Fizyka Materii Skondensowanej.

Fizyka Materii Skondensowanej Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl Konrad.Dziatkowski@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szczytko/fms Uniwersytet Warszawski 0

GryPlan 4.0 Mechanika kwantowa. Stany. Studnia kwantowa, Stany atomu wodoru. Symetrie stanów..0 Pole magnetyczne, sprzężenie spin orbita, J, L, S 8.0 Dipolowe przejścia optyczne. Reguły wyboru, czas życia 5.0 Lasery współczynniki Einsteina 8. Optyka powtórzenie, klasyczny współczynnik załamania 4. PONIEDZIAŁEK RANO - KOLOKWIUM 5. Wiązania chemiczne i cząsteczki, hybrydyzacje. Przejścia optyczne w cząsteczkach, widma oscylacyjno-rotacyjne 9. Ciało stałe, kryształy, krystalografia, sieci Bravais 6. Pasma, tw. Blocha, masa efektywna, przybliżenie kp 3. KOLOKWIUM 0. Elektrony i dziury cz. 3.0 Elektrony i dziury cz. Nanotechnologia 0.0 Urządzenia półprzewodnikowe. Diody, tranzystory, komputery 7.0 Fizyka subatomowa

Egzamin 3 styczeń 0 (wtorek) Zasady zaliczania: kolokwia (po 3 zadania) x30p = 60p Testy z wykładu ( pytania, 0 testów) 0p Prace domowe (5 serii 3 zadania) 0p Zaliczenie ćwiczeń 40p / 90p Egzamin (4 zadania) 40p Należy uzyskać min. 50p / 30p żeby odpowiadać Ćwiczenia są obowiązkowe dr Konrad Dziatkowski

Wyprowadzenie prawa Plancka. Lasery. S. Harris

Rachunek zaburzeń z czasem Szczególne rozwiązania równania Schrödingera Potencjał niezależny od czasu H 0 = ħ m x +U(x) ψ x, t = AA(x)e iii/ħ Potencjał niezależny od czasu Najprostszy przypadek: H = H 0 + V(t) V(t) = W t 0 dla 0 t τ dla t < 0 i t > τ 0 t t

Rachunek zaburzeń z czasem Podstawiamy do równania, bierzemy pod uwagę warunek początkowy (patrz Mechanika kwantowa S.A Dawydov) w mn = A mm τ = τ ħ m W(t) n e+iωmmt 0 Dla przypadku gdy W t = ccccc = W dla 0 t τ łatwo jest policzyć: τ m W(t) n e iωmmt 0 = eiω mmτ iω mm m W n Wtedy prawdopodobieństwo przejścia w czasie działania zaburzenia jest dane przez w mn = A mm τ = ħ m W n cos E τ n E m ħ E n E m ħ Dla τ ħ E n E m τ cos E n E m ħ ττħδ E n E m E n E m ħ

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 τ = 50 45 40 35 30 5 τ = 0 5000 4500 0 4000 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 5 3500 τ = 00 τ cos E n E m ħ E n E m ħ 0 5 3000 500 0-0 -8-6 -4-0 000 4 6 8 0 500 000 500 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0

Rachunek zaburzeń z czasem Ostatecznie prawdopodobieństwo przejścia w mm = π ħ m W n ττ E m E n Prawdopodobieństwo przejścia jest proporcjonalne do czasu działania zaburzenia, więc prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu dane jest przez: P mn = w mm τ = π ħ m W n δ E m E n

Rachunek zaburzeń z czasem W przypadku gdy zaburzeniem jest fala periodyczna wracamy do ogólnego wzoru: w nn = A nn τ = τ ħ n W(t) m e+iωnmt 0 dla przypadku gdy W t = w ± e ±iωt dla 0 t τ łatwo jest policzyć: τ n w ± l e i(ωnn±ω)t 0 = ei(ω nn±ω)τ i(ω nn ± ω) n w ± l Prawdopodobieństwo przejścia: w nn = π ħ n w± m ττ E n E m ± ħω Prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu dane jest przez: P nn = w nn τ = π ħ n w± m δ E n E m ± ħω

