Rozdzał 6 Programowane secowe Metody programowana secowego są to technk planowana złożonych przedsęwzęć organzacyjnych stosowane w celu zapewnena sprawnego przebegu ch realzacj. Metody wykorzystujące sec czynnośc zaczęto stosować w latach 4. XX weku w zwązku z realzacją przedsęwzęć o zastosowanach główne mltarnych. W połowe lat. powstały najbardzej znane algorytmy CPM (ang. Crtcal Path Method) oraz PERT (ang. Program Evaluaton and Revew Technque) stosowane w programowanu secowym [19]. Programowane secowe stosuje se jako narzędze wspomagające planowane przedsęwzęć w takch dzedznach, jak: produkcja oprogramowana, wdrażane systemów nformatycznych, procesy techncznego przygotowana produkcj, przedsęwzęca badawczo-rozwojowe, modernzacja zakładów przemysłowych, duże przedsęwzęca nwestycyjne, produkcja złożonych wyrobów na zamówene. Do oceny projektów stosuje sę zwykle jedno lub klka z następującego zboru kryterów: całkowty czas realzacj, całkowty koszt realzacj, ryzyko, NPV (ang. Net Present Value) zaktualzowana wartość netto. Całkowty czas realzacj jest podstawowym kryterum oceny projektu, gdyż nedotrzymane termnów zwykle skutkuje wysokm karam. Najczęścej stosowaną metodą wyznaczana mnmalnego czasu trwana projektu jest metoda śceżk krytycznej (CPM), którą omówmy w punkce 6.1. Zwykle projekt charakteryzuje sę ne tylko umownym termnem zakończena, ale równeż określonym budżetem, którego przekroczene powoduje, że zysk wykonawcy są mnejsze od spodzewanych, a nawet może on przyneść straty. Ponadto w pewnych sytuacjach można skrócć czas trwana poszczególnych czynnośc, ponosząc dodatkowe koszty (np. na zatrudnene dodatkowych pracownków). Analza czasowo-kosztowa (CPM/MCX), omówona w punkce 6., pozwala ustalć, które czynnośc o le warto skrócć, aby najlepej wykorzystać
78 Rozdzał 6. Programowane secowe środk przeznaczone na skrócene czasu realzacj projektu. Jednym z najwększych problemów pojawających sę podczas stosowana metod secowych jest określene czasów trwana poszczególnych czynnośc. Metody te dotyczą przedsęwzęć o nskej powtarzalnośc, a zatem możlwośc wykorzystana danych hstorycznych są newelke. Dlatego zwykle oszacowana czasów trwana czynnośc są obarczone dosyć dużym błędem, nosąc ze sobą wysoke ryzyko nedotrzymana termnu realzacj. Mnmalzacja ryzyka jest jednym z celów planowana. Do oceny ryzyka zwązanego z czasem wykonana projektu wykorzystuje sę metodę PERT, którą przedstawmy w punkce 6.3. Najbardzej zaawansowaną marą jakośc projektu, ważną zwłaszcza w wypadku projektów trwających bardzo długo, jest zaktualzowana wartość netto, która pozwala wyrazć koszty realzacj na poszczególnych etapach realzacj projektu z uwzględnenem kosztów zamrożena skutków nflacj. 6.1. Metoda śceżk krytycznej Przedsęwzęca składające sę z dużej lczby wzajemne powązanych czynnośc nazywa sę często projektam. Projekt jest to jednorazowe nepow- tarzalne przedsęwzęce weloczynnoścowe o netypowej strukturze przebegu, którego realzacja wymaga zwykle czasu oraz ogranczonych zasobów. 6.1.1. Przykład Załóżmy, że grupa studentów zanteresowanych pewnym problemem wykraczającym poza ramy programu studów planuje zorganzować semnarum pośwęcone temu zagadnenu z udzałem klku wybtnych wykładowców z różnych uczeln. Studenc planują pozyskać sponsorów wydrukować streszczena prezentowanych wykładów. Osobną sprawą jest wybór mejsca przeprowadzena semnarum. Organzatorzy borą pod uwagę sale na uczeln lub poza ną. Ostateczny wybór będze zależał od dostępnośc sal w ustalonym termne oraz kosztów ch wynajęca. Należy też zadbać o rozpowszechnene nformacj o semnarum wśród kolegów. W tym celu zostaną wydrukowane plakaty ulotk. Lstę czynnośc, jake należy przeprowadzć, aby zrealzować plan, przedstawono w tablcy 6.1. Ustalono równeż kolejność wykonywana poszczególnych czynnośc przewdywany czas ch wykonana. Dane te równeż przedstawono w tablcy. Ile dn przed planowanym termnem semnarum należy rozpocząć jego przygotowywane, aby ulotk materały semnaryjne zostały na czas wydrukowane?
