dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 13: Pole magnetyczne dr inż. Zbigniew Szklarski

2 Wektor indukcji pola magnetycznego, siła Lorentza v v F L Jeżeli na dodatni ładunek q poruszający się z prędkością v działa siła F q + zakrzywiająca v tor ładunku jak na rysunku, to w punkcie P istnieje indukcja magnetyczna. 0 F 0 L F L max q( v ) v F L q v F L 0 sin( v, ) F L max q v F Dla cząstki ujemnej lub inaczej dla dodatniej F

3 F L max q v T N kg m A s A s s Ruch cząsteczki w polu E i F q E + q( v ) od pola E od pola Ruch w skrzyżowanych polach E jeżeli v E to F 0 tor cząstki i jej prędkość nie ulegną zmianie 3

4 Doświadczenie Thomsona wyznaczenie e/m elektronu 1897 r. Cambridge, J.J. Thomson, wyznaczył q/m dla elektronu - odkrycie elektronu U E Przyspieszenie napięciem U Pole magnetyczne skrzyżowane z polem elektrycznym tor prostoliniowy: E 17,56 10 m U eu mv e 10 v ee ev C kg eu m E Ue m 4

5 Zadanie Wiązka elektronów przechodzi bez odchylenia przez lampę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektrycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skrzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) 10-4 T. Długość płytek odchylających wynosi x 1 4 cm, a odległość od końca płytek do ekranu wynosi x 30 cm. Oblicz pionowe odchylenie wiązki na ekranie przy wyłączonym polu magnetycznym 5

6 Efekt Halla V d V u prędkość unoszenia F L siła Lorentza b V b V u Θ e h V u i F L Θ e E Θ i F V a ee + e( V ) siły się równoważą więc ee ev u u U ab V a - V b j ponieważ j nevu więc powstałe pole elektryczne E ne U ab i z pomiaru napięcia Halla U ab : E i stąd U R h h d ne ab H d 1 gdzie R H jest stałą Halla ne Z czego zrobić hallotron? V a 6

7 Zastosowanie hallotronów Przewaga nad indukcyjnym czujnikiem: wykrywane jest również stałe pole. Czujnik prędkości obrotowej koła w systemie AS Czujnik położenia/obrotu prędkości obrotowej: dwa magnesy stałe mijające hallotron. Silniki bezszczotkowe np. w napędach dysków Silnik napędu 3,5 Odwrócony rotor z magnesem stałym. Czujnik wykrywa położenie wirnika sterując prądem w cewkach źródło zdjęć: Wikipedia 7

8 -e -e Cyklotron siła Lorentza jest siłą dośrodkową stąd r mv q qv mv r skoro V r q m f q m jest to tzw. częstotliwość cyklotronowa. Jeżeli obserwujemy różne promienie torów r 1 > r dwóch cząstek o jednakowych ładunkach i prędkościach gdzie m V r 1 1 q > m V r q m 1 > m wykorzystanie spektroskopia masowa. 8

9 Cyklotron (193r.) dostrajamy generator napięcia zmiennego do częstotliwości cyklotronowej f 0 q m energia cząstek zależy od promienia mv R q gdzie prędkość cząstki V qr m stąd energia kinetyczna mv q R E k m 9

10 Wykorzystanie: - reakcje jądrowe - eksperymenty fizyki wys. energii - promieniowanie synchrotronowe. Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów w Warszawie: m Ø, 10 MeV/ jedn. masy Ernest O. Lawrence (USA) 1931 r. 10 cm Ø, 80 kev 1933 r. 70 cm Ø, 1,MeV 10

11 Siła elektrodynamiczna Przewodnik z prądem w polu magnetycznym ruch dużej ilości ładunków, na które działają siły Lorentza ich wypadkowa to siła elektrodynamiczna F i( l ) l Zastosowanie: Silnik elektryczny Mierniki analogowe 11

12 Silnik elektryczny ramka z prądem w polu magnetycznym. Analogowy miernik woltomierz, amperomierz, galwanometr. Na ramkę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment siły τ μ μ moment magnetyczny Dla porównania: dla dipola elektrycznego M p E 1

