ELEKTRYKA 2012 Zeszyt 3-4 (223-224) Ro LVIII Piotr KOZIERSKI Instytut Automatyi i Inżynierii Informatycznej, Politechnia Poznańsa Marcin LIS Instytut Eletrotechnii i Eletronii Przemysłowej, Politechnia Poznańsa WPŁYW SZUMÓW KOLOROWYCH NA DZIAŁANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO Streszczenie. W artyule przedstawiono, ja działa filtr cząsteczowy przy działaniu różnych olorów szumu. W wyniu badania stwierdzono, tóry rodzaj szumu sprawia najwięsze problemy przy filtracji. Zaproponowano taże sposób polepszenia efetów filtracji dla olorów szumu, tóre sprawiały najwięsze problemy. Pierwszy rozdział został poświęcony filtrowi cząsteczowemu, w drugim rozdziale przedstawiono olory szumów, a w trzecim rozdziale opisano doświadczenie i przedstawiono wynii symulacji. Słowa luczowe: filtr cząsteczowy, szum olorowy INFLUENCE OF COLOR NOISES ON PARTICLE FILTER EFFECTS Summary. In the paper particle filter principle of operation with color noises is presented. Noise, which causes the worst filtration effects was indicated, and for this case was proposed method for improving filtration results. Particle filter is briefly described in the Chapter 1. In Chapter 2 different types of noise are presented. In Chapter 3 there are description and results of simulation. Keywords: particle filter, noise color 1. FILTR CZĄSTECZKOWY Filtr cząsteczowy (PF) jest jedną z odmian sewencyjnych metod Monte Carlo. Zadaniem PF jest filtracja Bayesa, czyli estymacja funcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) a posteriori p x Y, tórą można zapisać jao y x px Y 1 py Y p p x Y. (1) 1
38 P. Koziersi, M. Lis gdzie p y x to wiarygodność, p x Y 1 to PDF a priori, natomiast y Y 1 p to parametr normujący, dzięi tóremu pole pod PDF a posteriori jest równe 1 [3]. W powyższym zapisie przyjęto, że x to wartość zmiennej stanu w chwili, y to obserwacja w tej samej chwili, natomiast Y to zbiór obserwacji ze wszystich chwil czasowych od 1 do. PF jest onretną metodą implementacji filtru Bayesa, w tórej luczowym pomysłem jest przedstawienie PDF za pomocą zbioru próbe, z tórych ażda ma pewną wartość oraz wagę i q i x,. Można zatem zapisać postać miary prawdopodobieństwa p N i i x Y q x x, (2) i1 przy czym na podstawie mocnego prawa wielich liczb, dla można wstawić zna równości [2]. N w wyrażeniu (2) będzie Możliwości zastosowania PF są bardzo szeroie, ponieważ mogą być filtrowane dowolne, nawet silnie nieliniowe obiety. W literaturze można znaleźć prace wyorzystujące PF zazwyczaj do estymacji zmiennych stanu, ale taże do identyfiacji parametrycznej obietów [9], a taże do loalizacji robota w przestrzeni [10]. Pierwszy algorytm filtru cząsteczowego został zaproponowany przez Gordona w [5] w 1993 rou. Poza inicjalizacją ma on 3 podstawowe roi: predycję, atualizację i resampling, tóre należy wyonać dla ażdej z N cząstecze. Predycja polega na oszacowaniu, w jai sposób mogły zmienić się wartości zmiennych stanu obliczane jest to na podstawie znajomości strutury obietu, sygnałów wejściowych oraz wariancji szumu wewnętrznego. Atualizacja polega na obliczeniu przewidywanej wartości wyjściowej obietu na podstawie oszacowanych wcześniej zmiennych stanu, a następnie na podstawie PDF p y x (wymagana jest wiedza na temat wariancji szumu pomiarowego) obliczana jest waga cząsteczi. Po obliczeniu wszystich wag następuje normalizacja. Ostatnim roiem jednej iteracji filtru cząsteczowego jest resampling, czyli ponowne próbowanie. Polega ono na wylosowaniu N nowych cząstecze z PDF uzysanej po normalizacji wag. Opisany w [5] algorytm to ta zwany Bootstrap Filter, natomiast do dziś powstało wiele jego odmian, ja na przyład Auxiliary PF [8], Gaussian PF [6], czy Lielihood PF [1], jedna wszystie działają na podobnej zasadzie.
