec transportowych z wykorzystanem sec zoonych 525 Charakterystyk werzchoków sec pocze lotnczych z Rys. 2 Tablca 1 Werzchoek Degree Normalzed degree Eccentrcty Radus Closeness Betweenness Clusterzaton k dc ec rc cc bc gc Bydgoszcz 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Gdask 3 0.33 2 0.2 1.67 0.5 0.67 Katowce 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0.17 Kraków 3 0.33 2 0.2 1.67 0.5 0.67 Pozna 2 0.22 2 0.2 1.78 0 1 Rzeszów 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Szczecn 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Warszawa 9 1 1 0.1 1 32 0.08 Wrocaw 2 0.22 2 0.2 1.78 0 1 Zelona Góra 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Rys. 3. Rozkad stopna werzchoka dla sec pocze lotnczych z Rys. 2 (ródo: opracowane wasne) Tablca 2 Charakterystyk werzchoków sec pocze lotnczych na wece [14] oraz w Polsce Se N M L C wat 3883 27051 4.4 0.62 1.0 USA 272 6566 1.9 0.73 2.63 Chny 128 1165 2.07 0.73 4.16 Inde 79 442 2.26 0.66 2.2 Wochy 42 310 1.97 0.10 1.7 Hszpana 35 123 1.84 0.78 - Polska 10 12 1.73 0.36 - W Tablcy 2 dokonano porównana podstawowych charakterystyk sec z Rys.2 z analogcznym secam w klku krajach wata (troch nne wartoc parametrów z Tablcy 2 dla USA podano w [4], a dla Chn w [12]). Se w Polsce charakteryzuje s
526 Zbgnew Tarapata ma redn odlegoc mdzy dowoln par werzchoków (L=1.73; oznacza to, e redno 0.73 przesadk potrzeba, aby dosta s z dowolnego werzchoka do nnego w tej sec) jest to warto najmnejsza sporód sec w tabel, ale jednoczene ma stosunkowo may wspóczynnk klasteryzacj (mnejszy posada tylko se we Woszech). Zgodne z nterpretacj wartoc tej mary, w sec w Polsce "prawdopodobestwo", e ssedz dwóch werzchoków, mdzy którym stneje bezporedne poczene te maj bezporedne poczene wynos C=0.36. Rys. 4. Se S 2 ekspresowych pocze kolejowych w Polsce, stan z 2007 roku, ródo: opracowane wasne na podstawe http://www.ntercty.pl Tablca 3 Charakterystyk werzchoków sec ekspresowych pocze kolejowych z Rys. 4 Normalzed degree dc Werzchoek Degree k Eccentrcty ec Radus rc Closeness cc Betweenness bc Gdask 2 0.17 4 0.25 2.42 20 0 Gdyna 2 0.17 5 0.20 3.17 11 0 Glwce 2 0.17 5 0.20 2.50 5 0 Katowce 4 0.33 4 0.25 2.17 17 0.17 Kraków 2 0.17 4 0.25 2.50 0 1 eba 1 0.08 6 0.17 4.08 0 0 Pozna 4 0.33 4 0.25 2.00 30 0 Rzepn 1 0.08 5 0.20 2.92 0 0 Szczecn 1 0.08 5 0.20 2.92 0 0 Warszawa 4 0.33 3 0.33 1.83 37 0.17 Wrocaw 3 0.25 5 0.20 2.42 14 0 Zebrzydowce 1 0.08 5 0.20 3.08 0 0 ary 1 0.08 6 0.17 3.33 0 0 Clusterzaton gc
Analza modelowane sec transportowych z wykorzystanem sec zoonych 527 Se S 2 z Rys. 4, której charakterystyk werzchoków przedstawono w Tablcy 3, posada 13 werzchoków oraz 14 krawdz (na krawdzach opsano rodzaj poczena). Rozkad stopna werzchoka w tej sec (Rys. 5) jest zblony do potgowego: stneje klka werzchoków centralnych (Warszawa, Pozna, Katowce), które maj stosunkowo duo krawdz przylegych a zdecydowana wkszo werzchoków tej sec ma mao tych krawdz. Se ta charakteryzuje s stosunkowo ma redn odlegoc mdzy dowoln par werzchoków (L=2.72; oznacza to, e redno 1.72 przesadk potrzeba, aby dosta s z dowolnego werzchoka do nnego w tej sec), ale jednoczene ma bardzo may wspóczynnk klasteryzacj (C=0.1). Tablca 4 zawera porównane charakterystyk sec S 1 S 2. Rys. 5. Rozkad stopna werzchoka dla sec S 2 kolejowych pocze ekspresowych z Rys. 4, ródo: opracowane wasne Tablca 4 Charakterystyk sec pocze lotnczych oraz kolejowych IC EC w Polsce Se N M D R L C k S 1 10 12 2 1 1.73 0.36 2.60 - S 2 13 14 6 3 2.72 0.10 2.15 0.71 5. WNIOSKI Wynk uzyskane w pracy pozwalaj stawa tez, e badane sec transportowe w Polsce wykazuj cechy sec zoonych. Wprawdze nsk wspóczynnk klasteryzacj sec S 2 zmusza do zastanowena s, czy se ta posada wasnoc sec zoonych, to jednak moe to wynka ze zbyt maych rozmarów tej sec. Skdnd wadomo, e nektóre sec transportowe, np. se ulczna w mece, maj t cech charakterystyczn (m blej centrum, tym bardzej wdoczn), e stope werzchoka jest tak sam wynos 4 (prostopade skrzyowana), czyl s secam lokalne regularnym. Jak pokazuj jednak badana choby w [2], [5], m wksz skal przyjmemy (z mkrosec przechodzmy do makrosec), tym lepej wda cechy Scale Free Small World sec drogowych. Zwrómy te uwag, e w sec S 1 wda wyrane jedn z wad sec typu Scale Free: jeel
