ank i Kredy 46(6), 25, 579-6 eowanie zmiany rukuralnej w modelu VEC Emilia Goińka* Nadełany: 27 ierpnia 25 r. Zaakcepowany: 5 października 25 r. rezczenie Wprowadzenie do przerzeni koinegrującej zmiennej zero-jedynkowej carakeryzującej zmianę rukuralną w okreie je równoważne przyjęciu, że w proceie generującym dane zmiana rukuralna naąpiła w okreie. Jednocześnie, jeśli o zmiana rukuralna je przyczyną wprowadzenia zmiennej zero-jedynkowej do przerzeni koinegrującej, o odpowiednie zmienne zero-jedynkowe muzą ię znaleźć akże poza przerzenią koinegrującą. Aby przeeować zmianę wyrazu wolnego w kładowej deerminiycznej, zaoowano ayykę Walda. Warości kryyczne i moc eu zoały wyznaczone ymulacyjnie w zależności od rzędu koinegracji, liczby zmiennyc endogenicznyc, wielkości zmiany rukuralnej, momenu wyąpienia zmiany rukuralnej oraz rozkładu kładników loowyc (normalnego i -udena). Moc eu zmiany wyrazu wolnego zależy głównie od wielkości zaburzenia oraz liczebności próby. Model VECM ze zmianą wyrazu wolnego zoał wykorzyany do modelowania kuru waluowego złoy/euro. W yemie zidenyikowano dwa wekory koinegrujące, z kóryc jeden można inerpreować jako długookreowe równanie kuru waluowego złoy/euro. Drugi wekor koinegrujący je równaniem krajowyc, realnyc, długookreowyc óp procenowyc uwzględniającyc ryzyko. W celu określenia momenu wyąpienia zaburzenia w kładowej deerminiycznej proceu generującego dane wykorzyano ayykę upwald. łowa kluczowe: zmiana rukuralna, VECM, e Walda, eowanie wyępowania zmiany rukuralnej, modelowanie kuru waluowego złoy/euro JEL: C, C2, C2 * Uniwerye Łódzki, Wydział Ekonomiczno-ocjologiczny, Kaedra Modeli i Prognoz Ekonomerycznyc; e-mail: ememj@uni.lodz.pl.
58 E. Goińka. Węp Gopodarki podlegają ranormacjom, kóre niejednokronie mają gwałowny caraker. Je o kukiem rozwoju gopodarczego, ale również przeprowadzanyc reorm, poliyki ekonomicznej oraz wydarzeń o carakerze zewnęrznym (np. wpływ kryzyu greckiego na gopodarki europejkie). Gopodarka Polki podlegała ranormacjom, kóre w ciągu oanic la miały znaczenie undamenalne. Należy do nic, po pierwze, zmiana uroju, polegająca na przejściu od gopodarki cenralnie planowanej do gopodarki rynkowej. Kolejną była zmiana reżimu kuru waluowego, a naępną przyąpienie do Unii Europejkiej. W oanim okreie zaburzenia rukury ą uożamiane ze kukami kryzyu inanowego. Zmiany rukuralne ą ionym elemenem rzeczywiości ekonomicznej, gdyż mają wpływ na unkcjonowanie mecanizmów ekonomicznyc, co powoduje konieczność ic uwzględnienia w modelac ekonomerycznyc. Pojawienie ię zaburzeń rukury prawia, że andardowo oowane meody weryikacji ipoez nie dają ayakcjonującyc rezulaów i wymagają odpowiednic modyikacji. Ponado nieuwzględnienie w modelu ionej zmiany rukuralnej pociąga za obą błąd pecyikacji. W przypadku modelowania zmiennyc ekonomicznyc generowanyc przez nieacjonarne procey ocayczne wykorzyywany je model VAR z rerykcją koinegracji CVAR (Joanen 995; Wele 29). W modelac VAR zaburzenia rukury ujawniają ię jako niezwykle ilne zoki, kóre powodują, że kładniki loowe nie pocodzą z rozkładów normalnyc. Zignorowanie ego problemu ma zaem poważne konekwencje dla wniokowania ayycznego. Proce generujący dane można przedawić jako umę kładowej ocaycznej i deerminiycznej (Lu kepol 25). Pojawienie ię zaburzeń rukury może ię wówcza objawiać odpowiednim uzmiennieniem paramerów w części deerminiycznej, a końcowa poać modelu VEC ulega odpowiednim modyikacjom. W przypadku modelowania z uwzględnieniem zmian rukuralnyc ważnym elemenem wniokowania ayycznego je eowanie wyępowania zmiany rukuralnej. W wielowymiarowym modelu koreky błędem o andardowej poaci (Joanen 995) eowanie wyępowania zmiany rukuralnej było rozważane przez kilku auorów (zob. porównanie meod u Perrona 26). Z badań wynika, że do eowania zmiany w wyrazie wolnym i rendzie w przypadku znanego momenu przełączenia można wykorzyać ayykę LR (Joanen 995). Z kolei w przypadku nieznanego momenu zaburzenia można zaoować ayykę LM oraz jej modyikacje: up LM, Mean LM i Exp LM (eo 998). Do eowania abilności paramerów modelu wykorzyuje ię warości włane wyznaczone na podawie eymacji rekurywnej (Hanen, Joanen 999). Jeśli proce generujący dane je umą kładowej deerminiycznej i ocaycznej (Lu kepol 25), o zmiana rukuralna może wyąpić w każdej z nic, co wymaga oddzielnego eowania. Jeśli kładowa deerminiyczna proceu generującego dane zawiera wyraz wolny, wówcza zmiana rukuralna może być reprezenowana przez uzmiennienie wyrazu wolnego. Do eowania zmiany rukuralnej kładowej deerminiycznej w znanym okreie zaproponowano ayykę Walda, naomia w przypadku nieznanego momenu zaburzenia ayykę upwald. Cel pracy ormułowano naępująco. Po pierwze, wyprowadzono końcową poać modelu VEC przy założeniu, że zmiana rukuralna naępuje w kładowej deerminiycznej proceu generującego dane. Po drugie, opracowano ayykę łużącą do eowania wyępowania zmiany rukuralnej kładowej deerminiycznej proceu generującego dane. Po rzecie, zaoowano model VEC ze zmianą rukuralną kładowej deerminiycznej do modelowania kuru waluowego złoy/euro.
