EMIL PANEK STABILNO STANU RÓWNOWAGI NA RYNKU KONKURENCYJNYM Z NIEKLASYCZNYM RÓWNANIEM DYNAMIKI CEN I CZASEM DYSKRETNYM 1. WST P

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EMIL PANEK STABILNO STANU RÓWNOWAGI NA RYNKU KONKURENCYJNYM Z NIEKLASYCZNYM RÓWNANIEM DYNAMIKI CEN I CZASEM DYSKRETNYM 1. WST P"

Bronisław Bednarek
6 lat temu
Przeglądów:

1 PRZEGL D STATYSTYCZNY R. LVII ZESZYT EMIL PANEK STABILNO STANU RÓWNOWAGI NA RYNKU KONKURENCYJNYM Z NIEKLASYCZNYM RÓWNANIEM DYNAMIKI CEN I CZASEM DYSKRETNYM. WST P W racy [] rzedstawoy zosta model stacjoarego ryku kokurecyjego z ast uj cym eklasyczym rówaem dyamk ce: t ^ h t () vzt t () vzt, () gdze: t dyskreta zmea czasu, t 0,,, t () ^ (), t f, () t wektor ce towarów a ryku ( lczba towarów), z () ^z ^h, f, z ^h wektorowa fukcja oytu adwy kowego a towary, s arametr dodat, t () vz ^ h () t vz ^ h () t vz ^ h f, f,, /. vz vz vz ^ h ^ h ^ h W rówau () cey s uormowae: 6 t $ 0 () t P ( ) R c d ' d / m. Uogóla oo klasycze rówae dyamk ce a ryku kokurecyjym osuje tak mechazm ch kszta towaa, który w ywa hamuj co z jedej stroy a wzrost ce, towarów w admarze (których oda jest w ksza od oytu), z drugej stroy a sadek ce towarów defcytowych (oferowaych w ewystarczaj cej lo c). We wsomaej racy dowód twerdzea o globalej stablo c ryku z rówaem dyamk ce () by rzerowadzoy rzy za o eu, e odwzorowae z^ h vz^ h vz^ h () smleksu P () w sebe jest kotrakcj (odwzorowaem zw aj cym). Ne ma szczególego uzasadea dla tego za o ea. Po ej rzedstawamy dowód twer-

2 6 Eml Paek dzea o globalej stablo c ryku z rówaem dyamk ce (), w którym e jest wymagaa kotrakcja odwzorowaa f. Iaczej te defujemy orm <<. Obece z b / l (orma Eukldesa).. DEFINICJE I ZA O ENIA Obow zuj oadto ast uj ce stadardowe za o ea : (I) z C ^R \{ 0} h, d (II) 6 ^ 0 & z ^ h > 0h, (III) 6 d P () _, z h 0, ^ (IV) 6,, d P ( ) 6 m -! 0 J T _ m hm < 0, ^ gdze z ^ h J^ h f j ^, h (tutaj wsz dze dalej x, y / x y). Przy za o each (I)-(III) steje dok ade jede tak dodat wektor ce r d P (), e z^rh 0, zob.. [], rozdz. 3, twerdzee 3.. Nazywamy go wektorem ce rówowag rykowej. 3 Rozw zae rówaa () z warukem oczatkowym t t 0 ( 0) 0 d P ( ) (3) azywamy ( 0, ) douszczal trajektor ce. Ryek jest globale asymtotycze stably, je el ka da ( 0, ) douszczala trajektora ce jest rzy t asymtotycze zbe a do q: lm t () r. t Zauwa my, e waruek z (q) 0 jest rówowa y z tym, e q f (q). Poadto: 0 je el r, to 6 t $ 0 ^( t) rh, je el 0! r, to 6t $ 0 ^( t)! rh. Wektory ce zlokalzowae s a kul o romeu r, ze rodkem w 0 (w racy []) ozostawa y a smlekse jedostkowym). Z terretacj ekoomcz za o e mo a zaoza s. w [] rozdz. 3.

3 Stablo stau rówowag a ryku kokurecyjym TWIERDZENIE O STABILNO CI RYNKU Przy dowodze twerdzea omocy b dze ast uj cy lemat. 3 Lemat. Je el ^ t () h t 0 jest tak ( 0, ) douszczal trajektor ce, e 0 ¹ q, to 6 t $ 0_ r, z^ ( t) > 0 (*) (wyra oa w ceach rówowag warto ezrówowa oego oytu adwy kowego jest zawsze dodata). Dowód. Je el 0! r, to 6t $ 0 ( t)! r. Ustalmy czas t rzyjmjmy ozaczea: r, ( t) ^xh x ^ - h, P^xh -, z ^x -z _ h ^ h, gdze t Î [0,]. Wówczas (0), (), P(0) 0 oraz 6x d [ 0, ] P _ ^x h d ^h. Odwzorowae P : " R jest c g e ró czkowale (g adke), P o ^ x h mj ^ ^ x h m T, z ^ h gdze m -, J^ h f. j ^, h Przy za o eu (IV) 6x d < 0h, tz. P, z z ^ h - ^ h- ^ h ^th-r, z_ ^th- z^rh ^th, z^^thh - r, z^^th - r, z^ ^th < 0, co ko czy dowód lematu. Faktycze udowodl my w cej g os teza lematu, a maowce, e waruek (*) se aj e tylko wektory tworz ce ( 0, ) douszczal trajektor ce, lecz e waruek te se a ka dy wektor ce d P ^h \" r,. Przy dowodze twerdzea o stablo c ryku z rówaem dyamk ce () b dze am otrzeba dodatkowo ast uj ca w aso fukcj oytu adwy kowego z ():

