ROZDZIAŁ 3 INTERPRETACJA PARADOKSU ALLAISA ZA POMOCĄ MODELU KONFIGURALNIE WAŻONEJ UŻYTECZNOŚCI

Elżbeta Babula Anna Blajer-Gołębewska ROZDZIAŁ 3 INTERPRETACJA PARADOKSU ALLAISA ZA POMOCĄ MODELU KONFIGURALNIE WAŻONEJ UŻYTECZNOŚCI Wprowadzene Jednym z podstawowych założeń ekonom jest postulat racjonalnośc ndywdualnego decydenta. Założene to przez wele lat było aksjomatem, którego zweryfkowane było metodologczne nemożlwe. Dopero stworzene zaksjomatyzowanej teor wyboru w warunkach ryzyka dało podstawę do podważana tego założena w oparcu o bogate wynk badań emprycznych. W ten sposób teora wyboru w warunkach ryzyka stała sę swostym narzędzem badana racjonalnośc ndywdualnych decydentów. Wynk badań eksperymentalnych, wykazując nezgodność z prognozam model, stały sę podstawą do podważana postulatu racjonalnośc, co w rezultace często prowadzło do rozluźnana defncj racjonalnośc, tak aby możlwe było utrzymane tak ważnego dla ekonom założena. Jednakże w przypadku welu odkrytych wzrorców zachowań (nezgodnych z teorą użytecznośc oczekwanej) take dzałane ne jest koneczne. Okazuje sę, że rozwój teor wyboru w warunkach ryzyka w ramach przyjętej defncj racjonalnośc umożlwa ch wyjaśnene. Celem artykułu jest pokazane tego mechanzmu dzałana na przykładze paradoksu Allasa teor konfguralne ważonej użytecznośc (RDEU). Zastosowaną dla realzacj celu metodą jest analza przypadku. Konstruowany jest przykład, który pokazuje, że stneją take preferencje (funkcja użytecznośc) zgodne z defncją racjonalnośc, dla których zachowane take jak w eksperymence Allasa jest uzasadnone w ramach teor RDEU. Zatem paradoks ten ne może być uznany jako podważane postulatu racjonalnośc. Defncja racjonalnośc W potocznym użycu sformułowane,,racjonalne zachowane'' ma przynajmnej dwa znaczena. Perwsze odnos sę do metody, druge zaś do efektu dzałana. Jako metoda racjonalne zachowane jest dzałanem wybranym w sposób uzasadnony, ne zaś wynkającym z przyzwyczajena, emocj czy przesądów. W odnesenu do rezultatów zachowane racjonalne jest dzałanem, które pozwala w sposób efektywny osągnąć założony cel (Hrshlefer nn, 005, s. 9). W ujęcu formalnym stneje wele podejść do racjonalnego zachowana w warunkach pewnośc, lecz można wyróżnć dwa podstawowe. Perwsze podkreśla wewnętrzną spójność wyborów. Formułowane jest założene, że dla różnych podzborów zboru możlwych dzałań dokonywane wybory pownny ze sobą korespondować w sposób przekonujący systematyczny. Proponowane były różne warunk wewnętrznej spójnośc, ale najbardzej zasługuje na uwagę ten, zgodne z którym dokonane wybory mogą być przedstawone jako rozwązane optymalzacj pewnej bnarnej relacj R w ramach odpowednch podzborów dzałań. Relacja ta często nterpretowana jest jako relacja preferencj. Inaczej można powedzeć, że racjonalne zachowane wymaga, aby stnała taka relacja preferencj R na całym zborze dzałań, że wy-

Interpretacja paradoksu Allasa za pomocą modelu konfguralne ważonej użytecznośc 9 bór z danego podzboru jest zgodny z maksymalzacją relacj R w danym podzborze. W szczególnośc wymagane jest, aby relacja R ustanawała określony porządek mędzy dzałanam, czyl aby była zupełna przechodna. Ujęce racjonalnośc domnujące obecne w lteraturze zalcza sę węc do tej kategor racjonalnych zachowań. Druge podejśce do racjonalnego zachowana rozpatruje wybory w kontekśce uzasadnonego dążena do własnych korzyśc. To podejśce slnej nawązuje do klasyków koncepcj homo oeconomcus. Ujęce to wydaje sę być węższe, gdyż ograncza ntencje dzałana człoweka jedyne do motywów ekonomcznych. Można