Rachunek zaburzeń z czasem Wnioski: W t = w ± e ±iωt 0 t τ P nn = w nn τ = π ħ n w± m δ E n E m ± ħω Przejścia są możliwe tylko do stanów E m = E n ± ħω Układ albo może energię zyskać (zaabsorbować) albo stracić (wyemitować)

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej. P nn = w nn τ = π ħ n w± m δ E n E m ± ħω Ogólna postać hamiltonianu w polu elektromagnetycznym dana jest przez potencjał wektorowy A i skalarny j : H = m p + ea eφ + V Przyjmując odpowiednie cechowanie j =0, diva=0 oraz zaniedbując wyrazy z A (słabe promieniowanie) H e m A p Potencjał wektorowy dla fali elektromagnetycznej można wprowadzić w postaci: A = A 0 E = φ A e i(ωt kr ) + e i(ωt kr ) E = ωa 0 sin(ωt kr ) B = A B = (k A 0 )sin(ωt kr )

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej. H e m A p A = A 0 e i(ωt kr ) + e i(ωt kr ) P nn = w nn τ = π ħ n w± m δ E n E m ± ħω rozwijając w szereg p e i(kr ) p + ikr + ikr! + Korzystamy z reguł komutacji r, H 0 = r H 0 H 0 r = iħ m p dostajemy n p m = iiω nn n r m Kolejne człony w rozwinięciu dają przejścia dipolowe magnetyczne, kwadrupolowe elektryczne itd.

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej. H e m A p A = A 0 e i(ωt kr ) + e i(ωt kr ) P nn = w nn τ = π ħ n w± m δ E n E m ± ħω rozwijając w szereg p e i(kr ) p + ikr + ikr! + po żmudnych obliczeniach dostajemy prawdopodobieństwo emisji promieniowania elektromagnetycznego dipolowego (opisanego operatorem er ) A nn = w nn τ = ω nn 3 e 3πε 0 ħc 3 n r m = 4α 3 ω nn 3 c n r m α = e 4πε 0 ħc 37 Jest to jeden ze współczynników Einsteina (lasery itp. za tydzień!) dla stanów niezdegenerowanych

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej. A nn = ω nn 3 e 3πε 0 ħc 3 m r n = 4α 3 ω nn 3 c m r n W przypadku degeneracji stanów wprowadza się siłę linii A nn = 4α 3 ω nn 3 c S mm g m S nn = n i r m j degeneracja poziomu wyjściowego W przypadku stanów atomu wodoru wygodnie jest przedstawić operator i n i r m j = ni z m j + n i x + ii m j + n i x ii m j j r w postaci kołowej: łatwo jest wtedy całkować harmoniki sferyczne, bo: Sprawdzić! z = r cos θ x ± ii = re ±ii sin θ

Fala elektromagnetyczna Kilka uwag A nn = 4α 3 ω nn 3 c S mm g m S nn = n i r m j i j Obliczając współczynnika Einsteina dla np. atomu wodoru możemy dostać tzw. reguły wyboru przejść optycznych l = ± zas. zach. pędu foton ma spin całkowity m = ± m = 0 przejścia w polaryzacji kołowej s przejścia w polaryzacji liniowej p Przejścia optyczne są możliwe tylko między poziomami o różnej symetrii, gdyż operator jest antysymetryczny r

Fala elektromagnetyczna Kilka uwag A nn = 4α 3 ω nn 3 c S mm g m S nn = n i r m j i j Wprowadza się pojęcie czasu życia ze względu na zanik radiacyjny: τ nn = A nn W przypadku przejść optycznych dipolowych czas życia jest rzędu nanosekund. Moc przejścia optycznego P nn = A nn ħ ω nn

