O fundamentach pomiaru ryzyka

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO r 854 Fase, Ryk Fasowe, Ubezpeczea r 73 (205) s O fudametach pomaru ryzyka Elza Buszkowska * Streszczee: Autorka zapropouje e alteratywe defcje porządku stochastyczego Sprawdz poadto własośc koheretej mary ryzyka dla oczekwaego edoboru, meday, bezwzględego odchylea medaowego fukcj Max Loss, przy różych defcjach porządku stochastyczego perwszego rzędu Celem pracy jest też wzbogacee aksjomatów Arzera ych, defujących koheretą marę ryzyka o pewą dodatkową własość fukcj mary Badae będze wykoae metodą dowodzea matematyczego Tylko ektóre dowody własośc mary przedstawoe w tym artykule są zae z lteratury Zastosowae meday jako mary ryzyka, badae mootoczośc mar ryzyka przy różych defcjach porządku stochastyczego, w tym propozycje ego defowaa porządku a zmeych losowych oraz wzbogacee aksjomatyk Arzera ych o dodatkowy aksjomat to propozycje autork Słowa kluczowe: VaR, ES, ML, MAD, aksjomaty mary ryzyka, koheretość, mara ryzyka Wprowadzee Jedym z etapów w procese zarządzaa ryzykem jest oparty a modelach matematyczych pomar ryzyka, który pozwala mędzy ym a kotrolę motorowae ryzyka Jego zaczee wyka z arażea podmotu gospodarczego, a także ych podmotów, a skutk pozytywe bądź egatywe zdarzeń losowych W tym artykule skocetrujemy sę a zaych, ajczęścej stosowaych przez praktyków badaych przez aukowców, a zatem ajważejszych marach ryzyka Uwzględmy też te zae, lecz rzadzej wykorzystywae Perwszą rozważaą przez autorkę fukcją będze wartość zagrożoa, którą defuje sę jako pewe kwatyl rozkładu prawdopodobeństwa Jak wadomo jest to stadardowa mara, za pomocą której określa sę ryzyko w bakach, ryzyko portfel kwatyfkuje sę je w welu ych sytuacjach Przypomjmy, że ma oa wele zalet, gdyż uwzględa prawdopodobeństwo pozwala określć ryzyko w dokładym horyzoce czasowym Poadto jest populara, uwersala łatwa do terpretacj Wadomo też, że e jest pozbawoa wad, gdyż podaje wartość szacukową, opartą a estymatorach, a e dokładą Co węcej, zakłada ormalość rozkładu zmeej ryzyka, a jej wartość jest wrażlwa a metodę estymacj W tym artykule sprawdzmy, czy przy owej defcj porządku stochastyczego, który ma lepszą terpretację VaR pozostaje marą ryzyka Autorka zapropouje też ą, alteratywą defcję porządku stochastyczego Sprawdz poadto własośc koheretej * dr Elza Buszkowska, Uwersytet m Adama Mckewcza w Pozau, Wydzał Prawa Admstracj, ul św Marca 90, Pozań, e-mal: elza_b2@o2pl

