Acta Sc. Pol., echnca Agrara 4() 005, 4-59 IDEYFIKACJA MAEMAYCZYCH MODELI LEPKOSPRYSYCH MAERIAŁÓW BIOLOGICZYCH MEOD PROY'EGO Anna Stankewcz Akadema Rolncza w Lublne Streszczene. W pracy przedstawono bazujcy na metodze Pronye'go algorytm dentyfkacj modułu relaksacj lnowych materałów lepkosprystych opsanych modelem Maxwella. Udowodnono, e jel rzeczywsty moduł relaksacj dany jest czteroelementowym modelem Maxwella, a jego pomary ne s obcone zakłócenam, to algorytm ten zapewna dentyfkowalno rzeczywstych parametrów modułu relaksacj. Pokazano, e wszystke zadana oblczenowe algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda podano koneczne dostateczne warunk stosowalnoc algorytmu do zadana dentyfkacj czteroelementowych model Maxwella. Efektywno algorytmu zlustrowano wyznaczajc funkcj relaksacj napre próbk korzena buraka cukrowego w warunkach stanu jednoosowego odkształcena oraz dla danych Lanczosa. Słowa kluczowe: lepkosprysto, funkcja relaksacj napre, model Maxwella, metoda Prony'ego, algorytm dentyfkacj WPROWADZEIE W zakrese newelkch deformacj zwzek pomdzy odkształcenem ε ( t) a napr- enem σ ( t) w zotropowych materałach lepkosprystych opsuje całkowe równane konstytutywne [Flügge 967, Dersk Zemba 968] σ t ( t) G( t λ) ε ( λ) dλ () gdze G ( t) jest lnowym modułem relaksacj (jednoosow funkcj relaksacj). Równane () wynka z zasady superpozycj Boltzmanna jest włacwe dowolnym lnowym systemom stacjonarnym. Bazujc na modelach mechancznych złoonych z lnowych Adres do korespondencj Correspondng Author: Anna Stankewcz, Katedra Podstaw echnk, Akadema Rolncza w Lublne, ul. Dowadczalna 50A, 0-80 Lubln, e-mal: anna.stankewcz@ar.lubln.pl
4 A. Stankewcz elementów sprystych lepkch zwzek pomdzy odkształcenem a naprenem w materale lepkosprystym mona take opsa za pomoc lnowego równana rónczkowego postac: b n n d σ dt ( t) dσ ( t) n m ( t) dε( t) d ε + + b + b0σ ( t) dm + + d d ε ( t) m + 0 () dt dt dt w którym nterpretacja fzyczna stałych b d j zaley od struktury modelu [Flügge 967]. Powszechne przyjtym sposobem opsu zjawska relaksacj napre zachodzcego w materale lnowo lepkosprystym jest uogólnony model Maxwella o strukturze przedstawonej na rysunku. Jednoosowa funkcja relaksacj napre G ( t) przyjmuje dla modelu Maxwella posta [Dersk Zemba 968] k j E j e t τ j (3) gdze E j oznaczaj moduły sprystoc, τ η E to czasy relaksacj, natomast η j s współczynnkam lepkoc dynamcznej, k oznacza lczb gałz w modelu (rys. ). Moduły sprystoc E j oraz czasy relaksacj j j j τ j wyznacza s zazwyczaj na podstawe dyskretnych pomarów funkcj relaksacj t G zgromadzonych w standardowym tece relaksacj napre [Gołack 998, Rao 999]. Problem dentyfkacj modelu Maxwella (3) jest wc zadanem aproksymacj danych pomarowych sum dodatnch funkcj wykładnczych. Jak wadomo, problem aproksymacj danych sum funkcj wykładnczych (3) jest zadanem skomplkowanym, stosunkowo trudnym w mplementacj, a przede wszystkm le postawonym [Kammler 98, Varah 985]. Standardowe metody dentyfkacj, take jak nelnowa metoda najmnejszej sumy kwadratów, ne s wc skutecznym narzdzem wyznaczena parametrów modelu Maxwella (3). W cgu ostatnch klkudzescu lat opracowano klka specjalnych metod aproksymacj danych pomarowych sum funkcj wykładnczych [Kammler 979, Evans n. 980, Ruhe 980]. Osborne [975] a nastpne Osborne Smyth [995], Psarenko [Oubrahm 989] oraz Petersson Holmström [998] zastosowal do rozwzana tego zadana de starej osemnastowecznej metody Prony ego [795]. W tej pracy zastosowano modyfkacj metody Prony ego przypsywan Hldebrandow [956], która w przypadku czteroparametrowych model Maxwella prowadz do bardzo prostego w mplementacj schematu dentyfkacj. Funkcje relaksacj napre materałów lnowo lepkosprystych dane s wykładnczym szeregem Prony'ego, zastosowane metody Pronye'go do dentyfkacj parametrów tego modelu, jest wc zarówno naturalne, jak bardzo dogodne, co wykazano w tej pracy. Metoda Pronyego jej modyfkacje s od lat stosowane do dentyfkacj modelowana systemów sygnałów w automatyce [rudnowsk n. 998, Hasanovc n. 004], do modelowana dentyfkacj systemów napdowych [Lu n. 00, awfk Morcos 00, Hasanovc n. 004], a take w systemach radarowych [Younan 000]. Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 43 σ E E E j E k η η η j η k σ Rys.. Model Maxwella (σ naprene) Fg.. Maxwell model (σ stress) Ju od klkudzescu lat znajduje ona równe zastosowane do modelowana przetwarzana sygnałów [Rbero n. 003], w tym sygnałów radowych [Street n. 000], a nawet w technkach ekcj mn [Brooks Maer 996] lokalzacj uszkodze awar [awfk Morcos 00]. Metoda Prony'ego jest take stosowana w algorytmach modelowana oraz przetwarzana sygnałów w bolog [Fargues n. 993] w medycyne [Sz- Wen 000]. Unwersalno metody Prony'ego potwerdzaj równe jej zastosowana w algorytmach z zakresu sztucznej ntelgencj: w technkach sec neuronowych [Farrokh Isk 994] oraz sterowanu opartym na zborach rozmytych [Lu n. 00]. MAERIAŁ I MEODY Problem dentyfkacj funkcj relaksacj materałów bologcznych Funkcj relaksacj G ( t) materałów rolnnych mona przybly [Chen Chen 986, Bzowska-Bakalarz 994, Gołack 998, Rao 999] stosujc czteroelementowy model Maxwella, w którym funkcja relaksacj dana jest sum dwu dodatnch funkcj wykładnczych: gdze a j τ, j,. echnca Agrara 4() 005 j at a t ( t) E e + E e G (4) Funkcj relaksacj G ( t) mona wyznaczy eksperymentalne rejestrujc sł reakcj próbk badanego materału w standardowym tece relaksacj napre, podczas którego próbka najperw cskana jest gwałtowne wzdłu os a do uzyskana załoonego odkształcena, a nastpne rejestruje s przebeg sły reakcj próbk w czase utrzymujc stałe odkształcene [Gołack 998, Rao 999]. Bdzemy zakłada, e przeprowadzono eksperyment dyskretny (test relaksacj napre), którego rezultatem jest zbór pomarów funkcj relaksacj G ( t ) dla t 0, 0,,,.
44 A. Stankewcz Problem dentyfkacj modelu Maxwella polega na wyznaczenu takch parametrów E E oraz a a, dla których model (4) najlepej przybla dane eksperymentalne G. W klasyczne sformułowanym zadanu wyboru optymalnego modelu postac { } t (4) współczynnk sprystoc E E oraz wykładnk a a dobera s tak, aby model (4) przyblał wynk eksperymentu jak najlepej w sense najmnejszej sumy kwadratów mn ( E, E, a, a ) 0 at at [ G( t ) ( E e + E e )] Jak wadomo, nelnowy problem rednokwadratowej aproksymacj danych sum funkcj wykładnczych (5) jest nawet w rozpatrywanym w tej pracy przypadku sumy dwu funkcj wykładnczych trudny numeryczne [Kammler 979, Varah 985]. ake stnene jego rozwzana mona wykaza tylko wówczas, gdy nałoy s dodatkowe ogranczena na klas model (3) lub zbór danych dowadczalnych. Kammler [979] G ) jest monotonczne malejcy, wykazał, e jeel cg danych pomarowych (tu: { } to optymalny model postac (4) stneje zarówno parametry t E j jak wykładnk (5) a j s dodatne. Lanczos [956], a nastpne Kammler [979] oraz Varah [985] pokazal, w rozpatrywanym tu zadanu aproksymacj cgu monotonczne malejcego sum dwu funkcj wykładnczych, moe stne klka model optymalnych. Lanczos wskazał take na skrajn wralwo wykładnków a na nawet bardzo małe zaburzena danych. j Standardowe numeryczne technk mnmalzacj, take jak algorytmy kerunków poprawy lub metody kerunków sprzonych, ne s wc skutecznym narzdzem rozwzana zadana (5), szczególne wówczas, gdy ne dysponujemy dobrym punktem startowym. W tej pracy do dentyfkacj modelu (4) zastosowano modyfkacj metody Prony ego. Zastosowane metody Prony ego do dentyfkacj modelu Maxwella Dany jest zbór pomarów { } t Rozwamy problem dentyfkacj czteroelementowego modelu Maxwella postac (4). t, G, 0,,, przeprowadzonych w stałych odstpach czasu, tzn. t. Dla t zachodz równoc gdze ( t ) G( ) E E G +, 0,,, (6) a e, a e (7) ech bd perwastkam nastpujcego równana algebracznego + p + p 0 (8) Łatwo sprawdz, e zachodz nastpujce lnowe równana róncowe ( t ) p G( t ) + p G( t ) 0 + + + G, 0,,, 3 (9) Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 45 które po