O fudametach omaru rzka Elza Buszkowska Streszczee: Autorka zaroouje e alteratwe defcje orządku stochastczego. Srawdz oadto własośc koheretej mar rzka dla Oczekwaego Nedoboru, Meda, Bezwzględego Odchlea Medaowego fukcj Ma Loss, rz różch defcjach orządku stochastczego erwszego rzędu. Celem rac jest też wzbogacee aksjomatów Arzera ch, defującch koheretą marę rzka o ewą dodatkową własość fukcj mar. Badae będze wkoae metodą dowodzea matematczego. Tlko ektóre dowod własośc mar rzedstawoe w tm artkule są zae z lteratur. Zastosowae meda jako mar rzka, badae mootoczośc mar rzka rz różch defcjach orządku stochastczego, w tm roozcje ego defowaa orządku a zmech losowch oraz wzbogacee aksjomatk Arzera ch o dodatkow aksjomat to roozcje autork. Słowa kluczowe: VaR, ES, ML, MAD, Aksjomat mar rzka, koheretość, mara rzka Wrowadzee Jedm z etaów w rocese zarządzaa rzkem jest oart a modelach matematczch omar rzka, któr ozwala mędz m a kotrolę motorowae rzka. Jego zaczee wka z arażea odmotu gosodarczego, a także ch odmotów a skutk oztwe bądź egatwe zdarzeń losowch. W tm artkule skocetrujem sę a zach, ajczęścej stosowach rzez raktków badach rzez aukowców, a zatem ajważejszch marach rzka. Uwzględm też te zae lecz rzadzej wkorzstwae. Perwszą rozważaą rzez autorkę fukcją będze wartość zagrożoa, którą defuje sę jako ewe kwatl rozkładu rawdoodobeństwa. Jak wadomo jest to stadardowa mara za omocą której określa sę rzko w bakach, rzko ortfel kwatfkuje sę je w welu ch stuacjach. Przomjm, że ma oa wele zalet gdż uwzględa rawdoodobeństwo ozwala określć rzko w dokładm horzoce czasowm. Poadto jest oulara, uwersala łatwa do terretacj. Wadomo też, że e jest ozbawoa wad, gdż odaje wartość szacukową, oartą a estmatorach a e dokładą. Co węcej zakłada ormalość rozkładu zmeej rzka, a jej wartość jest wrażlwa a metodę estmacj. W tm artkule srawdzm cz rz owej defcj orządku stochastczego, któr ma leszą terretację dr Elza Buszkowska Wdzał Prawa Admstracj UAM, e-mal elza_b2@o2.l
2 VaR ozostaje marą rzka. Autorka zaroouje też a alteratwą defcję orządku stochastczego. Srawdz oadto własośc koheretej mar rzka dla Oczekwaego Nedoboru, Meda, Bezwzględego Odchlea Medaowego fukcj Ma Loss, rz dwóch różch defcjach orządku stochastczego erwszego rzędu. Celem rac jest też wzbogacee aksjomatów Arzera, defującch koheretą marę rzka o ewą dodatkową własość fukcj mar.. Metod Na oczątku zarezetujem zterretujem defcję mar rzka. Defcja (Mar Rzka) Mara rzka jest fukcją, która odwzorowuje elemet ewej lowej odrzestrze V ewej rzestrze zmech losowch a rzestrzeń (, F, P), która zawera stałe w zbór zmech rzeczwstch. Seła oa astęujące aksjomat: : V R, ) mootoczość dla każdego, V, jeśl wted, ( ) ( ) Ozacza to, że jeśl ortfel geeruje strat z mejszm rawdoodobeństwem to rzko zwązae w tm ortfelem jest mejsze. 2) ezmeczość ze względu a rzesuęca : dla każdego a R dla każdego V a a. Aksjomat te może bć terretowa w tak sosób, że ked dodam ewe eądze do ortfela rzko zwązae z tm ortfelem wzrośe, jeśl rozume sę rzko eutrale jako możlw zsk zwąza z tm ortfelem. Poeważ wartośc rzjmowae rzez mar rzka są rzeczwste możem je orządkować orówwać, jeśl sełają owższe aksjomat (Arzer, 998) Def. (mara kohereta) Mara rzka jest kohereta, jeśl seła waruk. 3) dodata jedorodość
