ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

Transkrypt

1 ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy wystawianiu oceny za rozwiązanie zadania na dowodzenie kierowano się zasadą, że dowód matematyczny powinien być kompletny i tylko w wyjątkowych sytuacjach można uznać, iż zdający pokonał zasadnicze trudności zadania, mimo że nie doprowadził rozwiązania do końca. W tym opracowaniu, będącym kontynuacją pierwszej części, pokazuję 22 kolejne zadania geometryczne na dowodzenie, w większości o podobnym stopniu trudności jak zadania ze wspomnianych wyżej arkuszy. Przyjmuję natomiast, że za poprawne rozwiązaniekażdegoztychzadańprzyznajesię2lub3pkt(3pktwprzypadkuzadańzarkusza rozszerzonego). Kwestia, za jakie rozwiązanie częściowe można przyznać 1 pkt(lub 2 pkt w przypadku zadania za 3 pkt), jest w każdym przypadku sprawą dyskusyjną. W pierwszej części pokazałem trzy typy zadań na dowodzenie. Pierwszy polegał na tzw. rachunku kątów. rugi typ zadań to proste nierówności geometryczne, w dowodzie których wykorzystuje się tzw. nierówność trójkąta. Wreszcie trzeci typ zadań to zadania, w których korzysta się z przystawania trójkątów. W tej części pokazuję zadania, w których korzystamy z twierdzenia Pitagorasa oraz z podstawowych twierdzeń dotyczących geometrii okręgu. hcę tu zwrócić uwagę na to, że niektóre zadania zostały sformułowane jako zadania na dowodzenie, chociaż główna część dowodu to po prostu obliczenie(np. wykorzystujące twierdzenie Pitagorasa). hciałem w ten sposób uwidocznić, że niektóre zadania obliczeniowe są w istocie zadaniami, w których konieczne jest przeprowadzenie rozumowania, a obliczenie jest tylko jego częścią. Główna część rozwiązania może polegać na ułożeniu równania; rozwiązanie tego równania jest już sprawą rutynową. Ułożenie równania czasem wymaga rozumowania na tyle nietrywialnego, że kwalifikuje zadanie nie jako zadanie ze standardu modelowanie czy strategia, ale jako zadanie na rozumowanie, wnioskowanie. We wszystkich przedstawionych dowodach korzystamy z następujących twierdzeń geometrycznych, które powinny być dobrze znane każdemu maturzyście: 1. Twierdzenie Pitagorasa. 2. Twierdzenie o kątach środkowych i wpisanych. 3. Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą. 4. Twierdzenie o równości odcinków stycznych. 5. Warunki konieczne i wystarczające na to, by czworokąt można było wpisać w okrąg lub opisać na okręgu. 6. Twierdzenie o współliniowości środków okręgów i punktu styczności. 1

2 1. Twierdzenie Pitagorasa ZNI 1. any jest prostokąt i dowolny punkt P położony wewnątrz tego prostokąta. Udowodnij,żeP 2 +P 2 =P 2 +P anyjesttrójkątprostokątny,wktórym =90.Wtymtrójkąciepoprowadzonośrodkowei.Udowodnij,że4 ( )= Przekątne i czworokąta wypukłego są prostopadłe. Udowodnij, że = Geometria okręgu 4. anyjestokrągośrodkuoipromieniur.ięciwętegookręguprzedłużono pozapunktdopunktutakiego,że=r.półprostaoprzecinaokrąg wdwóchpunktachi;punktleżynazewnątrzodcinkao,punktleży wewnątrztegoodcinka.udowodnij,że O=3. 5. waokręgiprzecinająsięwpunktachi.odcinkiisąśrednicamitych okręgów. Udowodnij, że punkty, i są współliniowe. 6. ane są dwa okręgi: odcinek jest średnicą pierwszego, punkt jest środkiem drugiego. Prosta przechodząca przez punkt przecina pierwszy okrąg w punkcie K różnymodiprzecinadrugiokrągwpunktachmin.udowodnij,żekm=kn. 7. Punkty 1, 2,..., 12 dzieląokrągna12równychłuków,takjaknarysunku: P Q ięciwa 8 3 przecinacięciwy 11 7 i 11 5 odpowiedniowpunktachpiq. Udowodnij,żetrójkątPQ 11 jestrównoramienny. 8. Trójkątrównobocznyjestwpisanywokrąg.Punktleżynakrótszymłuku.Punktleżynaodcinkuoraz=.Udowodnij,żetrójkąty i są przystające. 9. W trójkącie ostrokątnym poprowadzono wysokości i. Udowodnij, że = i =. 10. Punktleżynabokukwadratu.KwadratFGleżynazewnątrz kwadratu. Okręgi opisane na tych kwadratach przecinają się w punktach ih.udowodnij,żepunkty,hifsąwspółliniowe. 2

