Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Podobne dokumenty
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Transformaty. Kodowanie transformujace

Przetwarzanie sygnałów

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

TERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry Pojęcia podstawowe Klasyfikacja sygnałów

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...

Różne reżimy dyfrakcji

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Segmentacja przez detekcje brzegów

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008

Transformata Fouriera

Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski.

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Kodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

ELEKTRONIKA. dla Mechaników

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Filtracja. Krzysztof Patan

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

LABORATORIUM METROLOGII. Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów. dr inż. Andrzej Skalski. mgr inż. Mirosław Socha

Restauracja a poprawa jakości obrazów

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne

Temat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa

FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie.

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

Przetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

TRANSFORMATA FOURIERA

Filtracja obrazów. w dziedzinie częstotliwości. w dziedzinie przestrzennej

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Wykład 2. Transformata Fouriera

Diagnostyka obrazowa

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

Inżynieria Systemów Dynamicznych (3)

Analiza szeregów czasowych: 1. Dyskretna transformata Fouriera i zagadnienia pokrewne

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Teoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej

Szereg i transformata Fouriera

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

Joint Photographic Experts Group

TRANSFORMATA FALKOWA 2D. Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017

Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Diagnostyka obrazowa

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

f = 2 śr MODULACJE

Wstęp do komputerów kwantowych

Kodowanie transformujace. Kompresja danych. Tomasz Jurdziński. Wykład 11: Transformaty i JPEG

Całka podwójna po prostokącie

Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Przekształcenie Fouriera i splot

) (2) 1. A i. t+β i. sin(ω i

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Michał Strzelecki Metody przetwarzania i analizy obrazów biomedycznych (1)

Analiza szeregów czasowych: 1. Dyskretna transformata Fouriera i zagadnienia pokrewne

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

NIEOPTYMALNA TECHNIKA DEKORELACJI W CYFROWYM PRZETWARZANIU OBRAZU

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

TEORIA STEROWANIA I, w 5. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

Transkrypt:

Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki

Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację sygnału można uzyskać z odpowiednio ważonej sumy funkcji harmonicznych o różnych częstotliwościach f + j ω t e dω ( t) ( ω) odwrotna jωt e dt ( ω) f ( t) prosta transformata ouriera Joseph ourier (768-83)

Przekształcenie ouriera - przykład T π ω X(ω) / t czas ω ω częstotliwość ω X + jωt ( ω) cos( ω t) e dt ( δ ( ω ω ) + δ ( ω + ω )) 3

4 Przekształcenie ouriera - przykład ( ) > < T t, T t, t f T ( ) T j T t j e T sin A dt e A ω ω ω ω ω - π/t π/t T A AT t (ω)? ω

Przekształcenie ouriera - przykład x(t) T x(ω) π/t -T -T T T -4π/T -π/ T π/ T 4π/T t Szereg impulsów Diraca ω δ T + ( t) δ ( t kt ) ω s δ ( ω kω ) + ω s π T 5

Transformacja ouriera obrazów obraz monochromatyczny widmo ouriera obrazu 6

W jakim celu stosuje się transformacje obrazów?. Uzyskanie bardziej zwartego (oszczędnego) sposobu kodowania obrazów (ich kompresji, np. standard kompresji obrazów JPEG). Uwidocznienie cech obrazu niezauważalnych w dziedzinie przestrzennej, np. zakłóceń okresowych 3. Projektowanie filtrów obrazów w dziedzinie częstotliwości oraz realizacja szybkich metod filtracji obrazów 7

Transformacja ouriera obrazu. Detekcja cech obrazu w dziedzinie widma, np. zakłóceń okresowych 8

Transformacja ouriera obrazu ( u,v) f ( x, y) e j π ( ux+ vy ) dxdy prosta f ( x, y) ( u,v) e + j π ( ux+ vy ) dudv odwrotna 9

Widmo amplitudowe i fazowe transformaty obrazu [ ] ( ) ( ) ( ) u,v u,v e j arg u,v ( ) [ ( )] u,v Re u,v + Im[ ( u,v) ] arg [ ( u,v) ] arctan Im Re [ ( u,v) ] [ ( u,v) ]

Dyskretna transformacja ouriera obrazu ( u,v) f ( x, y) x y e j π ( ux+ vy )/ dla u,v,,..., f ( x, y) ( u,v) u v dla x, y,,..., e + jπ ( ux+ vy )/ Liczba działań, np. dla obrazu 5x5?