PODSUMOWANIE złota reguła Fermiego Prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu: W t = W 0 t τ Przejścia są możliwe tylko do stanów P mm = w mm τ E m = E n = π ħ m W n δ E m E n W t = w ± e ±iωt 0 t τ P nn = w nn τ = π ħ n w± m δ E n E m ± ħω Przejścia są możliwe tylko do stanów E m = E n ± ħω Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej. A nn = ω nn 3 e 3πε 0 ħc 3 m r n = 4α 3 ω nn 3 c m r n P nn = A nn δ E n E m ± ħω

PODSUMOWANIE złota reguła Fermiego Szybkość zmian czyli prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu ze stanu początkowego i do końcowego f dane jest wzorem: P mm = π ħ f W i ρ E f W- oziaływanie z polem ρ E f - gęstość stanów końcowych Zaburzenie W nie musi być w postaci fali elektromagnetycznej.

Wyprowadzenie prawa Plancka. Lasery. S. Harris

Trochę historii XIX w: materia ma budowę ziarnistą, energia (gł. fale e- m) ma charakter falowy Nierozwiązane problemy: Promieniowanie ciała doskonale czarnego Efekt fotoelektryczny Linie widmowe atomów

Prawo Rayleigha- Jeansa Katastrofa w nadfiolecie Rozkład widmowy ciała doskonale czarnego: Klasycznie zasada ekwipartycji energii: średnia energia fali stojącej jest niezależna od częstotliwości E = kk Gęstość energii r to ilość fal z danego przedziału częstotliwości razy średnia energia, podzielić przez objętość wnęki: ρ ν, T = 8πν c 3 kkkk Całkowita gęstość energii promieniowania w danej temperaturze dna jest przez sumę po wszystkich częstościach ρ T = ρ ν, T 0 0 = 8π c3 kk ν =

Prawo Rayleigha- Jeansa Katastrofa w nadfiolecie

Trochę historii XX w: energia ma (również) charakter ziarnisty (korpuskularny) hipoteza Plancka Rozwiązane problemy: Promieniowanie ciała doskonale czarnego (Planck 900, Nobel 98) Efekt fotoelektryczny (Einstein 905, Nobel 9) Linie widmowe atomów (Bohr 93, Nobel 9) Fotony energia: E = h n (h = 6.66 0-3 J s = 4.36 0-5 ev s) pęd: p = E / c = h / l Count Dooku's Geonosian solar sailer l = h / p

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? E = E E E

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E hν Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? ħω = hν = E E. Absorpcja E

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E hν E Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? ħω = hν = E E. Absorpcja liczba przejść aaa = N B ρ Ilość dostępnych stanów Gęstość energii promieniowania Współczynnik proporcjonalności

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? hν ħω = hν = E E. Absorpcja E aaa = N B ρ. Emisja spontaniczna

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? hν ħω = hν = E E. Absorpcja E aaa = N B ρ. Emisja spontaniczna liczba przejść ssss = AN Współczynnik proporcjonalności Ilość dostępnych stanów

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? hν hν ħω = hν = E E hν. Absorpcja E aaa = N B ρ. Emisja spontaniczna ssss = AN. Emisja wymuszona

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E hν hν hν Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? ħω = hν = E E. Absorpcja E = N B ρ aaa. Emisja spontaniczna ssss = AN. Emisja wymuszona liczba przejść Ilość dostępnych stanów www = N B ρ Współczynnik proporcjonalności Gęstość energii promieniowania

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu do i na odwrót? N B ρ AN N B ρ ħω = hν = E E. Absorpcja E = N B ρ aaa. Emisja spontaniczna. Emisja wymuszona ssss = AN www = N B ρ

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E aaa = N B ρ AN N B ρ ssss = AN E www = N B ρ W warunkach równowagi termicznej (warunek konieczny, ale spełniony także w stanach dalekich od równowagi, np. w laserach!) = + aaa ssss www N B ρ = AN + N B ρ

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E N B ρ = AN + N B ρ E AN N B ρ ρ = A B N B N B W warunkach równowagi termicznej obsadzenia N i N dane są rozkładem Boltzmana