Wpływ szumów olorowych 39 2. SZUM Poniżej opisano 5 rodzajów szumu, tóre zostały wzięte pod uwagę. Różnią się przede wszystim widmową gęstością mocy (WGM), tóra jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości podniesionej do pewnej potęgi S f 1. (3) a f 2.1. Szum biały Jest to najczęściej wyorzystywany do symulacji rodzaj szumu. Wartość współczynnia szumu wynosi 0. Na rys. 1 przedstawiono WGM oraz wygląd próbe szumu w czasie. Ja można zaobserwować, WGM jest stała, a więc w szumie równy udział mają wszystie częstotliwości. Rys. 1. WGM i fragment sygnału szumu białego Fig. 1. Power density and sample of white noise 2.2. Szum różowy Dla tego oloru szumu współczynni szumu jest równy 1. Na rys. 2 można zaobserwować WGM, tóra opada z szybością 10dB/de (co jest równoznaczne z szybością 3dB/ot). Oznacza to, że w szumie bardziej będą się objawiać nisie częstotliwości. Rys. 2. Power density and sample of pin noise Fig. 2. WGM i fragment sygnału szumu różowego
40 P. Koziersi, M. Lis 2.3. Szum brązowy Nazwa pochodzi od R. Browna, tóry odrył tzw. ruch Browna, będący efetem opisywanego szumu. Czasami nazywany jest też szumem czerwonym. Współczynni wynosi 2, co oznacza, że nisie częstotliwości mają jeszcze więszy wpływ, niż w przypadu szumu różowego potwierdza się to na rys. 3, gdzie wyres WGM opada z szybością 20 db/de (6 db/ot). Rys. 3. WGM i fragment sygnału szumu brązowego Fig. 3. Power density and sample of brown noise Sygnały szumów różowego oraz brązowego można otrzymać poprzez odpowiednie scałowanie szumu białego. 2.4. Szum niebiesi Dla tego oloru szumu współczynni jest równy 1. Ja można zaobserwować na rys. 4, w tym przypadu więszy udział mają wysoie częstotliwości. Rys. 4. WGM i fragment sygnału szumu niebiesiego Fig. 4. Power density and sample of blue noise 2.5. Szum purpurowy Szum purpurowy jest oreślony dla parametru 2, a tym samym wyres WGM narasta z szybością 20 db/de (rys. 5).
Wpływ szumów olorowych 41 Rys. 5. WGM i fragment sygnału szumu purpurowego Fig. 5. Power density and sample of purple noise Ta ja w przypadu dodatniego parametru sygnał szumu mógł być otrzymywany poprzez całowanie, ta też dla ujemnego parametru można stwierdzić, że olejne próbi sygnału szumu są zależne od różnic dwóch ostatnich wartości sygnału. 3. WYNIKI SYMULACJI Do symulacji wyorzystano obiet dany przez równania stanu x y 0.8 x x n exp 0.1 x 1 1 v 2 1 0.1 x 1 gdzie v 1 to szum wewnętrzny, tórego funcja gęstości prawdopodobieństwa będzie zmieniana w zależności od rozpatrywanego przypadu, natomiast n to szum pomiarowy o rozładzie normalnym i wariancji równej 1. Do otrzymania szumu wewnętrznego sorzystano z gotowego generatora szumu [7]. Poszczególne sygnały załóceń znormalizowano w tai sposób, aby miały taą samą moc daną wzorem [11] M (4) 1 P x x 2 i 1. (5) M i1 Do symulacji wyorzystano N 200 cząstecze, a sama symulacja miała długość M 1000 chwil czasowych. Po zaończonej symulacji obliczono średni wadrat błędu (MSE) estymacji. Wyonano po 100 taich symulacji dla ażdej wartości, a w tabeli 1 zamieszczono wartości średnie ze wszystich 100 symulacji. Tabela 1 Średnie wartości MSE dla poszczególnych wartości parametru α PDF szumu wewnętrznego zależna od wygenerowanego sygnału szumu α = -2 α = -1 α = 0 α = 1 α = 2 MSE 31.0322 0.7643 0.7184 0.7121 0.8959
42 P. Koziersi, M. Lis Należy zauważyć bardzo duże błędy estymacji dla szumu fioletowego, a do obliczeń zostały wzięte pod uwagę tylo te symulacje, z tórych udało się uzysać wynii (ooło co druga symulacja ończyła się prawidłowo). W drugiej części doświadczenia za szum wewnętrzny przyjęto szum normalny o wariancji 2, niezależnie od rodzaju szumu, z jaim miał do czynienia obiet. Tym samym symulacje przebiegały identycznie, a jedynie w algorytmie PF przyjęto inną funcję gęstości prawdopodobieństwa. Pozostałe parametry symulacji pozostały bez zmian, a wynii przedstawiono w tabeli 2. Średnie wartości MSE dla poszczególnych wartości parametru α za szum wewnętrzny przyjęto szum normalny o wariancji równej 2 Tabela 2 α = -2 α = -1 α = 0 α = 1 Α = 2 MSE 0.9013 0.7904 0.7645 0.7793 0.8425 Należy taże zauważyć, że tym razem nie było żadnych problemów z uzysaniem wyniów dla szumu fioletowego. 4. WNIOSKI Na podstawie uzysanych wyniów można stwierdzić, że rodzaj szumu ma wpływ na działanie PF. Zarazem stwierdzić również można, że szum fioletowy jest najbardziej problematyczny spośród rozpatrywanych może być wyorzystywany podczas badań jao najgorszy z możliwych przypadów. Porównując wynii z obu części doświadczenia, zauważono, że dla srajnych wartości parametru, przy przyjęciu wariancji szumu wewnętrznego równej 2, nastąpiła poprawa. Widać zatem, że przyjęcie wariancji więszej, niż rzeczywista może zarówno polepszyć, ja i pogorszyć wynii, ale w przypadu problemów z symulacją warto taie rozwiązanie (zwięszenie wariancji szumu wewnętrznego) rozważyć. Można taże zauważyć, że w wyniach uzysanych w pierwszej części doświadczenia to dla szumu różowego uzysano najlepsze efety filtracji, a nie dla szumu białego, ja można by się spodziewać. W związu z powyższym wyonano dodatowe doświadczenia, identyczne ja w pierwszej części doświadczenia (modelowanie szumu wewnętrznego zależne od parametru ; N 200, M 1000 ; 100 powtórzeń), a jedyną zmienną było ziarno szumu. Uzysane wynii (już tylo dla trzech wartości ) przedstawiono w tabeli 3.