wprowadzenu notacj wektorowo-macerzowej ( 0 ) G( t ) G( t ) W, G( t ) 3 mona zapsa w zwartej postac ( ) 3 p U, p (0) G( t ) p U W p () Stosujc do równana () metod najmnejszych kwadratów, czyl mnmalzujc kwadratowy wskank jakoc dentyfkacj U W p zaleny od wektora p, otrzymujemy nastpujce oszacowane wektora współczynnków układu równa róncowych (9) ( W W ) W U p () Znajc współczynnk p p moemy łatwo polczy perwastk równana kwadratowego () oraz na podstawe wzorów (0) parametry a a. a ln a ln (3) Parametry E E wyznaczymy na podstawe układu równa (6). Defnujc wektor wszystkch pomarów Û oraz wektor parametrów E macerz :, ( 0 ) układu równa (6) mona zapsa w równowanej postac E Û, E (4) G( t ) E U ˆ E (5) Stosujc ponowne metod najmnejszych kwadratów do równana (5), tzn. mnmalzujc wskank kwadratowy Uˆ E wzgldem wektora E, otrzymujemy E ( ) Uˆ (6) Wobec tego parametry modelu Maxwella (4) mona wyznaczy na podstawe pomarów funkcj relaksacj napre G ( t) stosujc procedur przedstawon w nastpnym rozdzale. echnca Agrara 4() 005
46 A. Stankewcz WYIKI I DYSKUSJA Algorytm dentyfkacj funkcj relaksacj napre Krok. Przeprowad eksperyment dyskretny wyznacz zbór pomarów { G ( t )} funkcj relaksacj G ( t) przeprowadzonych w stałych odstpach czasu, t, dla 0,,,. Krok. Utwórz macerz wektor pomarów W oraz U o strukturze (0), a nastpne wyznacz wektor parametrów p zgodne z wzorem (). Krok 3. Oblcz perwastk, równana kwadratowego (8), a nastpne wyznacz wykładnk a a na podstawe wzorów (3). Krok 4. Utwórz macerz oraz wektor pomarów Û o strukturze (4), a nastpne oblcz wektor współczynnków sprystoc E stosujc wzór (6). Łatwo zauway, e w obu formułach najmnejszych kwadratów () (6) macerze W W to macerze wymarowe, wyznaczene ch odwrotnoc ne wymaga wc stosowana numerycznych technk wyznaczana macerzy odwrotnych. Równe rozwzana równana kwadratowego (8) dane s wzoram analtycznym. Identyfkowalno Podstawowym oczywstym wymaganem stawanym kadej metodze dentyfkacj jest dane aby w przypadku, gdy badany proces opsany jest modelem z przyjtej klasy, a jego pomary ne s obcone zakłócenam, metoda gwarantowała jednoznaczne wyznaczane rzeczywstego opsu procesu, czyl zapewnała jego dentyfkowalno [Bubnck 980]. Dla przedstawonego algorytmu rozstrzyga to nastpujce twerdzene, jego dowód podano w Dodatku A. werdzene. Jel rzeczywsty moduł relaksacj G ( t) opsany jest sum dwu dodatnch funkcj wykładnczych G( t) E e + E e a a t a t a, a jej pomary t, gdze G ne s obcone zakłócenam, to przedstawona procedura dentyfkacj prowadz do wyznaczena rzeczywstych parametrów E E oraz a a. Czy zadana oblczenowe algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda? Jak wczenej podkrelono, klasyczne nelnowe zadane najmnejszej sumy kwadratów (5) jest zadanem le postawonym. Problem bdzemy nazywa dobrze postawonym w sense Hadamarda, jel rozwzane problemu stneje, jest jednoznaczne cgłe wzgldem danych [Gutenbaum 003]. Cgło rozwzana wzgldem danych gwarantuje, małym zaburzenom danych odpowadaj małe zmany rozwzana. Zapewna to stablno algorytmu. Obecne zbadamy czy kedy poszczególne zadana oblczenowe przedstawonego algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda. Bdzemy zakłada, e Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 47 (A) pomary modułów relaksacj G ( t ) tworz cg monotonczne malejcy G ( t ) 0 dla 0,,,. (A) faktory ( t ) G( t ) tworz cg nemalejcy, 0,,,. G + Oczywce wobec załoena (A) 0 < <. Załoene (A) jest naturalne w kontekce modelowana procesów relaksacj napre. Aby wyjan załoene (A), roz- w dwu kolejnych przedzałach czasu wamy spadk wartoc funkcj relaksacj t t t t t t dane wzoram + G G( t + ) G( t ) ( ) G( t ) G( t ) G( t ) ( ) G( t ) (7) G Ponewa, wobec (A) równe + >. Std + > > 0 > G > G, czyl na podstawe wzorów (7) zachodz nerówno. Załoene (A), oznacza wc, e spadk G oraz G wartoc modułu relaksacj w kolejnych przedzałach czasu s coraz mnejsze. Jest ono take naturalne dla rozpatrywanego procesu. Rozwamy