Paradoksy logiczne i inne 4 marca 2010
Paradoks Twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego lub nieostrości wyraŝeń prowadzące do wniosków sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi załoŝeniami. Encyklopedia Multimedialna PWN
Paradoks (potoczny) - twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem Aporia - trudność myślowa, wynikająca z nieumiejętności rozstrzygnięcia wartości argumentów za i przeciw pewnej tezie Antynomia - sprzeczność, wynikająca z rozumowania uznanego za poprawne i przesłanek uznanych za prawdziwe Sofizmat - rozumowanie często świadomie błędne, mające na celu oszukanie słuchacza lub czytelnika
Paradoksy matematyczne Paradoks Banacha-Tarskiego: KaŜde dwa ograniczone podzbiory przestrzeni R 3 o niepustych wnętrzach są równowaŝne przez rozkład skończony. W szczególności dowolna kula jest równowaŝna dwóm kulom do niej przystającym.
Paradoksy matematyczne Prosty paradoks teorio-mnogościowy: Zbiór R jest równie liczny jak przedział [0, 1]. Paradoks Skolema-Löwenheima: Istnieje przeliczalny model teorii mnogości. W szczególności, w tym modelu prawdziwe jest zdanie stwierdzające istnienie zbiorów nieprzeliczalnych.
Aporie Zenon z Elei (460-370 p.n.e.) Paradoks strzały: W kaŝdym punkcie drogi strzała jest nieruchoma, nie moŝe więc tej drogi pokonać i dotrzeć do celu. Start Cel
Demokryt (przełom V i IV w. p.n.e.) Czy pola przekrojów stoŝka są jednakowe czy róŝne?
Antynomie Bertrand Russell (1872-1970) Paradoks Russella: Niech Z = { X: X X}. Czy Z Z? Jeśli Z Z, to spełnia warunek naleŝenia do Z, więc Z Z. Jeśli Z Z, to Z nie spełnia warunku naleŝenia do Z, więc Z Z. Z Z Z Z
Gra uniwersalna Ruch 1: Wybierz grę normalną. Ruch 2: Wykonaj Ruch 1 wybranej gry. Ruch 3, 4, 5, : Wykonaj kolejny ruch wybranej gry.
Paradoks kłamcy Epimenides (VI w.p.n.e.) Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami Ja jestem kłamcą Eubulides (IV w. p.n.e.) To, co teraz mówię, jest kłamstwem (Paradoks kłamcy) czyli Z: Zdanie Z jest fałszywe
Dodatkowa wartość logiczna? Z: Zdanie Z jest fałszywe lub zdanie Z nie ma wartości logicznej Jeśli Z prawdziwe, to Z fałszywe lub nie ma wartości logicznej - a więc Z nie prawdziwe. Jeśli Z fałszywe, to Z prawdziwe (stwierdza prawdę) Jeśli Z nie ma wartości logicznej, to Z prawdziwe (stwierdza prawdę) Z: Zdanie Z nie jest prawdziwe
Z1: Zdanie Z2 jest fałszywe Z2: Zdanie Z1 jest prawdziwe Jeśli Z2 jest prawdziwe, to Z1 jest prawdziwe, więc Z2 jest fałszywe. Jeśli Z2 jest fałszywe, to Z1 nie jest prawdziwe, więc Z2 jest prawdziwe. Z1: Zdanie Z2 jest fałszywe Z2: Zdanie Z3 jest fałszywe Z3: Zdanie Z1 jest fałszywe itd...
Z1: Dla kaŝdego k>1, zdanie Zk jest fałszywe Z2: Dla kaŝdego k>2, zdanie Zk jest fałszywe... Zn: Dla kaŝdego k>n, zdanie Zk jest fałszywe... Jeśli Zn prawdziwe (dla pewnego n), to Zn+1, Zn+2, Zn+3, czyli wszystkie zdania Zk, gdy k>n, są fałszywe. Jednocześnie zdanie Zn+1 jest prawdziwe, bo zdania są fałszywe. Zn+2, Zn+3,
Dowody 1. Nieprawda, Ŝe A 2. Nieprawda, Ŝe B 3. Co najmniej jedno z tych trzech zdań jest fałszywe Wniosek: A lub B Jean Buridan (XIV w.) Dowód istnienia Boga: 1. Bóg istnieje 2. KaŜde zdanie w tej parze jest fałszywe Wniosek: Bóg istnieje.
Twierdzenie Gödla o niezupełności (I): Dla kaŝdej dostatecznie bogatej teorii niesprzecznej istnieje zdanie G takie, Ŝe ani G, ani G nie są jej twierdzeniami. Zdanie Gödla: G: nie istnieje dowód zdania G
Twierdzenie Gödla o niezupełności (II): Jeśli dostatecznie bogata teoria jest niesprzeczna, to jej niesprzeczności nie moŝna w niej udowodnić. Jeśli to A: teoria jest niesprzeczna, B: nie istnieje dowód zdania G A: Teoria jest niesprzeczna B: Nie istnieje dowód zdania G Jeśli A i A B, to B
Sofizmaty... Twierdzenie: e = π. Lemat: dla kaŝdej liczby naturalnej n prawdziwe jest zdanie Jeśli m n, to m = n. Dowód lematu: Dla n=1: jeśli m 1, to m=1, zatem m=n. ZałóŜmy, Ŝe zdanie z lematu jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n. Niech m n+1. Wtedy m 1 n i z załoŝenia indukcyjnego m 1 = n. Stąd m = n+1.
Dowód twierdzenia: 2 e 3 3 π 4 Z lematu, 2 = 3, zatem e = 3 Z lematu, 3 = 4, zatem π = 3. Stąd e = π
Trójkąt o dwóch kątach prostych
K O N I E C Dziękuję za uwagę