eowanie zmiany rukuralnej... 58 2. Wekorowy model koreky błędem ze zmianą rukuralną w części deerminiycznej DGP Niec y [ y... ym ] reprezenuje wekor M zmiennyc zinegrowanyc w opniu pierwzym. Jeśli wymiar przerzeni koinegrującej wynoi R (, M), o dla modelu VAR Π( L) y ξ, gdzie Π ξ ξ [ ξ... ξm ] je wekorem białozumowyc kładników loowyc o wymiarac M, inieje poać VECM (por. Joanen 995; Majerek 28): ξ ξ ξ gdzie: I, i ( i i 2 + + + i+ Γ Π A. Δy Πy + Γ Δy + ξ Π Π + Π +... Π ), () Macierze i A o wymiarac M R mają andardową inerpreację. Po wprowadzeniu do powyżzego modelu wyrazu wolnego i rendu orzymamy pięć różnyc poaci ego modelu, wynikającyc z rerykcji nakładanyc na paramery (por. Jueliu 26,. 99 ). Inerpreacja zmiennyc zero-jedynkowyc, kóre mogą znaleźć ię w przerzeni koinegrującej i poza nią, napoyka jednak poważne rudności, zwłazcza jeśli ic obecność miałaby wynikać ze zmian rukuralnyc, a nie z oberwacji nieypowyc. W celu znalezienia właściwej inerpreacji załóżmy, że proce generujący dane (ang. daa generaing proce, DGP) zawiera kładową ocayczną i kładową deerminiyczną; podobnie czyni Lu kepol (25,. 256): y + Hd (2) gdzie: y [ y... ym ] wekor M zmiennyc zinegrowanyc w opniu pierwzym, o wymiarac M, por. (), d [ d... dz ] wekor Z zmiennyc deerminiycznyc, o wymiarac Z, H [ ] macierz o wymiarac M Z paramerów związanyc ze zmiennymi Z m,..., M, z,..., Z. deerminiycznymi, [ ], d [ u ] Wyępowanie zmiany rukuralnej może zaem oznaczać zmianę części deerminiycznej lub części ocaycznej proceu generującego dane. W zależności od carakeru zmiany orzymujemy zaadniczo odmienne modele VEC. Przyjmijmy, że zmiana rukuralna wpływa wyłącznie na kładową deerminiyczną proceu generującego dane. Jeśli w kładowej deerminiycznej wyępuje ylko wyraz wolny, a eek zmiany rukuralnej w okreie można uwzględnić przez wprowadzenie odpowiedniej zmiennej zero-jedynkowej, o d [ u ], a proce generujący dane ma poać: z z zm
582 E. Goińka y + + u () gdzie u dla dla < Π Π aka deinicja zmiennej u je równoważna założeniu, że zacodzi ylko jedna zmiana rukuralna w znanym okreie. Założenie o można uogólnić na przypadek wyąpienia wielu zmian rukuralnyc. 2 Mnożąc leworonnie () przez Π(L ), gdzie Π( L) I LΠ L Π 2... L Π, a Π (,..., ) oznaczają macierze paramerów o wymiarac M M, orzymujemy: (,.., ) Π( Π Π Π u (4) L) ( L) y + ( L) + ( L) kładniki deerminiyczne wyępujące Π po prawej Π ronie Π równania Π (4) równają ię odpowiednio (por. Goińka 29): 2 Π( L) ( I LΠ L Π... L Π A (5) 2 ) Π( L) u u Π u Π u Π u... Π u u + u Π u + Π u Π u Π u... Π 2 u + ( I Π Π ) u ( I Π Π... Π ) u + u + Π u + ( Π +... + Π Π u 2 2 2 u + Π Π u 2 2 u + u Π u u 2 2... Π 2... Π u 2 ) u Π Π Π Π Π Dodając i odejmując kolejno ( Π +... + Π ) u 2, ( Π4 +... + Π ) u,, Π u +, oaecznie można zapiać: Π A Γ Δ Π( L) u A u + u + ( Γ Δ u (6) ) + Po podawieniu (), (5) i (6) do (4) orzymujemy reprezenację modelu VEC z wyrazem wolnym i zmianą wyrazu wolnego: A[ + g + gu ] + Γ + u + (7) ξ dla +, + 2,, gdzie: g, g, dla Γ dla, 2,...,
eowanie zmiany rukuralnej... 58 Zdeiniowanie macierzy: G [ g g ], d, u d, u F [ ], gdzie je wekorem o wymiarac M, pozwala zapiać równanie (7) w poaci: gdzie: d A + Γ + F d + ξ (8) wekor o wymiarac N, N M + Z, [ G] macierz wekorów koinegrującyc o wymiarac R N, G macierz paramerów związanyc ze zmiennymi deerminiycznymi w przerzeni koinegrującej, o wymiarac R Z, F macierz paramerów związanyc ze zmiennymi deerminiycznymi poza przerzenią koinegrującą, o wymiarac M Z. zczególną poacią modelu (8) je aka, w kórej kładowa deerminiyczna zawiera wyłącznie wyraz wolny. Wówcza je wekorem zerowym, co oznacza brak zmiany rukuralnej. Model VEC dla proceu generującego dane: y + ma poać: gdzie:, A + Γ + ξ (9) g [ ], g. g Rerykcja g zapewnia, że wyraz wolny w ym modelu nie generuje rendu liniowego.