najperw formuł najmnejszych kwadratów (). Uwzgldnajc struktur macerzy W (0), mona pokaza (Dodatek B, punkt ), e: [ W ] G( t ) G( t ) W (8) k + k k Wobec tego ( W ) W 0 wtedy tylko wtedy, gdy wskank tworz cg stały. Wykorzystujc teor równa funkcyjnych [Aczél 966] łatwo sprawdz, pełna klasa funkcj spełnajcych ten warunek dana jest wzorem G( t) β t γ βt e gdze β β ln( γ ),. Zjawska zachodzce w materale rolnnym podczas procesu relaksacj napre s jednak bardzej skomplkowane n proces opsany modelem wykładnczym postac t e. β Jel wyznacznk > 0 to macerz odwrotna ( W W ) W W stneje wektor optymalnych parametrów p dany reguł najmnejszych kwadratów ( W W ) W U p jest funkcj cgł zarówno macerzy W, jak wektora U, a wc take danych pomarowych { } [Kełbassk Schwetlck 994, str. 60-6]. Zachodz wc nastpujca własno. Własno. Problem najmnejszych kwadratów p ( W W ) W U jest dobrze postawony w sense Hadamarda wtedy tylko wtedy, gdy cg faktorów { } ne jest cgem stałym. Przejdzemy obecne do analzy zada rozwzywanych w kroku 3 algorytmu. Równane kwadratowe (8) posada dwa jednoznaczne perwastk dla dowolnych parametrów p p. Rozwzana równana kwadratowego s funkcjam cgłym jego echnca Agrara 4() 005
48 A. Stankewcz współczynnków, a wykładnk a a (3) s cgłym funkcjam, mona wc sformułowa nastpujc własno. Własno. Zadana wyznaczena parametrów oraz wykładnków a a w kroku 3 algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda. a podstawe znanego warunku neosoblwoc macerzy Vandermonde'a, macerz Vandermonde'a jest pełnego rzdu wtedy tylko wtedy, gdy. Wówczas jest macerz neosoblw formuła najmnejszych kwadratów (6) oblczana w kroku 4 algorytmu jest dobrze postawona. Warunek jest spełnony wtedy tylko wtedy, gdy p 4 p, pozwala to sformułowa nastpujc własno. Własno 3. Zadane najmnejszych kwadratów E ( ) U ˆ jest dobrze postawone w sense Hadamarda wtedy tylko wtedy, gdy, lub równowane p 4 p. Warunk stosowalnoc algorytmu Spełnene warunków podanych we Własnocach 3 ne gwarantuje, wyznaczone parametry modelu (4) s rzeczywste dodatne. a problem wystpowana zespolonych perwastków równana (8), czyl w konsekwencj zespolonych wykładnków a a, zwraca uwag welu autorów, np. [Kundu Mtra 998]. Równe parametry lnowe E E oblczone według wzoru (6), nawet jel s rzeczywste, nekoneczne musz by dodatne. We wszystkch takch przypadkach algorytm, mmo e poprawny numeryczne, prowadz do wyznaczena rozwzana fzykalne bezsensownego. Uzasadna to wprowadzene nastpujcej defncj. Przedstawony algorytm dentyfkacj bdzemy nazywa stosowalnym do zadana dentyfkacj modelu Maxwella jel: () zadana (), (8), (3) oraz (6) s dobrze postawone w sense Hadamarda, () spełnony jest warunek dentyfkowalnoc rzeczywstej funkcj relaksacj danej modelem Maxwella (4), () wyznaczone wykładnk a a s rzeczywste, dodatne a a, (v) wyznaczone współczynnk E E s rzeczywste dodatne. Mona pokaza (Dodatek B, punkt ), e jel spełnone s załoena (A) (A) to p 0 p 0 (9) > Przeanalzujemy kolejno zadana dentyfkacj parametrów nelnowych a a oraz parametrów lnowych E E. e zmnejszajc ogólnoc rozwaa, bdzemy przyjmowa, e perwastk równana kwadratowego (8) spełnaj warunek. Analzujc wzory (3), łatwo zauway, e warunek () stosowalnoc algorytmu jest spełnony wtedy tylko wtedy, gdy rozwzana równana kwadratowego > Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 49 (8) s rzeczywste spełnaj nerównoc 0 < < <. Oczywstym warunkem konecznym dostatecznym na to, aby były rzeczywste take, e, jest p > 4 p. Wobec (9) nerówno p > 4 p jest, w przypadku (A)-(A), równe warunkem wystarczajcym na to, aby perwastek p p 4 p > 0. Łatwo take sprawdz, e gdy p > 4 p, to 0 < p + p 4 p < wtedy tylko wtedy, gdy 0 < p 4 p < + p, lub równowane 4 p < 4 + p 4 > 0 < p + p, czyl p + p + 0. Udowodnlmy wc nastpujc własno. Własno 4. Jel spełnone s załoena (A) (A), to parametry nelnowe a a modelu Maxwella (4) generowane przez przedstawony algorytm spełnaj warunek () wtedy tylko wtedy, gdy składowe p