Przykład obliczeniowy dla funkcji jenowymiarowej f ( x) [ 3 4 4] 3 ( u) f ( x) x e jπux / θ e j cosθ + j sinθ jπ x / ( ) f ( x) e [ f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( 3) ] 4 x 3 [ + 3+ 4 + 4] 3 4 ( )... ( 3+ j) ( )... ( ) ( 3)... ( 3 + j) 4 4 4

Przykład widma amplitudowego obrazu MIT 6 5 5 4 5 3 5 5 5 5 3

Przykłady widm obrazów T T 4

Detekcja zakłóceń harmonicznych 56 punktów MIT 64 okresy sinusoidy 56 64 64 8 5

Widmo fazowe obrazu arg [ ( u,v) ] MIT ( u,v) I { ( u,v) } 6

f(x,y) (64x64) (u,v) log(+ (u,v) ) 7

Podstawowe własności przekształcenia ouriera Rozłączność transformacji dwuwymiarowej: (,) (-) (,) (-) (,) (-) f(x,y) tr. wierszy (x,v) tr. kolumn (u,v) (-) (-) (-) Dwuwymiarową transformację ouriera można wyznaczyć obliczając transformacje jednowymiarowe, tj. przez wykonanie transformacji wierszy a następnie kolumn obrazu. 8

9 Rozłączność dwuwymiarowego przekształcenia ouriera ( ) / / /, ), ( ), ( ), ( x ux j vy j x y ux j e v x v u e y x f e v u π π π (x,v) vy ux j x y e y x f v u ) / ( ), ( ), ( + π

Przykład Obrazy T Widma amplitudowe

Przesunięcie w dziedzinie przestrzennej Obrazy T Widma amplitudowe ( x x, y y ) ( u,v) ( ux vy ) jπ + exp f

Transformata iloczynu i splotu I{f(x,y) g(x,y)} (u,v) G(u,v) I{f(x,y) g(x,y)} (u,v) G(u,v) Druga własność jest szczególnie przydatna w filtracji obrazów, jest ona również wykorzystywana w projektowaniu filtrów obrazu w dziedzinie widma.

f(α) α g(α) / α Splot funkcji ciągłych - przykład g(-α) g(x-α) f ( x) g( x) f ( α ) g( x α ) dα - / α - x / α f(α)g(x-α) f(α)g(x-α) f(x)*g(x) / x α / x α / 3 3 x

Splot dwuwymiarowych funkcji dyskretnych f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie należy wydłużyć okres f(i,j) oraz g(i,j) do wartości M- w następujący sposób: f e ( i, j ) f ( i, j ) i, j i, j M g e ( i, j ) g( i, j ) i, j i, j M f M M e ( i, j ) ge( i, j ) fe( m,n )ge( i m, j n ) m n 4

f(α) α g(α) / α Korelacja funkcji ciągłych - przykład g(x+α) f(α)g(x+α) f ( x) o g( x) f + ( α ) g( x α ) dα / x α / x α f(α)g(x+α) f(x) g(x) / / x α -.5.5 x 5

Korelacja dwuwymiarowych funkcji dyskretnych f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie (dokonuje się tu analogicznego wydłużenia okresu jak dla operacji splotu) f M M e ( i, j ) o ge( i, j ) fe( m,n )ge( i + m, j + n ) m n 6

Okresowość transformaty oraz symetria widma amplitudowego Dla transformaty (u,v) o wymiarze x są prawdziwe tożsamości: (u,v) (u+,v) (u,v+)(u+,v+) Jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą, to zachodzi: ( u,v) ( u, v) oraz dla widma amplitudowego: ( u,v) ( u, v) 7