2 374 Elza Buszkowska mary ryzyka dla Oczekwaego Nedoboru, Meday, Bezwzględego Odchylea Medaowego fukcj Max Loss, przy dwóch różych defcjach porządku stochastyczego perwszego rzędu Celem pracy jest też wzbogacee aksjomatów Arzera, defujących koheretą marę ryzyka o pewą dodatkową własość fukcj mary Metody Na początku zaprezetujemy zterpretujemy defcję mary ryzyka Defcja (mary ryzyka) Mara ryzyka jest fukcją, która odwzorowuje elemety pewej lowej podprzestrze V, pewej przestrze zmeych losowych a przestrzeń (Ώ, F, P), która zawera stałe w zbór zmeych rzeczywstych: r :V R Speła oa astępujące aksjomaty: Mootoczość Dla każdego X, Y V, jeśl X Y, wtedy r( X ) r( Y ) Ozacza to, że jeśl portfel X geeruje straty z mejszym prawdopodobeństwem, to ryzyko zwązae z tym portfelem jest mejsze 2 Nezmeczość ze względu a przesuęca: dla każdego a R dla każdego X V r X + a = r X + a ( ) ( ) Aksjomat te może być terpretoway w tak sposób, że kedy dodamy pewe peądze do portfela ryzyko zwązae z tym portfelem wzrośe, jeśl rozume sę ryzyko eutrale jako możlwy zysk zwązay z tym portfelem Poeważ wartośc przyjmowae przez mary ryzyka są rzeczywste, możemy je porządkować porówywać, jeśl spełają powyższe aksjomaty (Arzer 998) Defcja (mara kohereta) Mara ryzyka jest kohereta, jeśl speła waruk: 3 Dodata jedorodość Dla każdego λ 0 dla każdego X V prawdą jest, że ( λx ) λr ( X ) r = Te aksjomat może ozaczać, że zwelokrotee welkośc westycj powoduje, że ryzyko zwększa sę proporcjoale

3 O fudametach pomaru ryzyka Subaddytywość Dla każdego X, Y Y steje zależość ( X + Y ) r( X ) r( Y ) r + W dobrze zdywersyfkowaym portfelu całkowte ryzyko straty e jest wększe ż ryzyko jego poszczególych składków Waruk koheretośc pozwalają a kosekwecję w ocee ryzyka (Artzer 997; Uejewsk 2004) Przypomjmy wadomośc a temat mar ryzyka badaych w tej pracy Wartość arażoa a ryzyko jest to ajwększa kwota, jaką moża stracć w wyku westycj w portfel w określoym horyzoce czasowym przy założoym pozome toleracj (Best 2000) VaR defuje sę jako stratę, która z pewym prawdopodobeństwem w określoym czase e zostae osągęta bądź przekroczoa Iaczej, VaR jest stratą, która z prawdopodobeństwem p w okrese T d e zostae przekroczoa W celach terpretacyjych przyjmuje sę pewe założea, przede wszystkm dotyczące prawdopodobeństwa, z jakm podaje sę wyk oraz długość czasu, przez jak będze utrzymyway portfel Metoda Value at Rsk jest jedą z ajowocześejszych kocepcj pomaru ryzyka używaą przez wększość stytucj a śwece fuduszy westycyjych, emerytalych, baków domów westycyjych Isteją pewe jej modyfkacje e mary bazujące a kocepcj VaR Są to: zysk arażoy a ryzyko przepływy peęże arażoe a ryzyko Zae są też mary, które zostały zdefowae w oparcu o VaR Są to ES TVAR Przypomjmy, że przez wartość arażoą a ryzyko rozumemy lczbę zdefowaą astępująco (Jajuga 2000): ( W > W 0 VaR) = P, gdze: W wartość rykowa a końcu rozpatrywaego okresu, W 0 wartość rykowa w daym momece, pozom toleracj W tej pracy awążemy do aczej zapsaej defcj wartośc zagrożoej: { x R : F( x) } f Na podstawe VaR opracowao Expected Shortfall, który jest azyway warukową wartoścą zagrożoą, a także CVaR TVAR ES ocea wartość ryzyka westycj w sposób klasyczy skupając sę a skrajych wykach Jest rozumay jako oczekwaa strata a portfelu rówa lub wyższa od pewego kwatyla Zazwyczaj przyjmuje sę do jego oblczeń 5% pozom ufośc Formale Expected Shortfall moża zdefować astępująco a w przypadku dyskretym: VaR ES = ( X ) dγ, 0 ES E X{ } + x ( P[ X x ]) γ [ ] ( X x ) =