3 Dla każdego 0 dla każdego V rawdą jest, że. Te aksjomat może ozaczać, że zwelokrotee welkośc westcj owoduje, że rzko zwększa sę roorcjoale. 4) subaddtwość: dla każdego, steje zależość:. W dobrze zdwersfkowam ortfelu całkowte rzko strat e jest wększe ż rzko jego oszczególch składków. Waruk koheretośc ozwalają a kosekwecję w ocee rzka (Artzer, 997), (Uejewsk, 2004). Przomjm wadomośc a temat mar rzka badach w tej rac. Wartość arażoa a rzko jest to ajwększa kwota, jaką moża stracć w wku westcj w ortfel w określom horzoce czasowm rz założom ozome toleracj (Best, 2000). VaR defuje sę jako stratę, która z ewm rawdoodobeństwem w określom czase e zostae osągęta bądź rzekroczoa. Iaczej VaR jest stratą, która z rawdoodobeństwem w okrese T d e zostae rzekroczoa. W celach terretacjch rzjmuje sę ewe założea rzede wszstkm dotczące rawdoodobeństwa z jakm odaje sę wk oraz długość czasu rzez jak będzem utrzmwa ortfel. Metoda Value at Rsk jest jedą z ajowocześejszch kocecj omaru rzka użwaą rzez wększość sttucj a śwece - fudusz westcjch, emertalch, baków domów westcjch. Isteją ewe jej modfkacje e mar bazujące a kocecj VaR. Są to zsk arażo a rzko rzełw eęże arażoe a rzko. Zae są też mar które został zdefowae w oarcu o VaR. Są to ES TVAR. Przomjm, że rzez wartość arażoą a rzko rozumem lczbę zdefowaą astęująco (Jajuga, 2000). P W W 0 VaR W - wartość rkowa a końcu rozatrwaego okresu, W 0 - wartość rkowa w dam momece - ozom toleracj. W tej rac awążem do aczej zasaej defcj wartośc zagrożoej: f R : F.
4 Na odstawe VaR oracowao Eected Shortfall, któr jest także azwa warukową wartoścą zagrożoą, a także CVaR TVAR. ES ocea wartość rzka westcj w sosób klascz skuając sę a skrajch wkach. Jest rozuma jako oczekwaa strata a ortfelu rówa lub wższa od ewego kwatla. Zazwczaj rzjmuje sę do jego oblczeń - 5% ozom ufośc. Formale Eected Shortfall moża zdefować astęująco a w rzadku dskretm astęująco: ES ES VaR 0 d, E P. Oczekwa edobór (atrz Trzot G., 2004 Acerb C., Tasche D., 2002), może bć terretowa jako średa ajgorszch ( ) % strat od warukem, że te strat są wększe ż wartość zagrożoa. Ie mar rozważae w tej rac to roste, e wmagające kometarza mar take jak ML, kwat, medaa wartość oczekwaa w rzadkach cągłm dskretm. W rac uwzględam trz defcje orządku a zmech losowch. Zdefujem stochastcz orządek erwszego rzędu w sosób klascz. Defcja (stadardowa stochastczej domacj erwszego rzędu) Jeśl zmea domuje stochastcze ad zmeą, co moża asać F F2 Moża owższą erówość rozumeć tak, że dstrbuata zmeej rzka jest mejsza ż dstrbuata zmeej rzka. Ozacza to że ze zmeą zwązae jest wększe rzko ż ze zmeą. Moża meć wątlwość cz ta defcja jest odoweda do wrażea domacja stochastcza, gdż słowo domacja ozacza rm cz urzwlejowaą ozcję., to Defcja (stochastczej domacj erwszego rzędu) Jeśl zmea domuje stochastcze ad zmeą, co moża asać, to F F2.
