Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące wszystich trzech programów, a następnie odczeuje średnio minuty (ten czas dany jest rozładem wyładniczym), wysyła do serwera olejne trzy programy, itd. Serwer wyonuje obliczenia nad jednym programem, a gdy sończy zabiera się za następny czeający w olejce FIFO. Obsługa ażdego z programów w serwerze trwa tyle samo ten czas dany jest rozładem wyładniczym o średniej równej jednej minucie. Serwer jest w stanie pomieścić dowolną liczbę programów oczeujących na obliczenia. Proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że serwer nie wyonuje żadnych obliczeń. Proszę też wyliczyć średnią liczbę programów przetwarzanych przez serwer w ciągu godziny. (max 10 puntów). Do pewnego serwera w Urzędzie Miasta napływają zapytania z całego Kraowa średnio 3 na minutę (zgodnie z rozładem Poissona). Serwer obsługuje je pojedynczo, po olei. W razie potrzeby czeające zgłoszenia zapisywane są w buforze, tóry jest na tyle duży, że może zapamiętać je wszystie. Obsługa jednego zgłoszenia w więszości przypadów (90%) trwa doładnie dziesięć seund. W pozostałych przypadach obsługa zgłoszenia jest bardziej sompliowana i zajmuje doładnie minutę. Proszę policzyć: - średnią czas jai upływa między dwoma obsłużonymi zgłoszeniami opuszczającymi serwer, - średni czas, jai upływa od momentu wygenerowania zapytania do otrzymania odpowiedzi. (max 15 puntów) 3*. Proszę rozważyć system o niesończonej liczbie stanów, w tórym intensywność przychodzących zgłoszeń λ n = λ, natomiast intensywność obsługi w stanie n wynosi : - dla n niepodzielnego przez 3: µ n = µ - dla n podzielnego przez 3: µ n = (n/3 1) µ Proszę założyć, że system jest stabilny i obliczyć prawdopodobieństwo stanu zerowego jao funcję ρ = λ/µ. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1
Colloquium 3, Grupa B 1. Z pewnego serwera bazy danych orzysta 4 użytowniów. Każdy z nich generuje zapytanie i czea na odpowiedź. Gdy ją otrzyma, średnio po 4 minutach (ten czas dany jest rozładem wyładniczym) generuje następne zapytanie, itd. Serwer jest w stanie pomieścić dowolną liczbę oczeujących zapytań. Obsługa następuje tylo wtedy, gdy w serwerze są co najmniej dwa zgłoszenia. Obsługiwana jest zawsze para zgłoszeń jednocześnie obsługa taiej pary trwa średnio minuty (ten czas również jest dany rozładem wyładniczym). Proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że serwer nie wyonuje żadnych obliczeń. Proszę też wyliczyć średnią liczbę zapytań przetwarzanych przez serwer w ciągu godziny. (max 10 puntów). Pewien serwer z bazą danych obsługuje zgłoszenia przychodzące z całej Polsi średnio co 15 seund (zgodnie z rozładem Poissona). Serwer posiada dwa stanowisa obsługi. Każde z nich pracuje ze średnią intensywnością trzech zgłoszeń na minutę, czasy obsługi dane są odpowiednim rozładem wyładniczym. W razie potrzeby czeające zgłoszenia zapisywane są w buforze, tóry jest na tyle duży, że może zapamiętać je wszystie. Proszę policzyć: - średnią liczbę zgłoszeń obsługiwanych w ciągu godziny, - średni czas, jai upływa od momentu wygenerowania zapytania do otrzymania odpowiedzi, - masymalną intensywność przychodzących zgłoszeń, tórą serwer byłby jeszcze w stanie obsłużyć. (max 15 puntów) 3*. Proszę rozważyć system o niesończonej liczbie stanów, w tórym intensywność przychodzących zgłoszeń λ n = λ, natomiast intensywność obsługi w stanie n wynosi : - dla n niepodzielnego przez 3: µ n = µ - dla n podzielnego przez 3: µ n = (n/3 1) µ Proszę założyć, że system jest stabilny i obliczyć prawdopodobieństwo stanu zerowego jao funcję ρ = λ/µ. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1