4 376 Elza Buszkowska Oczekway edobór (patrz Trzpot 2004 Acerb, Tasche 2002) może być terpretoway jako średa ajgorszych ( ) % strat pod warukem, że te straty są wększe ż wartość zagrożoa Ie mary rozważae w tej pracy to proste, e wymagające kometarza mary, take jak ML, kwaty, medaa wartość oczekwaa w przypadkach cągłym dyskretym W pracy uwzględamy trzy defcje porządku a zmeych losowych Zdefujemy stochastyczy porządek perwszego rzędu w sposób klasyczy Defcja (stadardowa stochastyczej domacj perwszego rzędu) Jeśl zmea X domuje stochastycze ad zmeą Y, co moża apsać ( y) F ( x) F 2 X Y Moża powyższą erówość rozumeć tak, że dystrybuata zmeej ryzyka Y jest mejsza ż dystrybuata zmeej ryzyka X Ozacza to, że ze zmeą Y zwązae jest wększe ryzyko ż ze zmeą X Moża meć wątplwość czy ta defcja jest odpoweda do wyrażea domacja stochastycza, gdyż słowo domacja ozacza prym czy uprzywlejowaą pozycję Defcja (stochastyczej domacj perwszego rzędu) Jeśl zmea Y domuje stochastycze ad zmeą X, co moża apsać X Y, to F ( x) F2 ( y) Moża tę defcję rozumeć tak, że prawdopodobeństwo wyższej straty jest mejsze dla portfela Y ż dla portfela X Dla obu tych defcj wszystke własośc mary ryzyka będą rówocześe spełoe lub e W drugm przypadku jedak waruek mootoczośc mus być astępujący:, to X ( Y ) r( X ) Y r, czyl fukcja mary ryzyka mus być malejąca Poeważ ektóre mary ryzyka e uwzględają prawdopodobeństwa, moża zdefować relację porządkującą bez uwzględea prawdopodobeństwa Słabym porządkam częścowym azywae są relacje zwrote, przechode atysymetrycze tak zdefujemy relację porządku a zmeych losowych Defcja (częścowego porządku a zmeych losowych) X Y x, y x y

5 O fudametach pomaru ryzyka 377 Dodatkowo wzbogacmy aksjomaty mary ryzyka o owy aksjomat sformułujemy jego terpretację Aksjomat Dla dowolych zmeych ryzyka X Y ( Y / X ) = µ ( Y ) ( X ) X Y µ µ Aksjomat te może ozaczać, że jeśl kwota X jest częścą wększej kwoty Y, to ryzyko zwązae z westycją w portfel zawerający gotówkę Y po odjęcu gotówk X jest rówe wartośc ryzyka zwązaego z portfelem zawerającym Y zmejszoego o ryzyko zwązae z portfelem zawerającym gotówkę X Zakłada sę, że ryzyko jest rozumae pozytywe, jako szasa Zauważamy, że powyższy aksjomat e jest kosekwecją wcześej przyjętych aksjomatów mary koheretośc Jest jedą z podstawowych własośc mary, wykających z aksjomatów mary 2 Rozważaa teoretycze Autorka przypom, że VaR jest marą ryzyka Załóżmy z defcj porządku a zmeych losowych, że: X Y F x F Dla wszystkch x y prawdą jest, że: ( ) ( ) 2 y Wyka stąd, że: czyl f ( x) = P X x) P( Y y) F ( ) F = ( 2 y { x R : F( x) } f y R : F( y) { }, VaR x VaR Y Jeżel przyjme sę przecwą defcję porządku stochastyczego, to VaR oczywśce dla owego aksjomatu mootoczośc będze róweż marą ryzyka Załóżmy, że X Y Wtedy symetrycze: Dla wszystkch x y: Wyka stąd, że: f X Y F ( y) F ( ) 2 x ( x) = P X x) P( Y y) F ( ) F = ( 2 y { x R : F( x) } f y R : F( y) { },