4 8 Eml Paek (V) f rz, ^ h z^h, z^h v r > 0. Ne otrafmy wrawdze okaza, jak obszera klasa fukcj oytu adwy kowego czy zado za o eu V, ale awet roste rzyk ady okazuj, e e jest to za o ee restrykcyje. N., je el we memy ryek z fukcjam u yteczo c kuców uk ^x, x h a lx b lx zaasam towarów yk y k, yk _ > 0 k k k k _ ak > 0, bk > 0, y y > 0, k,, to odowadaj ca m fukcja oytu adwy kowego ma osta z^, h ^z ^, h, z ^, h ba -B, B -Al, (4)! ay ay by by gdze: A a b a b, B a b a b. Cey rówowag tworzy wektor A B r ^r, rh c, m (cey rówowag stej, cho a brzegu P () A B A B e jest se oe za o ee (I)). atwo srawdz, e 6 d P ()\ " r, ^A B A B - h ^ - h _ rz, ^ h, z^h, z^h, A B a st d f rz, ^ h z^h, z^h f A B A B > 0. Twerdzee. Je el se oe s za o ea (I)-(V) arametr s > 0 w () jest dostatecze ma y, to ryek kokurecyjy z eklasyczym rówaem dyamk ce () jest globale asymtotycze stably (w rówau () < sz ()< ozacza orm Eukldesa wektora sz ()). Dowód. We my dowol ( 0, ) douszczal trajektor ce ^^ thh t 0 z warukem ocz tkowym 0 ¹ q wrowad my fukcj V^th ^th- r ^th-r, ^th-r. Aby udowod twerdzee wystarczy okaza, e lm V^th 0. t Z defcj fukcj V (t) otrzymujemy: () t vz^ () t h t () vzt TV() t V( t ) - V() t - r, -r - t () vzt t () vzt t () vzt - t ()-rt, ()-r -r, r, ( t) -F^ ( t), vh, t () vzt 3

5 Stablo stau rówowag a ryku kokurecyjym... 9 gdze F (, v) r, vz() - r,, F d C P ( ) R, F, F(, 0) 0 z() # v v _ ^r h oraz 6 d P () _ vz() $. Poka emy, e 7v > 0 6 d 0, P ^ vh 6 d ( ) ^F( v) > 0h. v Zauwa my, e F ( v) > 0 r, vz ( ) - r, vz ( ) > 0 v G () vh () > 0 vg () H () > 0 gdze G () rz, () - r, z (), z (), H () r, rz, () > 0, G, H d C0 P ^ ( ) h. Je el G () ³ 0 a P (), wtedy 6! r erówo sg () H () > 0 zachodz rzy dowolej warto c arametru s > 0. Je el 7 d P () G() < 0, to waruek 6 d P () ^! r & F^, vh > 0h jest rówowa y z ast uj cym: -H () 6 d P () f! r & 0 < v < f G () f r, r, rz, ( ) z^ h, z( ) - r, z( ). Poewa r, r, z( ) r, r, z( ) > > r, z^h, z( ) - r, z( ) r, z^h, z( ) rz, ( ) rz, ( ) rz, ( ) > > $ f v > 0, r, z, z( ) z (), z () z (), z () r ^ h w c w charakterze arametru s > 0 wystarczy rzyj v v > 0. r

6 0 Eml Paek Bor c dowoly arametr s Î (0, s) mamy "t ³ 0 TVt () -Ft ^ (), vh < 0, zatem 7 alm Vt () Vr $ 0k. Za ó my, e Vr > 0. Wówczas t 7f > 06 t $ 0a () t! U ^rh % d P ( ) -r < f/ k, f tz. 6 t $ 0_ () t d X P ( )\ Uf ^rh. Poewa zbór W jest zwarty F( $, v) d C 0 ^Xh 6 d XF(, v) > 0h, w c 7 max F (, v) -f' < 0, d X tz. 6t $ 0^TV() t -F^(), t vh #-f', h czyl 0 # Vt ()# V( 0 )-f' t" -3. Otrzymaa srzeczo ko czy dowód twerdzea. 4. PRZYK AD Kotyuuj c rzyk ad ryku z fukcj oytu adwy kowego (4) rzyjmjmy ast uj ce warto c arametrów: a 0,5, a 0,5, b 0,5, b 0,75, y (0, 0), y (5, 0). Wówczas ^z^, h, z ^, h b5-4, 4-5l. (5) Cey rówowag rykowej tworzy wektor 4 7 r ^r, r h c, m. ( 0, 496, 0, 868) Aby ryek by globale asymtotycze stably ale y w rówaach dyamk ce