Colloquium 3, Grupa C 1. Pewna centrala u operatora telefonicznego X ma obsługiwać trzy nieduże bloi mieszalne, dwa osiedla liczące po 30 małych domów jednorodzinnych oraz 10 firm prywatnych. W ażdym blou jest 0 mieszań, a z ażdego mieszania wyonywanych jest średnio 8 połączeń w godzinach od 16.00 do 4.00, połączenia te trwają przeciętnie 15 minut. Z ażdego domu generowane jest średnio jedno 5-minutowe połączenie na godziny, niezależnie od pory dnia. Z olei ażda z firm prywatnych generuje statystycznie dwadzieścia 3- minutowych połączeń na godzinę. Firmy pracują od 8.00 do 16.00. Projetowanie centrali (tóre powinno uwzględniać połączenia w godzinie najwięszego ruchu) zlecono nowo powstałemu działowi technicznemu operatora X. Dyretor tego działu chciałby z jednej strony ograniczyć do minimum liczbę oniecznych łączy wyjściowych tej centrali, a z drugiej strony zagwarantować abonentom ja najmniejsze prawdopodobieństwo odrzucenia wyonywanego połączenia. Ostatecznie, postanowiono ta zaprojetować tą centralę, aby iloczyn tych dwóch wielości (liczby łączy i prawdopodobieństwa odrzucenia) był ja najmniejszy. Ile będzie wynosić liczba łączy w tej centrali? Wyni proszę podać z doładnością możliwą do uzysania przy użyciu tabeli B-Erlanga z tyłu arti. Odpowiedź proszę uzasadnić. (max 10 puntów). Pewien system posiada jedno stanowiso obsługi i bufor, tórego rozmiar można uznać za niesończony. Zgłoszenia przychodzą (zgodnie z rozładem Poissona) średnio raz na 6 seund. Czas trwania obsługi dany jest rozładem prawdopodobieństwa: f(t) = A (9-t) na przedziale <0, 9> seund. Stałą A należy dobrać w tai sposób, aby funcja f(t) rzeczywiście była rozładem prawdopodobieństwa. Proszę obliczyć średni czas, jai zgłoszenie oczeuje na obsługę. (max 15 puntów) 3*. Proszę przeanalizować system, w tórym intensywność zgłoszeń przychodzących w stanie n wynosi: - dla n parzystego: λ n = (n/ 1)! λ - dla n nieparzystego: λ n = ((n-1)/ 1)! λ natomiast intensywność obsługi w stanie n wynosi : - dla n parzystego: µ n = (n/ 1)! µ - dla n nieparzystego: µ n = ((n-1)/ 1)! µ System ma niesończony duży bufor (niesończoną liczbę stanów). Proszę założyć, że system jest stabilny i obliczyć prawdopodobieństwo stanu zerowego jao funcję ρ = λ/µ. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1
Colloquium 3, Grupa D 1. Pewna centrala telefoniczna obsługuje 3 duże instytucje, 10 małych przedsiębiorstw oraz dwa bloi mieszalne ażdy słada się z 45 mieszań prywatnych. Każda z instytucji generuje średnio trzydzieści 5- minutowych rozmów na godzinę w oresie od 10.00 do 18.00, z czego 40 % są to rozmowy wewnątrz tej instytucji. Przedsiębiorstwa pracują od 8.00 do 19.00 i w tym czasie z ażdego z nich wyonywanych jest średnio pięć rozmów telefonicznych na godzinę, trwających przeciętnie 3 minuty. Z olei z ażdego z mieszań prywatnych