6 378 Elza Buszkowska czyl VaR x VaR Y Wartość oczekwaa jej szczególy przypadek Expected Shortfall (ES) w przypadku dyskretym są maram ryzyka w sese Arzera, gdyż przyjmując klasyczą defcję porządku stochastyczego spełają wszystke aksjomaty koheretej mary ryzyka Mootoczość Załóżmy, że X Y Zatem z defcj porządku a zmeych losowych (Ujawsk 2004): Załóżmy, że x > VaR y > VaR oraz P ( X x) P( Y y) x < x ) p p y < y = = = ( X ) x p y p r( Y ) r = ( X x > VaR) Y r( X ) r( Y ) E / E ( / y > VaR), Róweż w tym przypadku dowód dla drugej defcj porządku polegałby a odwróceu erówośc w dowodze Nezmeczość ze względu a przesuęca = = = = = ( X ) = ( + x ) p = p + x p = p + x p = r( X ) r + + Suma prawdopodobeństw rozkładu zmeej losowej z defcj rówa sę jede Pozytywa jedorodość dla każdego λ 0 = = ( λx ) λ x p = λ x p λr ( X ) r = = Poższe krok wykają z własośc szeregu lczbowego Addytywość + = = = ( X Y ) = ( X + Y ) p = x p + y p = r( X ) r( Y ) r +

7 O fudametach pomaru ryzyka 379 Korzystamy z prawa rozdzelośc dla szeregu lczbowego Przeprowadzmy matematycze dowody w przypadku, gdy zmea losowa jest cągła Mootoczość Autorka udowod, że w szczególym przypadku prawdzwa jest erówość przecwa ż erówość w aksjomace mootoczośc Załóżmy, że X Y Załóżmy, że y < x Wobec powyższego y x 2 dx F ( y) F ( x) f ( y) dy g( x) y x 2 dx F ( y) F ( x) f ( y) dy g( x) y Zatem, z defcj wartośc oczekwaej E ( x) yf ( y) dy xg dx x ( Y ) E( X ) r( Y ) r( X ) Nezmeczość ze względu a przesuęca ( X ) = ( x + ) f ( x) dx = xf ( x) dx + f ( x) dx = xf ( x) dx + = r( X ) r + + Wykorzystalśmy defcję wartośc oczekwaej własośc całek Dodata jedorodość: dla każdego λ 0 ( λx ) λxf ( x) dx = λ xf ( x) r = dx = λr(x ) Stała może być wyłączoa przed całkę, co wyka z własośc całek ( X Y ) = E( X + Y ) = ( x + y) f ( x + y) dxdy = xf ( x) dx + yf ( y) dx = E( X ) + E( Y ) = r( X ) r( ), r + + Y gdze f (x) f 2 (y) ozaczają gęstośc brzegowe Dowody wykają z własośc wartośc oczekwaej Przeaalzujemy ES w przypadku cągłym Przeprowadzmy dowód mootoczośc dla ES

8 380 Elza Buszkowska Załóżmy, że X Y W tym przypadku dowód wyka z dowodu dotyczącego VaR Jeśl przyjąć klasyczą defcję porządku stochastyczego to VaR VaR : VaR 0 γ ( X ) dγ VaR ( Y ) dγ W drugej sytuacj, gdy porządek jest zdefoway przecwe, to VaR VaR : VaR 0 γ 0 ( X ) dγ VaR ( Y ) dγ Zatem fukcja ES jest mootocza w drugm sese Wykoamy dowody dla ych fukcj ryzyka zaych z lteratury Ią zaą fukcją ryzyka jest dyskrety r ( X ) = max x p Jest to Maxmum Loss, która uwzględa prawdopodobeństwo (Czerak 2003) Dowody własośc koheretej mary ryzyka dla ML zostały przypomae pożej Mootoczość Załóżmy, że Y lecz max x p max p 0 γ γ X X Zatem z defcj klasyczej F ( y) F2 ( x) P (, y) P2 (, x) y Otrzymao r( X ) r ( Y ) Nezmeczość ze względu a przesuęca r ( X + ) = max ( + ) Pozytywa jedorodość λ 0 Sla subaddytywość x = max + p x = r ( X ) + p ( λx ) = λx p = λ max x p λr ( X ) r max = Y X, ( X + Y ) = x p + yp ) = max x p + max y p = r( X ) r( Y ) r max( + x y Koleje dowody matematycze dotyczą zapropoowaej Meday jako mary ryzyka Zakładamy, że Y domuje ad X w sese domacj perwszego rzędu: Y Zatem F ( y) F( x) ( X ) Medaa( Y ) Medaa Stąd r( X ) r( Y )