3 11. Trójkątyrównoboczneisąpołożonetak,żepunktleżywewnątrz odcinkaorazwierzchołkiileżąpotejsamejstronieprostej.okręgi opisanenatychtrójkątachprzecinająsięwpunktachif.udowodnij,żepunkty,fisąwspółliniowe. 12. Na bokach i trójkąta ostrokątnego zbudowano, na zewnątrz trójkąta, dwa trójkąty równoboczne i. Okręgi opisane na tych trójkątach równobocznychprzecinająsięwpunktachif.udowodnij,żepunkty,fisą współliniowe. 13. Nabokach,itrójkątawybranoodpowiedniopunkty,iF. OkręgiopisanenatrójkątachFiFprzecinająsięwpunktachFiG.Udowodnij,że G= wa okręgi przecinają się w punktach i. Prosta przechodząca przez punkt przecinateokręgiwpunktachiróżnychod;prostaprzechodzącaprzez punktprzecinateokręgiwpunktachifróżnychod(zob.rysunek). F Udowodnij, że proste i F są równoległe. 15. waokręgiprzecinająsięwpunktachi.prosteprzechodząceprzezpunkty iprzecinająjedenztychokręgówwpunkcieróżnymodiorazprzecinają drugiokrągodpowiedniowpunktachiróżnychodi.prostakjeststyczna do pierwszego okręgu w punkcie (zob. rysunek). k Udowodnij, że prosta k jest równoległa do prostej. 3

4 16. W czworokącie wypukłym poprowadzono przekątną. Okręgi wpisane w trójkąty i są styczne zewnętrznie. Udowodnij, że w czworokąt można wpisać okrąg. 3. Okręgi styczne 17. anyjestodcinekodługości2.punktyisąśrodkamiokręgówopromieniu 2. Udowodnij, że okrąg styczny do prostej oraz styczny wewnętrznie do obu okręgówośrodkachi(zob.rysunek),mapromieńrówny anyjesttrójkątrównobocznyobokudługości2.punkty,isąśrodkami okręgów o promieniu 2. Udowodnij, że okrąg zawarty wewnątrz tych trzech okręgów,stycznywewnętrzniedonich(zob.rysunek),mapromieńrówny 2 3 (3 3). 19. anyjestodcinekodługości2.punktyisąśrodkamiokręgówopromieniu 2. Udowodnij, że okrąg styczny do prostej, styczny zewnętrznie do okręgu 4

5 ośrodkuorazstycznywewnętrzniedookręguośrodku(zob.rysunek),ma promieńrówny Twierdzenie Pitagorasa i okręgi 20. Wierzchołkiczworokątaobokachdługościa,b,cidleżąnaokręguopromieniu r. Jeden kąt tego czworokąta jest prosty. Udowodnij, że jeszcze co najmniej jedenkątjestprostyoraza 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r WokręguośrodkuOipromieniurpoprowadzonodwieprostopadłecięciwyodługościach2ai2bprzecinającesięwpunkcieP.Udowodnij,żeOP 2 +a 2 +b 2 =2r Wierzchołkiczworokątaobokachdługościa,b,cidleżąnaokręguopromieniu r. Przekątne tego czworokąta są prostopadłe. Udowodnij, że a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r 2. 5