g, g, +, + 2,, Γ G [ g g ], dla, 2,...,, g G [ g dla, g ], 584 d Γ dla, 2,..., E. Goińka u, d, g g ], u,, u Z powyżzego u d, wynika, że wprowadzenie do przerzeni koinegrującej zmiennej zero-jedynkowej u w okreie je równoważne przyjęciu, iż w proceie generującym dane zmiana rukuralna wyąpiła w okreie F [ ],. Ponado jeśli o zmiana rukuralna je przyczyną wprowadzenia zmiennej zero-, F, [ ] u -jedynkowej do przerzeni koinegrującej, o odpowiednie zmienne zero-jedynkowe muzą ię znaleźć akże poza przerzenią koinegrującą. ], A + Γ + F d + ξ A + Γ + F d + ξ. eowanie wyępowania zmiany wyrazu wolnego A + Γ + d F d + ξ d Rozważmy poać modelu VEC z wyrazem wolnym i zmianą wyrazu wolnego (por. wzór 7). eowanie wyępowania [ w znanym okreie zmiany wyrazu wolnego polega na weryikacji ipoezy: [ G]. d Do ego celu można wykorzyać ayykę Walda. Wyznaczenie jej warości wymaga zaoowania dwuopniowej y + procedury, w kórej najpierw eymowane ą paramery części ocaycznej przy założeniu rzędu koinegracji [ y + G] R, a naępnie paramery części deerminiycznej (por. wzór 2). ey doyczące wyępowania Γ A + + ξ zmian rukuralnyc zakładają w ipoezie zerowej brak zmiany rukuralnej, ξ y + A + Γ + ξ a zaem: H : (), A, + Γ + ξ, H : [ g Zakładając prawdziwość ], ipoezy zerowej, H : mamy,. Oznacza o, że wekory paramerów, [ g ], związanyc g ze. zmiennymi, kóre carakeryzują zmianę rukuralną w przerzeni koinegrującej, ą równe g. zero (g ), jak również wzykie paramery krókookreowe związane ze zmienną deerminiyczną u [. g ], g ą g równe zero. Dekompozycja wekora paramerów w kierunku acjonarnym oraz nieacjonarnym wiąże ię z naępującym układem ipoez:. H : H : H : H : H : () : H : H : H : : H Proponowany : e H polega na łącznym prawdzaniu rerykcji i za pomocą ayyki Walda. Eymaory i : ą aympoycznie niezależne, ponieważ ( : i ) + ( ) I (por. obreira, Nune 22). ayykę Walda dla łącznego eu : można zaem i i i zapiać jako umę ayyk Walda dla każdej z ipoez: i ( ) + ( ) I ( ) + ( ) I WALD WALD + WALD (2) ĥ i WALD WALD + WALD WALD WALD gdzie: + WALD ( ) + WALD ( ) ayyka I Walda dla H : WALD ayyka Walda dla :, WALD ayyka Walda dla H, :, ALD WALD + WALD ayyka Walda dla H WALD ayyka Walda dla : :. WALD ayyka Walda dla H : LD ayyka Walda dla H Wyznaczenie : ayyki Walda, danej wzorem (2) wymaga eymacji paramerów części deerminiycznej Walda dla H LD ayyka ĥ : ĥ i ĥ i w ĥkierunku i (por. anek). Eymaory paramerów związanyc ze zmienną zero-jedynkową: ĥ,,,, i ĥ (por. anek), ą podawą do wyznaczenia ayyki Walda, umożliwiającej eowanie,, zmiany ( 2 2 WALD rukuralnej ( ) [ w D wyrazie ( 2 ) [ ( )] wolnym [ w )] [ ] + okreie [ ] [ ] :[ D ( 2 ] [ ( )] ( WALD )] ( ) + ) i ĥ 2 2 WALD ( ) [ D ( )] [ ] + [ ] [ D ( )] ( ),, Θ Θ ( 2 ) [ ( )] [ ] [ 2 ] [ ( LD )] ( D + D ),,, ξ
eowanie zmiany rukuralnej... 585 2 ) [ ( )] [ ] [ 2 ] [ ( WALD D + D )] ( ) ( () Θ Z właności eymaora ĥ (por. anek) wynika, że ayyka () je ograniczona, zn. O p (). Alernaywną poać ayyki Walda dla układu ipoez () można wyprowadzić, wykorzyując macierz rerykcji Θ (por. Perron, Yabu 29) dla modelu jednorównaniowego. Hipoezę zerową można wówcza zapiać jako Θ, gdzie:,,,,, macierz Θrerykcji Θ [ M M I M M ], wekor zerowy o wymiarac M. ayyka Walda dla układu ipoez: H : Θ H : Θ je naępująca: Θ 2 ( WALD ( Θ ) [ D ) ] ( ) (4) (5) Przy założeniu, że Θ Θ Θ Θ je wekorem zerowym, równanie (5) prowadza ię do poaci: 2 ( WALD ( Θ) [ ΘD ) Θ ] ( Θ ) (6) W przypadku, gdy momen wyąpienia zmiany rukuralnej nie je znany, zaproponowano odpowiednie uogólnienie ayyki Walda (Andrew 99): upwald upwald( τ) τ (7) gdzie τ (,) carakeryzuje momen τ wyąpienia zmiany rukuralnej, zdeiniowany jako τ ; liczba oberwacji w próbie. Najioniejza zmiana rukuralna odpowiada τ, dla kórego warość ayyki Walda je najwyżza. Procedura znalezienia momenu, w kórym naępuje zmiana wyrazu wolnego w próbie, polega na wyznaczeniu naępującej ayyki: upwald maxwald( τ) < τ < (8)