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E N B ρ = AN + N B ρ E AN N B ρ ρ = A B N B N B W warunkach równowagi termicznej obsadzenia N i N dane są rozkładem Boltzmana N = const e E kk N = const e E kk Co się dzieje z ρ dla T? N = e (E E ) kk N = e hν kk

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E N B ρ = AN + N B ρ E AN N B ρ ρ = A B N B N B W warunkach równowagi termicznej obsadzenia N i N dane są rozkładem Boltzmana N = const e E kk N = const e E kk N = e (E E ) kk N = e hν kk Co się dzieje z ρ dla T? B = B Biorąc pod uwagę stopnie degeneracji poziomów g B = g B

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E E AN N B ρ ρ ν, T = A B N B N B = A B exp hν kk Z kolei dla hν kk mamy prawo Reileigha-Jeansa ρ ν, T = 8πν c 3 kkkk Należy rozwinąć funkcję wykładniczą

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E E AN N B ρ ρ ν, T = A B N B N B = A B exp hν kk Z kolei dla hν kk mamy prawo Reileigha-Jeansa ρ ν, T = 8πν c 3 kkkk Należy rozwinąć funkcję wykładniczą ρ ν, T A B kk/hν Stąd: A B = 8π c 3 hν3 = D ν hν Ilość modów promieniowania w zamkniętej objętości

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami E ρ ν, T = exp 8πν hν kk c 3 hν AN N B ρ Wzór Plancka E A oraz B to współczynniki Einsteina. Wymiar A: ssss = AN A = τ oraz : B = ττ ν hν

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej. A nn = ω nn 3 e 3πε 0 ħc 3 m r n = 4α 3 ω nn 3 c m r n W przypadku degeneracji stanów wprowadza się siłę linii A nn = 4α 3 ω nn 3 c S mm g m S nn = n i r m j degeneracja poziomu wyjściowego W przypadku stanów atomu wodoru wygodnie jest przedstawić operator i n i r m j = ni z m j + n i x + ii m j + n i x ii m j j r w postaci kołowej: łatwo jest wtedy całkować harmoniki sferyczne, bo: Sprawdzić! z = r cos θ x ± ii = re ±ii sin θ

Lasery Laser potrzebuje co najmniej 3ch stanów Czesław Radzewicz Rzadko stosowany laser 3-poziomowy

Struktura subtelna Struktura subtelna to zespół zjawisk związanych z istnieniem spinu. Uwzględnienie ich prowadzi do poprawek energii poziomów atomowych. 4 0 c m p E + =... 8... 8 3 0 4 0 0 4 4 0 4 0 0 + + = + + = c m p m p c m c m p c m p c m E... 8 3 0 4 0 0 + = = c m p m p c m E E K. Wyrażenie pozostające pod pierwiastkiem można rozwinąć w szereg:. Wzór na energię kinetyczną obcinamy na trzecim wyrazie: Ψ Ψ Ψ + Ψ = 4 3 0 4 8 ) ˆ( c m r V m t i Tadeusz Stacewicz Poprawny opis atomu wymaga wzięcia pod uwagę efektów relatywistycznych co prowadzi do hamiltonianu Diraca.

Struktura subtelna i 4 Ψ = Ψ + Vˆ( r) Ψ 4 3 m 8m0c t Ψ Stosując rachunek zaburzeń w bazie funkcji własnych atomu wodoru można znaleźć poprawkę energii uwzględniającą relatywistyczną zmianę masy dla poziomu o głównej liczbie kwantowej E n E α Z 4 ' n = E n 4 4 l + n 3 n α = e πε c 4 0 37 Poprawka ta dla atomu wodoru jest: stosunkowo niewielka; szybko zmniejsza się wraz z główną liczbą kwantową; a więc ma także niewielkie znaczenie dla atomów wieloelektronowych. Jednak dla jonów wodoropodobnych o dużych ładunkach jądra (dużych E n ) wartość tej poprawki jest wielkością znaczącą. Tadeusz Stacewicz