6 1. Twierdzenie Pitagorasa ROZWIĄZNI ZŃ 1. any jest prostokąt i dowolny punkt P położony wewnątrz tego prostokąta. Udowodnij,żeP 2 +P 2 =P 2 +P 2. Rozwiązanie.NiechiFbędąrzutamipunktuPnabokiiprostokąta. F P Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy P 2 +P 2 = 2 +P 2 +F 2 +FP 2 oraz P 2 +P 2 = 2 +P 2 +F 2 +FP 2. Ponieważ=Fi=F,więcP 2 +P 2 =P 2 +P 2. Uwaga. Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego punktu P(położonego niekoniecznie na tej samej płaszczyźnie co prostokąt ). 2. anyjesttrójkątprostokątny,wktórym =90.Wtymtrójkąciepoprowadzonośrodkowei.Udowodnij,że4 ( )=5 2. Rozwiązanie. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów i. Mamywówczas 2 = = 2 + ( 1 2 ) 2 = ,czyli 4 2 = Podobniedowodzimy,że4 2 = odając stronami dwie ostatnie równości dostajemy: 4 ( )=5 ( )=5 2. 6

7 3. Przekątne i czworokąta wypukłego są prostopadłe. Udowodnij, że = Rozwiązanie. Niech P będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta. P Mamy wówczas =P 2 +P 2 +P 2 +P 2 =P 2 +P 2 +P 2 +P 2 = Uwaga.Warunek = jestwarunkiemkoniecznymiwystarczającym na to, by przekątne i czworokąta wypukłego były prostopadłe. 2. Geometria okręgu 4. anyjestokrągośrodkuoipromieniur.ięciwętegookręguprzedłużono pozapunktdopunktutakiego,że=r.półprostaoprzecinaokrąg wdwóchpunktachi;punktleżynazewnątrzodcinkao,punktleży wewnątrztegoodcinka.udowodnij,że O=3. Rozwiązanie.Oznaczmyα=.Ponieważ=r=O,więc O=α. O α KątOjestkątemzewnętrznymtrójkątaO,więc O=2α.TrójkątOjest równoramienny,więc O=2αistąd O=180 4α.Zatem O=180 O O=180 (180 4α) α=3α, czyli O=3. 7

8 5. waokręgiprzecinająsięwpunktachi.odcinkiisąśrednicamitych okręgów. Udowodnij, że punkty, i są współliniowe. Rozwiązanie. Poprowadźmy odcinek. Ponieważjestśrednicąjednegozdanychokręgów,więc =90.Podobnie jestśrednicądrugiegookręgu,awięc =90.Stądwynika,że =180, czylipunkty,isąwspółliniowe. 6. ane są dwa okręgi: odcinek jest średnicą pierwszego, punkt jest środkiem drugiego. Prosta przechodząca przez punkt przecina pierwszy okrąg w punkcie K różnymodiprzecinadrugiokrągwpunktachmin.udowodnij,żekm=kn. Rozwiązanie.PonieważpunktKleżynaokręguośrednicy,więc K=90. M K N PunktKjestwięcrzutempunktunaprostąMN.PonieważpunktyMiNleżąna okręguośrodku,więcpunktleżynasymetralnejodcinkamn;tąsymetralnąjest zatemprostak.stądwynika,żekm=kn. 8

9 7. Punkty 1, 2,..., 12 dzieląokrągna12równychłuków,takjaknarysunku: P Q ięciwa 8 3 przecinacięciwy 11 7 i 11 5 odpowiedniowpunktachpiq. Udowodnij,żetrójkątPQ 11 jestrównoramienny. Rozwiązanie.Najpierwzauważamy,że P 11 Q= =2 15 =30.orysujmyterazcięciwę P Q Mamy wówczas Q 3 5 = =3 15 =45 oraz Q 5 3 = =4 15 =60. MożemyterazobliczyćmiarętrzeciegokątatrójkątaQ 5 3 : 5 Q 3 = =75. Stąddostajemy PQ 11 =75 oraz QP 11 = =75.Ponieważ PQ 11 = QP 11,więcP 11 =Q Trójkątrównobocznyjestwpisanywokrąg.Punktleżynakrótszymłuku.Punktleżynaodcinkuoraz=.Udowodnij,żetrójkąty i są przystające. 9