wykazać, że racjonalne zachowane, wynkające z dążena do korzyśc własnych, będze wewnętrzne spójne, lecz ne każde wewnętrzne spójne zachowane da sę sprowadzć do maksymalzacj korzyśc własnych (Sen, 998, s. 69). Perwsze pole dla emprycznych badań racjonalnośc powstało wraz z powstanem teor wyboru w warunkach ryzyka, popartej pełną aksjomatyką, precyzującą racjonalną relację preferencj. W oparcu o teorę użytecznośc oczekwanej von Neumanna Morgensterna udało sę wykazać szereg nespójnośc rzeczywstych zachowań graczy z teoretycznym zachowanam optymalnym (Starmer, 000, s. 336-339). Badana wykazywały mędzy nnym neprzechodność preferencj, złe rozumene statystycznej nezależnośc zdarzeń czy nezdolność rozróżnena danych o charakterze losowym od danych zawerających systematyczne zależnośc (Conlsk, 996, s. 670-67). Jednym z perwszych przykładów zachowań nezgodnych z teorą użytecznośc oczekwanej jest paradoks Allasa. Uważany jest on czasem za przykład nespójnośc wyborów, a zatem za kontrprzykład dla postulatu racjonalnośc podmotów podejmujących decyzje. Teora wyboru w warunkach ryzyka Teora wyboru jest zborem twerdzeń dotyczących reguł wyboru wskazujących - dla każdego zboru osągalnych dzałań - dzałane, które faktyczne będze wybrane (Arrow, 979, s. 60). W ramach teor wyboru w warunkach ryzyka dokonano precyzyjnej formalzacj problemu decyzyjnego oraz określono reguły decyzyjne, które opsują, w jak sposób dokonywane są wybory. Reguły zgodne są z opsanym powyżej wymogam racjonalnośc wyboru. Są to węc zasady optymalzacj przy określonych założenach, najczęścej przyjmowane w tej teor jako warunek koneczny racjonalnośc. Przedmotem badań teor wyboru w warunkach ryzyka są problemy decyzyjne. Do opsu problemu decyzyjnego buduje sę model matematyczny. W celu formalzacj wprowadza sę pojęca: stanów natury, dzałań następstw. Stan natury jest to ops śwata tak pełny, że gdyby był prawdzwy znany, to znane byłyby następstwa każdego dzałana. Dzałanem jest każda możlwa do podjęca decyzja, zaś pojęcem następstwo lub perspektywa nazywa sę możlwy warant przyszłego przebegu zdarzeń (Lndgren, 977, s. 36). Następstwo to wynk, będący rezultatem podjęca określonej decyzj przy zastnałym stane otoczena. Wynk tak ne zawsze jest jednoznaczne określony. Stan śwata oznaczono symbolem s, dzałane symbolem a, zaś następstwo dzałana ogólne oznaczono symbolem x. Warunk ryzyka to sytuacja, gdy możlwe są różne stany otoczena, ale podejmujący decyzję zna prawdopodobeństwo ch wystąpena. Ryzyko dotyczy tu w stoce następstw, ne dzałań ze względu na to rozróżnene pojęć staje sę bardzo stotne. Informacja wówczas ma charakter probablstyczny, w przecweństwe do sytuacj nepewnośc, gdze podmot zna wszystke możlwe stany natury, lecz ne we, jake jest prawdopodobeństwo ch zajśca w rzeczywstośc (Forlcz, Jasńsk, 000, s. -). W probleme decyzyjnym tego typu perspektywa ma charakter losowy. Nazywana jest perspektywą losową albo loterą. Lotera może być prosta lub złożona. Lotera prosta to każdy dwupunktowy rozkład prawdopodobeństwa określony na parze wynków x, x. Do oznacze-