Struktura subtelna Następny wyraz rozwinięcia równania Diraca daje się sprowadzić do hamiltonianu opisującego oziaływanie spin orbita : m e c s gdzie V oznacza potencjał wiążący atom, a dv ( Σ p) = sl = µ B Σ m W wyniku obliczeń uzyskuje się poprawki energetyczne: e c r dr to pole elektryczne, jakie odczuwa elektron. E α Z = n " 3 4 [ j( j + ) l( l + ) s( s + ) ] l( l + )( l + ) E n Tadeusz Stacewicz

Struktura subtelna Dla stanów z l=0 uwzględnia się także oziaływanie elektronu z jądrem wynikające stąd, że elektron o tej liczbie kwantowej przebywa średnio blisko jądra znacznie dłużej niż elektron w jakimkolwiek innym stanie. Prowadzi to do poprawki Darwina: α Z "' = n E 3 Pełny wynik sumaryczna poprawka energii poziomu atomu wodoru w wyniku oziaływania subtelnego wynosi : 4 E n E α Z = 4 3 S E n n 4 4 j + n Tadeusz Stacewicz

Struktura subtelna Powyższe obliczenia wykonał Paul Dirac. Jak widać, stany o jednakowych liczbach kwantowych n i j powinny mieć tę samą energię: np. energia poziomu S / i P / powinny być identyczne, podobnie jak energie poziomu 3P 3/ i 3D 3/. Tadeusz Stacewicz

Struktura subtelna W latach 947 5 Lamb i Retherford wykazali, że model ten jest zbyt uproszczony. Dokonując precyzyjnych pomiarów oziaływania atomów wodoru z polem fal radiowych stwierdzili, że energia stanu S / jest większa niż energia stanu P / o 0.035 cm -. Wielkość ta, zwana przesunięciem Lamba, była także wielokrotnie wyznaczana za pomocą współczesnych technik spektroskopii laserowej. Obecnie jest jedną z najdokładniej znanych stałych fizycznych. Wyniki tych badań dały impuls do rozwoju nowej gałęzi nauki: elektrodynamiki kwantowej. Wyjaśniła ona, że przesunięcie Lamba powstaje wskutek oziaływania atomów z polem elektromagnetycznym, którego mody nawet w próżni, w temperaturze zera bezwzględnego - a więc w nieobecności promieniowania charakteryzują się energią ω / Tadeusz Stacewicz

Pole magnetyczne i spin Spin, oziaływanie spin-orbita dla stanów s L ˆ = 0 Lˆ Sˆ = 0 dla stanów p Lˆ 0 Lˆ Sˆ 0 Całkowity moment pędu: L ˆ =, Sˆ = Jˆ = Lˆ + Sˆ baza: H SO j, = λ LS ˆ ˆ m j P3/ P/ g-czynnik, zapewnia zgodność z eksprymentem 3 3 baza: baza: w skrócie: n, l, s, m l, m s λ = R α 4 Ry = hcr n, l, s, j, j, m j m j

Termy elektronowe Pole magnetyczne i spin Sposób opisu układu wielu elektronów s+ Funkcja falowa MUSI być antysymetryczna (ze względu na przestawienia cząsteczek) ψ ( r, S ) = ψ ( r ) χ( ) z S z L j część orbitalna część spinowa P3/ L ˆ =, Sˆ = P/ 3 3 baza: n, l, s, j, m j w skrócie: j, m j

Termy elektronowe Pole magnetyczne i spin Sposób opisu układu wielu elektronów s+ Funkcja falowa MUSI być antysymetryczna (ze względu na przestawienia cząsteczek) ψ ( r, S ) = ψ ( r ) χ( ) z S z L j część orbitalna część spinowa Uogólnienie: ψ N ( r r, S,..., S ) = ψ ( r,..., r ) ( S,..., S ),..., N N N χ N Antysymetryczna funkcja falowa + zasada Pauliego + oziaływanie kulombowski = ODDZIAŁYWANIA WYMIENNE