13 Przykład Przez wygięty, sztywny drut o wymiarach jak na rysunku, przepuszczono prąd I. Drut znajduje się w polu magnetycznym o indukcji 0 skierowanym za płaszczyznę. Określ kierunek i oblicz wartość siły działającej na drut. Odp.: F I 0 R, kierunek 13

14 Moment magnetyczny Pod wpływem momentu siły ramka ustawia się prostopadle do kierunku wektora indukcji pola magnetycznego, tak aby μ Moment magnetyczny definiowany jest dla każdego zamkniętego obwodu, przez który płynie prąd I: liczba zwojów μ NIAnˆ pole powierzchni wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni A 14

15 Dipol magnetyczny Moment magnetyczny charakteryzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko ramka (pętla, cewka), przez który płynie prąd lecz również: magnes sztabkowy (μ 5 J/T) Ziemia (w przybliżeniu μ 8,0 10 J/T ) większość cząstek elementarnych, np. elektron (μ 9, J/T), proton (μ 1, J/T), neutron (μ -0, J/T). 15

16 Moment magnetyczny cząstki mikroskopowej powstaje na skutek jej ruchu w przestrzeni (np. ruch orbitalny elektronu w atomie) lub jest to tzw. wewnętrzny moment magnetyczny, nie związany z żadnym ruchem mają go cząstki obdarzone spinem (przy czym moment magnetyczny jest związany ze spinem poprzez czynnik giromagnetyczny). Neutron ma ujemny moment magnetyczny, co oznacza, że gdy spin neutronu jest skierowany w górę, to linie pola magnetycznego w środku dipola są skierowane w dół. Na moment magnetyczny atomu składają się: wypadkowy moment magnetyczny elektronów oraz moment magnetyczny jądra. strzałka symbolizuje rzut spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego 16

17 Energia potencjalna dipola magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym. najwyższa energia E p E p μ najniższa energia E p Dla porównania: energia dipola elektrycznego w zewnętrznym polu elektrycznym p E E p Dipol oddziałując z zewnętrznym polem magnetycznym przyjmie minimum energii potencjalnej, tzn., że jego biegun N znajdzie się bliżej bieguna S ciała wytwarzającego zewnętrzne pole magnetyczne, a wektor Ԧμ będzie zgodny z wektorem. 17

18 Dipol - podsumowanie Własności dipola typ dipola wzór moment siły w polu elektryczny p E zewnętrznym magnetyczny m energia w polu elektryczny E p p E zewnętrznym magnetyczny pole w odległych punktach na osi dipola elektryczny magnetyczny E p m 1 p E x 0 m 3 x 18

19 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez przewodnik nie płynie prąd, igła ustawia się wzdłuż kierunku pola magnetycznego ziemskiego Kiedy przez przewodnik płynie prąd, igła odchyla się od kierunku pola magnetycznego Ziemi. Dlaczego? 19

20 Wyznaczanie składowych pola magnetycznego ziemskiego usola stycznych Instrument został po raz pierwszy opisany przez francuskiego fizyka Claude Pouillet'a w 1837 roku

21 Prawo Amper a d l o I C C krążenie pola magnetycznego prąd wewnątrz konturu całkowania C μ o - przenikalność magnetyczna próżni, stała uniwersalna 7 μ o 4 π10 T m / A 1

22 kontur całkowania I C i 1 -i Pole magnetyczne wokół przewodnika prostoliniowego d l const na krzywej C (kontur całkowania jest okręgiem ) dl krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r C d l dl π r C

23 korzystając z prawa Ampère a π r Przewodnik o promieniu R, przez który płynie prąd I: C d l μ o Pole magnetyczne w odległości r od przewodnika i π r μ o π Czy istnieje pole magnetyczne wewnątrz przewodnika? krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r wyraża się tym samym wzorem dla r<r i r>r Obliczamy natężenie prądu I C wewnątrz konturu (r<r): I I gęstość prądu j jest stała j C I π r π R r I C R i r 3

24 Z prawa Ampère a d l o I I C π r μ o r R C μ π o I R pole magnetyczne wewnątrz przewodnika r Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu pole magnetyczne na zewnątrz przewodnika: μ o π i r 4