586 E. Goińka W ipoezie zerowej przyjmuje ię (τ), przy założeniu, że (τ) je wekorem paramerów przy zmiennej: u dla [ τ ]. dla < [ τ] Rozkład ayyki (8) nie je andardowy, zaem warości kryyczne dla pozczególnyc eów należy wyznaczyć ymulacyjnie. 4. Właności eu WALD doyczącego wyępowania zmiany wyrazu wolnego Warości kryyczne eu Walda danego wzorem () zoały wyznaczone za pomocą ymulacji Mone Carlo, przy założeniu prawdziwości ipoezy zerowej, co je równoważne warunkowi. Przyjęo akże, że paramery związane z pozoałymi zmiennymi deerminiycznymi w proceie generującym dane, kóryc nie doyczy ipoeza zerowa, ą równe zero, ponieważ ayyka Walda nie zależy od warości yc paramerów. Oaecznie, proce generujący dane wykorzyany w ymulacjac doyczącyc warości kryycznyc ma poać y. Proce generujący kładową ocayczną y, przy założeniu, że je R wekorów koinegrującyc, można zapiać naępująco (por. oda 994; 995): ρ I y + e R y IM R (9) gdzie e ~ N(, I), a < oznacza paramer auoregreyjny. ρ Powyżze τ równanie zakłada, że inieje R acjonarnyc oraz M R nieacjonarnyc zeregów, ąd rząd koinegracji wynoi R. W ymulacjac warości kryycznyc przyjęo, że paramery związane ze kładnikami deerminiycznymi ą równe zero w proceie generującym dane. Liczba loowań wynoiła. Warości kryyczne dla eu WALD wyznaczono dla poziomu ioności 5%. Podumowując, warości kryyczne dla eu WALD zależą od liczby oberwacji w próbie (), liczby zmiennyc w yemie (M), warości parameru auoregreyjnego (por. ρ we wzorze 9), rzędu koinegracji (R) oraz momenu wyąpienia zmiany rukuralnej (τ, gdzie τ ). Analiza właności eu polega na obliczeniu mocy, a akże rozmiaru eu. Moc eu WALD zoała wyznaczona ymulacyjnie przy założeniu prawdziwości ipoezy alernaywnej. Oznacza o, że w proceie generującym dane wyępuje niezerowy paramer związany ze zmienną deerminiyczną reprezenującą zmianę rukuralną. Założono zaem, że DGP ma poać: y + + u (2)
eowanie zmiany rukuralnej... 587 gdzie: I y y + e, R IM R e ~ N(, I), ρ u dla [ τ ] dla < [ τ ] We wzykic y u ekperymenac doyczącyc mocy eu liczba loowań wynoiła. ayyka eu WALD nie zależy od wyrazu wolnego, więc wekor można pominąć (Perron, Yabu 29). Wzór (2) można wówcza zapiać naępująco: + y u (2) Naępnie założono, że znany je momen wyąpienia ω zaburzenia oraz warości paramerów związanyc ze zmianą wyrazu wolnego. W celu wygenerowania danyc ze zmianą rukuralną należało określić wielkość zaburzenia. Przyjęo, że je proporcjonalne do średniej proceu: ω. Moc eu zoała ozacowana dla rzec różnyc warości wpółczynnika ω, ω {;,5; 2}. W ekperymencie przyjęo, że zmiana rukuralna naępuje w środku próby, ąd ω ω τ τ,5, naomia paramer auoregreyjny ρ wynoi,5. Rezulay przedawione w abeli 2 prowadzą do wnioku, że moc eu WALD rośnie wraz ze wzroem liczby oberwacji, wielkości zaburzenia oraz liczby wpólnyc rendów ocaycznyc. W kolejnym ekperymencie przeanalizowano wrażliwość mocy eu WALD na założenie doyczące normalności rozkładu kładników loowyc. Ponownie obliczono warości kryyczne oraz moc eu (por. abela ) dla kładników loowyc pocodzącyc z rozkładu -udena (z pięcioma opniami wobody). Przyjęo zaem, że proce generujący kładową ocayczną ma poać: ρ I y + R y e, e I M R ~ -udena (5) (22) Wyniki zaware w abeli prowadzą τ do wnioku, że zmiana rozkładu kładników loowyc e nie powoduje pogorzenia mocy eu WALD. Dodakowej analizie poddano wpływ momenu wyąpienia zmiany rukuralnej na moc eu WALD. Przyjęo τ {,;,2;,;,4;,5;,6;,7;,8;,9} dla yemu czerec zmiennyc, w kórym rząd koinegracji wynoi 2. ez względu na o, czy zmiana rukuralna wyąpiła na począku, w środku czy na końcu próby, moc eu WALD nie zmienia ię ionie (por. abela 4). Zbadano, jaki wpływ na moc eu w proceie generującym kładową ocayczną ma paramer auoregreyjny, zakładając, że {,;,2;,;,4;,5;,6;,7;,8;,9}. Wyniki zeawiono w abeli 5. Dla ω >,5 moc eu WALD okazała ię niewrażliwa na warość ρ. Dla małyc warości ω można zauważyć niewielki padek mocy eu wraz ze wzroem ρ. τ Rozmiar rozważanego eu wyznaczono ymulacyjnie na podawie loowań. Warości ayyki wygenerowano przy założeniu braku zmian rukuralnyc (H ), a naępnie obliczono praw- ρ
588 E. Goińka dopodobieńwo odrzucenia prawdziwej ipoezy zerowej. Na podawie abeli 6 można wierdzić, że we wzykic rozważonyc przypadkac wielkość eu WALD wynoi bliko 5%. Analiza właności eu upwald kładała ię z dwóc eapów. Najpierw w wyniku kolejnyc ekperymenów wygenerowano dane ze zmianą rukuralną w wyrazie wolnym w różnyc okreac, τ {,2;,;,4;,5;,6;,7;,8}. Naępnie wyznaczono momen w próbie, dla kórego ayyka Walda oiąga najwyżzą warość. W φ φ przypadku każdej ze ayyk powórzono ekperymen 5 razy i prawdzono, w ilu przypadkac makymalną ayykę Walda orzymano dla okreu, w kórym zmiana rukuralna zoała założona w proceie generującym dane (por. abela 7). Ekperymeny przeprowadzono dla yemu czerec zmiennyc, w kórym wyępują dwa wekory koinegrujące. 