6.1. Metoda śceżk krytycznej 79 Tablca 6.1. Lsta czynnośc zwązanych z organzacją semnarum Czynność Ops Czynnośc Czas trwana poprzedzające 1 Ustalene lsty wykładowców Ustalene lsty możlwych lokalzacj 3 Pozyskane sponsorów 1 4 Nadsyłane streszczeń wykładów 1 7 Ustalene lokalzacj 8 6 Ustalene lsty wystąpeń 4 6 7 Opracowane materałów 4 8 8 Opracowane rozesłane ulotek, 6 9 9 Druk materałów 3, 7 7 6.1.. Analza sytuacj decyzyjnej Zauważmy, że pewne czynnośc mogą być wykonywane równolegle, co pownno skrócć czas przygotowana semnarum. Zależnośc kolejnoścowe mędzy czynnoścam wynkające z tablcy 6.1. można przedstawć za pomocą grafu. Przyjmemy, że łuk w grafe reprezentują poszczególne czynnośc, natomast węzły nazwemy zdarzenam. Zdarzene jest punktem w czase oznaczającym moment rozpoczęca lub zakończena jakejś czynnośc. W dalszym cągu będzemy oznaczać czynność jako parę, j, gdze oznacza zdarzene rozpoczynające czynność, a j oznacza zdarzene kończące czynność. Graf czynnośc w rozważanym przykładze przedstawa rysunek 6.1. Zdarzena oznaczono lteram alfabetu. A E 7 8 7 START C F 6 9 B 8 D Rys. 6.1. Seć czynnośc
8 Rozdzał 6. Programowane secowe 6.1.3. Model matematyczny Jak wspomnano, grafy są wygodnym narzędzem do modelowana projektów. Przyjmjmy, że dane są: dyskretny skończony zbór czynnośc (zadań), zbór ogranczeń kolejnoścowych, dyskretny skończony zbór atrybutów opsujących każdą czynność, takch jak: czas realzacj, koszt realzacj, zapotrzebowane na zasoby. Zbór czynnośc wynka bezpośredno z zakresu projektu. Ustalene lsty czynnośc jest zadanem bardzo ważnym, a przy tym wymagającym dośwadczena wyobraźn. Nekedy wprowadza sę tzw. czynnośc pozorne, których czas realzacj oraz zapotrzebowana zasobowe są zerowe. Wprowadzene tych czynnośc jest koneczne w celu reprezentacj ogranczeń kolejnoścowych mędzy zdarzenam, mędzy którym ne występują zwykłe czynnośc (jest to zwązane z reprezentacją czynnośc na łukach grafu). Kolejność czynnośc wynka z ogranczeń modelowanego projektu. Mogą to być ogranczena: technologczne, o charakterze czasowym, wynkające z nepodzelnośc nesubstytucyjnośc zasobów, o charakterze blansowym. Ogranczena technologczne wynkają z charakteru samego projektu przyjętego sposobu realzacj. W naszym przykładze ulotk można wydrukować dopero, gdy znane jest mejsce przeprowadzena semnarum lsta referatów. Ogranczena o charakterze czasowym występują na przykład, gdy jakaś czynność ne może sę rozpocząć przed ustalonym termnem, nezwązanym z zakończenem żadnej nnej czynnośc. Przykładem takego ogranczena może być data rozpoczęca nwestycj zwązana z datą obowązywana określonych przepsów. Jeżel wykonawca projektu dysponuje np. jedną koparką, to pomędzy czynnoścam wymagającym użyca kopark można ustalć ogranczena kolejnoścowe w celu unknęca konflktu zasobowego. W ogólnośc ogranczena zasobowe modeluje sę jednak nezależne od kolejnoścowych. Mamy wówczas do czynena z problemam rozdzału zasobów w systemach typu kompleks operacj, które należą do najtrudnejszych problemów kombnatorycznych. Omawane tych problemów wykracza poza zakres nnejszego skryptu. Określene wartośc atrybutów też na ogół sprawa sporo trudnośc. Ustalene czasu trwana czy kosztu realzacj czynnośc jest możlwe tylko w pewnym przyblżenu. Możlwe są dwa sposoby konstruowana grafu ogranczeń kolejnoścowych:
6.1. Metoda śceżk krytycznej 81 czynnośc występują na łukach, czynnośc występują w węzłach. Zwykle w zadanach programowana secowego stosuje sę ten perwszy sposób. Węzły grafu odpowadają wtedy zdarzenom (momentom rozpoczęca lub zakończena czynnośc). Etykety na łukach mogą zawerać nformację o wartoścach atrybutów zwązanych z czynnoścą (czas, koszt, zapotrzebowane na zasoby). Na rysunku 6.1. etykety na łukach oznaczają czas wykonana poszczególnych czynnośc. Przyjęta konwencja zapewna, że otrzymany graf, nazywany secą czynnośc, posada następujące własnośc: jest grafem prostym (mędzy dowolną parą werzchołków występuje co najwyżej jeden łuk ne występują pętle), jest grafem spójnym, jest grafem skerowanym, ne zawera dróg cyklcznych, ma jedno zdarzene początkowe jedno zdarzene końcowe. 6.1.4. Metoda śceżk krytycznej Z punktu wdzena teor grafów rozwązane zadana polega na znalezenu najdłuższej śceżk w grafe. Metoda pełnego przeglądu, polegająca na oblczenu długośc wszystkch śceżek, a następne wyborze najdłuższej z nch, jest neefektywna oblczenowo. Znana jest jednak znaczne sprawnejsza metoda, nazywana metodą śceżk krytycznej, którą przedstawmy ponżej. Jest to perwsza metoda analzy secowej, która została opracowana około roku 196. Długość najdłuższej śceżk w grafe, którą znajduje sę za pomocą metody CPM, wyznacza najkrótszy możlwy czas realzacj projektu. W metodze tej zakłada sę, że seć jest w postac kanoncznej, czyl zarówno struktura sec, jak czasy trwana czynnośc są determnstyczne. Wygodnym sposobem reprezentacj grafu jest macerz sąsedztwa, czyl kwadratowa macerz, w której a j oznacza lczbę krawędz pomędzy werzchołkam oraz j. W przypadku grafów prostych macerz sąsedztwa jest macerzą zerojedynkową z zeram na głównej przekątnej. Macerz sąsedztwa grafu z rysunku 6.1. przedstawa tablca 6.. Zacznemy od ponumerowana werzchołków w grafe tak, aby zdarzene oznaczające początek czynnośc mało nższy numer nż zdarzene oznaczające konec tej czynnośc. W tym celu zastosujemy algorytm porządkowana warstwowego. Algorytm porządkowana warstwowego Krok 1. Zbuduj bnarną macerz przejść dla sec czynnośc; k :=. Krok. Do warstwy w k zalcz zdarzena odpowadające zerowym kolumnom aktualnej macerzy przejść; k := k + 1.
8 Rozdzał 6. Programowane secowe Tablca 6.. Macerz sąsedztwa grafu z rysunku 6.1 j START A B C D E F START 1 1 A 1 1 B 1 C 1 1 D 1 E 1 F Krok 3. Wykreśl z macerzy przejść zerowe kolumny oraz wersze o tych samych numerach. Krok 4. Jeżel są jeszcze newykreślone kolumny, to wróć do kroku, w przecwnym raze zakończ. W sec z rysunku 6.1. do warstwy w zalczymy jedyne werzchołek START. Po wykreślenu perwszego wersza kolumny w macerzy sąsedztwa zerowe kolumny odpowadają zdarzenom A B, a zatem w 1 = {A, B}. Po kolejnych skreślenach otrzymujemy w = {C}, w 3 = {D, E} oraz w 4 = {F }. Werzchołek START w warstwe w otrzymuje numer 1. Następne numery (kolejne lczby naturalne) przydzelamy werzchołkom wg kolejnośc warstw. Werzchołkom należącym do tej samej warstwy przydzelamy numery w dowolnej kolejnośc. Numeracja werzchołków w grafe z rysunku 6.1. została zastosowana na rysunku 6.. Z każdym zdarzenem wążemy najwcześnejszy możlwy termn wystąpena tego zdarzena oraz najpóźnejszy dopuszczalny termn wystąpena tego zdarzena. Jeżel przyjmemy jakś termn rozpoczęca projektu T w, to najwcześnejszy możlwy termn T w wystąpena zdarzena, = 1,..., n, jest to najwcześnejszy moment, w którym wszystke czynnośc, dla których jest zdarzenem końcowym, zostaną wykonane. Jeżel założymy jakś termn zakończena całego projektu Tn, p to najpóźnejszy dopuszczalny termn T p wystąpena zdarzena, = 1,..., n 1 jest to najpóźnejszy moment, dla którego wszystke czynnośc wymagające do swego rozpoczęca wystąpena zdarzena zostaną zakończone ne późnej nż w Tn. p Metodę śceżk krytycznej przedstawmy przy założenu, że graf sec spełna następujące warunk: zawera jedno zdarzene początkowe, zawera jedno zdarzene końcowe, zdarzena są ponumerowane zgodne z ch następstwem w czase, T1 w =, Tn p = Tn w.