5 Moża tę defcję rozumeć tak, że rawdoodobeństwo wższej strat jest mejsze dla ortfela ż dla ortfela. Dla obu tch defcj wszstke własośc mar rzka będą rówocześe sełoe lub e. W drugm rzadku jedak waruek mootoczośc mus bć astęując: czl fukcja mar rzka mus bć malejąca. Poeważ ektóre mar rzka e uwzględają rawdoodobeństwa moża zdefować relację orządkującą bez uwzględea rawdoodobeństwa. Słabm orządkam częścowm azwae są relacje zwrote, rzechode atsmetrcze tak zdefujem relację orządku a zmech losowch. Defcja (częścowego orządku a zmech losowch).,. Dodatkowo wzbogacm aksjomat mar rzka o ow aksjomat ( ) sformułujem jego terretację. Aksjomat Dla dowolch zmech rzka /. Aksjomat te może ozaczać że jeśl kwota jest częścą wększej kwot to rzko zwązae z westcją w ortfel zawerając gotówkę o odjęcu gotówk jest rówe wartośc rzka zwązaego z ortfelem zawerającm zmejszoego o rzko zwązae z ortfelem zawerającm gotówkę. Zakłada sę że rzko jest rozumae oztwe, jako szasa. Zauważam, że owższ aksjomat e jest kosekwecją wcześej rzjętch aksjomatów mar koheretośc. Jest jedą z odstawowch własośc mar, wkającch z aksjomatów mar. htt://math.u.lodz.l/~kowalcr/teoramar/wklad2.df
6 2. Rozważaa teoretcze Autorka rzom, że VaR jest marą rzka. Załóżm z defcj orządku a zmech losowch że: Dla wszstkch rawdą jest, że: F F. 2 Wka stąd, że czl f F P ) P F. ( 2 R : F f R : F VaR VaR., Jeżel rzjme sę rzecwą defcję orządku stochastczego to VaR oczwśce dla owego aksjomatu mootoczośc będze róweż marą rzka. Załóżm, że. Wted smetrcze F2 F. Dla wszstkch F P( ) P F2. Wka stąd, że f R : F f R : F, czl VaR VaR. Wartość oczekwaa jej szczegól rzadek Eected Shortfall (ES) w rzadku dskretm są maram rzka w sese Arzera, gdż rzjmując klasczą defcję orządku stochastczego sełają wszstke aksjomat koheretej mar rzka. mootoczość Załóżm, że Załóżm, że. Zatem z defcj orządku a zmech losowch (Ujawsk, 2004) VaR VaR oraz P P( )... E / VaR E / VaR,.