30 Elżbeta Babula, Anna Blajer-Gołębewska na loter prostej przyjęto notację (x, p, x ), gdze p to prawdopodobeństwo zajśca x. Inne oznaczena loter to x = (x, p; x, -p). Loterą złożoną nazywa sę meszankę nnych loter prostych lub złożonych (Helpern, 00, s. 60). Taką loterą będze przykładowo x =(x, q, x 3 ). Każdą loterę złożoną można przedstawć w postac zredukowanej. Postać zredukowana loter x to ((x, p, x ), q, x 3 ) = (x, pq; x, (-p)q; x 3, -q). W teor wyboru najczęścej zakłada sę, że ludze redukują lotere złożone. Wymaga to jednak przeprowadzena operacj mnożena prawdopodobeństwa. Założene to węc ne jest take oczywste. Przy tak sformułowanej notacj problem wyboru polegać będze na znalezenu takego dzałana x ze zboru wszystkch możlwych dzałań, dla którego optymalna jest użyteczność lub relacja preferencj określona na zborze następstw rozważanych dzałań. To, jaka kategora: użyteczność czy preferencje jest przedmotem optymalzacj, zależy od przyjętej teor wyboru. W lteraturze przedmotu można znaleźć bardzo wele model wyboru w warunkach ryzyka. Podstawową teorą jest model maksymalzacj użytecznośc oczekwanej von Neumanna-Morgensterna (expected utlty theory - EUT), zaś pozostałe modele nazywane są w lteraturze popularne,,teorą użytecznośc ne-oczekwanej'' (non-expected utlty theory). Pojęce to jednak ne wyznacza formalnej klasyfkacj. Można wyróżnć dwe klasyfkacje teor wyboru w warunkach ryzyka. W perwszej kryterum podzału wyznacza przyjęty rodzaj reguły decyzyjnej (Kozeleck, 975, s. 53). Ze względu na to modele można podzelć na: stratege algorytmczne, stratege heurystyczne. Perwsze z nch to systemy reguł, które są dobrze określone które pozwalają dokonać wyboru dzałana w skończonej lczbe kroków. Stratege heurystyczne to system reguł, zasad ntucj heurystycznych, które są dużo mnej dokładne określone które ne zawsze pozwalają rozwązać zadane. Druga klasyfkacja teor wyboru przyjmuje za kryterum podzału przyjęte w teor założena odnośne do preferencj w stosunku do perspektyw losowych. Ze względu na to kryterum modele dzel sę na konwencjonalne nekonwencjonalne (Starmer, 000, s. 33-333). Modelam konwencjonalnym nazywa sę te, w których zakłada sę, że wybór można wyjaśnć jako optymalzację pewnej dobrze sprawującej sę funkcj użytecznośc w warunkach ryzyka. Funkcja ta jest reprezentacją relacj preferencj, określonej na zborze wszystkch perspektyw losowych spełnającej opsane aksjomaty relacj preferencj. Do teor konwencjonalnych zalcza sę mędzy nnym teorę użytecznośc oczekwanej oraz teorę konfguralne ważonej użytecznośc (rank dependent expected utlty theory - RDEU). Teora użytecznośc oczekwanej Perwsze zastosowane modelu użytecznośc oczekwanej to rozwązane paradoksu petersburskego przez Danela Bernoullego w 738 roku. Koncepcja Bernoullego musała czekać na zanteresowane aż do 97 roku, gdy John von Neumann Oskar Morgenstern opublkowal słynną pracę Theory of choce and economc behavor. W swojej teor przyjęl on, że racjonalny agent postępuje zgodne z zasadą maksymalzacj wartośc oczekwanej użytecznośc, nazywaną zasadą Bernoullego (Helpern, 00, s. 57). Wkład von Neumanna Morgensterna do teor to udowodnene, że taka funkcja użytecznośc oczekwanej stneje. Zbudowal on aksjomatykę preferencj na jej podstawe pokazal stnene funkcj użytecznośc. Funkcja U posadająca własność: U ( x) = EU ( x) nazywana jest funkcją użytecznośc von Neumanna - Morgensterna. W praktyce funkcja użytecznośc jest neznana. Dla uproszczena konstruuje sę funk-