5. Model VEC kuru waluowego złoy/euro. Wyniki empiryczne e WALD, upwald (por. wzory i 7) oraz model VEC ze zmianą rukuralną kładowej deerminiycznej (por. wzór 8) zaoowano do yemu objaśniającego kur waluowy złoy/euro. W analizowanym yemie można ię podziewać wielu zmian rukuralnyc, wynikającyc z proceów rynkowyc oraz inyucjonalnyc. Zgodnie z ipoezą CHEER realny kur waluowy je deerminowany przez parye iły nabywczej walu (PPP, ang. purcaing power pariy) oraz nieubezpieczony parye óp procenowyc (UIP, ang. uncoered inere rae pariy); por. Jueliu, Joanen (992). Kryzy inanowy w 28 r. wykazał konieczność rozzerzenia modelu kuru o zmienną, kóra aprokymuje ryzyko inanowe (Kelm 2). Jedną z propozycji je objaśnienie premii za ryzyko wycenami konraków CD (ang. credi deaul wap, por. Kębłowki 2; Kębłowki, Wele 2). Równanie objaśniające realny kur można wówcza zapiać naępująco: q φ[( I p ) ( I p )] + φ ( CD CD ) + ε (2) gdzie: q realny kur waluowy ( q ex p + p ; ex nominalny kur waluowy, p indek cen krajowyc, p indek cen za granicą), I krajowa długookreowa opa procenowa, I długookreowa opa procenowa za granicą, Δp opa inlacji w kraju, Δp opa inlacji za granicą, CD wycena konraków CD w kraju, CD wycena konraków CD za granicą, acjonarny kładnik loowy związany z oczekiwanym ryzykiem. ε Wycena inrumenu pocodnego doycząca ryzyka kredyowego (CD) określa premię za ryzyko zawarą w poziomie oprocenowania obligacji karbowyc (por. Duie 999; Kębłowki 25). Różnica między poziomami CD a opami procenowymi pozwala zaem orzymać opy procenowe korygowane o ryzyko:
eowanie zmiany rukuralnej... 589 q φ p )] + ε (24) [( I CD p ) ( I CD Model CHEER nie uwzględnia φ mecanizmów φ mającyc wpływ na kur waluowy w średnim okreie, np. relacji akywów zagranicznyc neo do produku krajowego bruo danego kraju, różnicy między wydajnością pracy w kraju i za granicą lub relacji zw. warunków wymiany międzynarodowej (ang. erm o rade) w kraju i za granicą. Model (24) można zaem rozzerzyć o zmienną deiniującą relaywne erm o rade, kóra wynika z ipoezy EER (Kelm 2): q φ + φ[( I CD p ) ( I CD p )] + φ2 ( o o ) + ε (25) gdzie: φ wyraz wolny, o o relacja erm o rade w kraju i za granicą. Analizowana próba obejmuje dane mieięczne za okre od marca 2 do maja 24 r. prawdzono możliwość wyępowania w ym czaie zmiany rukuralnej o carakerze zmiany wyrazu wolnego, co pozwala naępująco zapiać równanie (25): q φ φ [( Δ Δ + + u + ε (26) gdzie: u dla, dla < + I CD p ) ( I CD p )] φ 2 ( o o ) nieznany momen Δ wyąpienia zmiany rukuralnej. W równaniu objaśniającym kur złoy/euro przyjęo, że krajem reerencyjnym ą Niemcy, ze względu na ic wyoki udział w wymianie andlowej Polki. Przedmioem rozważań był naępujący yem zawierający ześć zmiennyc: [ q IF Δ IF Δp or ] (27) p gdzie: q realny kur waluowy (por. wzór 2), p indek krajowyc cen owarów i uług konumpcyjnyc (2 ), p indek cen owarów i uług konumpcyjnyc w Niemczec (2 ), IF ( I CD ) krajowe opy procenowe wolne od ryzyka, I nominalna długookreowa krajowa opa procenowa (oprocenowanie -lenic obligacji), CD inrumen pocodny ryzyka kredyowego dla Polki, IF ( I CD ) opy procenowe dla Niemiec wolne od ryzyka, I nominalna długookreowa opa procenowa dla Niemiec (oprocenowanie -lenic obligacji), CD inrumen pocodny ryzyka kredyowego dla Niemiec, or ( o o ) relaywne erm o rade, o relacja delaora polkiego ekporu do delaora polkiego imporu (2 ), o relacja delaora ekporu Niemiec do delaora imporu Niemiec (2 ). Małe liery oznaczają logarymy. φ
59 E. Goińka W ramac analizowanego yemu założono łabą egzogeniczność zmiennyc doyczącyc gopodarki Niemiec oraz zidenyikowano dwie relacje o carakerze długookreowym. Pierwza z nic je równaniem kuru waluowego o poaci: q + β2 [( IF p ) ( IF p )] + β6or + β + β u ε (28) W drugiej relacji koinegrującej β β przyjęo, β że krajowe ε opy procenowe wolne od ryzyka ą unkcją krajowej inlacji: IF β β β + 2 p + 72 + 82u ε2 (29) τ W celu wyznaczenia momenu zaburzenia należało najpierw dokonać eymacji paramerów kładowej ocaycznej i kładowej deerminiycznej modelu VEC (wzór 9). Obliczenie ayyki upwald (wzór 7) umożliwiło idenyikację momenu wyąpienia zmiany rukuralnej. Do eymacji paramerów kładowej ocaycznej wykorzyano meodę najwiękzej wiarygodności z uwzględnieniem rerykcji nałożonyc na macierz wekorów koinegrującyc i macierz dooowań. Rerykcje