p wektora p () spełnaj nerównoc p > 4 p p + p + 0 (0) > Mona pokaza (Dodatek B, punkt 3), e jel spełnone s załoena (A) (A), to p p < + p () erówno ta jest słabsza n drug z warunków konecznych dostatecznych (0), jednak wszystke przetestowane przykłady wskazuj, e w przypadku (A)-(A) spełnony jest take warunek p + p + > 0, dowód nerównoc () bazuje bowem na cgu bardzo slnych oszacowa (p. Dodatek B, nerówno (D6)). Przejdzemy obecne do analzy zadana najmnejszych kwadratów (6) rozwzywanego w kroku 4 algorytmu. Zgodne z Własnoc 3 zadane to jest dobrze postawone, wtedy tylko wtedy, gdy, czyl równowane p 4 p. Jel p > 4 p, to oraz s rzeczywste. Wartoc rzeczywste przyjmuj wc take elementy wektora E. Ponewa wektor E spełna równane normalne E Uˆ, a jak łatwo sprawdz, wszystke elementy wymarowej macerzy oraz wektora U ˆ s dodatne, przynajmnej jeden z elementów wektora E jest równe dodatn. Warunek koneczny dostateczny na to aby E > 0 równoczene E > 0 podaje nastpujca własno, wyprowadzona w Dodatku C, punkt. Własno 5. Jel spełnone s załoena (A)-(A) p > 4 p, to parametry lnowe E E modelu Maxwella (4) s rzeczywste dodatne wtedy tylko wtedy, gdy spełnone s dwe nerównoc 0 echnca Agrara 4() 005
50 A. Stankewcz Acta Sc. Pol. k > () > (3) Mnoc nerównoc () (3), obustronne otrzymujemy warunek koneczny na to, aby parametry E E były rzeczywste dodatne > (4) Z kole uwzgldnajc struktur macerzy (4) łatwo sprawdz, e wyznacznk 0 0 czyl równowane (5) Wyznacznk 0 > wtedy tylko wtedy, gdy, na mocy wzoru (5) warunek koneczny (4) jest wówczas spełnony tosamocowo. Badana numeryczne przeprowadzone dla danych emprycznych, a take badana symulacyjne wskazuj, e w przypadku (A)-(A) spełnene warunku (4) gwarantuje, e parametry E E s dodatne, jel tylko. Ponej podano take prosty warunek wystarczajcy, udowodnony w Dodatku C, punkt. Własno 6. Jel spełnone s załoena (A)-(A) 4 p p > oraz dla kadego,, spełnone s nerównoc (6) (7) to parametry lnowe E E modelu Maxwella (4) s rzeczywste dodatne.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 5 Przykład W pracy [Stankewcz Gołack 004] przedstawony algorytm zastosowano do wyznaczena model Maxwella opsujcych funkcje relaksacj próbek korzena buraka cukrowego Oktawa w stane jednoosowego naprena w stane jednoosowego odkształcena na podstawe danych uzyskanych dowadczalne przez Gołackego. Zastosowane lepkosprystego lnowego modelu Maxwella do opsu własnoc mechancznych próbek korzena buraka cukrowego uzasadnaj wynk bada prezentowane w welu pracach, np. [Bzowska-Bakalarz 994, Gołack 00]. abela. Parametry modelu Maxwella (4) wyznaczone dla jednoosowej funkcje relaksacj G X ( t) próbk korzena buraka cukrowego able. he parameters for Maxwell model (4) of unaxal relaxaton functons G X ( t) of a sample of the sugar beet root E, MPa E, MPa a, s - a, s - J, MPa Metoda Pronye'go 4.0074 9.0886 0.7895 0.00686 0.40338 Metoda uas-ewtona 4.0997 9.03 0.8039 0.00694 0.49453 35 G X ( t), MPa 30 0 Rys.. Funkcja relaksacj G X ( t) próbk korzena buraka cukrowego w stane jednoosowego odkształcena: wyznaczona metod Prony'ego (lna cgła) wynk eksperymentu (lna przerywana) G X of a sample of the sugar beet root n the state of unaxal stran ermned by usng the Prony method (sold lne) and the expermental results (dash lne) Fg.. Relaxaton functon ( t) W tabel zestawono wartoc parametrów modelu Maxwella opsujcego przykładow funkcj relaksacj G X ( t) w stane jednoosowego odkształcena wyznaczonych na podstawe przedstawonego algorytmu parametrów wyznaczonych standardow metod uas-ewtona. Oblczena bazuj na pomarach sły reakcj próbk w 40 echnca Agrara 4() 005 5 0 0 40 60 80 00 0 t, s