9 O fudametach pomaru ryzyka 38 Jedorodość λ 0 Jeśl poumeruje sę obserwacje od do posortuje sę je od ajmejszej do ajwększej, ależy uwzględć róże przypadk: lczba aturala jest eparzysta: r λx medaa λx ) = λx = λmedaa X = λr ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + / 2 X lczba aturala jest parzysta: ρ λx = medaa( λ x) = λ ( x + x + ) / 2 = λmedaa X λρ X ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 = Subaddytywość Przez medaę sumy zmeych będzemy rozumel medaę szeregu wartośc pochodzących z obu szeregów: lczba aturala jest eparzysta: ( X + Y ) = medaa X + Y ) = ( X + Y ) ( + ) / 2 X ( + ) / 2 + Y ( + ) r = = medaa lczba aturala jest parzysta: ( / 2 ( X ) + medaa( Y ) = r ( X ) + r( Y ) ( X + Y ) = medaa X + Y ) X + Y ( ) ( / 2+ ( / 2+ ) ) r = = medaa ( / 2+ ( / 2+ ) / 2 / 2 ( X ) + medaa( Y ) = r ( X ) + r( Y ) szereg są różej długośc parzyste, m eparzyste: ( X Y ) = medaa X + Y ) X / 2+ ( / 2+ ) r + ( ( ) + Y( m+ ) / 2 = = medaa / 2 ( X ) + medaa( Y ) = r ( X ) + r( Y ) szereg są różej długośc m parzyste, eparzyste: ( X + Y ) = medaa X + Y ) X + Y ( + ) / 2 m / 2+ ( m / 2+ ) = medaa( X ) + medaa( Y ) = r ( X ) + r( Y ) r ( ( )/ 2 = Nezmeczość ze względu a przesuęca: r( X + a) = r( X ) + a r ( X ) = medaa( X + a) = medaa( X ) + a

10 382 Elza Buszkowska Zatem medaa jest marą ryzyka przy stadardowym rozumeu porządku stochastyczego Autorka sprawdz waruk mary ryzyka dla klasyczego kwatyla Mootoczość Załóżmy, że Zatem X, Y V, Y X, F ( y) F2 ( x), P (, y) P2 (, x) r ( X ) = P ( X R ) P ( Y R ) r( ) 2 = Y Woskuje sę o braku mootoczośc Zmaa keruku erówośc w defcj porządku stochastyczego e zme tego wosku Nezmeczość ze względu a przesuęca Kotrprzykład: ( X = x ) =, a = 4, R = 2 X = { 3} P, ( 3 2) = P( 3 6 4) ( 3 6) 4 = 4 = 3 0 = P P Dowody pozostałych własośc zajdują sę w ej, jeszcze eopublkowaej pracy autork pt About Coheret Measures of Rsk Dalsze dowody dotyczą Bezwzględego Odchylea Medaowego dla klasyczej defcj porządku stadardowego Mootoczość Dla X, Y V Jeśl X Y to r( X ) r( Y ) Załóżmy, że X Y Zatem dla wszystkch x y F ( y) F ( ) 2 x r ( Y ) = MEDIANAY MEDIANA( Y ) MEDIANA X MEDIANA( X ) = ( X ) Zatem ( Y ) r( X ) r > Ozacza to, że steje mootoczość Nezmeczość ze względu a przesuęca: ( X + a) = r( X ) + a Kotrprzykład: r X = {,2,3,4 }, ( X x ) = / 4 P, = r