6.1. Metoda śceżk krytycznej 83 Powyższe założena ne zmnejszają ogólnośc przedstawonego algorytmu, gdyż każdą seć czynnośc można łatwo sprowadzć do wymaganej postac. Nech z 1...., z k będze zborem zdarzeń początkowych (końcowych) w grafe. Dodając fkcyjne zdarzene początkowe z (końcowe z n+1 ) oraz czynnośc pozorne z, z, = 1,..., k ( z, z n+1, = 1,..., k), otrzymujemy graf równoważny z punktu wdzena metody CPM. Odpowedne ponumerowane werzchołków wyznaczamy za pomocą algorytmu porządkowana warstwowego, a ostatne dwa warunk traktujemy jako warunk początkowe. Dodatkowo przyjmemy następujące oznaczena: G(V, E) graf o zborze werzchołków V zborze łuków E, Γ = {j :, j E} zbór następnków zdarzena, Γ 1 j = { :, j E} zbór poprzednków zdarzena, t j czas trwana czynnośc, j, L = T p T w luz zdarzena, Zj c = T p j T w t j całkowty zapas czasu dla czynnośc, j. Jeżel L =, to zdarzene nazywamy zdarzenem krytycznym, natomast jeżel Zj c =, to czynność, j jest czynnoścą krytyczną. Metoda śceżk krytycznej Krok 1. T1 w :=. Krok. := + 1. Krok 3. Wyznacz najwcześnejszy termn wystąpena zdarzena : T w = max j Γ 1{Tj w + t j }. Krok 4. Jeżel < n, to wróć do kroku. Krok. Tn p := Tn w. Krok 6. := 1. Krok 7. Wyznacz najpóźnejszy termn wystąpena zdarzena : = mn j Γ {T p j t j}. Krok 8. Jeżel > 1, to wróć do kroku 6. Krok 9. Dla każdej czynnośc, j oblcz Zj c = T p j T w t j. T p Czynnośc krytyczne wyznaczają śceżkę krytyczną, czyl taką, dla której suma czasów wykonana czynnośc krytycznych jest najwększa. Wartość tej sumy (długość śceżk krytycznej) wynos Tn w ograncza od dołu czas realzacj projektu. Inaczej mówąc, śceżka krytyczna jest to taka śceżka w grafe czynnośc, która prowadz od zdarzena początkowego do zdarzena końcowego zawera jedyne czynnośc krytyczne. Wynk dzałana algorytmu dla projektu zdefnowanego w tablcy 6.1. przedstawono na rysunku 6.. Oblczene zapasu czasu dla czynnośc przedstawono w tablcy 6.3.