5 A. Stankewcz punktach pomarowych rozłoonych równomerne w przedzale czasu oceny jakoc obu model zastosowano rednokwadratowy wskank jakoc J 0 at at [ G( t ) ( E e + E e )] 0 0 s. Do Przebeg funkcj relaksacj G X ( t) wyznaczonej metod Prony'ego przedstawono na rysunku. Przykład Efektywno algorytmu Prony'ego lustruje take nastpujcy przykład, bazujcy na hstorycznych ju danych Lanczosa [956, str. 76] podanych w tabel, którym swoje rozwaana lustruje welu autorów, np. [Varah 985]. W tabel 3 zestawono parametry modelu wykładnczego postac (4) uzyskane metod Pronye'go oraz metod uas- ewtona dla dwu punktów pocztkowych. Do oceny jakoc model zastosowano klasyczny kwadratowy wskank jakoc 0 at at [ G( t ) ( E e + E e )] J (8) abela. Dane Lanczosa [Lanczos 956] able. he Lanczos data [Lanczos 956] t 0.00 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 G(t ).5.04.67.37. 0.93 0.77 0.64 0.53 0.45 0.38 0.3 t 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95.00.05.0.5 G(t ) 0.7 0.3 0.0 0.7 0.5 0.3 0. 0.0 0.09 0.08 0.07 0.06 abela 3. Parametry modelu wykładnczego postac (4) wyznaczone dla danych Lanczosa able 3. he parameters for exponental model of (4) form computed for Lanczos data Parametry E E a a J Metoda Pronye'go Wyznaczone parametry 0.339.68 8.457 3.53 0.0056 Metoda uas-ewtona Punkt startowy..5 5.36403 Wyznaczone parametry -0.970.6684 3.868 3.79850 0.060 Punkt startowy 0.5 8 4 0.7786 Wyznaczone parametry.050 0.403 4.579.8088 0.0056 Jel dysponujemy dobrym punktem startowym (drug punkt), to metoda uas- ewtona zapewna lepsz aproksymacj danych n metoda Prony'ego. Jednak wówczas, gdy punkt startowy jest le dobrany (perwszy punkt), moe ona prowadz do Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 53 3 G ( t) 0 0. 0.4 0.6 0.8 t, s Rys. 3. Przebeg funkcj G ( t) danej modelem wykładnczym (4) wyznaczonej metod Prony'ego (lna cgła) wynk eksperymentu (punkty) dla danych Lanczosa descrbed by exponental model of (4) form computed by usng the Prony method (sold lne) and the expermental results (ponts) for Lanczos data Fg. 3. he functon wyznaczena rozwzana fzykalne bezsensownego (parametr E < 0 ), metoda ta zapewna bowem tylko wyznaczena lokalnego mnmum wskanka jakoc J (8). Przebeg wyznaczonej metod Prony'ego funkcj G ( t) danej modelem postac (4) przedstawono na rysunku 3. PODSUMOWAIE Zastosowane metody Prony'ego do dentyfkacj modelu Maxwella prowadz do dwustopnowego schematu dentyfkacj. ajperw w kroku wyznaczane s współczynnk równa róncowych (9) optymalne w sense najmnejszych kwadratów, to umolwa wyznaczene parametrów nelnowych modelu a a. astpne w 4 kroku wyznacza s lnowe parametry modelu E E, stosujc ponowne metod najmnejszych kwadratów. aka dekompozycja klasycznego nelnowego zadana najmnejszych kwadratów (5) powoduje, e otrzymany model jest z reguły suboptymalny w sense globalnego kwadratowego wskanka jakoc wystpujcego w (5). Oblczena s jednak znaczne szybsze n przy bezporednej mnmalzacj wskanka jakoc, metoda ne wymaga te wyznaczana wektora gradentu macerzy hesjanu funkcj celu oraz doboru punktu startowego zapewna bardzo dobre rezultaty w przypadku pomarów bezszumowych oraz przy newelkch zakłócenach. W przypadku slnejszych zakłóce lepsze rezultaty mona osgn, stosujc mnej efektywn oblczenowo, metod Osborna Smytha [995], ewentualne stosujc wstpn fltracj sygnałów. echnca Agrara 4() 005
54 A. Stankewcz Rozpatrywany w tej pracy problem aproksymacj danych sum funkcj wykładnczych jest jednym z najstotnejszych najczcej w analze danych wystpujcych problemów dentyfkacj. Modele wykładncze s bowem stosowane ne tylko do modelowana własnoc mechancznych materałów lepkosprystych, ale take w modelowanu przepływów mdzykomorowych w medycyne bolog, tak posta przyjmuj równe modele kompartmentowe [Kundu Mtra 998, Gutenbaum 003]. Załoene dodatnej wartoc współczynnków E oraz wykładnków a jest take typowe dla j welu dzedzn zastosowana. Z matematycznego punktu wdzena koresponduje ono z załoenem, e dane pomarowe tworz cg monotonczne malejcy. j DODAEK A Dowód werdzena. ech rzeczywsta funkcja relaksacj ( t) a t a t ( t) E e + E e a a E 0, 0 G G bdze postac, gdze > E >. ech W U oznaczaj t E + E a, gdze e a a e. macerze o strukturze (0) dla G Defnujc macerze V M oraz wektor