528 Zbgnew Tarapata wykonamy celowany atak na werzchoek o najwkszym stopnu (Warszawa), to degradujemy (rozspójnamy) t se ju po perwszym ataku. Na wece trwaj obecne ntensywne prace nad dokadnym badanem sec zoonych. Prace te próbuj znale odpowedz na nastpujce pytana: czy stnejce algorytmy w zwykych secach s tak samo skuteczne, wydajne, dokadne w secach zoonych? jake jeszcze obekty rzeczywste (oprócz zbadanych) mona adekwatne modelowa z wykorzystanem sec zoonych (Scale Free Small World)? jak modelowa przebeg ewolucj sec oraz adekwatno opracowanego modelu? jak uwzgldna charakterystyk locowe sec przy takch analzach [11]? Odpowedz na te pytana pozwol w stosunku do sec zoonych, do których zalczaj s równe sec transportowe, z wksz pewnoc dokadnoc je modelowa, optymalzowa, przewdywa ch ewolucj. Bblografa 1. Barabás A.L., Albert R.: Emergence of scalng n random networks, Scence, vol. 286 (1999), pp.509-512. 2. Berche B., von Ferber C., Holovatch T., Holovatch Yu.: Transportaton Network Stablty: A Case Study of Cty Transt. Advances n Complex Systems, 15 (2012), pp.1-19. 3. Brandes U.: A Faster Algorthm for Betweenness Centralty. Journal of Mathematcal Socology, 25 (2), 2001, s.163-177. 4. Cheung D., Gunes M.H.: A Complex Network Analyss of the Unted States Ar Transportaton. Proceedngs of the 2012 IEEE/ACM Internatonal Conference on Advances n Socal Networks Analyss and Mnng, 26-29 August, 2012, Kadr Has Unversty, Istanbul, Turkey, pp.699-701. 5. von Ferber C., Holovatch T., Holovatch Yu., Palchykov V.: Publc Transport Networks: Emprcal Analyss and Modelng. Eur. Phys. J. B, 68 (2009), s.261-275. 6. Fronczak A., Fronczak P.: wat sec zoonych: Od fzyk do Internetu. PWN, Warszawa 2009. 7. Hage P., Harary F.: Eccentrcty and centralty n networks. Socal Networks, 17 (1995), pp. 57-63. 8. Latapy M.: Man-memory Trangle Computatons for Very Large (Sparse (Power-Law)) Graphs. Theoretcal Computer Scence (TCS), 407 (1-3), 2008, s.458-473. 9. Tarapata Z.: Czy sec rzdz watem? Od Eulera do Barabasego. Buletyn Instytutu Systemów Informatycznych, 10 (2012), s.31-51. 10. Tarapata Z., Kasprzyk R.: Graph-Based Optmzaton Method for Informaton Dffuson and Attack Durablty n Networks. RSCTC 2010, Lecture Notes n Artfcal Intellgence, 6086 (2010), Sprnger- Verlag Berln Hedelberg, s.698-709. 11. Tarapata Z., Kasprzyk R.: An Applcaton of Multcrtera Weghted Graph Smlarty Method to Socal Networks Analyzng. Proceedngs of the 2009 Internatonal Conference on Advances n Socal Network Analyss and Mnng, 20-22.07.2009, Athens (Greece), IEEE Computer Socety, s.366-368. 12. Wang J., Mo H., Wang F., Jn F.: Explorng the network structure and nodal centralty of Chna s ar transport network: A complex network approach. Journal of Transport Geography, 19 (2011), pp.712 721. 13. Watts D., Strogatz S.: Collectve dynamcs of small-world networks. Nature, vol. 393 (4 June 1998), pp. 440-442. 14. Zann M., Lllo F.: Modellng the Ar Transport wth Complex Networks: a short revew. The European Physcal Journal Specal Topcs, January 2013, vol.215, Issue 1, pp.5-21. 15. http://www.mslma.com/mfadt/thess/2004/08/transportaton-routes.html
Analza modelowane sec transportowych z wykorzystanem sec zoonych 529 ANALYSIS AND MODELLING OF TRANSPORTATION NETWORKS USING COMPLEX NETWORKS Summary: In the paper a theoretcal bases and emprcal results deal wth analyss and modellng of transportaton networks usng complex networks have been presented. Propertes of complex networks (Scale Free and Small World) and network's characterstc measures have been descrbed. In ths context, results of emprcal researches connected wth characterstcs of passenger ar lnks network and express ralway lnks network (EuroCty and InterCty) n Poland have been gven. For passenger ar lnks network n Poland results are compared wth the same networks n USA, Chna, Inda, Italy and Span. In the concluson some suggestons, observatons and perspectve dealng wth complex network n transport networks have been presented. Keywords: modellng of transport networks, complex networks, network analyss, gravty measures n networks