84 Rozdzał 6. Programowane secowe 1 7 9 8 3 9 17 17 6 9 7 4 6 4 7 8 1 4 1 T w L T p etykety zdarzena Rys. 6.. Śceżk krytyczne 6.1.. Analza rozwązana W sec czynnośc może stneć węcej nż jedna śceżka krytyczna tak jest w rozważanym przykładze. Jedna śceżka krytyczna to, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, a druga to, 1, 1, 3, 3,,, 6. Oczywśce obe śceżk krytyczne mają tę sama długość, czyl 4. Oznacza to, że przygotowana do semnarum należy rozpocząć najpóźnej 4 dn przed planowanym termnem jego rozpoczęca. Wynk oblczeń przedstawone w tablcy 6.3. pozwalają na bardzej szczegółową analzę projektu. Poza całkowtym zapasem każdej czynnośc, oblczono także wartośc zapasów: nezależnego: Tj w T p t j oraz swobodnego: Tj w T w t j. Łatwo zauważyć, że zachodz następująca zależność: Zj n Zs j Zj c, a zatem dla czynnośc krytycznych wszystke zapasy czasu są równe zero. W analzowanym projekce jedyne trzy czynnośc mają nezerowy zapas czasu. Są to dwe czynnośc zwązane z ustalenem mejsca przeprowadzena semnarum oraz pozyskane sponsorów. Sporządzane lsty możlwych lokalzacj (czynność, ) można przedłużyć maksymalne o dwa dn, czyl tyle, le wynos zapas całkowty. Zapas nezależny swobodny tej czynnośc są równe zero. Z defncj zapasów wynka, że wydłużene tej czynnośc o dn jest możlwe tylko wtedy, gdy rozpoczne sę ona w najwcześnejszym możlwym termne spowoduje, że zdarzene wystąp w najpóźnejszym możlwym termne. W wypadku czynnośc, 4 występuje zapas swobodny, węc czynność tę można wydłużyć o dwa dn, ale tylko wtedy, gdy rozpoczne sę ona
6.. Analza czasowo-kosztowa 8 Tablca 6.3. Oblczene zapasu czasu dla czynnośc w sec z rysunku 6., j t j T w T p Tj w T p j Zj c Zj s Zj n, 1, 7 1, 3 7 9 9 1, 17 17 1 1 1, 4 8 7 1 1 3, 4 6 9 9 1 1 3, 8 9 9 17 17 4, 6 9 1 1 4 4, 6 7 17 17 4 4 Czynnośc krytyczne oznaczono pogrubona czconką w najwcześnejszym możlwym termne, gdyż zapas nezależny jest równy zero. Pozyskwane sponsorów (czynność 1, ) można wydłużyć o 1 dn, nawet jeżel rozpoczne sę ono w najpóźnejszym dopuszczalnym termne, ne opóźnając zdarzena, gdyż zapas nezależny tej czynnośc wynos 1. Spóźnene jakejkolwek czynnośc krytycznej spowoduje opóźnene całego projektu. Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną kwestę, manowce, że zdarzena krytyczne ne wyznaczają jednoznaczne śceżk krytycznej. Zauważmy, że zdarzena 1, 3 są krytyczne wyznaczają dwe śceżk: 1, oraz 1, 3, 3,, z których tylko ta druga jest krytyczna. Dlatego jednoznaczne wyznaczene śceżk krytycznej wymaga oblczena całkowtego zapasu czasu dla czynnośc. 6.. Analza czasowo-kosztowa W nektórych sytuacjach czasy trwana pewnych czynnośc można skrócć, przeznaczając do ch wykonana dodatkowe zasoby (np. zatrudnając węcej osób). Take rozwązane powoduje jednak wzrost kosztów realzacj projektu. W metodze CPM ne berze sę pod uwagę kosztów, ale w praktyce stanową one na równ z dotrzymanem termnów stotne kryterum oceny jakośc projektu. W tym punkce przedstawmy metodę pozwalającą analzować projekt z punktu wdzena zarówno czasu, jak kosztów jego realzacj. Przedstawona ponżej metoda analzy czasowo-kosztowej nazywa sę nekedy metodą CPM/MCX (ang. Crtcal Path Method/Mnmum Cost Expedtng). W metodze tej zakłada sę, że zachodz lnowa zależność mędzy czasem trwana czynnośc a jej kosztem. Czas trwana czynnośc, j ne może być krótszy nż pewen czas granczny t g j ne jest dłuższy nż czas normalny tn j. Koszt Kj n realzacj czynnośc w czase normalnym nazywamy kosztem normalnym, a w czase grancznym kosztem grancznym Kj n. Naturalne są zależnośc: t g j t j t n j oraz Kn j K j K g j, gdze t j, K j są odpowedno rzeczywstym czasem kosztem wykonana czynnośc. Przyrost kosztów przy skrócenu czasu wykonana czynnośc o jednostkę oblczamy jako