Interpretacja paradoksu Allasa za pomocą modelu konfguralne ważonej użytecznośc 3 cję użytecznośc na zborze obcętym do zboru tych następstw, które są pozbawone ryzyka. Jeżel następstwa te są wyrażone w jednostkach penężnych, to opsana na nch funkcja użytecznośc nazywana jest funkcją użytecznośc majątku (penądza) U(w), gdze w to wartość majątku. W dalszej kolejnośc przyjmuje sę, że użytecznoścą loter jest wartość oczekwana użytecznośc wynków, będących składowym tej loter. Zatem dla loter x = (x, p ;x, p ;K;x n, p n ) użyteczność loter będze równa: n EU = Ux ( ) p. = Zgodne z teorą von Neumanna Morgensterna wybrana zostane ta decyzja, dla której wartość oczekwana użytecznośc jest maksymalna. Wybór ten będze różny w zależnośc od kształtu krzywej użytecznośc U( ). Wklęsłość krzywej wskazuje na postawę asekuranta, wypukłość na postawę ryzykanta, zaś prosta odzwercedla postawę neutralną wobec ryzyka. Funkcja użytecznośc oczekwanej, ze względu na swoją prostą konstrukcję, spełna szereg własnośc, z których podstawowe to: skala użytecznośc jest określona jednoznaczne z dokładnoścą do przekształcena lnowego (z dokładnoścą do wyboru punktu zerowego jednostk pomaru); jest funkcją lnową ze względu na prawdopodobeństwa. Lnowość jest ścśle zwązana z aksjomatem nezależnośc (Machna, s. 5-7); jest monotonczna ze względu na wypłaty. Dla danej perspektywy losowej zwększane dowolnej wypłaty zwększa użyteczność tej loter; spełna warunek domnacj stochastycznej. Paradoks Allasa (common consequence effect) W odpowedz na teorę użytecznośc oczekwanej jej aksjomatyzację w 953 roku Maurce Allas, ekonomsta francusk, laureat Nagrody Nobla, zaproponował eksperyment podważający przewdywana teor EU. Eksperyment mał na celu pokazane wyborów nezgodnych z aksjomatem nezależnośc, a tym samym wykazujących brak lnowośc funkcj użytecznośc oczekwanej (Allas, 953). Dośwadczene Allasa pokazuje nespójność decyzyjną, która uwdaczna sę przy porównanu wyborów mędzy dwema param loter: A B oraz C D. Obrazujące paradoks Allasa gry przedstawono na rysunku. Oferowane w eksperymence wypłaty są bardzo duże, dlatego wynk eksperymentu odzwercedla ją tylko hpotetyczne wybory badanych (Conlsk, 989). Aksjomat nezależnośc dotyczy relacj prefrencj racjonalnego decydenta w warunkach ryzyka. Mów on, że jeżel następstwo x f x ( x ~ x ), to dla dowolnego prawdopodobeństwa p [ 0,] dla dowolnego następstwa x spełnone jest: ( x, p,x)f ( x, p,x) (( x, p,x)~ ( x, p,x)).oznacza to, że jeżel dwa rozważane następstwa x, x wymeszane zostaną z trzecm x, to preferencje w stosunku do otrzymanych meszanek są nezależne od użytego następstwa x. Domnacja stochastyczna mów o tym, że wraz ze zmaną rozkładu prawdopodobeństwa perspektywy losowej w ten sposób, że zwększa sę prawdopodobeństwo wypłaty wyższej, zmnejszając tym samym prawdopodobeństwo wypłaty nższej, użyteczność z loter pownna rosnąć. Innym słowy, spośród dwóch perspektyw losowych o takch samych wypłatach, domnująca jest ta, w której wyższe są prawdopodobeństwa zwązane z wyższym wypłatam (Savage, 97, s. -5).

3 Elżbeta Babula, Anna Blajer-Gołębewska Rysunek. Paradoks Allasa wypłata szansa wypłata szansa A: 00 mln; 00% B: 500 mln; 00 mln; 0; 0% 89% % C: 00 mln; 0; % 89% D: 500 mln; 0; 0% 90% Źródło: opracowane własne na podstawe: Allas M., (953), Le comportement de l homme ratonnel devant le rsque: Crtque des postulates et axomes de l ecole amercane, Econometrca, tom, nr, s. 57. Okazuje sę, że wększość osób, mając do wyboru gry A B - wybrałoby A. Jednocześne te same osoby, mając do wyboru gry C D - wybrałyby D. Istotę paradoksu można pokazać przekształcając gry Allasa do nezredukowanej formy (rysunek ). W przypadku loter A B możlwe jest wydzelene opcj, jaką jest wygrane 00 mln z prawdopodobeństwem 89%. Zgodne z aksjomatem nezależnośc, poneważ opcja ta jest wspólna dla obu ger, ne pownna meć wpływu na wybór. Wybór pomędzy A B zredukować można do wyboru pomędzy gram, z których perwsza oferuje wygraną 00 mln z prawdopodobeństwem %, zaś druga oferuje wygraną 500 mln z prawdopodobeństwem 