7 Róweż w tm rzadku dowód dla drugej defcj orządku olegałb a odwróceu erówośc w dowodze. ezmeczość ze względu a rzesuęca. Suma rawdoodobeństw rozkładu zmeej losowej z defcj rówa sę jede. oztwa jedorodość dla każdego 0. Poższe krok wkają z własośc szeregu lczbowego. addtwość. Korzstam z rawa rozdzelośc dla szeregu lczbowego. Przerowadzm matematcze dowod w rzadku gd zmea losowa jest cągła. mootoczość Autorka udowod, że w szczególm rzadku rawdzwa jest erówość rzecwa ż erówość w aksjomace mootoczośc. Załóżm, że. ) ( 2 d g d f F F Załóżm, że <. ) ( 2 d g d f F F Wobec owższego. ) ( d g d f Zatem z defcj wartośc oczekwaej. E E
8 ezmeczość ze względu a rzesuęca f d f d f d f d. Wkorzstalśm defcję wartośc oczekwaej własośc całek. dodata jedorodość: dla każdego 0. f d f d ( ) Stała może bć włączoa rzed całkę, co wka z własośc całek. E f dd f d f d E E ( ) ( ). gdze f f 2 ozaczają gęstośc brzegowe. Dowod wkają z własośc wartośc oczekwaej. Przeaalzujem ES w rzadku cągłm. Przerowadzm dowód mootoczośc dla ES. Załóżm, że. W tm rzadku dowód wka z dowodu dotczącego VaR. Jeśl rzjąć klasczą defcję orządku stochastczego to VaR VaR VaR 0 d VaR d. W drugej stuacj, gd orządek jest zdefowa rzecwe, to 0 VaR VaR VaR 0 d VaR d. Zatem fukcja ES jest mootocza w drugm sese. Wkoam dowod dla ch fukcj rzka zach z lteratur. Ią zaą fukcją rzka jest dskret ma. Jest to Mamum Loss która uwzględea rawdoodobeństwo (Czerak, 2003). Dowod własośc koheretej mar rzka dla ML został rzomae ożej. 0 mootoczość Załóżm, że. Zatem z defcj klasczej F F2 ma ma.. Otrzmao. P P,, lecz, 2
9 ezmeczość ze względu a rzesuęca =ma = ma = oztwa jedorodość 0 sla subaddtwość ma ma ma( ) ma ma Koleje dowod matematcze dotczą zarooowaej Meda jako mar rzka. Zakładam, że domuje ad w sese domacj erwszego rządu Zatem Stąd. jedorodość 0 F. F Medaa Medaa. Jeśl oumeruje sę obserwacje od do osortuje sę je od ajmejszej do ajwększej, ależ uwzględć róże rzadk o lczba aturala jest earzsta medaa ) medaa. o lczba aturala jest arzsta ρ ( / 2 λ medaa( ) λ( ) / 2 λmedaa λρ / 2 / 2 subaddtwość Przez medaę sum zmech będzem rozumel medaę szeregu wartośc ochodzącch z obu szeregów o lczba aturala jest earzsta medaa ) medaa medaa. ( / 2 / 2 / 2 o lczba aturala jest arzsta medaa ) medaa medaa. ( / 2( / 2) / 2 / 2( / 2) / 2
0 o szereg są różej długośc arzste, m earzste medaa ( ) / 2 medaa medaa. / 2 / 2 / 2 m o szereg są różej długośc m arzste, earzste medaa ( ) m / 2m / 2 / 2 medaa medaa. /2 ezmeczość ze względu a rzesuęca: a ( ) a. medaa ( a) medaa ( ) a. Zatem medaa jest marą rzka rz stadardowm rozumeu orządku stochastczego. Autorka srawdz waruk mar rzka dla klasczego kwatla mootoczość Załóżm, że V,,, F F2, P, P2,. Zatem P R P R. 2 Woskuje sę o barku mootoczośc. Zmaa keruku erówośc w defcj orządku stochastczego e zme tego wosku. ezmeczość ze względu a rzesuęca Kotrrzkład, a 4, R 2 3 P 3 2 P3 6 4 P3 6 4 4 3 0 P Dowod ozostałch własośc zajdują sę w ej, jeszcze eoublkowaej rac autork t. About Coheret Measures of Rsk. Dalsze dowod dotczą Bezwzględego Odchlea Medaowego dla klasczej defcj orządku stadardowego. mootoczość. Dla Załóżm, że, V. Jeśl to ( ) ( ) F. F 2