10 Rozwiązanie.Nacięciwierysujemytakipunkt,by=. Ponieważ = =60 oraz=,więctrójkątjestrównoboczny. Zatem=.Ponieważ=oraz =60 =,więc trójkąty i są przystające(cecha K). Uwaga.Zprzystawaniatrójkątówiwynikawszczególności,że=. Zatem=+=+.Udowodniliśmyzatemtwierdzeniemówiące,że jeśli trójkąt równoboczny jest wpisany w okrąg oraz punkt leży na krótszym łuku,to+=.taksformułowanezadaniebyłozadaniemolimpijskim. 9. W trójkącie ostrokątnym poprowadzono wysokości i. Udowodnij, że = i =. Rozwiązanie.Ponieważkątyisąproste,więcpunktyileżąnaokręgu o średnicy. zworokąt jest więc wpisany w okrąg. Zatem =180,skądwynika,że =.Podobniedowodzimy,że =. 10. Punktleżynabokukwadratu.KwadratFGleżynazewnątrz kwadratu. Okręgi opisane na tych kwadratach przecinają się w punktach ih.udowodnij,żepunkty,hifsąwspółliniowe. 10

11 Rozwiązanie.PołączmypunktHzpunktami,iF. H F G Ponieważ punkt H leży na okręgu opisanym na kwadracie, więc H= =90. PunktHleżytakżenaokręguopisanymnakwadracieFG.Zatem HF= F=90. Stądwynika,że HF=180,czylipunkty,HiFsąwspółliniowe. Uwaga.Możnaudowodnić,żepunkty,HiGsąwspółliniowe,atakże,żepunkty, ihsąwspółliniowe.stądwynika,żeproste,gifprzecinająsięwjednym punkcie. 11. Trójkątyrównoboczneisąpołożonetak,żepunktleżywewnątrz odcinkaorazwierzchołkiileżąpotejsamejstronieprostej.okręgi opisanenatychtrójkątachprzecinająsięwpunktachif.udowodnij,żepunkty,fisąwspółliniowe. Rozwiązanie.PołączmypunktFzpunktami,,i. F PunktFleżynaokręguopisanymnatrójkącie.Zatem F= =60 oraz F = =60.PonieważpunktF leżyteżnaokręguopisanymna trójkącie,więc F= =60.Stądwynika,że F=180.Punkty,Fisąwięcwspółliniowe. 11

12 12. Na bokach i trójkąta ostrokątnego zbudowano, na zewnątrz trójkąta, dwa trójkąty równoboczne i. Okręgi opisane na tych trójkątach równobocznychprzecinająsięwpunktachif.udowodnij,żepunkty,fisą współliniowe. Rozwiązanie.PołączmypunktFzpunktami,,i. F PunktFleżynaokręguopisanymnatrójkącie.Zatem F= =60 oraz F = =60.PonieważpunktF leżyteżnaokręguopisanymna trójkącie,więc F= =60.Stądwynika,że F=180.Punkty,Fisąwięcwspółliniowe. Uwaga. Punkt F nazywamy punktem Torricellego. Jest to punkt, dla którego suma odcinkówf+f+fjestnajmniejsza. 13. Nabokach,itrójkątawybranoodpowiedniopunkty,iF. OkręgiopisanenatrójkątachFiFprzecinająsięwpunktachFiG.Udowodnij,że G= +. Rozwiązanie.Oznaczmykątyiliteramiαiβ.PołączmypunktGzpunktami,iF. G α F β zworokątfgjestwpisanywokrąg,więc GF=180 α.podobniepokazujemy, że GF=180 β.stądotrzymujemy G=360 GF GF=360 (180 α) (180 β)=α+β. 12

13 Uwaga. Z powyższego zadania wynika wniosek: na czworokącie G można opisać okrąg.inaczejmówiąc,okręgiopisanenatrójkątachf,fimająpunkt wspólny. Tak sformułowane twierdzenie nosi nazwę twierdzenia Miquela i jego treść była zadaniem olimpijskim. 14. wa okręgi przecinają się w punktach i. Prosta przechodząca przez punkt przecinateokręgiwpunktachiróżnychod;prostaprzechodzącaprzez punktprzecinateokręgiwpunktachifróżnychod(zob.rysunek). F Udowodnij, że proste i F są równoległe. Rozwiązanie. Narysujmy odcinek. F zworokątjestwpisanywokrąg.stądwynika,że =180. Kątyisąprzyległe,więc =.zworokątfjestwpisany wokrąg,więc + F=180.Stądwynika,że F+ F=180,awięc prosteifsąrównoległe. 15. waokręgiprzecinająsięwpunktachi.prosteprzechodząceprzezpunkty iprzecinająjedenztychokręgówwpunkcieróżnymodiorazprzecinają drugiokrągodpowiedniowpunktachiróżnychodi.prostakjeststyczna 13