generowanych jest średnio 5 połączeń w ciągu jednego wieczora (od 19.00 do 4.00). Połączenia te trwają średnio 4 minuty. Centrala ma łącza wyjściowe. Proszę obliczyć, ile dodatowych bloów mieszalnych ( o taiej samej charaterystyce ruchu teleomuniacyjnego) można by podłączyć do tej centrali, ta aby prawdopodobieństwo bloady nie wzrosło bardziej niż dwurotnie. Wyni proszę podać z doładnością możliwą do uzysania przy użyciu tabeli B-Erlanga z tyłu arti. (max 10 puntów). Dany jest system z jednym stanowisiem obsługi i niesończenie dużym buforem. Zgłoszenia przychodzą (zgodnie z rozładem Poissona) średnio raz na 10 seund. Czas trwania obsługi dany jest rozładem prawdopodobieństwa: p(t) = A t na przedziale <0, 6> seund. Stałą A należy dobrać w tai sposób, aby funcja p(t) rzeczywiście była rozładem prawdopodobieństwa. Proszę obliczyć średni czas, jai zgłoszenie spędza w tym systemie. (max 15 puntów) 3*. Proszę przeanalizować system, w tórym intensywność zgłoszeń przychodzących w stanie n wynosi: - dla n parzystego: λ n = (n/ 1)! λ - dla n nieparzystego: λ n = ((n-1)/ 1)! λ natomiast intensywność obsługi w stanie n wynosi : - dla n parzystego: µ n = (n/ 1)! µ - dla n nieparzystego: µ n = ((n-1)/ 1)! µ System ma niesończony duży bufor (niesończoną liczbę stanów). Proszę założyć, że system jest stabilny i obliczyć prawdopodobieństwo stanu zerowego jao funcję ρ = λ/µ. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1
Colloquium 3, Grupa E 1. Do pewnej centrali podłączone są dwie grupy użytowniów: - 00 osób prywatnych wyonujących średnio 3 połączenia na godzinę, trwające przeciętnie minuty, - firmy - ażda generuje średnio 30 rozmów telefonicznych na godzinę, trwających 6 minut. Proszę obliczyć ile łączy wyjściowych powinna mieć centrala, aby prawdopodobieństwo odrzucenia połączenia nie przeraczało 10%. Proszę uwzględnić fat, że 80 % osób, tórych rozmowy zostały odrzucone, ponownie próbuje się połączyć. Wyni proszę podać z doładnością możliwą do uzysania przy użyciu tabeli B-Erlanga z tyłu arti. (max 10 puntów). Proszę rozważyć system z trzema stanowisami obsługi i buforem, tórego rozmiar można uznać za niesończenie duży. Zgłoszenia przychodzą do tego systemu zgodnie z rozładem Poissona ze stałą intensywnością równą 30 na minutę. Czas obsługi zgłoszenia dany jest rozładem wyładniczym o średniej równej 4 seundy. Proszę obliczyć średni czas oczeiwania na obsługę. Proszę też wyjaśnić, ile masymalnie mogłaby wynosić intensywność przychodzących zgłoszeń, ta aby system był jeszcze w stanie obsłużyć wszystie przychodzące zgłoszenia. (max 15 puntów) 3*. Proszę rozważyć system, tóry ma trzy stanowisa obsługi, ale drugie stanowiso działa tylo wtedy, gdy w systemie jest co najmniej 100 zgłoszeń, a trzecie stanowiso gdy w systemie jest co najmniej 00 zgłoszeń. System ma niesończony bufor. Intensywności obsługi wszystich trzech stanowis są taie same i wynoszą λ. Intensywność przychodzących zgłoszeń λ n = λ. Proszę założyć, że system jest stabilny i obliczyć prawdopodobieństwo stanu zerowego jao funcję ρ = λ/µ. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1
