Pytania na egzaminie magisterskim dotycz gªównie zagadnie«zwi zanych z tematem pracy magisterskiej. Nale»y by przygotowanym równie» na pytania sprawdzaj ce podstawow wiedz ze wszystkich zaliczonych wykªadów. Poni»ej podane s przykªadowe pytania. Liczby Rzeczywiste. Ci gi. Szeregi. Rachunek Ró»niczkowy i Caªkowy Funkcji Jednej Zmiennej. 1. - Denicja liczby pierwszej. Dowód faktu,»e liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele. 2. - Denicja liczby algebraicznej. Dowód istnienia liczb niealgebraicznych. 3. - Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych. 4. - Denicja zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przykªady takich zbiorów. 5. - Dowód nieprzeliczalno±ci zbioru liczb rzeczywistych. 6. - Dowód nieprzeliczalno±ci zbioru liczb niealgebraicznych. 7. - Denicja liczby niewymiernej. Przykªady liczb niewymiernych. 8. - Dowód niewymierno±ci liczby 2. 9. - Zasada indukcji matematycznej. Przykªady dowodów wykorzystuj - cych zasad indukcji. 10. - Rozwini cia dziesi tne liczb rzeczywistych. 11. - Podstawowe twierdzenia o ci gach liczbowych (z dowodami). 12. - Denicja kresu górnego i dolnego. Udowodni,»e ka»dy ci g monotoniczny i ograniczony na prostej rzeczywistej jest zbie»ny. 13. - Kryteria zbie»no±ci szeregów. Przykªady szeregów zbie»nych i rozbie»- nych. 14. - Dowód rozbie»no±ci szeregu harmonicznego.
15. - Wykaza,»e funkcja ci gªa okre±lona na odcinku domkni tym jest ograniczona. 16. - Wªasno±c Darboux funkcji okre±lonej na odcinku, denicja i zastosowania. 17. - Przykªad funkcji nie maj cej wªasno±ci Darboux. Zwi zek mi dzy wªasno±ci Darboux i ci gªo±ci funkcji. 18. - Funkcje jednostajnie ci gªe. Przykªady. 19. - Denicja pochodnej w punkcie funkcji rzeczywistej. Interpretacja geometryczna i zyczna. 20. - Wzór na pochodn funkcji zªo»onej. 21. - Zwi zek mi dzy ci gªo±ci i ró»niczkowalno±ci funkcji. 22. - Denicja n tej pochodnej. Przykªad funkcji maj cej pierwsz i drug pochodn i nie maj cej trzeciej pochodnej. 23. - Twierdzenie Rolle'a. 24. - Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej. Interpretacja geometryczna. 25. - Twierdzenie Taylora i jego zastosowania. 26. - Warunki konieczne i wystarczaj ce na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej okre±lonej na prostej rzeczywistej. 27. - Funkcja pierwotna, denicja, podstawowe wªasno±ci. 28. - Caªka Riemanna. Denicja i podstawowe wªasno±ci. 29. - Przykªad funkcji rzeczywistej okre±lonej na odcinku domkni tym niecaªkowalnej w sensie Riemanna. 30. - Podstawowe twierdzenie rachunku caªkowego. 31. - Caªkowanie przez cz ±ci. Przykªady zastosowa«. 32. - Caªkowanie przez podstawienie. Przykªady zastosowa«.
33. - Zastosowania caªek oznaczonych do obliczania obj to±ci bryª, pól powierzchni i dªugo±ci krzywych. Topologia 34. - Przestrzenie metryczne i ich przykªady. Kula, wn trze zbioru i zbiór otwarty. Domkni cie i zbiór domkni ty. 35. - Denicja ci gu zbie»nego w przestrzeni metrycznej. Przykªady ci gów zbie»nych i rozbie»nych. 36. - Denicja ci gªo±ci funkcji w sensie Cauchy'ego oraz sformuªowania równowa»ne: w j zyku ci gów (warunek Heinego) i w j zyku przeciwobrazów. 37. - Spójne przestrzenie metryczne. Opis wszystkich spójnych podzbiorów prostej. 38. - Zwarte przestrzenie metryczne. Twierdzenie Cantora i Twierdzenie Borela-Lebesgue'a. 39. - Wªasno±ci funkcji ci gªych na przestrzeniach zwartych. 40. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych w R n. 41. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych przestrzeni funkcji ci gªych okre±lonych na odcinku domkni tym. Twierdzenie Arzéli-Ascoliego. 42. - Przestrzenie zupeªne, przykªady. Zwi zek mi dzy zwarto±ci i zupeªno±ci. 43. - Poj cie przestrzeni topologicznej. Baza topologii. Przykªady przestrzeni topologicznych i niemetrycznych. 44. - Ci gªe odwzorowania przestrzeni topologicznych. Homeomorzmy. Funkcje Wielu Zmiennych 45. - Denicja pochodnych cz stkowych. Zwi zek mi dzy istnieniem pochodnych cz stkowych i ci gªo±ci funkcji.