0% albo 0 z prawdopodobeństwem %. Rysunek. Paradoks Allasa w nezredukowanej forme A: C: wypłata szansa wypłata szansa 00 mln; % B: 500 mln; 0; 0% % 00 mln; 89% 00 mln; 89% 00 mln; % D: 500 mln; 0% 0; % 0; 89% 0; 89% Źródło: opracowane własne. Podobnej redukcj można dokonać dla ger C D. W obu grach można nc ne wygrać z prawdopodobeństwem 89% (rysunek ). Jeżel, zgodne z aksjomatem nezależnośc, ten wspólny dla ger wynk ne wpływa na decyzję, to wybór mędzy C D redukuje sę do takego samego wyboru, co mędzy A B. Dlatego też z teorą użytecznośc oczekwanej zgodne są wybory A C lub B D. Jednoczesny wybór A D jest paradoksalny z punktu wdzena własnośc teor użytecznośc oczekwanej. Teora konfguralne ważonej użytecznośc (RDEU) Spośród model konwencjonalnych, poszukujących generalzacj modelu EUT, najbardzej popularnym modelem z wagam decyzyjnym jest model konfguralne ważonej użytecznośc (rank dependent expected utlty - RDEU). Autorem tej teor jest John Quggn (Quggn, 98). Zaproponował on nowy sposób modelowana nelnowych prawdopodobeństw, czyl wag decyzyjnych. Założył, że ocena prawdopodobeństwa danego wynku zale-

Interpretacja paradoksu Allasa za pomocą modelu konfguralne ważonej użytecznośc 33 ży od pozycj, którą ten wynk zajmuje w rozkładze nnych wynków (np. czy jest najlepszy czy najgorszy). Quggn doszedł do wnosku, że jeżel waga prawdopodobeństwa określonego wynku zależy od jego pozycj, to nelnowe przekształcena psychologczne są dokonywane ne na pojedynczych, ale na skumulowanych prawdopodobeństwach (Sokołowska, 005, s. 59). W teor tej wynk są uporządkowane. Jeśl x to najgorszy wynk, zaś xn najlepszy, to w teor RDEU decydent maksymalzuje funkcję z wagam: w π p +... + p ) π ( p +... + p ), dla =,..., n () = ( n + n w = π p ), dla = n () W modelu tym występuje rozróżnene mędzy wagam decyzyjnym (w), a wagam prawdopodobeństwa (π ). Proponowana jest następująca nterpretacja: funkcja ważąca prawdopodobeństwa odzwercedla,,psychofzykę ryzyka, tzn. sposób w jak jednostk subektywne,,wypaczają obektywne prawdopodobeństwa; waga decyzyjna dalej determnuje w jakm stopnu wag prawdopodobeństwa wpływają na funkcję wartośc V ( ). Perwszy człon funkcj () π ( p +... + pn ) jest subektywną wagą przypsaną do prawdopodobeństwa uzyskana wynku x lub lepszego, zaś drug człon π ( p + +... + pn ) jest wagą przypsaną do prawdopodobeństwa uzyskana wynku lepszego od x. Stąd π ( x ) jest transformacją na łącznym prawdopodobeństwe. Taka procedura przypsywana wag gwarantuje, że funkcja konfguralne ważonej użytecznośc oczekwanej V x) = w U ( x ) (3) ( jest monotonczna ze względu na welkośc wypłat oraz spełna warunek domnacj stochastycznej. Waga przypsywana do wynku w modelu RDEU może sę zmenać w zależnośc od tego, jak,,dobry lub,,zły jest wynk. Umożlwa to skrajnym wynkom osągane szczególne wysokch lub nskch wag. Dodatkowo mała zmana wartośc wynku perspektywy może meć stotny wpływ na wag decyzyjne, jeżel zmenona zostane przez to kolejność w rankngu danej loter. Ale dowolne duża zmana wartośc wynku ne będze mała wpływu na wag decyzyjne, jeżel ne zmen kolejnośc w rankngu (Starmer, 000, s. 37-38). Dzeje sę tak dlatego, że waga decyzyjna zależy tylko od prawdopodobeństwa mejsca wypłaty w rankngu. Ne zależy ona od wysokośc wypłaty. Oznacza to, że dla dwóch perspektyw losowych, jeśl jedna z wypłat ma to samo mejsce w rankngu osągana jest z tym samym prawdopodobeństwem, to ma taką samą wagę decyzyjną. Mejsce w rankngu wyznaczane jest ne tyle przez kolejność wypłat, co przez dystrybuantę rozkładu prawdopodobeństwa. Pozycją rankngową wypłaty x nazywa sę prawdopodobeństwo, że zostane osągnęta ta wypłata lub mnejsza (Decdue, Wakker, 00, s. 85). Pozycja rankngowa x jest węc równa dystrybuance F( x ) = P( x x ). Dla lepszego zrozumena stoty teor RDEU, można przeanalzować następujący przykład. Rozważane są dwe perspektywy losowe x = (5, ;0, ;5, ;0, ) oraz x = (5, ;0, loter x (b). ;30, ). Rysunek 3 przedstawa dystrybuanty rozkładu dla loter ( x (a) dla