11 O fudametach pomaru ryzyka 383 ( X + ) = MEDIANA X + MEDIANA( X + ) = r, ( X ) + = MEDIANA X MEDIANA( X ) + = 2, 5 r Dla tej mary steje brak ezmeczośc ze względu a przesuęca Uwag końcowe W artykule zapropoowao trzy sposoby defowaa porządku stochastyczego Jeżel przyjąć stadardową defcję tego porządku, to VaR, ES EX w przypadku dyskretym są maram ryzyka, a ES, Max Loss zapropoowaa przez autorkę Medaa jako mara ryzyka są koheretym maram ryzyka Ne jest zaś marą ryzyka kwatyl wartość średa Ostata w przypadku cągłym, gdyż e speła ektórych waruków mary ryzyka, a także Bezwzględe Odchylee Medaowe, gdyż e jest dla ego prawdzwy waruek ezmeczośc a przesuęca Jeżel przyjme sę zapropoowaą przez autorkę przecwą defcję porządku stochastyczego, która ma bardzej aturalą terpretację, to przy owym aksjomace mootoczośc wszystke własośc udowodoe wcześej są zachowae Autorka propouje też y sposób defowaa porządku a zmeych losowych, który e ujmuje prawdopodobeństwa jest klasyczą defcją porządku częścowego Poeważ e wszystke mary ryzyka uwzględają prawdopodobeństwo, tak sposób defowaa porządku w dowodach własośc mootoczośc wydaje sę kokurecyjy Autorka wprowadza też dodatkowy aksjomat do zboru aksjomatów koheretej mary ryzyka Arzera ych podaje jego terpretację a gruce teor pomaru ryzyka Ses praktyczy tego zabegu oraz sprawdzee, które zae fukcje ryzyka spełają aksjomaty Arzera ych po przyjęcu defcj porządku częścowego a zmeych losowych mogą być tematem dalszego badaa Lteratura Acerb C, Tasche D (2002), O the coherece of expected shortfall, Joural of Bakg & Face vol 26, Issue 7, s Apara, Gupta (203), Rsk Maagemet ad smulatos, CRC PRESS Artzer, Ph, F Delbae, Eber J-M, Heath D (997), Thkg Coheretly, RISK, 0, November, s 68 7 Czerak T (2003), Maksymala strata jako mara ryzyka, Prace aukowe akadem ekoomczej w Katowcach Jajuga K (2007), Zarządzae ryzykem, Wydawctwo Naukowe PWN SA, Warszawa Uejewsk P (2004), Koherete mary ryzyka, Wrocław wwwozpwrwrocpl/pracowcy/wero/prace/uejewsk04pdf Krawczyk E (2006), Zastosowae modelu ryzyka Value at Rsk (VaR) opartego a metodze Mote Carlo do ryku eruchomośc, EIOGZ, s 7 Kubńska E, Markewcz J (202), Pomar ryzyka jako wyzwae dla współczesych fasów, Oecooma vol 46, Kuzak K (2003), Kocepcja wartośc zagrożoej VaR (Value at Rsk), StatSoft Polska

12 384 Elza Buszkowska Włodarczyk A (20), Kocepcja koheretych mar ryzyka a ocea ryzyka westycyjego OFE, Prace Materały Wydzału Zarządzaa Uwersytetu Gdańskego r 4/5/20, s Fudametals of Rsk Measuremet Abstract: I ths artcle the author wll propose other alteratve deftos of stochastc order She wll check moreover the propertes of coheret measures of rsk for ES, Meda, Meda Absolut Devato ad Maxmum Loss, wth dfferet deftos of the frst order stochastc orders The purpose of the paper s also erchmet of Arzer s et al axoms, whch defe coheret measure of rsk of some addtoal property of measure of rsk Ths survey wll be performed wth the method of mathematcal proof Oly some of measure propertes preseted ths artcle are kow from the lterature Applcato of Meda as a measure of rsk, research of mootocty of rsk measure wth dfferet deftos of stochastc order ad erchmet Arzer s et al axoms wth addtoal axom are the proposals of the author Keywords: VaR, ES, ML, MAD, Axoms of Rsk Measure, coherece, rsk measure Cytowae Buszkowska K (205), O fudametach pomaru ryzyka, Zeszyty Naukowe Uwersytetu Szczecńskego r 854, Fase, Ryk Fasowe, Ubezpeczea r 73, Wydawctwo Naukowe Uwersytetu Szczecńskego, Szczec, s ; wwwwezpl/frfu