86 Rozdzał 6. Programowane secowe a j = Kg j Kn j K n j Kg j (6.1) nazywamy średnm gradentem kosztu. Załóżmy, że przy organzacj semnarum można zatrudnć dodatkową osobę. Wtedy czynność zwązaną z opracowanem materałów można skrócć o dn, ale dodatkowy koszt wynese 1 zł. Podobne opracowane ulotek można skrócć o 3 dn, ale to zwększy koszt o 4 zł. Ustalene lsty wystąpeń można wykonać najkrócej w cągu 4 dn za dodatkowe 1 zł. Ponadto lstę możlwych lokalzacj można opracować w cągu 3 dn za dodatkowe 1 zł. Czas trwana pozostałych czynnośc ne zależy od lczby osób zaangażowanych w ch realzację, węc ne można ch skrócć. Na podstawe powyższych nformacj można wylczyć średn gradent kosztu dla każdej czynnośc. Wynk zebrano w tablcy 6.4. Tablca 6.4. Koszty skrócena czynnośc zwązanych z organzacją semnarum, j t n j t g j Kj n K g j a j, 1 1 1, 3 37 6 1, 3 7 7 4 4 1, 3 3, 4 8 8 6 6 3, 4 6 4 3 4 7 3, 8 6 8 9 4, 6 9 6 6 84 8, 6 7 7 1 1 Interesujące jest, o le można maksymalne skrócć czas przygotowana semnarum jake będą zwązane z tym koszty. Inna kwesta to, o le można skrócć czas przygotowań, jeżel koszt można zwększyć co najwyżej o 1 zł. Zauważmy, że skrócene czynnośc, która ne jest krytyczna (np., ), ne spowoduje skrócena czasu trwana projektu. Wyberzmy zatem czynność krytyczną, której skrócene o jednostkę kosztuje najmnej, czyl taką, dla której a j ma najmnejszą wartość. Jest to czynność 3,. Zauważmy, że skrócene tej czynnośc równeż ne przynese skrócena czasu trwana projektu, jeżel ne skrócmy śceżk 3, 4, 4, 6. Poneważ a 34 < a 46, wyberzmy czynność 3, 4 skróćmy równocześne czynnośc 3, 3, 4 o mn{t n 3 tg 3, tn 34 tg 34 } =. Dodatkowy koszt z tym zwązany wynese +7 = 1 zł. W tej sytuacj, jak wdać na rysunku 6.3, skrócene czynnośc 4, 6 ne ma sensu. Zatem można skrócć czas przygotowań co najwyżej o dwa dn. Co do drugego pytana, to możemy skrócć te same czynnośc (a co za tym dze cały projekt) o 1 dzeń za kwotę 6, zł. Organzatorzy semnarum mogą zdecydować, który warant jest dla nch najbardzej korzystny.
6.. Analza czasowo-kosztowa 87 1 7 9 6 3 9 13 13 4 9 7 6 7 8 1 4 1 Rys. 6.3. Śceżka krytyczna po skrócenu czynnośc Ogólny sposób postępowana w analze czasowo-kosztowej nos nazwę Algorytmu kompresj przebega w sposób następujący [17]. Algorytm kompresj Krok 1. Znaleźć śceżkę krytyczną dla zadana z normalnym czasam wykonana czynnośc. Krok. Zestawć czynnośc krytyczne, podać ch gradenty kosztów a j oraz czasy granczne t g. Krok 3. Wyelmnować z zestawena te czynnośc, dla których t g = tn. Krok 4. Proces skracana rozpocząć od czynnośc krytycznej o najnższym gradence kosztów a j. Krok. Należy starać sę skrócć czas trwana czynnośc o jak najwększą lczbę jednostek, respektując dwa ogranczena: czas granczny danej czynnośc t g, pojawene sę nowej śceżk krytycznej. Krok 6. W wypadku gdy stneją dwe lub węcej śceżk krytyczne w sec, należy skracać czas o tę samą welkość na wszystkch równoległych śceżkach krytycznych. Krok 7. Najkrótszy termn wykonana programu uzyskuje sę, gdy wszystke czynnośc na którejkolwek śceżce krytycznej osągną czasy granczne. Krok 8. Koszty przyspeszena czynnośc oblcza sę, mnożąc lczbę jednostek czasu, o które czynność została skrócona przez jej gradent kosztów. Krok 9. Całkowty koszt skrócena czasu realzacj projektu oblczamy jako sumę kosztów ponesonych na poszczególnych etapach.