14 do pierwszego okręgu w punkcie (zob. rysunek). k Udowodnij, że prosta k jest równoległa do prostej. Rozwiązanie.NarysujmyodcinekiwybierzmypunktFnaprostejktakjakna rysunku: F Ztwierdzeniaokąciemiędzystycznąicięciwąwynika,że F=.Ponieważ kątyisąprzyległe,więc F+ =180.zworokątjest wpisanywokrąg,więc + =180.Stądwynika,że F=. Równość tych kątów naprzemianległych dowodzi, że proste F i są równoległe. 16. W czworokącie wypukłym poprowadzono przekątną. Okręgi wpisane w trójkąty i są styczne zewnętrznie. Udowodnij, że w czworokąt można wpisać okrąg. Rozwiązanie. Niech okrąg wpisany w trójkąt będzie styczny do boków tego trójkątawpunktachk,lisiniechokrągwpisanywtrójkątbędziestycznydo 14

15 bokówtegotrójkątawpunktachs,min,takjaknarysunku: N M S K L Mamy wówczas(na podstawie twierdzenia o równości odcinków stycznych): Stąd K=S=N, L=S=M, K=L, M=N. +=K+K+M+M=N+L+L+N=+, co dowodzi, że w czworokąt można wpisać okrąg. 3. Okręgi styczne 17. anyjestodcinekodługości2.punktyisąśrodkamiokręgówopromieniu 2. Udowodnij, że okrąg styczny do prostej oraz styczny wewnętrznie do obu okręgówośrodkachi(zob.rysunek),mapromieńrówny

16 Rozwiązanie. Niech punkt O będzie środkiem rozważanego okręgu stycznego do dwóch danychokręgówidoprostej.niechsitbędąpunktamistycznościtegookręgu zokręgiemośrodkuizprostą(zob.rysunek): O S T Niech r będzie promieniem okręgu o środku O. Zauważmy, że wówczas T=1, OT=r, O=2 r. Ostatniarównośćwynikaztego,żepunkty,OiSsąwspółliniowe.Ztwierdzenia PitagorasadlatrójkątaTOotrzymujemyT 2 +OT 2 =O 2,czyli 1 2 +r 2 =(2 r) 2. Jedynymrozwiązaniemtegorównaniajestr= anyjesttrójkątrównobocznyobokudługości2.punkty,isąśrodkami okręgów o promieniu 2. Udowodnij, że okrąg zawarty wewnątrz tych trzech okręgów,stycznywewnętrzniedonich(zob.rysunek),mapromieńrówny 2 3 (3 3). 16

17 Rozwiązanie. Niech O będzie środkiem rozważanego okręgu stycznego do trzech danychokręgówiniechsbędziepunktemstycznościtegookręguzokręgiemośrodku (zob. rysunek): O S OczywiściepunktOjestśrodkiemciężkościtrójkątaorazpunkty,OiSsą współliniowe. Mamy wówczas OS=S O= = 2 3 (3 3). 19. anyjestodcinekodługości2.punktyisąśrodkamiokręgówopromieniu 2. Udowodnij, że okrąg styczny do prostej, styczny zewnętrznie do okręgu ośrodkuorazstycznywewnętrzniedookręguośrodku(zob.rysunek),ma promieńrówny

18 Rozwiązanie. Niech punkt O będzie środkiem rozważanego okręgu stycznego do danychokręgówośrodkachi.niechnastępniesitbędąpunktamistycznościokręgu ośrodkuozokręgamiośrodkachi.wreszcieniechmbędziepunktemstyczności okręguośrodkuozprostą(zob.rysunek): T S O M Przyjmijmy oznaczenia: M=x, OM=r. Punkty,SiOsąwspółiniowe,więcO=2+r.Podobniepunkty,OiT są współiniowe,więco=2 r.ztwierdzeniapitagorasadlatrójkątówmoimo otrzymujemy równania M 2 +OM 2 =O 2, M 2 +OM 2 =O 2, czyli (2+x) 2 +r 2 =(2+r) 2, x 2 +r 2 =(2 r) 2. Przekształcamypierwszerównanie,podstawiając(2 r) 2 wmiejscex 2 +r 2 : (2+x) 2 +r 2 =(2+r) 2, 4+4x+x 2 +r 2 =4+4r+r 2, 4x+(2 r) 2 =4r+r 2, 4x+4 4r+r 2 =4r+r 2, 4x+4 4r=4r, x=2r 1. Obliczonąwartośćxpodstawiamydorównaniax 2 +r 2 =(2 r) 2 : x 2 +r 2 =(2 r) 2, (2r 1) 2 +r 2 =(2 r) 2, 4r 2 4r+1+r 2 =4 4r+r 2, 4r 2 =3, 18