7 Stablo stau rówowag a ryku kokurecyjym... ( t ) ( t ) () t vz ^ (), t () t, () t vz^ () t () t h () t vz ^ (), t () t () t vz^ () t () t h (6) rzyj arametr s Î (0; 0,0468). Przyk adowe stable trajektore ce rezetujemy w tabelach (oraz a rysukach),. W tabel (oraz a rysuku) 3 rezetujemy rzyk ad trajektor ce a ryku establym, z arametrem s > s. Tabela Rozw zae uk adu rówa (6) z warukem ocz tkowym 0 (0,6; 0,8) arametrem s 0,00 t (t) (t) z (t) z (t) 0 0,6 0,8,08333,565 0, ,8056,04704, , ,803084,0, , ,804574,9758, , ,80603,94088, , ,807453,9064, , ,808843,8737,36 h h h h h 00 0,4973 0, ,053 0,0450 h h h h h 000 0, ,86843,5E-0 8,65E- ród o: oracowae w ase.

8 Eml Paek 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, (t) (t) 0, Rysuek. Wykres trajektor ce z tabel ród o: oracowae w ase. Tabela Rozw zae uk adu rówa (6) z warukem ocz tkowym 0 (0,6; 0,8) arametrem s 0,00 t (t) (t) z (t) z (t) 0 0,6 0,8,08333,565 0, ,85349,70863,38 0,5676 0,873, , , ,836597,48 0, , , , , ,577 0, ,700 0, , , ,5563 0,33643 h h h h h 50 0, , ród o: oracowae w ase.

9 Stablo stau rówowag a ryku kokurecyjym ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 (t) (t) 0, 0, Rysuek. Wykres trajektor ce z tabel ród o: oracowae w ase. Tabela 3. Rozw zae uk adu rówa (6) z warukem ocz tkowym 0 (0,6; 0,8) arametrem s t (t) (t) z (t) z (t) 0 0,6 0,8,08333,565 0,5374 0, ,735 0,4938 0,8773 0,488 5,9530 0, ,5579 0, ,878 0,88 4 0, ,5468 5, , , , ,6087, , ,5465 5, , h h h h h 95 0, ,0506 9, , ,0454 0, ,70 4, , ,0555 9, ,7 98 0,0494 0, , , , , , , ,0537 0, , ,533 ród o: oracowae w ase.

10 4 Eml Paek,5 0,5 0-0,5 - -, Rysuek 3. Wykres trajektor ce z tabel 3 (t) (t) ród o: oracowae w ase. Uwersytet Ekoomczy w Pozau LITERATURA [] Paek E., [003], Ekooma matematycza, Wydawctwo AEP, Poza. [] Paek E., [005], Model stacjoarego ryku z eklasyczym rówaem dyamk ce, Przegl d Statystyczy r 3/005. Praca w y a do redakcj w lcu 00 r. STABILNO STANU RÓWNOWAGI NA RYNKU KONKURENCYJNYM Z NIEKLASYCZNYM RÓWNANIEM DYNAMIKI CEN I CZASEM DYSKRETNYM Streszczee Artyku aw zuje do racy E. Paek (005), w której udowodoo twerdzee o stablo c ryku kokurecyjego z czasem dyskretym t 0,, eklasyczym rówaem dyamk ce ostac (t ) f ( (t)) (*) rzy za o eu, e odwzorowae z : P ( ) " P ( ) jest kotrakcj, gdze P () jest smleksem jedostkowym w R. Obece dowodzmy, e ryek ozostaje stably tak e bez za o ea o kotrakcj f, o le tylko zmay ce z okresu a okres w rówau (*) e b d zbyt gwa towe. S owa kluczowe: ryek kokurecyjy, rówowaga rykowa, stablo ryku

11 Stablo stau rówowag a ryku kokurecyjym... 5 STABILITY OF COMPETITIVE MARKET EQUILIBRIUM WITH NON-CLASSICAL EQUATION OF PRICE DYNAMICS AND DISCRETE TIME Summary The artcle s refers to E. Paek s (005) aer, whch a comettve stablty theorem wth dscrete tme t 0,, ad a o-classcal equato of rce dyamcs gve by: (t ) f ( (t)) (*) was roved uder the assumto that the relato z : P ( ) " P ( ) s a cotracto, where P () s a ut smlex R. We roof curretly, that a market s stable wthout the assumto of f cotracto, f erodcally rce chages the equato (*) are ot too rad. Key words: comettve market, market equlbrum, market stablty

Podobne dokumenty

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f