Zatem dla wszstkch MEDIANA MEDIANA ( ) MEDIANA MEDIANA ( ) Zatem. Ozacza to, że steje mootoczość. 2. Nezmeczość ze względu a rzesuęca: a a Kotrrzkład,2,3,4, P / 4 MEDIANA MEDIANA ( ) MEDIANA MEDIANA ( ) 2, 5 Dla tej mar steje brak ezmeczośc ze względu a rzesuęca. 3. Wosk W artkule zarooowao trz sosob defowaa orządku stochastczego. Jeżel rzjąć stadardową defcję tego orządku to VaR, ES E w rzadku dskretm są maram rzka, a ES, Ma Loss zarooowaa rzez autorkę Medaa jako mara rzka są koheretm maram rzka. Ne jest zaś marą rzka kwatl wartość średa. Ostata w rzadku cągłm, gdż e seła ektórch waruków mar rzka, a także Bezwzględe Odchlee Medaowe gdż e jest dla ego rawdzw waruek ezmeczośc a rzesuęca. Jeżel rzjme sę zarooowaą rzez autorkę rzecwą defcję orządku stochastczego, która ma bardzej aturalą terretację to rz owm aksjomace mootoczośc wszstke własośc udowodoe wcześej są zachowae. Autorka roouje też sosób defowaa orządku a zmech losowch, któr e ujmuje rawdoodobeństwa jest klasczą defcją orządku częścowego. Poeważ e wszstke mar rzka uwzględają rawdoodobeństwo, tak sosób defowaa orządku w dowodach własośc mootoczośc wdaje sę kokurecj. Autorka wrowadza też dodatkow aksjomat do zboru aksjomatów koheretej mar rzka Arzera ch odaje jego terretację a gruce teor omaru rzka. Ses raktcz tego zabegu oraz srawdzee które zae fukcje rzka sełają aksjomat Arzera ch o rzjęcu defcj orządku częścowego a zmech losowch mogą bć tematem dalszego badaa.
2 Lteratura Acerb C., Tasche D., O the coherece of eected shortfall, Joural of Bakg & Face, Volume 26, Issue 7, Jul 2002, Pages 487 503. Aara, Guta (203), Rsk Maagemet ad smulatos, CRC PRESS, 203. Artzer, Ph., F. Delbae, J.-M. Eber, ad D. Heath (997), Thkg Coheretl, RISK, 0, November, 68-7 Czerak T. (2003), Maksmala strata jako mara rzka, Prace aukowe akadem ekoomczej w Katowcach Jajuga K., Zarządzae rzkem, Wdawctwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2007. Uejewsk P, (2004), Koherete mar rzka,, Wrocław htt://www.oz.wr.wroc.l/racowc/wero/race/uejewsk04.df. Krawczk E. (2006), Zastosowae modelu rzka Value at Rsk (VaR) oartego a metodze Mote Carlo do rku eruchomośc EIOGZ, s 7. Kubńska E., Markewcz J. (202), Pomar rzka jako wzwae dla wsółczesch fasów, Oecooma, Vol 46,. Kuzak K., (2003), Kocecja wartośc zagrożoej VaR (Value at Rsk), StatSoft Polska. Włodarczk A. (20), Kocecja koheretch mar rzka a ocea rzka westcjego OFE, Prace Materał Wdzału Zarządzaa Uwerstetu Gdańskego r 4/5/20, s. 23-225 FUNDAMENTALS OF RISK MEASUREMENT Abstract: I ths artcle the author wll roose other alteratve deftos of stochastc order. She wll check moreover the roertes of coheret measures of rsk for ES, Meda, Meda Absolut Devato ad Mamum Loss, wth dfferet deftos of the frst order stochastc orders. The urose of the aer s also erchmet of Arzer s et al. aoms, whch defe coheret measure of rsk of some addtoal roert of measure of rsk. Ths surve wll be erformed wth the method of mathematcal roof. Ol some of measure roertes reseted ths artcle are kow from the lterature. Alcato of Meda as a measure of rsk, research of mootoct of rsk measure wth dfferet deftos of stochastc order ad erchmet Arzer s et al. aoms wth addtoal aom are the roosals of the author. Kewords: VaR, ES, ML, MAD, Aoms of Rsk Measure, coherece, rsk measure