M V, 3 3 ( ) ( ) E E M E E, E M E (D) macerz W wektor U mona zapsa w postac W V M U V M. Std wektor parametrów p wyznaczany w kroku algorytmu według formuły () dany jest wzorem ( W W ) W U ( M V V M) M V V M p (D) Ponewa, macerz V V jest neosoblwa (V jest macerz Vandermonde'a). Równe macerz M jest neosoblwa, ponewa ( M ) EE ( ) > 0. W konsekwencj na podstawe wzoru (D) mamy p ( M V V M) M V V M ( M) ( V V ) ( M ) M V V M czyl p ( M ) M. Std uwzgldnajc struktur macerzy M wektora M (D), otrzymujemy p E E E E E ( ) E E E ( ) Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 55 ostateczne po prostych przekształcenach p ( ) + Wobec tego s jedynym perwastkam równana (8) rozwzywanego w kroku 3 algorytmu dla parametrów p p ( + ). a podstawe wzo- a ln a ln. rów (3) uzyskujemy wc a a ech Û oznaczaj macerze Û o strukturze (4) dla. Ponewa E + E, uwzgldnajc struktur macerzy Û (4) oraz [ E E ] ˆ E, łatwo sprawdz, e zachodz równo U E. Macerz jest neosoblwa, gdy. Wobec tego wektor współczynnków sprystoc E ˆ oblczony w kroku 4 algorytmu jest równy E ( ) U ( ) E E. Algorytm dentyfkacj gwarantuje wc wyznaczene rzeczywstych parametrów E, E oraz a a. DODAEK B. Wyprowadzene wzoru (8). Uwzgldnajc struktur macerzy W łatwo sprawdz, e W W 0 0 Wykorzystujc tosamo Lagrange a [Lemanowcz Ło 97]: k k + x y x y + k [ x y x y ] po prostych przekształcenach algebracznych otrzymujemy ( W W ) G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) [ ] k + a std, po uwzgldnenu defncj faktorów k, wynka wzór (8).. Dowód nerównoc (9). Analzujc struktur macerzy wektora U łatwo sprawdz, e parametr p dany jest wzorem k W ( W W ) oraz p + ( W W ) echnca Agrara 4() 005 G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) +
56 A. Stankewcz Wykorzystujc tosamo Czebyszewa [Lemanowcz Ło 97]: mona pokaza, e ( W W ) x y x y k + [ x x ][ y y ] [ G( t ) G( t ) G( t ) G( t )] [ G( t ) G( t ) G( t ) G( t )] p k + k k k + + lub równowane p ( W W ) k k + k [ ][ ][ G( t ) G( t )] k k k Ponewa ( W ) W > 0 k k (D3), w przypadku (A)-(A) perwsza z nerównoc (9) wynka wprost z (D3). Podobne mona pokaza, e p [ ][ ][ G( t ) G( t )] ( W W ) k + k k k a std, w przypadku (A)-(A), natychmast otrzymujemy nerówno p < 0. 3. Dowód nerównoc (). Łatwo sprawdz, e k (D4) (D5) [ ][ ] [ ] + [ [ ][ ] k k k k k k k k Std, jel spełnone jest załoene (A), to (D6) [ ][ ] [ ] + [ [ ][ ] k k k k k k 0 Mnoc nerówno (D6) obustronne przez [ G ( t ) G( t )] k k k, a nastpne sumujc obustronne po,, oraz k +, W W dany wzorem (8), oraz uwzgldnajc wzory (D3) (D4), otrzymujemy nerówno ()., dzelc przez DODAEK C. Dowód Własnoc 5. Ponewa dla p > 4 p parametry macerz jest neosoblwa. Analzujc struktur macerzy, ( ) oraz Û, łatwo sprawdz, e Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 57 echnca Agrara 4() 005 0 0 E (D9) 0 0 E (D0) Std, ponewa dla wyznacznk 0 >, na mocy wzoru na sum szeregu geometrycznego natychmast otrzymujemy warunk () (3).. Dowód Własnoc 6. a podstawe (D9) mamy E (D) Ponewa t G (D) równoczene t G (D3) na podstawe (D) otrzymujemy oszacowane E Wobec tego jel spełnona jest nerówno (6), to 0 > E, ponewa przynajmnej dla nerówno (6) jest nerównoc ostr. Podobne wykorzystujc wzór (D0) oraz oszacowana (D) (D3) mona pokaza, e jel spełnona jest nerówno (7), to 0 > E. PIMIEICWO Aczél J., 966. Lectures on functonal euatons and ther applcatons. Academc Press ew York. Barrodale, I., Olesk, D.D., 98. Exponental approxmaton usng Prony's method. In: Baker, C..H., Phllps, C., he umercal Soluton of onlnear Problems, 58 69. Brooks J.W., Maer M.W., 996. Applcaton of system dentfcaton and neural networks to classfcaton of land mnes. EUREL Int. Conf. he Detecton of Abandoned Land Mnes: A Humantaran Imperatve Seekng a echncal Soluton. Conf. Publ. 43, 46 50. Bubnck Z., 980. Identfcaton of Control Plants. PW Warszawa, Elsever Amsterdam. Bzowska-Bakalarz M. 994. Włacwoc mechanczne korzen buraków cukrowych. Rozpr. auk. AR w Lublne, 66.