nałożone na macierz wag wynikają ze łabej egzogeniczności zmiennyc doyczącyc gopodarki Niemiec, naomia rerykcje rukuralizujące nałożone na macierz * zapewniają odpowiednią inerpreację orzymanyc wekorów koinegrującyc (zgodną z eorią ekonomii). Momen najbardziej ionej zmiany rukuralnej określony je przez najwyżzą warość ayyki WALD. Ze względu na gorze właności eu upwald w przypadku, gdy zmiana rukuralna wyępuje na począku lub na końcu próby, do wyznaczenia makimum nie wykorzyano warości ayyki dla okreów odpowiadającyc 25% oberwacji z począku i z końca próby: upwald max WALD(τ), gdzie τ {,26;,27; ;,74}. Makymalna ayyka eu WALD,25< τ<,75 przy założeniu, że zmiana rukuralna powodowała zmianę wyrazu wolnego wynoi 9,864 dla τ,7. Oznacza o, że zmiana rukuralna w wyrazie wolnym w proceac generującyc zmienne wyąpiła w marcu 27 r. (por. wykre ). Warość kryyczna eu upwald, wyznaczona ymulacyjnie dla rzec zmiennyc endogenicznyc: R 2, 5 i n, wynoi 47,7778. Należy zaem odrzucić ipoezę zerową na korzyść alernaywnej, w kórej zakłada ię ioność eowanej zmiany rukuralnej. Pod koniec pierwzego kwarału 27 r. rozpoczął ię kryzy inanowy w anac Zjednoczonyc oraz naąpiła nagła aprecjacja złoego w ounku do innyc walu (m.in. do euro i dolara), kóra nie miała odzwierciedlenia w zmianac mecanizmów makroekonomicznyc. Dodakowo, z wykreu wynika, że można wyodrębnić dłużzy podokre: yczeń wrzeień 27 r., w kórym warości ayyk Walda ą więkze od warości kryycznej. Rozważany model VEC (wzór 7) oraz procedura eowania uwzględniają wyępowanie jednej zmiany rukuralnej. Dalzej analizie poddano zaem model ze zmianą rukuralną w okreie, dla kórego orzymano najwyżzą warość ayyki (marzec 27 r.). Należy zauważyć, że w wekorac koinegrującyc modelu VEC wyępują zmienne z jednookreowym opóźnieniem. W yc relacjac zmienna u, kóra carakeryzuje zmianę wyrazu wolnego, wynoi więc w okreie przed kwieniem 27 r. oraz w kwieniu 27 r. i później. Naępnie przeanalizowano model VEC z rerykcjami nałożonymi na macierze A i *, przy założeniu, że zmiana rukuralna w proceac generującyc zmienne naąpiła w marcu 27 r. Na podawie orzymanyc wyników eu śladu dla modelu ze zmianą rukuralną (por. Joanen, Moconi, 7 8
eowanie zmiany rukuralnej... 59 Nielen 2) można wniokować, że w analizowanym yemie (warunkowym względem zmiennyc łabo egzogenicznyc) wyępują dwa bazowe wekory koinegrujące (por. abela 8). Przy założeniu R 2 ozacowania modelu VEC ze zmianą wyrazu wolnego w marcu 27 r. ( ) z rerykcjami na A i * (H A, H, H 2 macierze rerykcji) ą naępujące: A H ϕ A A I -,4 (-2,55),2 (,72),76 (5,4) 2,257 (,) -,5 (-2,76),5497 (4,) () * ([ H H ]) 2 2 8,7 (,87) 8,7 (,87),67 ( 5,89) 8,7 (,87) 8,7 (,87) 2, (,44),49 ( 5,6),4 ( 2,7),8 (2,99),2 (2,67) () W nawiaac podano warości ayyk -udena, obliczone na podawie wzorów doępnyc w pracy Hanena i Jueliua (22); wzykie obliczenia wykonano w programie Malab. Waro zauważyć, że oprócz zmiennej u i jej dooowań w krókim okreie (Δu ) w modelu nie wyępują żadne inne zmienne zero-jedynkowe. Orzymane wekory koinegrujące można zapiać w poaci naępującyc równań długookreowyc: q 8,7 [( IF p ) ( IF p )] 2,or +,49,8u + e IF,67 p +,4,2u + e2 (2) () Ozacowania paramerów długookreowyc w (2) i () ą zgodne z eorią i z wynikami innyc badań empirycznyc (por. Kębłowki, Wele 22; Kębłowki 25). Wzro dyparyeu pomiędzy polkimi a zagranicznymi realnymi opami procenowymi korygowanymi o ryzyko powoduje padek kuru realnego, a zaem aprecjację kuru nominalnego złoy/euro. Poprawa warunków wymiany międzynarodowej w Polce powoduje akże aprecjację polkiej waluy. Z drugiego równania wynika, że na kuek zwiękzenia ię krajowej inlacji naępuje mniejzy niż proporcjonalny wzro óp procenowyc wolnyc od ryzyka. Wykorzyując wyniki eu CRDF, można wierdzić, że opiane relacje koinegrujące nie generują rendów ocaycznyc, a więc ą acjonarne. Orzymane ozacowania paramerów macierzy wag wkazują na ione ujemne dooowanie realnego kuru do wekora koinegrującego, opiującego równanie długookreowe dla kuru, oraz ujemne ione dooowanie krajowyc óp procenowyc wolnyc od ryzyka do drugiego wekora koinegrującego. Na koniec zbadano właściwości ocayczne 2 rez z pozczególnyc równań dla zmiennyc endogenicznyc q, IF, p w modelu VEC. Można wniokować, że rezy z pozczególnyc równań wekorowego modelu koreky błędem ą acjonarne, mają rozkład normalny oraz nie wyępuje auokorelacja.