Okresowość transformaty ouriera f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) Przyjmuje się, że obraz jest funkcją okresową o okresie (, ) f(x,y) f(x,y) f(x,y) 8

Przesunięcie dziedzinie widma f ( x, y) ( u x v y) jπ + exp ( u u,v v ) Własność ta jest nazywana również własnością (lub twierdzeniem) o modulacji. 9

Przesuniecie w dziedzinie widma (u) jeden okres widma Matlab: fftshift fftshift( (u) ) / / 3

Przesunięcie w dziedzinie widma f ( x, y) ( u x v y) jπ + exp ( u u,v v ) dla f ( x, y) f u v ( u x v y) jπ + exp,v ( ) [ ( )] ( )( ) x+ y x, y exp jπ x + y f x, y u 3

Przesunięcie w dziedzinie widma (,) (,-) (u,v) (-,) (-, -) (,) fftshift( (u,v) ) 3

Własność obrotu transformaty dwuwymiarowej θ θ 45 f(r, θ + θ ) (ω, φ + θ ) 33

Liniowość transformacji I{a f(x,y) + b g(x,y)} a (u,v) + b G(u,v) f(x,y) g(x,y) T f(x,y) g(x,y) T T 34

Twierdzenie o zmianie skali I{f(ax,by)} ab - (u/a, v/b) a,b R 35

Wartość średnia obrazu f f ( x, y) f ( x, y) (, ) f ( x, y) x x y y ( x, y) (, ) (,) 36

Rozdzielczość transformacji ouriera f fzeros(3,3); f(5:4,3:7); imshow(f,'notruesize') fft(f); %oblicz transformatę ouriera log(abs()+); %wyznacz widmo amplitudowe imshow(,[ 5],'notruesize'); 37

Dyskretna Transformacja ouriera unkcje bazowe 3-punktowej transformacji ouriera (składowa sinusoidalna) 5 3 38

Rozdzielczość transformacji ouriera f %zwiększenie rozdzielczości fzeros(3,3); f(5:4,3:7); fft(f,56,56); log(abs()+); imshow(fftshift(),[ 5],'notruesize'); 39

4 Szybka transformacja ouriera (ang. ast ourier Transform, T) Jeżeli n to jest liczbą parzystą daną w postaci *M. Można dla takich wykazać, że: M j M u M e nieparzyst parzyste u M e nieparzyst parzyste M x ux M e nieparzyst M x ux M parzyste e W M u W u u M u M u W u u u W x f M u W x f M u /,..., ], ) ( ) ( [ ) (,..., ], ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( π + + +

akład obliczeń transformaty ouriera (T) log (T) Zysk /log 6 56 64 4 56 65535 48 3 5 644 468 64 48 ~4e6 58 86 4

Transformacja ouriera obrazów Redukcja zakłóceń obrazu przeprowadzona w dziedzinie częstotliwości T IT 4

Transformacja kosinusowa ( u,v) f ( x, y) i πu + cos ( x ) πv( y ) + cos k dla: u,v,, K, Widmo ouriera funkcji rzeczywistej i symetrycznej posiada rzeczywiste współczynniki, tj. tylko współczynniki związane z kosinusowymi wyrazami szeregu ouriera. - - - - oryginał 43

Transformacja kosinusowa unkcje bazowe przekształcenia kosinusowego o wymiarze 8x8 44

Transformacja kosinusowa (,) szybkie zanikanie współczynników obraz autumn transformata kosinusowa Standard kompresji obrazów JPEG wykorzystuje transformację kosinusową 45

Inne transformacje obrazów transformacja Karhunena-Loevego, zwana też transformacją PCA (ang. Principal Component Analysis) transformacja falkowa obrazu, wykorzystywana w nowym standardzie kompresji JPEG- eigenfaces AT&T Labs 46

Inne transformacje obrazów JPEG. bpp 8 bpp Wavelet. bpp Playboy Magazine JPEG- 47