POLE MAGNETYZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYZNEGO Wykład lato 01 1 Definicja wektoa indukcji pola magnetycznego F = q( v B) Jednostką indukcji pola B jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakzywia to uchu ładunku elektycznego. Wykład lato 01 1
Siła Loentza Siła działająca na ładunek w obszaze, w któym występują jednocześnie pole elektyczne i magnetyczne F = q( v B + E) B E Ruch w skzyżowanych polach, tj. gdy jeżeli v B = E to F = 0 to cząstki i jej pędkość nie ulegną zmianie Wykład lato 01 3 Doświadczenie Thomsona 1897. J.J. Thomson, ambidge, wyznaczył q/m dla elektonu, odkycie elektonu q = 17,56 10 10 m kg Wykład lato 01 4
Zadanie.1 Wiązka elektonów pzechodzi bez odchylenia pzez lampę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10-4 T. Długość płytek odchylających wynosi 4 cm, a odległość od końca płytek do ekanu wynosi 30 cm. Znajdź odchylenie wiązki na ekanie pzy wyłączonym polu magnetycznym Wykład lato 01 5 Zadanie. Na podstawie podęcznika HRW, t.3 lub innych źódeł opacować dwa tematy: cykloton i synchoton zjawisko Halla Podać pzykłady paktycznego wykozystania Wykład lato 01 6 3
Definicja natężenia pądu i = dq dt Natężenie pądu jest skalaem Jednostką natężenia pądu jest 1A=1/s (ale to nie jest definicja tej jednostki!) Umownie pzyjmuje się, że pąd płynie tak jakby był to uch ładunków dodatnich. W zeczywistości pąd w metalu stanowią elektony pzewodnictwa Wykład lato 01 7 Siła elektodynamiczna Siła działająca na pzewodnik, pzez któy płynie pąd F = i( l B) l Wykład lato 01 8 4
Zastosowania siły elektodynamicznej Silnik elektyczny amka z pądem w polu magnetycznym Analogowe mieniki woltomiez, ampeomiez, galwanomet Na amkę z pądem w zewnętznym polu magnetycznym działa moment siły τ μ B μ = moment magnetyczny Pzypomnienie: dla dipola elektycznego τ = p E Wykład lato 01 9 Moment magnetyczny Pod wpływem momentu siły amka ustawia się postopadle do kieunku wektoa indukcji pola magnetycznego, tak aby μ B Moment magnetyczny definiowany jest dla każdego zamkniętego obwodu, pzez któy płynie pąd I: μ = NIAnˆ liczba zwojów pole wekto jednostkowy postopadły do powiezchni A Wykład powiezchni lato 01 10 5
Dipol magnetyczny Moment magnetyczny chaakteyzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko amka (pętla, cewka), pzez któy płynie pąd lecz ównież: magnes sztabkowy (μ 5J/T) Ziemia (w pzybliżeniu) μ 8,0 10 J/T większość cząstek elementanych, np. elekton (μ 9,3 10-4 J/T), poton (μ 1,4 10-6 J/T), neuton Wykład lato 01 11 Enegia potencjalna E p dipola magnetycznego z zewnętznym polu magnetycznym: E = μ o B p najwyższa enegia E p najniższa enegia E p Pzypomnienie: dla dipola elektycznego w zewnętznym polu elektycznym E = p o E p Wykład lato 01 1 6
Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego - doświadczenie Oesteda (1819-180) Kiedy pzez pzewodnik nie płynie pąd, igła ustawia się wzdłuż kieunku pola magnetycznego ziemskiego I=0 I 0 Kiedy pzez pzewodnik płynie pąd, igła odchyla się od kieunku pola magnetycznego Ziemi. Dlaczego? Wykład lato 01 13 PRAWO BIOTA-SAVARTA μo I d l d B = 3 4 π Pawo Biota-Savata Zasada supepozycji Rozkład ładunku Pawo oulomba Zasada supepozycji Wykład lato 01 14 7
Pzykład.1 Znaleźć wekto indukcji pola magnetycznego w śodku pętli o pomieniu R, pzez któą płynie pąd o natężeniu I. Z pawa Biota-Savata μo I dlsinθ db = 4 π R o θ = 90 μo I dl μo I = db = = dl 4 π R 4 π R B B = μoi R πr Wykład lato 01 15 Zadanie domowe.3 Pokazać, że (a) watość wektoa indukcji pola magnetycznego w punkcie P na osi pętli z pądem wynosi B x μo = IR ( x + R ) 3 (b) a w dużej odległości od śodka pętli x>>r μo B x = π μ x 3 Wykład lato 01 16 8