19 skądotrzymujemyr= Twierdzenie Pitagorasa i okręgi 20. Wierzchołkiczworokątaobokachdługościa,b,cidleżąnaokręguopromieniu r. Jeden kąt tego czworokąta jest prosty. Udowodnij, że jeszcze co najmniej jedenkątjestprostyoraza 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r 2. Rozwiązanie. Niech =a, =b, =c, =d. Załóżmy, że kąt jest prosty. Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym wynika, że przekątna jest średnicą okręgu, a następnie, że kąt jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów i wynika teraz, że a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =( )+( )= =2 (2r) 2 =8r WokręguośrodkuOipromieniurpoprowadzonodwieprostopadłecięciwyodługościach2ai2bprzecinającesięwpunkcieP.Udowodnij,żeOP 2 +a 2 +b 2 =2r 2. Rozwiązanie. Poprowadźmy w okręgu o środku O i promieniu r prostopadłe cięciwy =2ai=2b.NiechMiNbędąrzutamiśrodkaOnacięciwyi.Niech ponadto P będzie punktem przecięcia obu cięciw. P M N O 19

20 MamywówczasM=aiN=b.ZtwierdzeniaPitagorasadlatrójkątówMO inodostajemy OM 2 =O 2 M 2 =r 2 a 2 oraz ON 2 = 2 N 2 =r 2 b 2. zworokąt P N OM jest prostokątem, więc skądwynika,żeop 2 +a 2 +b 2 =2r 2. OP 2 =OM 2 +ON 2 =2r 2 (a 2 +b 2 ), 22. Wierzchołkiczworokątaobokachdługościa,b,cidleżąnaokręguopromieniu r. Przekątne tego czworokąta są prostopadłe. Udowodnij, że Rozwiązanie. Niech a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r 2. =a, =b, =c, =d. NiechPbędziepunktemprzecięciaprzekątnychiiniechpunktyMiNbędą środkami tych przekątnych. Niech wreszcie P=x, P=y, P=z, P=t. P M N O Mamy wówczas Stąd wynika, że 2 =P 2 +P 2 =x 2 +y 2, 2 =P 2 +P 2 =y 2 +z 2, 2 =P 2 +P 2 =z 2 +t 2, 2 =P 2 +P 2 =t 2 +x 2. a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =2(x 2 +y 2 +z 2 +t 2 ). 20

21 Ponieważ =x+z=2 x+z 2 więc z poprzedniego zadania dostajemy oraz =y+t=2 y+t 2, ( (x+z ) 2 ( )) 2 y+t OP 2 =2r Następnie Zatem PM=M P= x+z 2 PN=N P= y+t 2 x= z x, 2 t= y t 2. ( ) 2 ( ) 2 x+z y+t 2r 2 =OP = 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x+z y+t =PM 2 +PN = 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 z x y t x+z y+t = = = z2 2xz+x 2 +y 2 2yt+t 2 +x 2 +2xz+z 2 +y 2 2yt+t 2 4 = x2 +y 2 +z 2 +t 2. 2 = Stąd wynika, że czyli x 2 +y 2 +z 2 +t 2 =4r 2, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r 2. Uwaga. W zadaniach 20 i 22 udowodniliśmy, że jeśli w czworokącie o bokach długości a,b,cidwpisanymwokrągopromieniurprzekątnesąprostopadłelubconajmniej jeden kąt jest prosty, to a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r 2. Można udowodnić także twierdzenie odwrotne: jeśli w czworokącie o bokach długości a, b,cidwpisanymwokrągopromieniurzachodzirówność a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =8r 2, to przekątne tego czworokąta są prostopadłe lub co najmniej jeden kąt jest prosty. owód tego twierdzenia jest jednak znacznie trudniejszy; twierdzenie to było treścią zadania olimpijskiego. 21