3 Elżbeta Babula, Anna Blajer-Gołębewska Rysunek 3. Dystrybuanty rozkładów dwóch perspektyw losowych obrazujące pozycje rankngowe wypłat Źródło: Opracowane własne. Pozycja rankngowa wypłaty x = 5 perwszej loter ( F ( x ) = 0,5)), ne jest równa pozycj rankngowej tej samej wypłaty w loter drugej ( F ( x ) = 0,5)). Ne ma tu znaczena, że w obu loterach 5 jest najmnejszą wypłatą. Pozycja rankngowa zależy od prawdopodobeństwa zwązanego z daną wypłatą. Dla obu perspektyw losowych oblczono wag decyzyjne. Przyjęto, że osoba podejmująca decyzję w sposób subektywny postrzega prawdopodobeństwa, zaś przebeg funkcj ważącej prawdopodobeństwo dla tej osoby jest tak, jak na rysunku. Rysunek. Funkcja ważąca prawdopodobeństwa Źródło: Handa J., (977), Rsk, Probabltes, and a New Theory of Cardnal Utlty, Journal of Poltcal Economy, nr 85, s. 3-. Przedstawona na rysunku krzywa przedstawa funcję ważącą prawdopodobeństwa o kształce odwróconego S (nverted S-shaped functon). Konstrukcja ta pozwala uwzględnć w modelu subektywny stosunek decydenta do rozkładu prawdopodobeństwa, który polega na przeważanu prawdopodobeństw bardzo nskch zanżanu prawdopodobeństw średnch wysokch. Taką funkcję ważącą opsuje przykładowo równane:

Interpretacja paradoksu Allasa za pomocą modelu konfguralne ważonej użytecznośc 35 0,5 p π ( p) = 0,5 0,5 ( p + ( p) ). () Tabela przedstawa wynk oblczeń dla loter x. Tabela. Wag decyzyjne dla przykładowej loter Wypłata p Pozycja Waga Waga decyzyjna w rankngowa Prawdopodobeństwa w teor RDEU F π x = 5 0,5 0,5 0,7 w = π() π(0,75) = 0,53 x = 0 0,5 0,5 0,7 w = π(0,75) π(0,5) = 0, x3 = 5 0,5 0,75 0,7 w 3 = π(0,5) π(0,5) = 0,09 x = 0 0,5 0,7 w = π(0,5) = 0,7 Źródło: opracowane własne. Przyjęta funkcja ważąca o kształce odwróconego S odzwercedla skłonność decydentów do przecenana nskch prawdopodobeństw dlatego nske prawdopodobeństwo 0,5 postrzegane jest przez decydenta jako wyższe 0,7. Prawdopodobeństwa subektywne π są nezależne od welkośc wypłat. Zależą one tylko od prawdopodobeństwa, stąd waga jest jednakowa dla każdej wypłaty. Przykład lustruje, jak slny jest wpływ pozycj rankngowej wypłaty na wag prawdopodobeństwa w teor RDEU. Łatwo też zauważyć, że wag decyzyjne, określone na prawdopodobeństwach skumulowanych w teor RDEU, spełnają warunek unormowana 3. Dalej dokonano analogcznych oblczeń dla loter x. Wynk przedstawono w tabel. Tabela. Wag decyzyjne dla przykładowej loter Wypłata p Pozycja Waga Waga decyzyjna w rankngowa prawopodobeństwa w teor RDEU F π x = 5 0,5 0,5 0,35 w = π() π(0,5) = 0,6 x = 0 0,5 0,75 0,7 w = π(0,5) π(0,5) = 0,09 x3 = 30 0,5 0,7 w 3 = π(0,5) = 0,7 Źródło: opracowane własne. Porównane oblczonych wag potwerdza, że dla wypłat o tej samej pozycj rankngowej tym samym prawdopodobeństwe waga decyzyjna jest taka sama. Trzeca z kole wypłata w loter perwszej x 3 = 5 ma taką samą wagę prawdopodobeństwa jak druga z kole wypłata w loter drugej x = 0. Podobne jest dla wypłat 0 30. Z kole perwsze wypłaty w obu loterach są take same, lecz ch wag decyzyjne różną sę ze względu na różncę w x x 3 Suma wag jest równa.