Pętla z pądem zachowuje się jak dipol magnetyczny wniosek z zadania.3 Pętla z pądem wytwaza pole magnetyczne jak dipol magnetyczny w dużych odległościach (pole magnetyczne zanika z odległością jak x -3, podobnie jak dla dipola elektycznego) Wykład lato 01 17 Zadanie domowe.4 Pętla kołowa o pomieniu =5 cm ma 1 zwojów. Pzez pętlę płynie pąd o natężeniu 4A. Układ odniesienia wybano tak, że pętla leży w płaszczyźnie YZ (x=0) a początek układu odniesienia leży w śodku pętli. Znaleźć watość indukcji pola magnetycznego na osi x dla: (a) x=0 (b) x=3 cm (c) x=15 cm (d) x=3 cm w pzybliżeniu dipolowym Wykład lato 01 18 9
Zadanie domowe.5 Mały magnes sztabkowy o momencie magnetycznym μ jest umieszczony w śodku pętli z popzedniego zadania. Wekto momentu magnetycznego leży w płaszczyźnie XY i twozy kąt 30 o z osią OX. Znaleźć wekto momentu siły działającego na magnes. Zaniedbać efekty związane ze zmianami pola magnetycznego w obszaze zajmowanym pzez magnes. Wykład lato 01 19 Pole magnetyczne a elektyczne -podobieństwa i óżnice Linie pola elektycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektycznym Linie pola magnetycznego twozą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą Wykład lato 01 0 10
PRAWO GAUSSA Istnieje pojedynczy ładunek punktowy monopol elektyczny E o d A = S div E = ρ ε o q ε 0 B o d A = 0 Wykład lato 01 1 S div B = 0 Bak monopoli magnetycznych. Magnes czy pętla z pądem stanowią dipol magnetyczny Pawo Gaussa dla pola magnetycznego jest jednym z ównań Maxwella. Jego teścią jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźódłowe. Stumień pola magnetycznego pzez powiezchnię zamkniętą jest zawsze ówny zeu. Nie można wyodębnić pojedynczego bieguna magnetycznego nie istnieją monopole magnetyczne. ΦB = B o d A = 0 S div B = 0 Wykład lato 01 11
KRĄŻENIE POLA WEKTOROWEGO dl dl Kążenie (cykulacja) pola wektoowego F po kontuze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka kzywoliniowa: Γ = element dogi całkowania ma kieunek styczny do kzywej w danym punkcie Jeżeli F jest siłą, to kążenie Γ ma sens fizyczny pacy. Wykład lato 01 3 F o dl Jeżeli F jest siłą zachowawczą (pole elektostatyczne, gawitacyjne), to Γ=0. Kzywa oganicza pewną powiezchnię zamkniętą ozpiętą na tej kzywej. dl ROTAJA POLA Γ = F o d l Powadząc kzywą B twozymy dwa zamknięte kontuy 1 i takie, że: F o d l F o d l = F o d l + 1 definicja opeatoa otacji F o d l i ( ot F) onˆ = lim ai 0 a i Wykład lato 01 4 1
Pytanie: Pole elektostatyczne jest polem bezwiowym (otacja pola jest ówna zeu w każdym jego punkcie). A co z otacją pola magnetycznego? d ls E Pzewodnik z pądem i E o d l = 0 ot E = 0 ot B 0 Odpowiedź: Istotnie, pole magnetyczne jest polem wiowym. To Wykład okeśla pawo Ampèe a. lato 01 5 B o d l 0 Pawo Ampèe a B o dl = μoi kążenie pola pąd wewnątz magnetycznego kontuu całkowania μ o - pzenikalność magnetyczna póżni, stała uniwesalna 7 μ = 4 π 10 T m / A kontu całkowania o dl I =i 1 -i Wykład lato 01 6 13
Twiedzenie Stokes a Wiąże kążenie wektoa po kzywej z otacją w punkcie, podobnie jak twiedzenie Gaussa- Ostogadskiego wiązało stumień pola pzez powiezchnię z dywegencją w punkcie F o dl ( ot F) o da = Wykład lato 01 7 gęstość pądu S całka powiezchniowa, po powiezchni S oganiczonej kzywą Pawo Ampèe a w postaci óżniczkowej ot B = μ o j Gęstość pądu Gęstość pądu jest to wekto, któego watość ówna jest natężeniu pądu pzepływającemu pzez element pola pzekoju powiezchni na jednostkę pola tej powiezchni j = di ds i j S 1 1 S j stumień = j o d S Watość natężenia pądu pozostaje stała, zmienia się gęstość pądu pawo ciągłości pzepływu, zasada zachowania ładunku Wykład lato 01 8 14