25 Solenoid wytwarza jednorodne pole magnetyczne i pełni podobną rolę jak kondensator płaski w elektrostatyce solenoid magnes sztabkowy 5

26 nieskończony solenoid c dl dl + dl + dl + C b a b d c a d dl h d l dlaczego? dl 0 dl d l h μ C solenoid idealny o I C μ pole jednorodne gdzie o I C ( nh) i liczba zwojów na jednostkę długości ni natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu 6

27 Zadanie. Wykorzystać prawo Ampère a do znalezienia wartości wektora indukcji wewnątrz toroidu, przez który płynie prąd o natężeniu I. N - liczba zwojów toroidu wewnątrz toroidu: ර dl μ 0 I πr μ 0 NI na zewnątrz toroidu: μ o NI π r dl μ 0 I wpły I wypł 0 lub w środku toroidu: ර dl 0 7

28 Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem pole magnetyczne wytworzone przez prąd I 1 siła działająca na przewód z prądem I ma wartość F F 1 μ o i 1 π d I L 1 μ o L I1 I π d Definicja ampera: 1A jest to natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju poprzecznym, umieszczonych w próżni w odległości 1m, wywołuje między tymi przewodami siłę o wartości 10-7 N na każdy metr długości przewodu. 8

29 Nowa definicja ampera oparta na kwantowych urządzeniach nanometrycznych używanych w temperaturach bliskich zera absolutnego. Urządzenia te nazywane są pompami jednoelektronowymi (SEP), ponieważ precyzyjnie emitują jeden elektron na raz i zapewniają większą dokładność i stabilność przy wytwarzaniu prądu elektrycznego niż jakiekolwiek inne urządzenie. Nanotranzystory krzemowe, wykorzystujące tzw. Kropki kwantowe dają możliwości dokładnego dostrojenia wielkości kropki kwantowej, co skutkuje znacznym zwiększeniem dokładności prądu elektrycznego 80 pa z niepewnością 50 ppm (parts per milion). Oznacza to, że co sekundę udaje się wyizolować i przenieść 1 miliard elektronów z błędem nieprzekraczającym 500 elektronów! A. Rossi, T. Tanttu, et al.. arxiv: [cond-mat.mes-hall] 9

30 Prawo iota-savarta Zasada superpozycji obowiązuje nie tylko w elektrostatyce: μ o I d l r d 3 4 π r + 0I dl sin 0I dl r d 3 4 r 4 r Przykład przewodnik prostoliniowy dx d 0i dx sin 4 r gdzie ( ) sin sin r x + x R R + R x i R r 30

31 0i R dx 4 R ( x + ) 3 / i 0 x ( x + ) 4 R 1/ + i 0 R Przykład przewodnik kołowy dl Zauważmy że: d r R r d d ze względu na symetrię d 0 X d d d d cos gdzie 0i d dl 4r sin 90 0 ir 0 ( R + ) 3 / x ir d ( R x ) 3/ dl cos R r x R 31 + R dl R

32 w środku przewodnika kołowego dla x 0 0 ir 0i 3 R R jeżeli x >> R to 0iR x ~ x - jak pole od dipola Jeżeli mamy N zwojów, każdy o powierzchni S R od cewki: NiS 0 0 m 3 3 x x to pole gdzie m jest magnetycznym momentem dipolowym cewki o N-zwojach. 3

33 Przykłady W pobliżu ziemskich biegunów pole magnetyczne jest równe ok. 1 G (10 4 T). Gdyby wnętrze Ziemi przestało wytwarzać pole magnetyczne, a na równiku opasano by Ziemię pojedynczą pętlą przewodzącą, to prąd o jakim natężeniu wytworzyłby takie samo pole magnetyczne? μ 0 1, N A R Z 6, m Do przewodzącej pętli o promieniu R dołączono dwa przewodniki o długości R przez które przepływa prąd o natężeniu I. Obliczyć indukcję w środku kołowej pętli. 33

34 Pole magnetyczne a elektryczne Linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektrycznym Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą 34