592 E. Goińka 6. Podumowanie Wyępowanie zmiany rukuralnej w proceac generującyc zmienne ekonomiczne ilnie wpływa na poać wielorównaniowego modelu koreky błędem. Rezulay prowadzą do wnioku, że wyępowanie zmiany rukuralnej w części deerminiycznej DGP powoduje jednoczeną modyikację kładowyc deerminiycznyc w przerzeni koinegrującej i poza nią. Wprowadzenie zmiennyc zero- -jedynkowyc do przerzeni koinegrującej lub poza nią, coć ecnicznie możliwe, nie może być inerpreowane jako zmiana rukuralna. Do prawdzenia, czy wyępuje zmiana wyrazu wolnego w znanym okreie, zaproponowano wykorzyanie ayyki Walda. Okazuje ię, że moc eu doyczącego zmiany wyrazu wolnego rośnie wraz ze wzroem liczby oberwacji oraz wielkości zaburzenia. Z dodakowo przeprowadzonyc ekperymenów wynika, że moc eu WALD nie je wrażliwa na zmianę rozkładu kładników loowyc (z normalnego na -udena), zmianę parameru auoregreyjnego założonego w ymulacjac oraz momen wyąpienia zmiany rukuralnej. Ze względu na o, że momen wyąpienia zmiany rukuralnej w yemac opiującyc unkcjonowanie mecanizmów ekonomicznyc zazwyczaj nie je znany, zaproponowano wykorzyanie w eowaniu ayyki upwald. Na jej podawie można wyznaczyć momen zaburzenia, zn. aki okre, w kórym ayyka Walda ma najwyżzą warość. Model VEC ze zmianą rukuralną, a dokładniej zmianą wyrazu wolnego, zaoowano do modelowania kuru waluowego złoy/euro. W celu zidenyikowania momenu wyąpienia zaburzenia w kładowej deerminiycznej proceu generującego dane wykorzyano ayykę upwald. Okazuje ię, że w analizowanym modelu zmiana rukuralna wyąpiła w marcu 27 r. W yemie zidenyikowano dwa wekory koinegrujące, z kóryc jeden można inerpreować jako długookreowe równanie kuru waluowego złoy/euro. Drugi wekor koinegrujący je równaniem długookreowyc óp procenowyc korygowanyc o ryzyko. ibliograia Andrew D.W.K. (99), e or parameer inabiliy and rucural cange wi unknown cange poin, Economerica, 6(4), 82 856. Duie D. (999), Credi wap aluaion, Financial Analyi Journal, 55, 7 87. Goińka E. (29), Analiza koinegracyjna z zaburzeniami rukury na przykładzie modelu andlu zagranicznego Polki, ank i Kredy, 4(6), 4 58. Hanen H., Joanen. (999), ome e or parameer conancy in coinegraed VAR-model, Economeric Journal, 2(2), 6. Hanen H., Jueliu K. (22), CA in RA: coinegraion analyi o ime erie, uer manual, Eima, Eanon. Joanen. (995), Likeliood-baed inerence in coinegraed ecor auoregreie model, Oxord Unieriy Pre. Joanen., Moconi R., Nielen. (2), Coinegraion in e preence o rucural break in e deerminiic rend, Economeric Journal, (), 26 249. Jueliu K. (26), e coinegraed VAR model: meodology and applicaion, Oxord Unieriy Pre. Jueliu K., Joanen. (992), eing rucural ypoee in a muliariae coinegraion analyi o e PPP and e UIP or UK, Journal o Economeric, 5, 2 244.
eowanie zmiany rukuralnej... 59 Kelm R. (2), Ryzyko waluowe i waania kuru PLN/EUR w laac 999 29, ank i Kredy, 2, 66. Kelm R. (2), Kur złoy/euro: eoria i empiria, Wydawnicwo Uniweryeu Łódzkiego, Łódź. Kębłowki P. (2), e beaiour o excange rae in e Cenral European counrie and credi deaul rik premium, Cenral European Journal o Economic Modelling and Economeric,, 22 26. Kębłowki P. (25), ały czy płynny? Model PVEC realnego kuru waluowego dla krajów Europy Środkowo-Wcodniej implikacje dla Polki, Maeriały i udia NP, 2, Narodowy ank Polki, Warzawa. Kębłowki P., Wele A. (2), Eimaion o e equilibrium excange rae: e CHEER approac, Journal o Inernaional Money and Finance, 29, 85 97. Kębłowki P., Wele A. (22), A rik-drien approac o excange-rae modelling, Economic Modelling, 29, 47 482. Lu kepol H. (25), New inroducion o muliple ime erie analyi, pringer Verlag, erlin. Majerek M. (28), Wielowymiarowa analiza koinegracyjna w ekonomii, Wydawnicwo Uniweryeu Łódzkiego, Łódź. Perron P. (26), Dealing wi rucural break, w: K. Paeron,.C. Mill (red.), Palgrae andbook o economeric,, Economeric eory, Palgrae Macmillan, London. Perron P., Yabu., (29) eing or i in rend wi an inegraed or aionary noie componen, Journal o uine and Economic aiic, 27, 69 96. aikkonen P., Lu kepol H., (2), eing or e coinegraing rank o a VAR proce wi rucural i, Journal o uine and Economic aiic, 8, 45 464. eo. (998), e or rucural cange in coinegraed yem, Economeric eory, 4, 222 259. obreira N., Nune L. (22), eing or broken rend in muliariae ime erie, mimeo, p://docene. e.unl.p/~nobreira/jm%2paper%2nuno%2obreira.pd. oda H.Y. (994), Finie ample properie o likeliood raio e or coinegraing rank wen linear rend are preen, e Reiew o Economic and aiic, 76(), 66 79. oda H.Y. (995), Finie ample perormance o likeliood raio e or coinegraing rank in ecor auoregreion, Economeric eory, (5), 5 2. Wele A. (29), Ekonomeria, Polkie Wydawnicwo Ekonomiczne, Warzawa. Podziękowania adanie inanowane z granu Narodowego Cenrum Nauki (gran MAERO 4 nr UMO-2/8/A/ H4/62).
594 E. Goińka Anek Eymaory paramerów części deerminiycznej w kierunku i należy wyznaczyć na podawie równania: ( L) K + K + K + K η,,,,,, (A) Q + gdzie: K Q K (, ),, K K (, Q ),, K K ( Q, ),, K K (,, Q ),,. Zmienne K oraz K ą deiniowane przez wzory: I, K ( L) I j A,, 2,..., j +,..., (A2) K ( L) u I, I, j A, j, +,..., < + +,..., (A) Paramery części ocaycznej, czyli Â,,, 2,,,, należy wyznaczyć, wykorzyując meodę Joanena na podawie modelu (7), a macierze paramerów zaware w wielomianie opóźnień ( L) na podawie wzorów: j I A M + +, j 2,..., j j (A4) (A5) (A6) QQ.