88 Rozdzał 6. Programowane secowe 6.3. Metoda PERT Trudnośc zwązane z precyzyjnym określenem czasów trwana czynnośc spowodowały, że zaczęto poszukwać metody uwzględnającej nepewność zwązaną z realzacją projektu. Zastosowane klasycznej analzy statystycznej ne jest możlwe ze względu na małą powtarzalność przedsęwzęć. Jedną z perwszych metod analzy przedsęwzęć uwzględnającą nepewność czasów trwana czynnośc jest metoda PERT. W metodze tej przyjmuje sę arbtralne, że rozkład czasu trwana czynnośc jest rozkładem beta. Jest to rozkład cągły o gęstośc wyrażonej wzorem 6.: f(t) = H(t a) p 1 (b t) q 1 dla a < t < b (6.) gdze a, b, p, q są parametram rozkładu, a H jest stałą zależną od parametrów. Parametry te w metodze PERT zastępuje sę trzema wartoścam, które są stosunkowo łatwe do ustalena: optymstycznym czasem trwana czynnośc (a), pesymstycznym czasem trwana czynnośc (b) oraz najbardzej prawdopodobnym czasem trwana czynnośc (m), gdze a m b. Na podstawe tych wartośc można oszacować wartość średną t warancję σ czasu trwana czynnośc: t e = a + 4m + b 6 (6.3) σ (b a) = (6.4) 36 Celem analzy wg metody PERT jest oszacowane prawdopodobeństw wystąpena ujemnych luzów zdarzeń (6.): P {L < } = P {T p T w < } (6.) Prawdopodobeństwa te można wyznaczyć, znając rozkład prawdopodobeństwa zmennej losowej L = T p T w korzystając z twerdzena grancznego Lapunowa (zob. [1]). Przy dość ogólnych założenach suma zmennych losowych wyrażających czasy trwana czynnośc ma rozkład asymptotyczne normalny N( T w, σ T w ), w gdze T = max { T j w + t e j} (6.6) σ T w = j Γ 1 σ T w k + σ t e k (6.7) gdze k jest ndeksem zdarzena, dla którego T w = T k w + te k. Podobne oblczamy wartość średną warancję rozkładu zmennej T p. W konsekwencj rozkład
6.3. Metoda PERT 89 zmennej losowej L jest w przyblżenu normalny: ( N T p T ) w, σt w + σ T p Prawdopodobeństwa ujemnych luzów zdarzeń oblczamy zatem jako: P {L < } = Φ T p T w (6.8) + σ T p σ T w gdze Φ(x) jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(, 1). Pamętamy przy tym, że dystrybuanta rozkładu normalnego N(, 1) jest symetryczna, a zatem Φ( x) = 1 Φ(x). Metoda PERT polega zatem na wykorzystanu metody CPM do wyznaczena wartośc oczekwanych oraz warancj termnów T w T p. Pojęce śceżk krytycznej trac sens ze względu na to, że czasy trwana czynnośc są zmennym losowym. Prawdopodobeństwo ujemnego luzu zdarzena pozwala ocenć szanse na dotrzymane termnów pośrednch realzacj projektu. Gdy prawdopodobeństwo przekroczena termnu jest duże (np.,8), to uważa sę, że termn jest obarczony znacznym ryzykem. Można założyć, że studenc organzujący semnarum ne potrafą dokładne określć czasów trwana poszczególnych czynnośc, łatwej m podać wartośc optymstyczne, pesymstyczne najbardzej prawdopodobne. Wartośc te zebrano w tablcy 6.. Tablca 6.. Czas trwana czynnośc zwązanych z organzacją semnarum t Czynność j a m b t e j σj, 1 1 4 3,67,44, 3 7,,44 1, 3 1,33 1,78 1, 7 14 7,83,, 4 1 8 9 7, 1,8 3, 4 3 9 1 8,, 3, 8 14 8,, 4, 6 7 1 7,17,69, 6 1,83,69 Przypuśćmy, że na realzację projektu przewdzano 6 dn. Wyznaczamy najwcześnejsze najpóźnejsze termny wystąpena zdarzeń, a w końcu prawdopodobeństwo ujemnego luzu zgodne ze wzoram (6.6)-(6.8). Wynk oblczeń zestawono w tablcy 6.6. Wartośc w ostatnej kolumne tablcy 6.6. oznaczają prawdopodobeństwo ujemnych luzów poszczególnych zdarzeń. Prawdopodobeństwo, że projekt ne zostane zrealzowany w termne 6 dn, wynos,81.
9 Rozdzał 6. Programowane secowe Tablca 6.6. Oblczene prawdopodobeństw ujemnych luzów zdarzeń T w σ T w T p σ T w T p T w u = T p T w σ T p +σ T w Φ( u ) 1 3,67,44, 4,7 1,33,86,81,,44 11,83,47 6,83 4,11, 3 9,, 1,33,94 1,33,86,81 4 17, 4,47 18,83,69 1,33,86,81 17, 4,47,17,69,67,1731,11 6 4,67,17 6,, 1,33,86,81 6.4. Zadana Zadane 6.1. Opracowano lstę czynnośc składających sę na pewen projekt budowlany (tab. 6.7). Tablca 6.7. Lsta czynnośc projektu Lp. Czynność Czas trwana czynnośc 1 1, 1, 3 3 1, 4 4 4, 3, 6 6., 7 6 7 3, 7 8 4, 8 4 9 4, 11 1 1, 9 7 11 6, 9 8 1 6, 1 13 7, 11 6 14 8, 14 1 9, 1 3 16 1, 1 8 17 11, 13 18 1, 1 6 19 13, 1 14, 1 3 a) Jak jest mnmalny czas potrzebny na wykonane całego projektu? b) Które czynnośc mogą zostać spóźnone o le, aby zapewnć termnową realzację projektu? c) O le skróc sę czas wykonana projektu, jeżel czas trwana czynnośc 6, 9 zmaleje o jednostk?