36 Elżbeta Babula, Anna Blajer-Gołębewska prawdopodobeństwach. Waga decyzyjna ne zależy węc an od mejsca w kolejnośc, an też od wysokośc wypłaty. Prognozy oparte na modelu RDEU zależą od formy funkcj π ( ). Krzywzna krzywej π ( ) nterpretowana jest jako odzwercedlene optymzmu lub pesymzmu decydenta. Postawa pesymstyczna wynka z rracjonalnego przekonana, że neprzychylne zdarzena występują częścej. Pesymsta przecena węc prawdopodobeństwa ch wystąpena lub przykłada szczególne dużą wagę do tego typu zdarzeń podczas oceny perspektywy losowej. Analogczne jest w przypadku optymsty. Uważa on, że zdarzena sprzyjające występują znaczne częścej, co powoduje, że odbera on prawdopodobeństwo ch wystąpena jako wększe, nż jest w rzeczywstośc (Decdue, Wakker, 00, s. 8). Zwązek mędzy krzywzną krzywej π a optymzmem lub pesymzmem ujawn następująca analza. Formułę (), wyznaczającą wag decyzyjne, można zapsać równoważne w postac: w = π ( p + ( F)) π ( F) (5) W przypadku pesymsty, zwększane pozycj rankngowej F, czyl prawdopodobeństwa otrzymana wypłaty gorszej lub równej, prowadz do obnżana wag decyzyjnej tej wypłaty. Funkcja (5) maleje wraz ze wzrostem F, wtedy tylko wtedy, gdy funkcja π jest wypukła. Analogczne w przypadku optymsty funkcja (5) rośne wraz ze wzrostem F, co ma mejsce tylko wtedy, gdy funkcja π jest wklęsła (Decdue, Wakker, 00, s. 88). Pesymzm ma ścsły zwązek z awersją do ryzyka. Gracz pesymsta z wklęsłą krzywą użytecznośc U ( ) będze zawsze asekurantem, zaś gracz z wypukłą krzywą użytecznośc może wykazywać awersję do ryzyka, jeżel ma wystarczająco pesymstyczny stosunek do gry (Starmer, 000, s. 37-38). Take jednoparametrowe rozwnęce modelu użytecznośc oczekwanej stotne zwększyło możlwośc predykcyjne teor w odnesenu do znacznej lczby przeprowadzonych eksperymentów. Koncepcja Quggna została zaadaptowana do teor perspektywy, gdze wprowadzono wag zróżncowane dla zysków strat. Powstała w ten sposób teora skumulowanej perspektywy, rozwnęta algorytmczna wersja teor perspektywy Kahnemana Tverskego (Tversky, Kahneman, 99). Interpretacja paradoksu przy zastosowanu symulacj Kahneman Tversky za przyczynę nespójnych wyborów w eksperymence Allasa podają występowane efektu pewnośc (Kahneman, Tversky, 979, s. 66). Efekt pewnośc jest przejawem subektywnego stosunku do prawdopodobeństwa może być modelowany za pomocą funkcj ważącej prawdopodobeństwo. W mechanzm ten wyposażona jest teora RDEU, dlatego też jest ona w stane wyjaśnć efekt Allasa. W celu uzasadnena tego faktu analzowany jest przykład (analza danych symulacyjnych). W przykładze posłużono sę funkcją użytecznośc majątku asekuranta: 0 U(x) = x. Funkcja została tak dobrana, aby wyjaśnać preferencję decyzj A z pary {A, B} w teor użytecznośc oczekwanej. Funkcja ważąca prawdopodobeństwa w teor RDEU w tym przykładze jest taka sama jak poprzedno, czyl opsuje ją formuła (). Oblczena wynk pokazano w tabel 3. Efekt pewnośc (certanty effect) mów o tym, że ludze relatywne przecenają pewność, tzn. wolą pewny zysk od loter o tej samej lub wyższej wartośc oczekwanej lub też wolą loterę od pewnej straty (Tyszka, Zaleśkewcz, 00, s. 09-3).

Interpretacja paradoksu Allasa za pomocą modelu konfguralne ważonej użytecznośc 37 Tabela 3. Paradoks Allasa w teor EU RDEU Lotera Użyteczność w teor EU Użyteczność w teor RDEU A: mln EU(A) =,995 V(A) =,995 w(0.0) = 0.70 w(0.89) = 0.63 w(0.) = 0.976 B: 0, mln, 5 mln, 0.0 0.89 0. EU(B) =,990 V(B) =,6888 C: 0, mln, 0.89 0. EU(C) = 0,95 w(0.89) = 0.7960 w(0.) = 0.00 V(C) = 0,070 D: 0, 5 mln, 0.9 0. EU(D) = 0,6 w(0.9) = 0.80 w(0.) = 0.976 V(D) = 0,7 Źródło: opracowane własne. Badana empryczne wykazały, że ludze preferują loterę A nad loterę B. Zarówno w teor użytecznośc oczekwanej, jak w teor konfguralne ważonej użytecznośc użyteczność z loter A jest wyższa od użytecznośc z loter B (EU(A)>EU(B) oraz V(A)>V(B)). W teor użytecznośc oczekwanej, podmot preferujący A nad B preferować będze jednocześne perspektywę C nad D. I rzeczywśce w teor tej EU(C)>EU(D). W teor RDEU z kole take ogranczene ne występuje. Przy odpowedno dobranej funkcj ważącej prawdopodobeństwa postac (), użyteczność perspektywy D jest wyższa od użytecznośc z perspektywy C (V(D)>V(C)). Oznacza to, że stneje taka funkcja użytecznośc, która wyjaśna zachowane take jak w paradokse Allasa, zgodne z teorą konfguralne ważonej użytecznośc. Teora wyboru w warunkach ryzyka zajmuje sę mędzy nnym badanem rzeczywstych wyborów podmotów ndywdualnych oraz podejmuje próbę algorytmzacj procesów decyzyjnych. Jej rozwój przyczyna sę do poszerzana wedzy z zakresu wzorców podejmowana decyzj. Usłuje sę przy tym odróżnć zachowana uzasadnone spójne od błędnych czy przypadkowych. W wynku prowadzonych badań eksperymentalnych wyodrębnane wzorce często nazywane są paradoksam wyboru, zwłaszcza gdy okazują sę nezgodne z obowązującą teorą. Może to sugerować, że tak wzorzec zachowań jest nespójny czy neracjonalny z punktu wdzena przesłanek ekonomcznych. Przykładem takm może być opsany w artykule paradoks Allasa. Celem artykułu było pokazane pewnej słabośc metodologcznej toku myślena, mającego weryfkować założene o racjonalnośc na podstawe dorobku teor wyboru. Na postawe analzy przykładowych preferencj wykazano, że prosty eksperyment ne wnos jednoznacznych przesłanek do zanegowana założena o racjonalnośc. W ramach rozwoju teor konwencjonalnych możlwe jest wyjaśnene tego typu zachowań, co pozwala uznać je za ekonomczne uzasadnone.