35 Prawo Gaussa dla magnetyzmu Istnieje pojedynczy ładunek punktowy monopol elektryczny rak monopoli magnetycznych. Magnes czy pętla z prądem stanowią dipol magnetyczny 35

36 E ds S q 0 ds 0 S ρ div E div 0 ε o Treścią prawa Gaussa dla magnetyzmu jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźródłowe. Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru. Nie można wyodrębnić pojedynczego bieguna magnetycznego nie istnieją monopole magnetyczne. S d S 0 36

37 Przypomnienie - operatory Pole Funkcja pola Działanie na funkcji pola Oznaczenie działania i określenie Wynik działania grad i + j + k x y z skalarne skalar gradient skalara wektor dywergencja wektora diva A A + + x y A x y z z skalar wektorowe wektor rotacja wektora i j k rota x y z Ax Ay Az wektor 37

38 Twierdzenie Stokes a Podobnie jak twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego wiązało strumień pola przechodzący przez powierzchnię z dywergencją w punkcie: E d A div E dv S V ρ div E E ε o to twierdzenie Stokes a wiąże krążenie wektora po krzywej C z rotacją w punkcie: F dl ( rot F) ds C S 38

39 F dl ( rot F) ds C S całka powierzchniowa, po powierzchni S ograniczonej krzywą C strumień! oznacza to, że krążenie pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze C jest równe strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię S ograniczoną tym konturem. Twierdzenie Stokes a dla pola elektrycznego: E dl S rote ds

40 Zastosowanie prawa Stokes a dla pola magnetycznego: dl rot ds Z prawa Ampera: A więc: S S rot ds dl 0 S 0 i oraz j ds dl 0 S i S j ds j ds W zapisie różniczkowym rot 0 j 0 j 40

41 Prawo Gaussa i Ampera w postaci całkowej i różniczkowej Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Prawo Gaussa E ds q 0 dive ds 0 0 div 0 Prawo Ampera dl 0i rot 0 j 41

42 Materiały magnetyczne Pierwszy znany materiał magnetyczny magnetyt Fe 3 O 4 - Chiny p.n.e. W Europie od XII w kompas, wyjaśnienie jego działania 1600 r. William Gilbert. 180 r. Hans Christian Oersted obserwacje r. André Marie Ampère - prawo 1831 r. Michael Faraday indukcja magnetyczna 1873 r. James Clark Maxwell ogólna teoria elektromagnetyzmu. Każdy elektron w atomie ma wypadkowy moment magnetyczny (orbitalny + spinowy), który wektorowo sumuje się w ramach atomu i próbki. Moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości próbki zwany jest namagnesowaniem M. Materiały magnetyczne M charakteryzuje wielkość zwana podatnością magnetyczną. H μ M 0 μ 0 H zewnętrzne pole magnetyczne 4

43 M H μ 0 M χ < 0 substancja jest diamagnetykiem, co oznacza że pole magnetyczne jest "wypychane" z takiego ciała (maleje gęstość strumienia pola magnetycznego w porównaniu z próżnią), χ 0 brak podatności, np. dla próżni, χ > 0 substancja jest paramagnetykiem, co oznacza że pole magnetyczne jest "wciągane" do takiego ciała (rośnie gęstość strumienia pola magnetycznego w porównaniu z próżnią), χ >> 0 substancja jest ferromagnetykiem. 43

44 Paramagnetyki niekompletne orbitale niesparowane elektrony atom ma niezerowy, wypadkowy moment magn. W zewnętrznym polu uporządkowanie momentów magnetycznych zgodnie z Gdy 0 drgania termiczne niszczą uporządkowanie. Prawo Curie: m C T Domeny magnetyczne 44

45 Pętla histerezy magnetycznej Silny magnes duża pozostałość magn. Łatwy do przemagnesowania mała koercja Trwały magnes duża koercja magnetyczna ac pozostałość magnetyczna ad koercja magnetyczna 45

46 Podsumowanie Pole magnetyczne w próżni: div 0 rot 0 j pole jest bezźródłowe jest to pole wirowe Pole magnetyczne w ośrodku: div 0 rot 0 j Nie istnieją monopole magnetyczne nie ma jednobiegunowości! 46