Â,,, 2,,, ( L) I + A + M eowanie zmiany rukuralnej... 595 j j j, j 2,..., Zgodnie z uogólnioną meodą najmniejzyc kwadraów macierz Q należy zdeiniować w aki poób, aby pełniony był warunek QQ. Wówcza macierz wariancji kład- nika loowego w równaniu (A) je eryczna i jednokowa. Warunek en je pełniony, gdy Q [ A( A A) / 2 QQ. A ( A A ) / 2 ], gdzie Ω je macierzą wariancji kowariancji kładników loowyc równania (7). Oaecznie eymaory ĥ,, ĥ, ĥ,, ĥ należy wyznaczyć z równania (A) za pomocą,, [ uogólnionej / 2 Q A( A A) ] meody A ( A najmniejzyc A ) / 2 kwadraów: ĥ,, ĥ,, ĥ,, ĥ, ( K, K ) K ( L),,,, ( ) ( L) gdzie K K K K [ K, K ], K K,., ( ) Op () Właności aympoyczne eymaorów kładowej deerminiycznej z równania (A) w kierunku i K ą naępujące [ K ) K O(por. () aikkonen, Lu kepol ], K K,. 2): ( p ( ) ) O O() p () ( p ( ) O () ) Op () ( p ) O () ( p ( ) O () p (A8) (A9) (A) (A)
596 E. Goińka abela Warości kryyczne eu WALD dla τ,5, ρ,5, n R 5 2 74,79 45,7952 5,794 M 4 2 7,4499 47,4562 8,8849 5,457 6,5874,986 25,8728 7,766 52,22 M 5 2 24,4478 76,882 6,457,2 68,9 55,75 4 69,69 48,874 4,977 Uwagi: M liczba zmiennyc w yemie, R wymiar przerzeni koinegrującej, liczebność próby; obliczenia wykonano w programie Malab. abela 2 Moc eu WALD dla τ,5, ρ,5, n K R ω ω,5 ω 2 5 2 5 2 5 2,78,898,944,8988,965,986,958,9845,99 M 4 2 2,625,764,848,79,8888,926,8766,95,9567,4554,562,6225,66,695,745,76,778,86 4,7,97,968,922,9794,997,9664,992,9972 M 5 2,6678,849,956,8596,948,967,94,9746,9888 2,5895,728,7992,7757,8567,94,8624,978,948 4,46,548,599,5884,678,724,682,759,795 Uwagi: M liczba zmiennyc w yemie, R wymiar przerzeni koinegrującej, K liczba wpólnyc rendów ocaycznyc, liczebność próby, K M R; obliczenia wykonano w programie Malab.
eowanie zmiany rukuralnej... 597 abela Moc eu WALD dla kładników loowyc z rozkładu -udena dla 2 K R ω ω,5 ω 2 normalny -udena normalny -udena normalny -udena,944,975,986,9785,99,997 M 4 2 2,848,8298,926,922,9567,95,6225,684,745,794,86,887 Uwagi: M liczba zmiennyc w yemie, R wymiar przerzeni koinegrującej, K liczba wpólnyc rendów ocaycznyc, liczebność próby, K M R; obliczenia wykonano w programie Malab. abela 4 Moc eu WALD w zależności od τ dla 2, M 4 i R 2 ω τ, τ,2 τ, τ,4 τ,5 τ,6 τ,7 τ,8 τ,9,94,875,852,868,848,87,855,88,928,5,962,944,9257,9284,926,927,942,9429,962 2,986,968,966,956,9567,969,9628,9666,982 abela 5 Moc eu WALD w zależności od parameru ρ dla 2, M 4 i R 2 ω ρ, ρ,2 ρ, ρ,4 ρ,5 ρ,6 ρ,7 ρ,8 ρ,9,856,859,84,89,848,888,85,772,7485,5,98,9289,9282,9247,926,95,987,8892,8799 2,964,959,962,959,9567,9492,9455,968,9 Uwagi: obliczenia wykonano w programie Malab.
598 E. Goińka abela 6 Rozmiar eu WALD R 2,5,528 M 4 2,56,5,52,5,444,526 M 5 2,45,477,468,466 4,496,497 Uwagi: R wymiar przerzeni koinegrującej, liczebność próby; obliczenia wykonano w programie Malab. abela 7 Właności eu upwald (prawdopodobieńwo zidenyikowania momenu założonej zmiany wyrazu wolnego) dla 2 ω ρ,2 ρ, ρ,4 ρ,5 ρ,6 ρ,7 ρ,8,5,584,64,646,69,672,64,585,97,984,978,97,978,99,97,5,999,999,998,998 Uwagi: obliczenia wykonane w programie Malab. abela 8 Wyniki eu śladu dla modelu ze zmianą wyrazu wolnego w kwieniu 27 r. przy założeniu łabej egzogeniczności zmiennyc: IF, p, or R Warość ayyki Warość ayyki z koreką arlea Warość kryyczna,68 (,) 97,8 (,) 57,267 5,4 (,) 5,46 (,) 5,498 2 4,54 (,77),54 (,25) 8,44 Uwagi: R wymiar przerzeni koinegrującej; w nawiaac podano warości p-alue; warości kryyczne wyznaczono ymulacyjnie w programie CA.
eowanie zmiany rukuralnej... 599 Wykre Warości ayyk WALD(τ) dla różnyc τ 9 8 7 6 5 4 2 26 27 28 29 2 2 Warość ayyki Walda Warość kryyczna
6 E. Goińka eing or rucural break in a VEC model Abrac rucural cange can aec e deerminiic componen o e daa generaing proce (DGP). I can be own a e inroducion o a dummy ino e coinegraion pace in e period mu be inerpreed a rucural break in e DGP in e period. On e oer and, i i i inroduced ino e coinegraion pace, e repecie dummy mu be imulaneouly placed ouide e coinegraion pace a well. In order o e or e break aecing e deerminiic componen we employed e Wald aiic. e criical alue and e power o e Wald e were imulaed or ariou ize o e coinegraing pace, e number o endogenou ariable, e pan o e break, normally and -diribued error. e power o e e depend moly on e magniude o e break and e number o oberaion wile oer acor are o econdary imporance. e coinegraed VAR wi rucural break wa ued o explain e beaiour o e Poli zloy/ euro excange rae. wo coinegraing ecor were ideniied. e ir one can be inerpreed a a long-erm equaion o e excange rae zloy/euro and e econd ecor deine e long-erm real domeic inere rae correced or rik. e upwald aiic wa ued in order o ideniy e momen o e break. Keyword: rucural break, VECM, Wald e, e or rucural break, excange rae modelling PLN/EUR