Pzykład - Gęstość pądu w pzewodniku o kształcie walca o pomieniu R = mm jest jednakowa na całym pzekoju pzewodnika i ówna j= 10 5 A/m. Ile wynosi natężenie pądu, pzepływającego pzez zewnętzną wastwę pzewodnika, w obszaze pomiędzy R/ i R? Rozwiązanie: i = js' bo j=const na całym pzekoju walca R 3π S' = πr π = R 4 Odpowiedź: i =1,9 A R R/ j Wykład lato 01 9 Pzykład -3 Załóżmy, że gęstość pądu w pzewodniku o kształcie walca o pomieniu R = mm nie jest jednakowa na całym pzekoju pzewodnika i zmienia się z odległością od śodka walca zgodnie ze wzoem j = α, gdzie α=3 10 11 A/m 4. Ile wynosi natężenie pądu, pzepływającego pzez zewnętzną wastwę pzewodnika, w obszaze pomiędzy R/ i R? Rozwiązanie: i = j o ds = jds = R R / Wykład lato 01 30 R R/ α π d Odpowiedź: 15 4 i = πα R i = 7,1A 3 j 15
Zadanie domowe.6 ztey z pzedstawionych pól wektoowych mają znikającą dywegencję w pzedstawionym obszaze. Tzy z nich mają znikającą otację. zy możecie ocenić, któe z pól mają omawiane własności? Wykład lato 01 31 Zastosowania pawa Ampèe a pole magnetyczne wokół pzewodnika postoliniowego B d l B=const na kzywej (kontu całkowania jest okęgiem ) kążenie wektoa indukcji magnetycznej po okęgu o pomieniu kozystając z pawa Ampèe a B o d l = B dl = π B π B = μo i Wykład lato 01 3 B = dl Odpowiedź: μo i π 16
Zadanie domowe.7 Ten sam ezultat można otzymać popzez żmudne całkowanie, kozystając z pawa Biota-Savata. Poszę spóbować, aby móc docenić pawo Ampèe a. Odpowiednie obliczenia znajdziemy w Rozdz.30, &30.1 podęcznika HRW, t. 3. Wykład lato 01 33 Zastosowania pawa Ampèe a pole magnetyczne wewnątz pzewodnika o pomieniu R, pzez któy płynie pąd I (<R) kążenie wektoa indukcji magnetycznej po okęgu o pomieniu wyaża się tym samym wzoem dla <R i >R B o d l = π B tzeba znaleźć natężenie pądu I wewnątz kontuu gęstość pądu j jest stała I j = = π π R Wykład lato 01 34 I 17
I j = = π I π R z pawa Ampèe a I I = R B o dl = μoi Wykład lato 01 35 π B = Odpowiedź: B = μ o μ o I R I π R Zastosowania pawa Ampèe a pole magnetyczne wewnątz solenoidu Solenoid wytwaza jednoodne pole magnetyczne i pełni podobną olę jak kondensato płaski w elektostatyce solenoid magnes sztabkowy Wykład lato 01 36 18
c B o dl = B o dl + B o dl + B o dl + b a b d c a d B o dl dlaczego? Bh 0 0 0 B d l B dl B=0 B dl pole jednoodne Wykład lato 01 37 B o d l = Bh = μ o I I = (nh)i liczba zwojów na jednostkę długości natężenie pądu w uzwojeniu solenoidu solenoid idealny B = μ o ni Wykład lato 01 38 19
Zadanie domowe.8 Wykozystać pawo Ampèe a do znalezienia watości wektoa indukcji wewnątz tooidu, pzez któy płynie pąd o natężeniu I. Tooid a < < b a b B = μo NI π N - liczba zwojów tooidu Wykład lato 01 39 Siły działające między dwoma ównoległymi pzewodami z pądem Te pzewody się pzyciągają. Dlaczego? pole magnetyczne wytwozone pzez pąd i a μo ia π d Wykład lato 01 40 B a = siła działająca na pzewód z F pądem i b ba = ibl Ba Definicja ampea: 1A jest to natężenie pądu stałego, któy płynąc w dwóch ównoległych, postoliniowych, nieskończenie długich Fba = pzewodach o znikomo małym pzekoju popzecznym, umieszczonych w póżni w odległości 1m, wywołuje między tymi pzewodami siłę o watości 10-7 N na każdy met długości pzewodu μo Liai π d b 0
Podsumowanie Ruch ładunku w polach magnetycznym i elektycznym odbywa się pod wpływem siły Loentza. Pole magnetyczne nie zmienia enegii kinetycznej lecz zakzywia to ładunku. Różnice pomiędzy polem elektostatycznym i magnetycznym można pześledzić posługując się pawem Gaussa dla elektyczności i magnetyzmu. Nie istnieją monopole magnetyczne. Na pzewodnik z pądem w polu magnetycznym działa siła elektodynamiczna. Ładunek w spoczynku wytwaza pole elektostatyczne, ładunek w uchu (pąd elektyczny) jest źódłem pola magnetycznego Watość indukcji pola magnetycznego wytwozonego pzez pzewodnik z pądem można obliczyć kozystając z pawa Biota-Savata lub pawa Ampèe a, któe jednak stosujemy tylko do ozwiązywania poblemów o wysokiej symetii. Wykład lato 01 41 1