46. - Denicja pochodnej funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Zwi zek miedzy istnieniem pochodnej i ci gªo±ci funkcji. 47. - Twierdzenie o funkcji odwrotnej. 48. - Gradient funkcji i pochodna kierunkowa. Denicja i interpretacja geometryczna. 49. - Twierdzenie o funkcji uwikªanej. Wzór na pochodn funkcji uwikªanej. 50. - Warunki konieczne i wystarczaj ce istnienia ekstremum funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych. 51. - Szukanie warto±ci minimalnej i maksymalnej funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych okre±lonej na zbiorze zwartym. 52. - Ekstrema warunkowe. Mno»niki Lagrange'a. 53. - Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. 54. - Caªka Riemanna z funkcji ci gªej wielu zmiennych. Denicja i podstawowe wªasno±ci. 55. - Miara Jordana zbioru, podstawowe jej wªasno±ci. 56. - Miara Jordana i Lebesgue'a zbioru liczb wymiernych na odcinku. 57. - Obliczanie caªek n-krotnych. Twierdzenie Fubiniego. 58. - Jakobian funkcji. Denicja i interpretacja geometryczna. 59. - Wzór na zamian zmiennych w caªce n-krotnej i jego zastosowania. 60. - Caªka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Denicja i interpretacja zyczna. 61. - Pole potencjalne. Kryteria potencjalno±ci pola. Caªka krzywoliniowa z pola potencjalnego. 62. - Wzór Greena i jego zastosowania. 63. - Caªki powierzchniowe zorientowane i niezorientowane. Denicje, podstawowe wªasno±ci, interpretacja zyczna.
64. - Dywergencja pola wektorowego. Denicja i interpretacja zyczna. 65. - Caªka z dywergencji pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa. 66. - Rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa. Funkcje Zespolone 67. - Pochodna funkcji zespolonej. Denicja, interpretacja moduªu i argumentu pochodnej. 68. - Wzory Cauchy'ego - Riemanna. 69. - Zwi zek mi dzy istnieniem pochodnej a rozwijalno±cia funkcji w szereg pot gowy. 70. - Caªka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Wzór caªkowy Cauchy'ego. 71. - Szereg Laurenta. Wzór na wspóªczynniki tego szeregu. 72. - Residua funkcji zespolonej. Zastosowanie do obliczania caªek z funkcji rzeczywistej. Równania Ró»niczkowe 73. - Caªkowanie równa«ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych, w ró»- niczce zupeªnej, liniowych. 74. - Twierdzenie Peano o istnieniu rozwi za«zagadnienia Cauchy'ego. 75. - Twierdzenie Picarda- Lindelofa. 76. - Równania ró»niczkowe liniowe drugiego rz du. 77. - Ukªady równa«liniowych. Portrety fazowe ukªadów równa«liniowych na pªaszczy¹nie. Rachunek Prawdopodobie«stwa
78. - Klasyczna i aksjomatyczna denicja prawdopodobie«stwa. Podstawowe wªasno±ci prawdopodobie«stwa. 79. - Dowód ci gªo±ci prawdopodobie«stwa na ci gach zdarze«wst puj - cych i zst puj cych. 80. -Poj cie zm. losowej, wektora losowego, rozkªadu, rozkªadów brzegowych, parametrów rozkªadu- warto± oczekiwana i wariancja, podstawowe wªasno±ci. 81. - Podstawowe rozkªady dyskretne i absolutnie ci gªe. 82. - Nierówno± Czebyszewa i jej dowód- przykªady zastosowa«. 83. - Niezale»no± zmiennych losowych, splot rozkªadów. Dowód wªasno±ci: E(XY ) = EXEY, dla niezale»nych zm. losowych X, Y. 84. - Rozkªady warunkowe, warunkowa warto± oczekiwana - podstawowe w wªasno±ci. 85. -Rodzaje zbie»no±ci ci gów zmiennych losowych: zbie»no± z prawdopodobie«stwem jeden, wg prawdopodobie«stwa, zb. w L 2, zb.wg rozkªaduzwi zki miedzy nimi. 86. - Mocne i Sªabe Prawo Wielkich Liczb ( Chinczyna, Koªmogorowa). 87. - Funkcja charakterystyczna rozkªadu i jej wªasno±ci-zwiazek z rozkªadem ( tw. Bochnera). 88. - Centralne Tw. Graniczne Lindenberga -Levy`ego. Przykªady zastosowa«- aproksymacja rozkª dem normalnym. Analiza Funkcjonalna 89. - Przestrzenie Banacha i ich przykªady. 90. - Przykªady przestrzeni Hilberta i ich przykªady. 91. - Przykªad przestrzeni Banacha, która nie jest przestrzeni Hilberta. 92. - Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha
93. - Posta funkcjonaªu liniowego na przestrzeni Hilberta. 94. - Charakteryzacja przestrzeni Banacha niesko«czonego wymiaru. Algebra Liniowa 95. - Ukªady równa«liniowych, posta kanoniczna Gaussa-Jordana, Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. 96. - Przestrzenie wektorowe (przykªady). Liniowa niezale»no± wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej. 97. - Przeksztaªcenia liniowe i ich macierzowe reprezentacje. Twierdzenie o wymiarze obrazu i j dra przeksztaªcenia liniowego. 98. - Wielomian charakterystyczny i warto±ci wªasne macierzy. Diagonalizacja macierzy. 99. - Iloczyn skalarny wektorów, suma prosta podprzestrzeni, dopeªnienie ortogonalne podprzestrzeni. Algebra Abstrakcyjna 100. - Denicja i przykªady grup. Podgrupy, warstwy i Twierdzenie Lagrange'a. 101. - Homomorzm grup, grupy ilorazowe i Twierdzenie o homomorzmie. 102. - Pier±cienie i ciaªa (denicje i przykªady). Twierdzenie o klasykacji ciaª sko«czonych. 103. - Ideaªy w pier±cieniach, homomorzm pier±cieni i pier±cienie ilorazowe. 104. - Ciaªo liczb zespolonych, grupa pierwiastków z jedynki stopnia n i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Geometria 105. - Denicja krzywej i jej dªugo±ci. 106. - Wektor styczny do krzywej.
107. - Krzywizna i skr cenie krzywej. 108. - Trój±cian Freneta i wzory Freneta. 109. - Pªaszczyzna styczna i wektor styczny do powierzchni. 110. - Pole powierzchni.