6.4. Zadana 91 Zadane 6.. Pewen projekt składa sę z 1 czynnośc, których czas trwana zbory poprzednków podano w tablcy 6.8. Należy narysować seć czynnośc tego projektu oraz wyznaczyć śceżkę krytyczną podać najkrótszy możlwy czas realzacj tego projektu. Tablca 6.8. Lsta czynnośc projektu Czynność Czynnośc poprzedzające Czas trwana czynnośc 1-6 1 4 3 1 8 4 6 9 6. 9 7 3,4 11 8 3.4 9 9 6,7 6 1 6,7 7 11 6,7 9 1,8,9 4 13 6,7 4 14 11,13 4 1 1,1 4 Zadane 6.3. Pewen projekt nformatyczny wymaga wykonana 11 czynnośc, dla których znane są normalne granczne czasy wykonana oraz odpowadające m koszty. Dane te zestawono w tablcy 6.9. Tablca 6.9. Koszty skrócena czynnośc w projekce nformatycznym Lp. Czynność t n j t g j Kj n K g j 1 1, 1 1 6 1, 3 6 6 4 4 3 1, 4 7 4 4, 1 13 37, 6 1 8 74 8 6. 3, 6 8 3 1 7 4, 6 1 1 1 8 4, 7 6 9, 8 17 38 446 1 6, 8 11 7, 8 16 1 7 9 a) Narysować seć czynnośc tego projektu. b) Jak jest najkrótszy możlwy czas realzacj tego projektu? Jak jest koszt tego skrócena?
9 Rozdzał 6. Programowane secowe c) O le maksymalne można skrócć projekt, ne zwększając jego kosztów o węcej nż 3 zł? d) Jake czynnośc o le należy skrócć, aby czas trwana całego projektu skrócć o 3 dn przy możlwe najmnejszym koszce? Ile wynos koszt tego skrócena? Zadane 6.4. Pewen projekt nformatyczny można wykonać przy zastosowanu dwóch technolog. Charakterystyk czynnośc występujących w obu projektach podano w tablcach 6.1. oraz 6.11. Który z warantów daje wększą szansę zakończena projektu przed termnem, który upływa za 7 dn? Tablca 6.1. Szacowane czasy trwana czynnośc w warance I Czynność Czas trwana czynnośc a m b 1, 9 1 1 1, 3 7 7 7 1, 4 1 3 8, 1 6 3, 6 9 9 13 3, 7 8 8 8 4, 7 1 3 7, 8 9 1 14 6, 8 7 8 11 7, 8 9 1 1 Tablca 6.11. Szacowane czasy trwana czynnośc w warance II Czynność Czas trwana czynnośc a m b 1, 7 7 8 1, 3 3 8 1, 4 4 1, 3 1 1 1, 3, 6 1 11 11 3, 7 8 8 4, 7 3 1 1, 8 3 4 6 6, 8 6 6 6 7, 8 9 9 1 Zadane 6.. Oszacowano optymstyczny, pesymstyczny najbardzej prawdopodobny czas trwana każdej czynnośc w procese montażu slnka okrętowego zestawono
6.4. Zadana 93 je w tablcy 6.1. Należy podać prawdopodobeństwo dotrzymana termnu wynkającego z umowy, który upływa za dn. Tablca 6.1. Szacowane czasy trwana czynnośc w procese naprawy slnka okrętowego Czynność Czas trwana czynnośc a m b 1, 3 7 11 1, 3 3 6 1, 4 7 8 1, 4 6 8 3, 4 6 8 1 3, 6 7 1 17 4, 4 7 1 4, 6 1 3 4, 8 3 7 11, 8 7 7, 9 8 11 6, 7 4 8 1 7, 8 6 8 1 7, 1 14 7, 11 4 8 1 8, 1 3 1 17 9, 1 4 6 9, 1 7 9 17 1, 13 3 6 9 11, 13 4 7 1 1, 13 7 1 13