38 Elżbeta Babula, Anna Blajer-Gołębewska Przedstawona analza wydaje sę wykazywać, że teora wyboru w warunkach ryzyka może służyć do badana racjonalnośc, gdyż jest w stane jednoznaczne rozstrzygać czy dany wzorzec zachowań można uznać za spójny w kontekśce tej teor formalnej defncj racjonalnośc. Jednakże wydaje sę, że jako narzędze badana racjonalnośc teora wyboru wcąż ne jest wystarczająco precyzyjna, aby na jej podstawe możlwa była negatywna weryfkacja. Trudno też ocenć, czy taka negatywna wryfkacja, czyl uznane danego zachowana za neracjonalne, będze kedykolwek możlwe. Wymagałoby to prawdopodobne wykazana, że ne stneje taka konwencjonalna teora wyboru taka relacja preferencj, które uzasadnają podjęce danej decyzj. Prawdopodobne dalsze badana w tej dzedzne pozwolą w przyszłośc rozstrzygnąć tę kwestę. BIBLIOGRAFIA:. Allas M., (953), Le comportement de l homme ratonnel devant le rsque: Crtque des postulates et axomes de l ecole amercane, Econometrca, tom, nr, s. 503 53.. Arrow K. J., (979), Eseje z teor ryzyka, PWN, Warszawa. 3. Conlsk J., (989), Three varants on the allas expample, The Amercan Economc Revew, tom 79, nr 3, s. 39 07.. Decdue E., Wakker P. P., (00), On the ntuton of rank-dependent utlty, The Journal of Rsk and Uncertanty, nr 3, s. 8-98. 5. Forlcz S., Jasńsk M., (000), Mkroekonoma, Wydawnctwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań. 6. Handa J., (977), Rsk, Probabltes, and a New Theory of Cardnal Utlty, Journal of Poltcal Economy, nr 85, s. 97-. 7. Helpern S., (00), Podejmowane decyzj w warunkach ryzyka nepewnośc, Wydawnctwo AE m. Oskara Langego we Wrocawu, Wrocaw. 8. Hrshlefer J., Glazer A., Hrshlefer D., (005), Prce theory and applcatons, Cambrdge. 9. Kahneman D., Tversky A., (979), Prospect theory: an analyss of decson under rsk, Econometrca, tom 7, nr, s. 63 9. 0. Kozeleck J., (975), Psychologczna teora decyzj, PWN, Warszawa.. Lndgren B. W., (977), Elementy teor decyzj, Wydawnctwa naukowo-tecznczne, Warszawa.. Machna M. J., (987), Choce under uncertanty: Problems solved and unsolved, Economc Perspectves, tom, nr, s. 5. 3. Savage L. J., (97), The Foundatons of Statstcs, Dover Publcatons, New York.. Sen A., (998), Ratonal behavour, w: The New Palgrave: A Dctonary of Economcs, Macmllan Reference Lmted, London. 5. Sokołowska J., (005), Psychologa decyzj ryzykownych. Ocena prawdopodobeństwa modele wyboru w sytuacj ryzykownej, wyd. Academca, Warszawa. 6. Starmer C., (000), Developments n non-expected utlty theory: The hunt for a descrptve theory of choce under rsk, Journal of Economc Lterature, tom 38, s. 33 38. 7. Tversky A., Kahneman D., (99), Advances n prospect theory: Cumulatve representaton of uncertanty. Journal of Rsk and Uncertanty, nr 5, s. 97 33. 8. Tyszka T., Zaleśkewcz T., (00), Racjonalność decyzj. Pewność ryzyko, PWE, Warszawa. 9. Quggn J., (98), A theory of antcpated utlty, Journal of Economc Behavour and Organzaton, nr 3, s. 33-33.