Colloquium 3, Grupa F 1. Centrala obsługuje 10 bloów i 4 domi jednorodzinne. W ażdym blou jest 50 mieszań. Z ażdego mieszania generowanych jest średnio 6 rozmów na dobę, trwających 1 minut. Z olei z ażdego domu wyonywane są średnio cztery 15-minutowe połączenia w godzinach od 18.00 do.00 oraz pięć 0- minutowych połączeń w pozostałych godzinach. Proszę obliczyć, ile łączy wyjściowych powinna mieć centrala, aby prawdopodobieństwo odrzucenia nadchodzącej rozmowy nie przeraczało 15 %. Proszę uwzględnić fat, że dwie trzecie osób, tórych połączenia zostały odrzucone, próbuje zadzwonić ponownie. (max 10 puntów). Pewien system posiada dwa stanowisa obsługi i bufor, tórego rozmiar można uznać za niesończenie duży. Czas obsługi pojedynczego zgłoszenia dany jest rozładem wyładniczym o średniej równej 1 miliseundzie. Zgłoszenia przychodzą do tego systemu zgodnie z rozładem Poissona ze stałą intensywnością równą 500 na seundę. Proszę obliczyć średni czas oczeiwania na obsługę. Proszę też wyjaśnić, ile masymalnie mogłaby wynosić intensywność przychodzących zgłoszeń, ta aby system był jeszcze w stanie obsłużyć wszystie przychodzące zgłoszenia. (max 15 puntów) 3*. Proszę rozważyć system, tóry ma trzy stanowisa obsługi, ale drugie stanowiso działa tylo wtedy, gdy w systemie jest co najmniej 100 zgłoszeń, a trzecie stanowiso gdy w systemie jest co najmniej 00 zgłoszeń. System ma niesończony bufor. Intensywności obsługi wszystich trzech stanowis są taie same i wynoszą λ. Intensywność przychodzących zgłoszeń λ n = λ. Proszę założyć, że system jest stabilny i obliczyć prawdopodobieństwo stanu zerowego jao funcję ρ = λ/µ. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1
Colloquium 3, Grupa G 1. Do pewnego systemu zgłoszenia nadchodzą trójami intensywność nadchodzenia tróje dana jest rozładem Poissona, o średniej 10 na seundę. System posiada trzy identyczne stanowisa obsługi ażde z nich obsługuje jednocześnie dwa zgłoszenia. Czas obsługi pary zgłoszeń na jednym stanowisu dany jest rozładem wyładniczym o średniej równej 100 miliseundom. Pojedyncze zgłoszenie nie jest obsługiwane. Przychodzące zgłoszenia olejno zapełniają wolne miejsca na stanowisach obsługi, nie zostawiając nigdy dwóch stanowis z pojedynczymi zgłoszeniami (tóre w taiej sytuacji nie mogłyby pracować). System nie ma żadnego bufora trója zgłoszeń, tóra nie mieści się już w systemie jest odrzucana w całości. Proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że w systemie nie pracuje żadne stanowiso obsługi. Proszę też obliczyć procent zgłoszeń odrzucanych oraz średnią częstotliwość z jaą obsłużone zgłoszenia opuszczają system. (max 15 puntów). Pewien serwer posiada jedno stanowiso obsługi i bufor, co do tórego można przyjąć, że jest niesończenie duży. Zgłoszenia przychodzą ze stałą intensywnością równą 10 4 na minutę (zgodnie z rozładem Poissona), a czas obsługi jednego zgłoszenia (w miliseundach) można przybliżyć następującym rozładem prawdopodobieństwa: f = 1 e π 1 t 4t 8 Proszę policzyć średni czas, jai zgłoszenie przebywa w serwerze oraz średnią liczbę zgłoszeń obsługiwanych w ciągu minuty. (max 10 puntów) 3. Proszę wyprowadzić ja najprostszą zależność na prawdopodobieństwo bloady w systemie Engseta, czyli M/M/N/N/Z, dla Z>N. (5 puntów) Rozład Poissona: P Rozład wyładniczy: a Rozład Gaussa (normalny): N ( m, π σ Wzór Pollacza-Chinczyna: L wait (1