Wpływ szumów olorowych 43 Tabela 3 Średnie wartości MSE dla poszczególnych wartości parametru α przy zmiennym ziarnie generatora PDF szumu wewnętrznego zależna od wygenerowanego sygnału szumu MSE ziarno α = -1 α = 0 α = 1 generatora 135 0.7176 0.7154 0.7304 136 0.7688 0.7614 0.7545 137 0.7900 0.7092 0.7208 138 0.7350 0.7407 0.7440 139 0.7643 0.7163 0.7505 140 0.7555 0.7184 0.7626 Na podstawie wyniów z tabeli 3 można stwierdzić, że te uzysane w tabeli 1 są szczególnym przypadiem, a w przeważającej więszości przypadów szum biały oazuje się najprostszym szumem do filtracji. BIBLIOGRAFIA 1. Arulampalam S., Masell S., Gordon N., Clapp T.: A Tutorial on Particle Filters for Online Non-linear/Non-Gaussian Bayesian Tracing, IEEE Proceedings on Signal Processing, Vol. 50, No. 2, 2002, s. 174-188. 2. Brzozowsa-Rup K., Dawidowicz A.L.: Metoda filtru cząsteczowego. Matematya Stosowana: Matematya dla Społeczeństwa 2009, T. 10/51, s. 69-107. 3. Candy J.V.: Bayesian signal processing, WILEY, New Jersey 2009, s. 19-44. 4. Doucet A., Freitas N., Gordon N.: Sequential Monte Carlo Methods in Practice, Springer- Verlag, New Yor 2001, s. 225-246. 5. Gordon N.J., Salmond N.J., Smith A.F.M.: Novel approach to nonlinear/non-gaussian Bayesian state estimation. IEE Proceedings-F 1993, Vol. 140, No. 2, s. 107-113. 6. Kotecha J.H., Djurić P.M.: Gaussian Particle Filtering. IEEE Trans Signal Processing 2003, Vol. 51, No. 10, s. 2592-2601. 7. Little M., McSharry P., Roberts S., Costello D., Moroz I.: Exploiting Nonlinear Recurrence and Fractal Scaling Properties for voice Disorder Detection. BioMedical Eng. OnLine 2007, vol. 6, no. 23, s. 23-42. 8. Pitt M., Shephard N.: Filtering via simulation: auxiliary particle filters. Journal of the American Statistical Association 1999, Vol. 94, No. 446, s.590-599. 9. Schön T.B., Wills A., Ninness B., System identification of nonlinear state-space models, Automatica 2011, Vol. 47, p. 39-49. 10. Thrun S.: Particle Filters in Robotics, Proceedings of the 17th Annual Conference on Uncertainty in AI (UAI), 2002.
44 P. Koziersi, M. Lis 11. Zielińsi T.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: Od teorii do zastosowań. Wydawnictwa Komuniacji i Łączności, Warszawa 2007, s. 1-38. Wpłynęło do Redacji dnia 20 październia 2012 r. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Janusz Walcza Mgr inż. Piotr KOZIERSKI Politechnia Poznańsa Instytut Automatyi i Inżynierii Informatycznej ul. Piotrowo 3a 60-965 Poznań Tel.: (061) 6652377; e-mail: piotr.oziersi@gmail.com Mgr inż. Marcin LIS Politechnia Poznańsa Instytut Eletrotechnii i Eletronii Przemysłowej ul. Piotrowo 3a 60-965 Poznań Tel. (061) 665-23-88