58 A. Stankewcz Chen P., Chen S., 986. Stress relaxaton functons of apple under hgh loadng rates. ransacton of the ASAE. 9, 754 759. Dersk W., Zemba S., 968. Analza model reologcznych. PW Warszawa. Evans J. W., Gragg W.B., LeVeue R. J., 980. On Least-Suares Exponental Sum Approxmaton wth Postve Coeffcents. Mathematcs of Computatons 34(49), 03. Fargues M.P., Crst R., Vanderkamp M.M., 993. Modelng and classfcaton of bologcal sgnals usng least suares Prony-SVD AR modelng. Proc. of the 36th Mdwest Symp. on Crcuts and Systems. 6-8 Aug. 993., 445 448. Farrokh M., Isk C., 994. Applcaton of Prony sgnal analyss to recurrent neural networks. Proc. IEEE World Congress on Computatonal Intellgence and IEEE Int. Conf. on eural etworks. 7 June July 994,, 43 48. Flügge W., 967. Vscoelastcty. Blasdell Publshng Company Waltham, oronto, London. Gołack K., 998. Charakterystyk lepkospryste korzen marchw w szerokm zakrese prdko- c obce mechancznych. Rozpr. auk. AR w Lublne. 6. Gołack K., 00. Lepkospryste charakterystyk korzen buraków cukrowych. Acta Agroph. 78, 37 49. Gutenbaum J., 003. Modelowane matematyczne systemów. EXI Warszawa. Hasanovc A., Felach A., Bhatt.B., DeGroff A.G., 004. Practcal robust PSS desgn through dentfcaton of low-order transfer functons. IEEE rans. on Power Systems 9(3), 49 500. Hldebrand F. B., 956. Introducton to umercal Analyss. McGraw-Hll ew York. Kammler D. W., 979. Least suares approxmaton of completely monotonc functons by sums of exponentals. SIAM J. umer. Anal. 6(5), 80 88. Kełbassk A., Schwetlck H., 994. umeryczna algebra lnowa. Wprowadzene do oblcze zautomatyzowanych. W, Warszawa. Kundu D., Mtra A., 998. Estmatng the parameters of the lnear compartment model. J. Statst. Plannng Infer. 70, 37 334. Lanczos C., 956. Appled Analyss. Prentce Hall Englewood Clfs. Lemanowcz L., Ło J., 97. Zbór zada z algebry. PW, Warszawa. Lu J., ehrr M.H., Perre D.A., 00. A fuzzy logc-based self tunng power system stablzer optmzed wth a genetc algorthm. Electr. Power Syst. Res. 60, 77 83. Osborne, M. R., 975. Some specal nonlnear least suares problems. SIAM J. um. Anal., 57 59. Osborne, M. R., Smyth, G. K., 995. A modfed Prony algorthm for fttng sums of exponental functons. SIAM J. Sc. Comput. 6, 9 38. Oubrahm H., 989. Prony, Psarenko, and the matrx pencl: a unfed presentaton. IEEE ransact. Acoust., Speech and Sgnal Proc. 37(), 33 34. Petersson J., Holmström K., 998. Intal values for two-classes of exponental sum least suares fttng problems. Research Report IMa-OM-998-07. Mälardalen Unversty, Sweden. Perre D.A., rudnowsk D.J., Hauer J.F., 99. Identfyng lnear reduced-order models for systems wth arbtrary ntal condtons usng Prony sgnal analyss. IEEE rans. on Automatc Control 37 (6), 83 835. Prony G. R., 795. Essa éxpermental et analytue: sur les los de la dlatablté de fludes élastue et sur celles de la force expansve de la vapeur de l'alkool, à dfférentes températures. Journal de l'école Polytechnue (), 4 76. Rao M. A., 999. Rheology of Flud and Semsold Foods. Prncples and Applcatons. Aspen Publshers, Inc. Gathersburg, Maryland. Acta Sc. Pol.
Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 59 Rbero M. P., Ewns D. J., Robb D. A., 003. on-statonary Analyss and ose Flterng Usng a echnue Extended from the Orgnal Prony Method. Mech. Syst. Sgnal Proc. 7(3), 533 549. Ruhe A., 980. Fttng emprcal data by postve sums of exponentals. SIAM J. Sc. Stat. Comput. (4), 48 498. Stankewcz A., Gołack K., 004. Algorytm dentyfkacj zmennych w czase modułów odkształcena postacowego objtocowego rolnnych materałów lepkosprystych. Acta Sc. Pol., echnca Agrara 3( ), 79 95. Street A.M., Lukama L., Edwards D.J.,000. Rado magng usng SVD Prony. Electr. Letters 36 (3), 50 5. Sz-Wen C., 000. A two-stage dscrmnaton of cardac arrhythmas usng a total least suares- -based Prony modelng algorthm. IEEE ran. on Bomedcal Engn. 47(0), 37 37. awfk M.M., Morcos M.M., 00. Prony applcaton for locatng faults on loop systems. IEEE Power Engneerng Revew. (8), 4 43. rudnowsk D.J., Johnson J.M., Hauer J.F., 998. SIMO system dentfcaton from measured rngdowns. Proc. of the Amercan Control Conference. Phladelpha, 5, 968 97. Varah J. M., 985. On fttng exponentals by nonlnear least suares. SIAM J. Sc. Stat. Comput. 6 (), 30 44. Younan.H., 000. Radar target dentfcaton va a combned E-pulse/SVD-Prony method. he Record of the IEEE 000 Internatonal Radar Conference, 7 May 000, 799 803. IDEIFICAIO OF HE MAHEMAICAL MODELS OF VISCOELA- SIC BIOLOGICAL MAERIALS USIG PROY MEHOD Abstract. An algorthm, based on Prony approach, for dentfcaton of the relaxaton modulus of lnear vscoelastc materals descrbed by Maxwell model s presented. It s proved, that f the real relaxaton modulus s four-element Maxwell and the measurements are not corrupted by nose, then the dentfablty of the real parameters of the relaxaton modulus s guaranteed. It s also proved that all the computatonal tasks solved n the dentfcaton scheme are well-posed n the Hadamard sense. ext the necessary and suffcent condtons for the applcablty of the algorthm to dentfyng the four-parameter Maxwell models are derved. he effectveness of the method s demonstrated through the computaton of the relaxaton functon of the beet sugar root samples n the state of the unaxal stran. he second example usng Lanczos data s also enclosed. Key words: vscoelastcty, stress relaxaton functon, Maxwell model, dentfcaton algorthm Zaakceptowano do druku Accepted for prnt: 7..004 echnca Agrara 4() 005